轴对称与将军饮马问题(基础篇)专题练习(解析版)

轴对称与将军饮马问题（基础篇）专题练习

一、两定点一动点

1、答案：D

分析：

解答：∵点B和B’关于直线l对称，且点C在l上，

∴CB=CB’，

又∵AB’交l于C，且两条直线相交只有一个交点，

∴CB’+CA最短，即CA+CB的值最小，将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．

2、答案：B

分析：

解答：MN是正方形ABCD的一条对称轴，

∴PD=AP，

当PC+PD最小时，即点P位于AC与MN的交线上，

此时∠PCD=45°．

3、答案：C

分析：

解答：当PC+PE最小时，P在BE与AD的交点位置，

如图，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∵D、E分别是边BC，AC的中点，

∴P为等边△ABC的重心，

∴BE⊥AC，

∴∠PCE=1

2

∠ACB=

1

2

×60°=30°，

∴∠CPE=90°-∠PCE=90°-30°=60°，

选C．

4、答案：作图见解答．

分析：

解答：如图所示：

5、答案：作图见解答．

分析：

解答：所作图形如图所示：

6、答案：（1）画图见解答．（2）画图见解答．

（3）P（0，4）．

分析：

解答：（1）

（2）

（3）过点A作AM⊥x轴于M，

∵A（2，6），

∴M（2，0），AM=6，

又∵B（4，0），

∴点B关于y轴的对称点B’（-4，0），

∴B’M=6=AM，

∴△AB’M为等腰直角三角形，

∴∠P’BO=45°，

∴△P’BO也为等腰直角三角形，

∴B’O=PO=4，

∴P（0，4）．

7、答案：（1）画图见解答．

（2）画图见解答．

分析：

解答：（1）关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标相反．

（2）作C关于y轴的对称点C1，连接C1B，交y轴于点P．连接PB，PC，此时△PBC周

长最小．

8、答案：（1）如图所示：

（2）如图所示：

（3）3.5．

分析：

解答：（1）如图所示：

（2）如图所示：

（3）S△AOB=3×3-1

2

×1×2-

1

2

×2×3-

1

2

×1×3=9-1-3-1.5=9-5.5=3.5．

二、一定点两动点

9、答案：D

分析：

解答：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2，交OA于M，交OB于N，则OP1=OP=OP2，∠OP1M=∠MPO，

∠NPO=∠NP2O，

根据轴对称的性质可得MP=P1M，PN=P2N，

∴△PMN的周长的最小值=P1P2，

由轴对称的性质可得∠P1OP2=2∠AOB=2a，

∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=180°-2a，

∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2M

=∠OP1P2+∠OP2P1

=180°-2a，

选D．

10、答案：B

分析：

解答：分别作点P关于OB，OA对称点C、D，

连CD，分别交OA、OB于点M、N，连OC、OD、PM、PN、MN，

∴PM=DM，OP=OD，∠COB=∠POB，∠DOA=∠POA，

∴OC=OP=OD，∠AOB=1

2

∠COD，

∵△PMN周长的最小值是6cm，

∴PM+PN+MN=6，

∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，

∴OC=OD=CD，即△OCD为等边三角形，

∴∠COD=60°，

∴∠AOB=30°．

11、答案：D

分析：

解答：如图，作点D关于直线AB的对称点G，作点D关于直线BC的对称点H，连接GH交AB于点E，交BC于点F，则此时△DEF的周长最小，

∵∠DAB+∠ABC+∠DCB+∠ADC=360°，∠DAB=∠DCB=90°，∠ABC=α

∴∠ADC=360°-∠DAB-∠DCB-∠ABC=180°-α，

∴∠G+∠H=180°-∠ADC=α，

∴∠EDF=∠ADC-（∠ADE+∠CDF）=180°-2α．

选D．

12、答案：18

分析：

解答：根据题意点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，

故有MP=MC，NP=ND；

则CD=CM+MN+ND=PM+MN+PN=18cm．

13、答案：20

分析：

解答：根据题意，EP=EM，PF=FN，

∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长，

∴MN=20．

14、答案：15；100

分析：

解答：连接OP，OP1，OP2，PP1，PP2．

由对称可知，MP1=MP，NP=NP2，

∴△PMN的周长为MN+MP+NP=MN+MP1+NP2=P1P2=15．

由对称可知，∠OPM=∠OP1M，∠OPN=∠OP2N，

∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=180°-2∠AOB=100°．15、答案：6

分析：

解答：连AD，过A作AN⊥BC于N，

∵EF是AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∴DB+DM=AD+DM，

在△ADM中，AD+DM＞AM，

∴（AD+DM）min=AM，

又M为BC上动点，

∴当AM⊥BC时最小，即为AN，

∵S△ABC=12cm2，BC=4cm，

∴AN=2×12÷4=6cm．

16、答案：2α

分析：

解答：过P的作关于OB的对称点P’，作P’C⊥OA于C，交OB于D，此时PD=PD’，根据点到直线的距离最短可知PD+DC=P’C最短．

∵∠PDB=P’DB，∠CDO=∠P’DB，

∴∠CDO=∠PDB，

∵P’C⊥OA，∠AOB=α，

∴∠CDO=90°-α，

∴∠PDC=180°-2（90°-α）=2α．

17、答案：50°

分析：

解答：作A关于BC的对称点为E，作A关于CD的对称点F，

连接EF交BC，CD于点M，N．

此时AMN的周长就是最小的时候．

设∠NAD=∠F=α，∠E=∠BAM=β，

∵∠B=∠D=90°，∠C=65°，

∴∠BAD=α+β+∠MAN=115°．

∵2α+2β+∠MAN=180°，

∴α+β=65°．

∴∠MAN=∠BAD-（α+β）=50°．

18、答案：4

分析：

解答：作D关于BA，BC的对称点E，F．连接BE，BF．则当M，N是CD与BA，BC的交点时，△MND的周长最短，最短的值是EF的长．

连接BE、BF，

∵D、E关于BA对称，BE=BD，

∴∠ABE=∠ABD，

同理，∠FBC=∠DBC，BF=BD，

∴∠EBF=2∠ABC=60°，BE=BF，

∴△BEF是等边三角形．

∴EF=BE=BD=4．

故答案是：4．

19、答案：4

分析：

解答：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，

∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，

∴MN=ME，

∴CE=CM+ME=CM+MN的最小值．

∵三角形ABC的面积为20，AB=10，

∴1

2

×10×CE=20，

∴CE=4．

故答案为4．

20、答案：3

分析：

解答：如图：CM即为最短距离．

∠BAC=30°，CM⊥AB，

AC=2CM=6，CM=3．

21、答案：5

分析：

解答：如图，作N关于AD的对称点N’，连接MN’，

作BN’’⊥AC于N’’，交AD于M’．

∵BM+MN=BM+MN’≤BN’’，

∴当M与M’，N与N’’重合时，BN’’最小，

∵S△ABC=1

2

·AC·BN’’=15，AC=6，

∴解得BN’’=5，

22

分析：

解答：如图所示，易得CM+MN．

∴可得CM+MN．

23、答案：（1）如图所示：

（2）△ABC是直角三角形．

分析：

解答：（1）如图所示：

（2）△ABC是直角三角形，理由如下：

由（1）可知：AA’⊥OM，AA’’⊥ON，AB=A’B，AC=A’’C，∴∠A’=∠BAA’，∠A’’=∠CAA’’，

∴∠A’AA’’=360°-90°-90°-∠MON=135°，

∴∠BAA’+∠CAA’’=∠A’’+∠A’=180°-∠A’AA’’=45°，

∠BAC=∠A’AA’’-（∠BAA’+∠CAA’’）=90°，

∴△ABC是直角三角形．

24、答案：△PQR周长的最小值为PO=8．

分析：

解答：作P点关于OA，OB的对称点P1、P2，

利用轴对称的知识，证明OP=OP1=OP2，且∠P1OP2=60°，

得到等边三角形OP1P2，

∴△PQR周长的最小值为PO=8．

25、答案：作图见解答．

分析：

解答：如图所示：

作法：

①作点C关于直线AO的对称点点D，

②作点C关于直线BO的对称点点E，

③连接DE分别交直线AO，BO于点M，N，则CM+MN+CN最短．

26、答案：4.8．

分析：

解答：如图，

作PQ⊥AC于点Q，PE⊥AB于E，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴PQ=PE，

要使PC+PQ最小，即使PC+PE最小，

∴当C、P、E共线且CE⊥AB时PC+PE最小，

这时PC+PQ=PC+PE=

8

6

10

=4.8．