四川省遂宁二中2020-2021学年高二下学期期中考试数学(文)试题

四川省遂宁二中2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文）

试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知命题p ：00x ?>，0ln 0x <.则p ?为( ).

A ．0x ?>，ln 0x ≥

B ．0x ?≤，ln 0x ≥

C ．00x ?>，0ln 0x ≥

D ．00x ?≤，0ln 0x <

2．过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为

103

，则|AB|＝（ ） A ．133 B ．143 C ．5 D ．163 3．若双曲线2

221y x m

-=(0m >)的焦点到渐近线的距离是2，则m 的值是（ ）

A ．2

B

C ．1

D ．4

4．下列说法正确的是（ ）

A ．命题“若21x =，则1x =”是真命题

B ．命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆命题是“若2x ≠，则2560x x -+≠”

C ．命题“已知,x y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题

D ．命题“若2x =，则2560x x -+=”的否命题是“若2x =，则2560x x -+≠” 5．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k 的值可以为

A ．6

B ．10

C ．8

D ．4

6．若在221x y +≤所围区域内随机取一点，则该点落在1x y +≤所围区域内的概率是（ ）

A ．1π

B ．2π

C ．12π

D ．1

1π-

7．设不重合的两条直线m 、n 和三个平面α、β、γ给出下面四个命题：

（1）,,m n m n n αβαβ?=?

（2）,,m m m αββαα⊥⊥??

（3）,m m αβαβ??∥∥

（4）,αβαγβγ⊥⊥?

其中正确的命题个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 8．已知θ为锐角，且sin (θ?π4)=√210，则tan2θ= ( )

A ．43

B ．34

C ．?247

D ．247 9．椭圆22

1369

x y +=的一条弦被点(4,2)平分，则此弦所在的直线方程是（ ） A ．20x y -= B ．24x y += C ．2314x y += D ．28x y += 10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（ ）

A ．1712π+

B ．2012π+

C ．1212π+

D ．1612π+ 11．已知函数()sin f x x =，()0,2x π∈，点(),P x y 是函数()f x 图象上的任意一点，其中()0,0O ，()2,0A π，记OAP △的面积为()g x ，则()'g x 的图象可能是( ) A ． B ．

C ．

D ．

12．已知函数3()3f x x x =-，若过点(2,)M t 可作曲线()y f x =的三条切线，则实数t 的取值范围是( )

A ．(6,2)--

B ．(4,2)--

C ．(6,2)-

D ．(0,2)

二、填空题 13．已知1

32a =，23

12b ??= ???

，则()2log ab =________. 14．已知双曲线221x y -=的一条渐近线被圆C:222(2)(0)x y r r -+=>截得的线段

长为r =__________．

15．设命题p ：实数x 满足|1|x a -> (其中0a >)；命题q ：实数x 满足2631x

x --<.

若p ?是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是______.

16．函数3()sin ,11)f x x x x =+<<（-，若2()()0f x f x +->，则实数x 的取值范围是___

三、解答题 17．等比数列{}n a 中，15314a a a ==，

． （1）求{}n a 的通项公式；

（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．

18．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量

x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据

（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程???y

bx a =+； （2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据1求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

(附:42

186i

i x ==∑，4

166.5i i i x y ==∑，()()()1122211n n i i i i i i n

n i i

i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---==--∑∑∑∑，??a y bx =-，其中x ,y 为样本平均值)

19．已知函数()x f x e ax b =-+.

(1)若()f x 在2x =有极小值21e -，求实数,a b 的值；

(2)若()f x 在定义域R 内单调递增，求实数a 的取值范围.

20．如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，

2CB GF =，BF CF =.

(Ⅰ)求证：AB CG ⊥；

(Ⅱ)若ABC ?和梯形BCGF

G ABE -的体积.

21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，

离心率2

e =，点()0,1D 在椭圆E 上.

（1）求椭圆E 的方程；

（2）设过点2F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E 于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(),0G t ，求点G 的横坐标的取值范围；

（3）在第（2）问的条件下，求GAB △面积的最大值.

22．已知函数2()ln ,()()3f x x g x f x ax x ==+-，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴.

(1)求a 的值；

(2)求函数()g x 的极小值；

(3)设斜率为k 的直线与函数()f x 的图象交于两点112212(,),(),()A x y B x y x x ，，证明：2

1

11k x

k .

参考答案

1．C

【详解】

因为特称命题的否定是全称命题，即改变量词又否定结论，

所以p ：00x ?>，0ln 0x <的否定 p ?:

. 故选C.

2．D

【解析】

由题意得p ＝2， ∴1016233

A B AB x x p =++=

+=．选D ． 3．A

【分析】

由双曲线的方程求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，利用点到直线的距离公式列方程求解即可.

【详解】

双曲线()2

2210y x m m -=>的焦点坐标为)

， 渐近线方程为y mx =±，

所以焦点到其渐近线的距离

2d m =

==，故选A.

【点睛】

本题主要考查双曲线的方程、焦点坐标以及渐近线方程，考查了点到直线距离公式的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.

4．C

【解析】 对于A ，若21x =，则1x =±，所以A 不正确．

对于B ，命题“若x 2-5x +6=0，则x =2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2-5x +6≠0”，所以B 不正确．

对于C ，命题“已知,x y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”的逆否命题是“已

知,x y R ∈，若21x y ==且，则3x y +=”为真命题，所以C 正确．

对于D ，命题“若x =2，则x 2-5x +6=0”的否命题是“若x ≠2，则x 2-5x +6≠0”，所以D 不正确．

本题选择C 选项.

5．C

【分析】

执行如图所示的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，根据选项即可得到答案.

【详解】

由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知：

第一循环：134,2146n S =+==?+=；

第二循环：437,26719n S =+==?+=；

第三循环：7310,2191048n S =+==?+=，

要使的输出的结果为48，根据选项可知8k

，故选C. 【点睛】

本题主要考查了循环结构的计算与输出问题，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 6．B

【分析】

不等式221x y +≤表示的区域面积为π，1x y +≤表示的区域的面积为2，利用几何概型概率公式即可得出结论.

【详解】

不等式221x y +≤表示的区域是半径为1的圆，面积为π，

1x y +≤且满足不等式221x y +≤

的正方形，面积为2， ∴在221x y +≤所围区域内随机取一点，则该点落在1x y +≤所围区域内的慨率2π

， 故选B.

【点睛】

本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积.

7．B

【解析】 ,m n m αβ?=时，有可能n ?α ，A 错； αβ⊥,l l αβ???⊥ ，而,m β⊥所以

//l m ，又m α?，

所以m α，B 对；由两平面平行定义知，C 对; ,αβαγ⊥⊥时，β、γ有可能相交，D 错；因此选B.

8．C

【解析】

试题分析：

由sin(θ?π4)=√210得：√22

(sinθ?cosθ)=√210?sinθ?cosθ=15 解方程组：{sinθ?cosθ=15sin 2θ+cos 2θ=1

得：{sinθ=45cosθ=35 或{sinθ=?35cosθ=?45 因为θ∈(0,π)，所以sinθ>0,所以{sinθ=?35cosθ=?45 不合题意，舍去 所以tanθ=43，所以tan2θ=2tanθ1?tan 2θ=2×431?(43)2=?247，故选C. 考点：同角三角函数的基本关系和两角差的三角函数公式.

9．D

【解析】

【分析】

设过A 点的直线与椭圆两交点的坐标，分别代入椭圆方程，得到两个关系式，分别记作①和②，①﹣②后化简得到一个关系式，然后根据A 为弦EF 的中点，由A 的坐标求出E 和F 两点的横纵坐标之和，表示出直线EF 方程的斜率，把化简得到的关系式变形，将E 和F 两

点的横纵坐标之和代入即可求出斜率的值，然后由点A 的坐标和求出的斜率写出直线EF 的方程即可．

【详解】

设过点A 的直线与椭圆相交于两点，E （x 1，y 1），F （x 2，y 2）， 则有22111369x y +=①，22221369

x y +=②， ①﹣②式可得：()()()()121212120369

x x x x y y y y -+-++= 又点A 为弦EF 的中点，且A （4，2），∴x 1+x 2=8，y 1+y 2=4， ∴836（x 1﹣x 2）﹣49

（y 1﹣y 2）=0 即得k EF =

121212y y x x -=-- ∴过点A 且被该点平分的弦所在直线的方程是y ﹣2=﹣

12

（x ﹣4），即x+2y ﹣8=0． 故选：D ．

【点睛】 本题考查了直线与椭圆的位置关系及中点弦问题的求解策略，关键在于对“设而不求法”的掌握．解决直线与椭圆的位置关系,常见方法有：涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出1212,x x x x +?，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．

10．B

【分析】

根据三视图可确定几何体为一个底面半径为3的半圆柱中间挖去一个底面半径为1的半圆柱；依次计算出上下底面面积、大圆柱和小圆柱侧面积的一半以及轴截面的两个矩形的面积，加和得到结果.

【详解】

由三视图可知，几何体为一个底面半径为3的半圆柱中间挖去一个底面半径为1的半圆柱 ∴几何体表面积：()221

112312332132231220222

S ππππ=?-+???+???+??=+

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查几何体表面积的求解问题，关键是能够通过三视图确定几何体，从而明确表面积的具体构成情况.

11．A

【解析】

1()2πsin πsin ,(0,π)(π,2π)2g x x x x =??=∈? ，所以πcos ,(0,π)()-πcos ,(π,2π)

x x g x x x ∈?=?∈'?，所以选A.

12．C

【解析】

设切点为00(,)x y ,则方程2320000000(33)(2),3(33)(2)y t x x x x t x x -=----=--,

32003302t x x -++

=有三解, 令3200332

t y x x =-++,则2000036002y x x x x =-='?==或,因此30,812306222

t t t +>-++

先求ab 的值，再利用对数运算求解即可

【详解】 因为211213

3333122222ab --??=?=?= ???

，所以()13221log log 23ab -==-. 故答案为13- 【点睛】

本题考查指数与对数运算，熟记基本公式是关键，是基础题

14．2

【分析】

先求得双曲线的渐近线，利用直线和圆相交所得弦长公式列方程，解方程求得r 的值.

【详解】

由于双曲线为等轴双曲线，故渐近线为y x =±，不妨设渐近线为0x y -=.圆的圆心为()2,0，

半径为r .

=.故弦长为

==解得2r .

【点睛】 本小题主要考查双曲线的渐近线，考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆相交所得弦长公

式.对于双曲线22221x y a b

-=，渐近线为b y x a =±，对于双曲线22

221y x a b -=，渐近线为a y x b

=

±.直线和圆相交所得弦长的弦长公式为d 为圆心到直线的距离. 15．3a ≥

【分析】

先求命题p ?,q ，再利用p ?是q 的必要不充分条件，转化为集合间的关系，列a 的不等式求解即可

【详解】

:1p x a ->，所以1x a <-或1(0)x a a >+>，

:11(0)p a x a a ?-≤≤+>，

所以满足条件p ?的解集{|11(0)}A x a x a a =-≤≤+>，:{|23}q B x x =-<<，

因为p ?是q 的必要不充分条件，所以B 真包含于A,，所以01312a a a >??+≥??-≤-?

，得3a ≥.

故答案为3a ≥

【点睛】

本题考查充分必要条件，集合间的基本关系，熟记定理，准确计算是关键，是基础题 16．()1,0-

【分析】

先研究函数

()3sin f x x x =+在(1,1)x ∈-上的奇偶性与单调性，然后运用函数的性质求解不等式()()20f x

f x +->.

【详解】

解：因为()y f x =的定义域为(1,1)-，

且()33()sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=--=-，

所以函数()y f x =为奇函数，

因为当(1,1)x ∈-时，()23cos 0f x x x '=+≥恒成立，

所以函数()y f x =在(1,1)-为增函数，

故()()20f x f x +->等价于()()2f x f x >--，即()()2

f x f x >， 根据函数的定义域及单调性可得221111x x x x ?-<?

，

解得11111,0x x x x -<

，故x 的取值范围是()1,0-.

【点睛】

本题考查了函数性质的运用，判断函数的奇偶性一定要注意定义域的分析，函数单调性的判断往往可以借助导数、图像等方法进行研究.

17．（1）()

12n n a -=-或12n n a -= .

（2）6m =.

【解析】

分析：（1）列出方程，解出q 可得；（2）求出前n 项和，解方程可得m ．

详解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=． 由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =．

故()12n n a -=-或12n n a -=．

（2）若()

12n n a -=-，则()123n n S --=．由63m S =得()2188m

-=-，此方程没有正整数解． 若12n n a -=，则21n n S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．

综上，6m =．

点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题．

18．（1）0.70.35y x =+；（2）19.65.

【分析】

（1）由表中数据和参考公式即求线性回归方程；

（2）根据（1）中的线性回归方程进行预测，即得答案.

【详解】

（1）由表中数据可得3456 2.534 4.54.5, 3.544

x y ++++++====. 1

222441466.54 4.5 3.50.7864 4.5?4i

i i i

i b x y xy x

x ==--??∴==

=-?-∑∑， ?? 3.50.7 4.50.35a

y bx =-=-?=. 所以线性回归方程为0.70.35y x =+.

（2）由（1）知线性回归方程为0.70.35y x =+.

把100x =代入，得0.71000.3570.35y =?+=，

所以生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65-=吨标准煤.

【点睛】

本题考查线性回归方程及其应用，属于中档题.

19．(1) 2a e =，1b =. (2) (],0-∞

【解析】

分析：（1）由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组可得2,1a e b ==.

（2）原问题等价于()'0x f x e a =-≥恒成立，据此可得a 的取值范围为(]

,0-∞. 详解：（1）()'x

f x e a =-， 若()f x 在2x =有极小值21e -，

则()()222'20221f e a f e a b e ?=-=??=-+=-??

，

解得：2

1

a e

b ?=?=?.经检验2,1a e b ==符合题意. （2）∵()x f x e ax b =-+，∴()'x

f x e a =-， ∵()f x 在R 上单调递增，

∴()'0x

f x e a =-≥恒成立， 即x a e ≤，x R ∈恒成立.

∵x R ∈时，()0,x

e ∈+∞，∴0a ≤. 即a 的取值范围为(],0-∞.

点睛：本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

20．（I ）证明见解析；（II ）13

G ABE V -=

. 【分析】

（Ⅰ）取BC 的中点为D ，连结DF ，可证明四边形CDFG 为平行四边形，得//CG DF ，由等腰三角形的性质得DF BC ⊥，可得CG BC ⊥，由面面垂直的性质可得CG ⊥平面ABC ，从而可得结果；（Ⅱ）由三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，且2CB GF =，可得2AC EG =，由此2ACG AEG S S ??=，1122

G ABE B AEG B ACG G ABC V V V V ----===.根据面积相等求得棱锥的高，利用棱锥的体积公式可得结果.

【详解】

（Ⅰ）取BC 的中点为D ，连结DF .

由ABC EFG -是三棱台得，平面//ABC 平面EFG ，∴//BC FG .

∵2CB GF =， ∴//CD GF ，

∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF .

∵BF CF =，D 为BC 的中点，

∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.

∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ?平面BCGF ，

∴CG ⊥平面ABC ，而AB 平面ABC ，

∴CG AB ⊥.

（Ⅱ）∵三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，且2CB GF =，

∴2AC EG =，∴2ACG AEG S S ??=， ∴1122

G ABE B AEG B ACG G ABC V V V V ----===. 由（Ⅰ）知，CG ⊥平面ABC .

∵正ABC ?2BC =，1GF =.

∵直角梯形BCGF

∴()122CG +?=CG = ∴11112233

G ABE G ABC ABC V V S CG --?==???=. 【点睛】

本题主要考查面面垂直证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直以及棱锥的体积，属于中档题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.

21．（1）2212x y +=；（2）1(0,)2；（3【解析】

试题分析：

(1)由题意求得1a b ==,则椭圆方程为2

212

x y +=. (2)将直线方程与椭圆方程联立，整理可得t 211242

k =

-+，则t 的取值范围为10,2?? ???.

(3)面积公式：2121 2

GAB S F G y y ?=??-=求导讨论可得GAB ?面积的

. 试题解析：（1）点()0,1D 在且椭圆E 上，1b ∴=，

222222c a b e a a -=== 2

22122a a a ??-== ? ???

，2222a a ∴=-，

22a ∴=，a =∴椭圆E 的方程为2212x y +=. （2）设直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠，

代入2212

x y +=，整理得()2222124220k x k x k +-+-=. 直线AB 过椭圆的右焦点2F ，∴方程有两个不等实根.

记()()1122,,,A x y B x y ，AB 中点()00,N x y ，

则2

112421

k x x k +=+，()2012212221k x x x k =+=+，()002121k y k x k =-=-+， ∴ AB 垂直平分线NG 的方程为()001y y x x k

-=--. 令0y =，得22

002222121

k k t x ky k k =+=-++ 211242k =-+. 0k ≠，102t ∴<<.t ∴的取值范围为10,2?? ???

. （3）21212

GAB S F G y y ?=??-，

而

12

y y -==， 由212t m =+，可得212m t

+=.

所以12y y -==又21F G t =-

，所以MPQ S ?=.

所以MPQ

?1)2t <<

. 设()()31f t t t =-，则()()()2'114f t t t =--.

可知()f t 在区间10,4?? ???单调递增，在区间11,42?? ???

单调递减. 所以，当14t =时，()f t 有最大值127464

f ??= ???. 所以，当14t =时，GAB

?. 22．(1) 1a = (2) 函数()g x 的极小值为()12g =-.(3) 见解析

【解析】

试题分析：（1）求出()g x 的导数，得到函数()g x 的导数，()'1=0g 求出函数的解析式，

利用导数研究函数的单调性，从而求出函数()g x 的极小值；

（2）表示出k ，问题转化为即证21221211ln x x x x x x x x --<<，令()211x t t x => ，即证11ln 11t t t t

，令ln 11k t t t t ，根据函数的单调性证明即可.

试题解析：（1）依题意得，则

， 得

∵函数的定义域为，令得或

函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．故函数的极小值为.

（2）依题意得，

令则

由得，当时，，当时，，在单调递增，在单调递减，又

即.