内蒙古包头市2018届高三第一次模拟考试数学(理)试卷(含答案)

2018届内蒙古包头市高三第一次模拟考试

数学（理）试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设复数z 满足(1)1i z i +=-，则z =（ ）

A ．1

B ．

2 C ．

3 D ．4

2.已知全集{2,1,0,1,2}U =--，2{|,}M x x x x U =≤∈，32

{|320}N x x x x =-+=，则M N =

I （ ）

A ．{0,1,2}--

B ．{0,2}

C ．{1,1}-

D ．{0,1}

3.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面

4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为（ ）

A ．

25升 B ．611升 C ．1322升 D ．21

40

升 4.若,x y R ∈，且1

230x x y y x ≥??

-+≥??≥?

，则2z x y =+的最小值为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

5.已知550(21)x a x -=4

145a x a x a ++??????++，则015a a a ++??????+=（ ）

A ．1

B ．243

C ．32

D ．211 6.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）

A ．

83 B ．323 C ．163 D ．283

7.若双曲线C ：22

221x y a b

-=的离心率为e ，一条渐近线的倾斜角为θ，则cos e θ的值（ ）

A ．大于1

B ．等于1

C ．小于1

D ．不能确定，与e ，θ的具体值有关 8.执行如图所示的程序框图，如果输入的1

50

t =

，则输出的n =（ ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

9.现有4张牌（1）、（2）、（3）、（4），每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母。现在规定：当牌的一面为字母R 时，它的另一面必须写数字2.你的任务是：为检验下面的4张牌是否有违反规定的写法，你翻且只翻看哪几张牌就够了（ ）

A ．翻且只翻（1）（4）

B ．翻且只翻（2）（4）

C ．翻且只翻（1）（3）

D ．翻且只翻（2）（3）

10.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，G 是EF 的中点，沿DE ，EF ，

FD 将正方形折起，使A ，B ，C 重合于点P ，构成四面体，则在四面体P DEF -中，给出下列

结论：①PD ⊥平面PEF ；②PD EF ⊥；③DG ⊥平面PEF ；④DF PE ⊥；⑤平面PDE ⊥平面PDF .其中正确结论的序号是（ ）

A ．①②③⑤

B ．②③④⑤

C ．①②④⑤

D ．②④⑤

11.已知函数3

()24f x x x =-2()x

x

e e -+-，若2

(52)(3)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．1[,2]3-

B ．2[1,]3--

C ．2[,1]3

D ．1[2,]3

-

12.已知BC 是圆O 的直径，H 是圆O 的弦AB 上一动点，10BC =，8AB =，则HB HC ?u u u r u u u r

的最小

值为（ ）

A ．4-

B ．25-

C ．9-

D ．16-

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是 ．

14.设函数()2sin()f x x ω?=+，(0,)2

π

ω?><

，58x π=

为()y f x =图象的对称轴，118

x π=为()f x 的零点，且()f x 的最小正周期大于2π，则?= ．

15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若26S =，123n n a S +=+，*n N ∈，则4S = ．

16.在平面直角坐标系xoy 中，双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的左支与焦点为F 的抛物线

22(0)x py p =>交于M ，N 两点.若4MF NF OF +=，则该双曲线的离心率为 ．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分

17.在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2cos 2cos A C c a

B b

--=

. （1）求

sin sin A

C

的值；

（2）若

1

cos 4

B =

，2b =，求ABC ?的面积S . 18.如图，四棱锥H ABCD -中，HA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，6AB AD AC ===，

8HA BC ==，E 为线段AD 上一点，2AE ED =，F 为HC 的中点.

（1）证明：//EF 平面HAB ； （2）求二面角E HF A --的正弦值.

19.某地区对一种新品种小麦在一块试验田进行试种.从试验田中抽取500株小麦，测量这些小麦的生长指标值，由测量结果得如下频数分布表： 生长指标值分组 [165,175) [175,185) [185,195) [195,205) [205,215) [215,225) [225,235)

频数

10 45 110 165 120 40 10

（1）在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；

（2）求这500株小麦生长指标值的样本平均数x 和样本方差2

s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）由直方图可以认为，这种小麦的生长指标值Z 服从正态分布2

(,6)N μ，其中μ近似为样本平均数x ，26近似为样本方差2s .

①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；

②若从试验田中抽取100株小麦，记X 表示这100株小麦中生长指标值位于区间(187.8,212.2)的小麦株数，利用①的结果，求EX .

12.2≈.

若2

(,6)Z N μ:，则(66)0.6826P Z μμ-<<+=，

(2626)0.9544P Z μμ-<<+=.

20.已知1F ，2F 是椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右两个焦点，124F F =，

长轴长为6，又A ，B 分别是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且满足122AF BF =u u u r u u u u r

.

（1）求椭圆C 的方程； （2）求四边形21ABF F 的面积.

21.已知函数2

()ln f x ax x x =--，(,ln 1)a R x x ∈≤-. （1）若3

8

a =

时，求函数()f x 的最小值； （2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点； （3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22题和第23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为21x a t

y t

=+??

=-?（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴

为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2ρ=.

（1）若2a =-时，求C 与l 的交点坐标；

（2）若C 上的点到l 距离的最大值为a . 23.[选修4-5：不等式选讲]

已知函数()12f x x x =+--，2

()g x x x a =--. （1）当5a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；

（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[2,3]，求a 的取值范围.

2018年普通高等学校招生全国统一考试

（包头市第一次模拟考试） 数学（理科）参考答案

一、选择题

1-5: ADCDB 6-10: CBBAC 11、12：DD

二、填空题

13.

56 14. 12

π

15. 66三、解答题

17.解：（1）由正弦定理，设sin sin sin a b c

k A B C

===， 则22sin sin sin c a k C k A b k B --=2sin sin sin C A B

-=

. 由题设条件，得cos 2cos 2sin sin cos sin A C C A

B B

--=

， 整理得sin()2sin()A B B C +=+. 又A B C π++=， 所以sin 2sin C A =，即sin 1

sin 2

A C =. （2）由余弦定理，可知

222cos 2a c b B ac +-=1

4

=，①

由（1）可知

sin 1

sin 2

A a C c ==，② 由2b =，再联立①②求得2c =，1a =，

sin B =4

=

，((0,))B π∈，

所以1sin 24

S ac B =

=. 18.解：（1）由已知得2

43

AE AD =

=，

取BH 的中点G ，连接AG ，GF ， 由F 为HC 的中点知//GF BC ，1

42

GF BC ==， 又//AD BC ，故//GF AE ，

所以四边形AEFG 为平行四边形，于是//EF AG ，

AG ?平面HAB ，EF ?平面HAB ，

所以//EF 平面HAB .

（2）取BC 的中点T ，连接AT .

由AB AC =得AT BC ⊥，从而AT AD ⊥，

且AT =

=以A 为坐标原点，AT u u u r

的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.

由题意知，(0,0,8)H ，(0,4,0)E

，4,0)C

，2,4)F ，

(0,4,8)HE =-u u u r

，2,4)HF =-u u u r

，2,4)AF =u u u r

.

设(,,)n x y z =r 为平面HEF 的法向量，则00n HE n HF ??=???=??r u u u r

r u u u r

，

即480

240y z y z -=??+-=，可取(0,2,1)n =r . 设000(,,)m x y z =u r

为平面HAF 的法向量，

则00m HF m AF ??=???=??u r u u u r

u r u u u r

，即240

240

y z y z +-=++=

，可取(2,m =u r . 于是cos ,n m <>r u r m n m n ?=?u r r

u r

r 2

3=-，

sin ,n m <>=r u r 所以二面角E HF A --

的正弦值为

3

.

19.解：（1）画图.

（2）抽取小麦的生长指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为

1700.021800.09x =?+?1900.222000.332100.24+?+?+?2200.082300.02200+?+?=，

222(30)0.02(20)0.09s =-?+-?2(10)0.2200.33+-?+?22100.24200.08+?+?2300.02150+?=.

（3）①由（1）知(200,150)Z N :，从而

(187.8212.2)P Z <<(20012.220012.2)P Z =-<<+0.6826=.

②由①知，一株小麦的生长指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826， 依题意知(100,0.6826)X B :， 所以1000.682668.26EX =?=.

20.解：（1）由题意知26a =，24c =，所以3a =，2c =.

所以2

2

2

5b a c =-=，椭圆C 的方程为22

195

x y +=.

（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(2,0)F -，2(2,0)F ，

所以111(2,)AF x y =---u u u r ，222(2,)BF x y =--u u u u r ， 由122AF BF =u u u r u u u u r ，得1222(2)x x +=-，122y y =.

延长AB 交椭圆于H ，

因为122AF BF =u u u r u u u u r

，所以

12//AF BF ，且122AF BF =. 所以线段2BF 为1AF H ?的中位线，即2F 为线段1F H 的中点， 所以(6,0)H .

设直线AB 的方程为6x my =+，

代入椭圆方程得，2

2

5(6)945my y ++=，即2

2

(59)601350m y my +++=. 所以122260359m y y y m +=-

=+，21222

135

259

y y y m ?==+，

消去2y ，得22

9325

m ?=，依题意取5m =-.

1221AF H BF H ABF F S S S ??=-四边形112211

22

F H y F H y =

-

1222242826y y y y y =-=-=2120594

m m =-

=+.

21.解：（1）当38a =

时，23

()ln 8f x x x x =--， 所以31'()14f x x x =--(32)(2)

(0)4x x x x

+-=>.

令'()0f x =，得2x =，当(0,2)x ∈时，'()0f x <；

当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，所以函数()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增， 所以当2x =时，()f x 有最小值1

(2)ln 22

f =-

-. （2）由2

()ln f x ax x x =--，得1'()21f x ax x

=--221

(0)ax x x x --=

>，

所以当0a ≤时，221

'()0ax x f x x

--=

<， 函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上最多有一个零点.

因为当10a -≤≤时，(1)10f a =-<，22

1()0e e a

f e e -+=

>， 所以当10a -≤≤时，函数()f x 在(0,)+∞上有零点. 综上，当10a -≤≤时，函数()f x 有且只有一个零点.

（3）由（2）知，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上最多有一个零点. 因为()f x 有两个零点，所以0a >.

由2

()ln f x ax x x =--，得221

'()(0)ax x f x x x

--=

>. 令2

()21g x ax x =--，

因为(0)10g =-<，20a >，所以()g x 在(0,)+∞上只有一个零点， 设这个零点为0x ，

当0(0,)x x ∈时，()0g x <，'()0f x <； 当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，'()0f x >；

所以函数()f x 在0(0,)x 上单调递减；在0(,)x +∞上单调递增.

要使函数()f x 在(0,)+∞上有两个零点，只需要函数()f x 的极小值0()0f x <，即

2000ln 0ax x x --<.

因为2

000()210g x ax x =--=， 所以2

000ln ax x x --20001

(2ln 22)2

x ax x =

-+- 200001

[2ln (21)1]2

x ax x x =-+---+

001

(12ln )02

x x =

--<， 可得002ln 10x x +->，

又因为()2ln 1h x x x =+-在(0,)+∞上是增函数，且(1)0h =， 所以01x >，0

1

01x <

<， 由2

00210ax x --=，得02

12x a x +=

20011()x x =+20111

()24x =+-， 所以022a <<，即01a <<.

以下验证当01a <<时，函数()f x 有两个零点. 当01a <<时，2121()1a g a a a =--10a a

-=>，(1)2(1)0g a =-<， 所以01

1x a

<<

. 因为211

()1a f e e e

=-+22

0e e a e -+=>，且0()0f x <， 所以函数()f x 在01

(,)x e

上有一个零点.

又因为22

422()ln a f a

a a a =

--22(1)10a a

≥--=>（因ln 1x x ≤-）. 且0()0f x <，所以()f x 在02

(,)x a 上有一个零点.

所以当01a <<时，函数()f x 在12

(,)e a

内有两个零点.

综上，实数a 的取值范围是(0,1).

22.解：（1）曲线的普通方程为2

2

4x y +=， 当2a =-时，直线l 的普通方程为20y x +=，

由22

204x y x y +=??+=?

，解得5x y ?=-????=??

，或5

x y ?=????=??

，

从而C 与l

的交点坐标为(

，. （2）直线l 的普通方程为220x y a +--=，

设C 的参数方程为2cos 2sin x y θ

θ

=??

=?（θ为参数），

则C 上的点(2cos ,2sin )θθ到l 的距离为

d

=

=

.

当2a ≥-时，d

=

=

8a =-， 当2a <-时，d

=

12a =，

综上，8a =-

12a =-.

23.解：（1）当5a =时，不等式()()f x g x ≥等价于12x x +--25x x ≥--，①

当1x <-时，①式化为2

20x x --≤，无解；

当12x -≤≤时，①式化为2

340x x --≤，得12x -≤≤；

当2x >时，①式化为2

80x x --≤

，得122

x +<≤

. 所以()()f x g x ≥

的解集为1[1,

2

-. （2）当[2,3]x ∈时，()3f x =，

所以()()f x g x ≥的解集包含[2,3]，等价于[2,3]x ∈时()3g x ≤. 又2

()g x x x a =--在[2,3]上的最大值为(3)6g a =-. 所以(3)3g ≤，即63a -≤，得3a ≥. 所以a 的取值范围为[3,)+∞.