光学习题课

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Ⅰ教学基本要求

波动光学

1．理解获得相干光的方法。掌握光程的概念以及光程差和相位差的关系。能分析、确定杨氏双缝干涉条文及薄膜等厚干涉条纹的位置，了解麦克尔孙干涉仪的工作原理。

2．了解惠更斯—非涅耳原理。理解分析单缝夫琅禾费衍射暗纹分布规律的方法。会分析缝宽及波长对衍射条纹分布的影响。

3．理解光栅衍射公式。会确定光栅衍射谱线的位置。会分析光栅常量及波长对光栅衍射谱线分布的影响。

4．理解自然光和线偏振光。理解布儒斯特定律及马吕斯定律。了解双折射现象。了解线偏振光的获得方法和检验方法。

Ⅱ内容提要

一、光的干涉

1．相干条件：与波的相干条件相同(略)．

2．光程=nl，光程差δ=n2l2-n1l1；

理想透镜不产生附加光程差；

半波损失：光从疏媒质向密媒质入射时，在反射光中产生半波损失；折射光不产生半波损失；半波损失实质是位相突变π．3．明纹、暗纹的条件：

明纹δ=±2kλ/2，k=0,1,2,…；

暗纹δ=±(2k－1)λ/2，k=0,1,2,…．

4．分波阵面法(以杨氏双缝干涉为代表)：

光程差δ=nxd/D

明纹坐标x=±2k(D/d)λ/(2n)

暗纹坐标x=±(2k－1)(D/d)λ/(2n)

条纹宽度?x=(D/d)(λ/n)

5.分振幅法(薄膜干涉，以n1n3为例)

(1)光程差：

反射光δr=2n2e cos r+λ/2=2e(n22-n12sin2i)1/2+λ/2

透射光δt=2n2e cos r=2e(n22-n32sin2r’)1/2

(2)等厚干涉(光垂直入射，观察反射光)：

相邻条纹(或一个整条纹)所对应薄膜厚度差?e=λ/(2n)

劈尖干涉条纹宽度?l=λ/(2nθ)

牛顿环的条纹半径

明纹r=[(k-1/2)Rλ/n]1/2(k=1,2,3,…)

暗纹r=(kRλ/n)1/2(k=0,1,2,3,…)

(3)等倾干涉(略)．

(4)迈克耳逊干涉仪：M1与M'2平行为等倾条纹，此时如动镜移动λ/2，则中心涨出或陷入一个条纹；M1与M'2不严格平行为等厚条纹，此时如动镜移动λ/2，则条纹平行移动一个条纹的距离．

二、光的衍射

1．惠更斯—费涅耳原理

(1)子波

(2)子波干涉．

2．单缝衍射半波带法

中央明纹：坐标θ=0，x=0；

宽度?θ 0≈2λ/a，?x≈2λf/a

其他条纹：暗纹角坐标θ满足a sinθ=±kλ

明纹角坐标θ近似满足a sinθ≈±(2k+1)λ

条纹宽度?θ≈λ/a?x≈λf/a

3．光栅(多光束干涉受单缝衍射调制)

明纹明亮、细锐

光栅方程式(a+b)sinθ=±kλ

缺级衍射角θ同时满足(a+b)sinθ=±kλa sinθ=±k'λ时，

出现缺级，所缺级次为k=k' (a+b)/a．

4．圆孔衍射

爱里斑角半径θ=0.61λ/a=1.22λ/d

光学仪器的最小分辩角δθ=0.61λ/a=1.22λ/d

5．x射线的衍射布喇格公式2d sinθ=kλ

三、光的偏振

1．自然光、偏振光、部分偏振光；偏振片，偏振化方向，起偏、检偏．

2．马吕期定律I=I0cos2α．

3．反射光与折射光的偏振

一般情况：反射光为垂直入射面振动大于平行入射面振动部分偏振光，折射光为垂直入射面振动小于平行入射面振动部分偏振光．

布儒斯特定律：当入射角满足tg i0=n2/n1，即反射光与折射光相互垂直时，反射光为垂直入射面振动的完全偏振光，折射光仍为部分偏振光．

4、双折射：寻常光线(o光)满足普通折射定律，为垂直自己主平面的偏振光；非常光线(e光)不满足普通的折射定律，为平行自己主平面的偏振光．

双折射晶体的光轴，主截面、主平面．

5、旋光现象：偏振面旋转的角度旋光溶液中?θ=αCl

旋光晶体中?θ=αl

(α为旋光系数,C为浓度)．

Ⅲ。课堂例题

一.选择题

1.如图3.1所示，折射率为n2、厚度为e的透明介质薄膜的上方和下方的透明介质的折射率分别为n1和n3，已知n1 ＜n2 ＞n3，若用波长为λ的单色平行光垂直入射到该薄膜上，则从薄膜上、下两表面反射的光束（用①②示意）的光程差是

(A) 2n2e. (B) 2n2e－λ/(2 n2 ).

(C) 2n2e－λ. (D) 2n2e－λ/2.

2. 如图

3.2所示，s1、s2是两个相干光源，它们到P点的距离分别为r1和r2，路径s1P

垂直穿过一块厚度为t1，折射率为n1的介质板，路径s2P垂直穿过厚度为t2，折射率为n2的

另一介质板，其余部分可看作真空，这两条路径的光程差等于

(A) (r2 + n2 t2)－(r1 + n1 t1).(B) [r2 + ( n2－1)t2]－[r1 + (n1－1)t1].

(C) (r2 －n2 t2)－(r1 －n1 t1). (D) n2 t2－n1 t1.

3. 如图3.3所示，平行单色光垂直照射到薄膜上，经上下两表面反射的两束光发生干涉，若薄膜的厚度为e，并且n1＜n2＞n3，λ1为入射光在折射率为n1的媒质中的波长，则两束反射光在相遇点的位相差为

(A) 2 π n2 e / (n1 λ1 ). (B) 4 π n1 e / (n2 λ1 ) +π.

(C) 4π n2 e / (n1 λ1 ) +π. (D) 4π n2 e / (n1 λ1 ).

4.在如图3.4所示的单缝夫琅和费衍射实验装置中，s为单缝，L为透镜，C为放

在L的焦面处的屏幕，当把单缝s

沿垂直于透镜光轴的方向稍微向上平移时，屏幕上

3

图3.1 s

s

3

图3.3

的衍射图样

(A) 向上平移.(B) 向下平移.(C) 不动.(D) 条纹间距变大.

5. 在光栅光谱中,假如所有偶数级次的主极大都恰好在每缝衍射的暗纹方向上,因而实际上不出现,那么此光栅每个透光缝宽度a和相邻两缝间不透光部分宽度b的关系为

(A) a = b. (B) a = 2b. (C) a = 3b. (D) b = 2a.

二.填空题

1. 光的干涉和衍射现象反映了光的性质, 光的偏振现象说明光波是波.

2. 牛顿环装置中透镜与平板玻璃之间充以某种液体时,观察到第10级暗环的直径由1.42cm变成1.27cm,由此得该液体的折射率n = .

3. 用白光(4000?～7600?)垂直照射每毫米200条刻痕的光栅,光栅后放一焦距为200cm的凸透镜,则第一级光谱的宽度为.

三.计算题

1. 波长为500nm的单色光垂直照射到由两块光学平玻璃构成的空气劈尖上，在观察反射光的干涉现象中，距劈尖棱边l= 1.56cm的A处是从棱边算起的第四条暗条纹中心.

(1) 求此空气劈尖的劈尖角θ.

(2) 改用600 nm的单色光垂直照射到此劈尖上仍观察反射光的干涉条纹,A处是明条纹，还是暗条纹？

2. 设光栅平面和透镜都与屏幕平行，在平面透射光栅上每厘米有5000条刻线，用它来观察波长为λ=589 nm的钠黄光的光谱线.

(1) 当光线垂直入射到光栅上时,能看到的光谱线的最高级数k m是多少?

(2) 当光线以30?的入射角(入射线与光栅平面法线的夹角)斜入射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级数k m是多少?

Ⅳ。课堂例题解答

一.选择题 D B C C A

二.填空题

1．波动，横.

2．1.25.

3．14.7cm(或14.4cm).

三.计算题

1.因是空气薄膜,有n1>n2

δ=2e+λ/2，

暗纹应δ=2e+λ/2=(2k+1)λ/2，所以

2e=kλe=kλ/2

因第一条暗纹对应k=0，故第4条暗纹对应k=3，所以

e=3λ/2

(1)空气劈尖角

θ=e/l=3λ/(2l)=4.8?10-5rad

(2) 因δ/λ'=(2e+λ'/2)/λ'=3λ/λ'+1/2=3

故A处为第三级明纹，棱边依然为暗纹.

(3) 从棱边到A处有三条明纹，三条暗纹，共三条完整条纹.

2. (1) (a+b) sinθ=k maxλ<(a+b)

k max<(a+b)/λ=3.39

所以最高级数k max=3

(2)(a+b) (sin30°+sinθ')=k'maxλ

k'max<(a+b) (sin30°+1)/λ=5.09

所以k'max=5

波动光学复习题

一.选择题

1. 如图3.1所示，折射率为n 2 、厚度为e 的透明介质薄膜的上方和下方的透明介质的折射率分别为n 1和n 3，已知 n 1 ＜n 2 ＞n 3，若用波长为λ的单色平行光垂直入射到该薄膜上，则从薄膜上、下两表面反射的光束（用①②示意）的光程差是

(A) 2n 2e . (B) 2n 2e －λ/(2 n 2 ). (C) 2n 2e －λ. (D) 2n 2e －λ/2.

2. 如图

3.2所示，s 1、s 2是两个相干光源，它们到P 点的距离分别为r 1和 r 2，路径s 1P 垂直穿过一块厚度为t 1，折射率为n 1的介质板，路径s 2P 垂直穿过厚度为t 2，折射率为n 2的另一介质板，其余部分可看作真空，这两条路径的光程差等于

(A) (r 2 + n 2 t 2)－(r 1 + n 1 t 1). (B) [r 2 + ( n 2－1) t 2]－[r 1 + (n 1－1)t 1]. (C) (r 2 －n 2 t 2)－(r 1 －n 1 t 1). (D) n 2 t 2－n 1 t 1.

3. 如图3.3所示，平行单色光垂直照射到薄膜上，经上下两表面反射的两束光发生干涉，若薄膜的厚度为e ，并且n 1＜n 2＞n 3，λ1 为入射光在折射率为n 1 的媒质中的波长，则两束反射光在相遇点的位相差为

(A) 2 π n 2 e / (n 1 λ1 ). (B) 4 π n 1 e / (n 2 λ1 ) +π. (C) 4 π n 2 e / (n 1 λ1 ) +π. (D) 4π n 2 e / (n 1 λ1 ).

4. 在如图3.4所示的单缝夫琅和费衍射实验装置中，s 为单缝，L 为透镜，C 为放在L 的焦面处的屏幕，当把单缝s 沿垂直于透镜光轴的方向稍微向上平移时，屏幕上的衍射图样

(A) 向上平移.(B) 向下平移.(C) 不动.(D) 条纹间距变大.

5. 在光栅光谱中,假如所有偶数级次的主极大都恰好在每缝衍射的暗纹方向上,因而实际上不出现,那么此光栅每个透光缝宽度a 和相邻两缝间不透光部分宽度b 的关系为

(A) a = b . (B) a = 2b . (C) a = 3b . (D) b = 2a . 二.填空题

1. 光的干涉和衍射现象反映了光的 性质, 光的偏振现象说明光波是 波.

2. 牛顿环装置中透镜与平板玻璃之间充以某种液体时,观察到第10级暗环的直径由1.42cm 变成1.27cm,由此得该液体的折射率n = .

3. 用白光(4000?～7600?)垂直照射每毫米200条刻痕的光栅,光栅后放一焦距为200cm 的凸透镜,则第一级光谱的宽度为 .

三.计算题

1. 波长为500nm 的单色光垂直照射到由两块光学平玻璃构成的空气劈尖上，在观察反射光的干涉现象中，距劈尖棱边 l = 1.56cm 的A 处是从棱边算起的第四条暗条纹中心.

(1) 求此空气劈尖的劈尖角θ .

(2) 改用600 nm 的单色光垂直照射到此劈尖上仍观察反射光的干涉条纹,A 处是明条纹，还是暗条纹？

2. 设光栅平面和透镜都与屏幕平行，在平面透射光栅上每厘米有5000条刻线，用它来观察波长为λ=589 nm 的钠黄光的光谱线.

(1) 当光线垂直入射到光栅上时,能看到的光谱线的最高级数k m 是多少?

(2) 当光线以30?的入射角(入射线与光栅平面法线的夹角)斜入射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级数k m 是多少? 3．在杨氏实验中，两缝相距0.2mm ，屏与缝相距1m ，第3明条纹距中央明条纹7.5mm ，求光波波长？

4．在杨氏实验中，两缝相距0.3mm ，要使波长为600nm 的光通过后在屏上产生间距为1mm 的干涉条纹，问屏距缝应有多远？ 5．波长为500nm 的光波垂直入射一层厚度e=1μm 的薄膜。膜的折射率为1.375。问： ⑴光在膜中的波长是多少？ ⑵在膜内2e 距离含多少波长？ s

s

图

3.2

3图3.3

图3.4

⑶若膜两侧都是空气，在膜面上反射的光波与经膜底面反射后重出膜面的光波的相差为多少？

6．用一层透明物质涂在玻璃上，使波长520nm的光反射最少。若玻璃的折射率为1.50，Array透明物质折射率为1.30，求涂层最小厚度？

7．一玻璃劈尖，折射率n-1.52，波长λ=589.3nm的钠光垂直入射，测得相邻条纹间距

L=5.0mm，求劈尖夹角？

8．用单色光观察牛顿环，测得某一明环的直径为 3.00mm，它外面第5个明环直径为

4.60mm，平凸透镜的曲率半径为1.03m，求此单色光的波长？

9．钠光（589nm）通过单缝后在1m处的屏上产生衍射条纹，若两个第一级暗条纹之间的距离为2mm，求单缝宽度？

10．一单色光垂直入射一单缝，其衍射的第三级明纹的位置恰与波长为600nm的单色光入射该缝时衍射的第二级明纹位置

重合，试求该单色光的波长？

11．用波长为500nm的单色光，垂直照射到一宽度为0.5mm的单缝上，在缝后置一焦距为0.8m的凸透镜，试求屏上中央明

纹和其它明纹的宽度？

12．一束单色平行光垂直入射到每毫米500条缝的光栅上，所成二级像与原入射方向成300角，求波长？

13．一束白光垂直入射光栅，如果其中某一光波的三级象与波长600nm的光波的二级象重合，求该光的波长？

14．用波长为589nm的钠光，垂直入射到每毫米500条缝的光栅上，最多能看到第几级明条纹？

15．两块偏振片的投射轴互成900角，在它们之间插入另一偏振片，使它的投射轴与第一片的投射轴夹角为θ角。射向第一

偏振片的自然光强度为I0，求通过三块偏振片后的光强。

⑴θ=450；

⑵θ=300。

16．两块偏振片的透射轴互相垂直，在它们之间插入两块偏振片，使相邻两片偏振片透射轴都夹300角。如果入射的自然光

强度为I0，求通过所有偏振片后光的强度？

17．平行平面玻璃板放置在空气中，空气折射率近似为1，玻璃折射率n=1.50，试问当自然光以布儒斯特角入射到玻璃上

表面时，折射角是多少？当折射光在下表面反射时，其反射光是否时偏振光？

四、问答题

1．在杨氏实验中，如果光源S到两狭缝S1、S2的距离不等，例如SS1>SS2，则对实验结果有什么影响

2．为什么挡住光线容易，而挡住声音难？

解答

一.选择题 D B C C A

二.填空题

1．波动，横.2．1.25. 3．14.7cm(或14.4cm).

三.计算题

1.因是空气薄膜,有n1>n2

因第一条暗纹对应k=0，故第4条暗纹对应k=3，所以e=3λ/2

(3)空气劈尖角θ=e/l=3λ/(2l)=4.8?10-5rad

(2) 因δ/λ'=(2e+λ'/2)/λ'=3λ/λ'+1/2=3 故A处为第三级明纹，棱边依然为暗纹.

(3) 从棱边到A处有三条明纹，三条暗纹，共三条完整条纹.

2. (1) (a+b) sinθ=k maxλ<(a+b) k max<(a+b)/λ=

3.39 所以最高级数k max=3

(4)(a+b) (sin30°+sinθ')=k'maxλk'max<(a+b) (sin30°+1)/λ=5.09 所以k'max=5

3．解：当S1、S2发出的光波的光程差 dsinθ≈d(x/D)= ± kλ k=0，1，2……

x= ± kD/d·λ k=0，1，2……

两光波在屏幕上干涉加强，光强极大，出现明条纹。

已知 d=0.2mm , D=1m , k=3 , x=7.5mm , 则有λ= xd /(kD)

λ=7.5×0.2/(3×1×103) mm=500nm

4．解：已知 d=0.3mm , λ=600nm , △x=1mm

杨氏实验中，任意两条相邻的明条纹或暗条纹中心间的距离，即条纹间距为△x=D/d·λ

则屏幕到狭缝的距离为 D=△x·d/λD=1×0.3/(600×10-6)mm D=0.5m

5．解：⑴设光波在膜中的波长为λ',传播的速度为u，在真空中的波长为λ，速度为c，则

u= c / n c=λν

u=λ'/T ?λ'=uT=u/ν=c/(nν)=λ/n

λ'=λ/n=500/1.375 nm=363.64nm

⑵光波垂直入射薄膜，在膜内含有的波长数为 2e/λ'=2ne/λ=2×1.375×1×103/500=5.5

⑶在膜的前表面是从光疏介质向光密介质传播，所以反射光会发生半波损失，即反射光多或少传播了半个波长的距离，因此薄膜前表面的反射光与膜底面的反射光相差6个或5个波长的光程。波传播一个波长的距离，相位变化2π，所以二者的相位差为10π或12π。

6．解：光在薄膜的前后表面都会发生半波损失，所以两反射光波的光程差为2ne，二者相遇干涉减弱的条件为

2ne=(2k+1)·λ/2

将k=1代入上式，可得薄膜的最小厚度为 2ne=λ/2 e=λ/(4n)=520/(4×1.30)nm=100nm

7．解：已知 n=1.52，λ=589.3nm，L=5.0mm，任意两条相邻的明条纹或暗条纹的间距

= 8′L=λ/(2nθ) θ=λ/(2nL)=589.3×10－6/(2×1.52×5) rad=589.3×10－6/(2×1.52×5)×3600/(2π)×60′×60′

′8．解：牛顿环中明条纹的半径为 r =[(2k－1)Rλ/2]1/2 k=r2/(Rλ)＋1/2

已知r k=3.00/2mm=1.50mm，r k+5=4.60/2mm=2.30mm，R=1.03m，则有 k= r k2/( Rλ)+1/2 ①

k＋5= r k+52/( Rλ)+1/2 ②

由②－①得 5=( r k+52－r k2)/( Rλ) λ=( r k+52－r k2)/( 5R) λ=(2.302－1.502)/(5×1.03×103)mm=590nm 9．解：明条纹的宽度：两个相邻暗条纹中心间的距离。

两个第一级暗条纹之间的距离为2mm，即中央明条纹的宽度为2mm，中央明条纹的宽度为△x=2fλ/a

钠光通过单缝后在1m处的屏幕上产生衍射条纹，狭缝与透镜L2(见图13-14)间的距离忽略不计，所以L2的焦距为 f=1m，则

a=2fλ/△x a=2×1×103×589×10－6/2 mm=0.589mm

10．解：单缝衍射形成明条纹的条件为 asinθ=±(2k+1)·λ/2 k=1，2，3，……

设两种单色光的波长分别为λ1、λ2，其中λ2=600nm，则 asinθ=±(2k+1)·λ1/2 k=1，2，3，……

asinθ=±(2k+1)·λ2/2 k=1，2，3，……

两种单色光的三级与二级明条纹位置重合，即二者具有相同的衍射角，所以

（2×3+1）·λ1/2=（2×2+1）λ2/2 λ1= 5/7·λ2 =5/7×600nm=428.6nm 11．解：已知λ=500nm，a=0.5mm，f=0.8m，中央明条纹的宽度为

△x=2fλ/a△x=2×0.8×500×10－9/(0.5×10－3)m=1.6×10－3m

其他明条纹的宽度是中央明条纹宽度的一半，所以其他明条纹的宽度是

1/2·△x=1/2×1.6×10－3m=8.0×10－4m

12．解：任意相邻两条狭缝中心间的距离为d=1/500 mm=2×10-3mm

光栅衍射形成明条纹的条件为 dsinθ=±kλ k=0，1，2，……

λ=±dsinθ/k k=0，1，2，……

已知 k=2时，θ=30o，代入上式则有λ=(2×10－3×1/2)/2 mm=500nm

13．解：设两种单色光波的波长分别为λ1、λ2，其中λ2=600nm，根据光栅方程 dsinθ=±kλ k=0，1，2，……

λ1的三级明条纹与λ2的二级明条纹重合，即二者具有相同的衍射角，所以 dsinθ=3λ1 dsinθ=2λ2

3λ1=2λ 2 λ1=2/3·λ2=2/3×600nm=400nm

14．解：根据光栅方程 dsinθ=±kλ k=0，1，2，……

sinθ=±k·λ/d k=0，1，2，…… |sinθ|≤1 k·λ/d≤1 已知λ=589nm，d=1/500 mm，代入上式得k×589×10－6/(1/500)≤1 k≤3 所以最多可以看到三级明条纹。

15．解：⑴自然光通过第一块偏振片后，变为偏振光，光振动方向与第一块偏振片的透射轴相同，与第二块偏振片的透射轴的夹角为θ=450，强度为I0/2，根据马吕斯定律，通过第二块偏振片后光强度为 I2= I0/2·cos2θ通过第三块偏振片后光强度为 I3= I0/2·cos4θ= I0/2×（cos45O）4= I0/8

⑵同理有 I2= I0/2·cos2θ= I0/2·(cos30o)2

I3= I0/2·(cos30o)2×(cos60o)2= 3I0/32

16．解： I1= I0/2 I2= I0/2 cos2θ I3= I0/2 cos4θ I4= I0/2 cos6θ= I0/2×(cos30o)6=0.21 I0 17．解：①根据布儒斯特定律，布儒斯特角为 tgi0=n2/n1=1.50/1=1.50 i0=arctg1.50=56.3o

则折射角为 90o－56.3o=33.7o

②光波以布儒斯特角入射，反射光是振动方向垂直于入射面的偏振光。

四、问答题

1.答：此时S1、S2仍然是相干光源，但初相位不同，在图13-2中屏幕AC上的任意一点P处是干涉加强还是干涉减弱，不仅与S1、S2的光程差有关，还与二者的初相位有关。

当SS1－SS2=±2K·λ/2 K=1，2，3…时，则在屏幕中心O处仍然是亮条纹，各级明暗条纹等间距、对称地分布在中心点O 两侧；

当SS1－SS2=±（2K＋1）·λ/2 K=0，1，2…时，则在屏幕中心O处出现暗条纹，各级明暗条纹等间距、对称地分布在中心点O两侧；

当SS1－SS2不等于λ/2的整数倍时，在屏幕上仍然可以观察到明暗相间的干涉条纹，但是各级明暗条纹关于O点不是对称分布。

2．答：声波是机械波，波长较大，波长与一般障碍物的线度相差不多，容易发生衍射；光（可见光）是电磁波，波长的数量级为10－7m，一般障碍物的线度远大于波长，不容易发生衍射，即光线容易被挡住。