高二上学期期中考试数学试卷含答案(word版)

2019-2020学年度第一学期期中考试

高二数学试题

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项符合要求。

1．抛物线22y x =的焦点坐标是

A ．10（，）

B ．1

02

（，）

C ．1

04

（，）

D ．1

08

（，）

2．若{a ，b ，}c 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 A ．+b c ，b ，-b c B ．a ，+a b ，-a b

C ．+a b ，-a b ，c

D ．+a b ，++a b c ，c

3．方程22x y x y -=+表示的曲线是

A ．一个点

B ．一条直线

C ．两条直线

D ．双曲线

4．如图1，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M ． 设11A B =a ，11A D =b ，1A A =c ，则下列向量中与

12B M 相等的向量是

A ．2-++a b c

B ．2++a b c

C ．2-+a b c

D ．2--+a b c

5．椭圆221259x y +=与椭圆22

1259x y k k

+=--（9k <）的 图1

A ．长轴长相等

B ．短轴长相等

C ．离心率相等

D ．焦距相等

6．设平面α与平面β的夹角为θ，若平面α，β的法向量分别为1n 和2n ，则cos θ=

A ．

12

12||||

n n n n

B ．

1212|

||||

|n n n n

C ．

1212

|||

|n n n n D ．

1212|||

||

|n n n n

1

7．与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在

A ．圆上

B ．椭圆上

C ．抛物线上

D ．双曲线的一支上

8．以(4,1,9)A ，(10,1,6)B -，(2,4,3)C 为顶点的三角形是

A ．等边三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰直角三角形

9．已知点P 在抛物线24y x =上，点Q 在直线3y x =+上，则||PQ 的最小值是

A ．

2

B C D ．10．在直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=?，1D ，1F 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则1

BD 与1AF 所成角的余弦值是

A B ．

12

C D 11．已知双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的离心率2e =，若A ，B ，C 是双曲线上任意三点，且A ，

B 关于坐标原点对称，则直线CA ，CB 的斜率之积为

A ．2

B ．3

C D 12．已知空间直角坐标系O xyz -中，P 是单位球O 内一定点，A ，B ，C 是球面上任意三点，且向量PA ，

PB ，PC 两两垂直，若2Q A B C P =++-（注：以X 表示点X 的坐标），则动点Q 的轨迹是

A ．O

B ．O

C ．P

D ．P

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．双曲线224640x y -+=上一点P 与它的一个焦点间的距离等于1，那么点P 与另一个焦点间的距离等于 ．

14．PA ，PB ，PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60?，

那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是 ．

15．图2为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，

每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30?．已知礼物的质量 为1kg ，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过 程中每根绳子拉力的大小为 ．

（注：重力加速度g 取29.8m /s ，精确到0.01N ） 图2

16．已知椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是3

2

，当它们与椭圆相交时，这些直线被

椭圆截得的线段的中点轨迹方程是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知空间三点(0,2,3)A ，(2,1,6)B -，(1,1,5)C -． （1）求以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积；

（2）若向量a 分别与AB ，AC 垂直，且||3=a ，求向量a 的坐标．

18．（本小题满分12分）

设抛物线22y px =（0p >）上的点M 与焦点F 的距离为5

2

，到y 轴的距离为2p ． （1）求抛物线的方程和点M 的坐标；

（2）若点M 位于第一象限，直线2y x =-与抛物线相交于A ，B 两点， 求证：MA MB ⊥．

如图3，在三棱锥O ABC -中，G 是△ABC 的重心（三条中线的交点），P 是空间任意一点． （1）用向量，，表示，并证明你的结论；

（2）设OP xOA yOB zOC =++，,,x y z ∈R ，请写出点P 在△ABC 的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）．

图3

20．（本小题满分12分）

已知动点M 与定点(,0)F c 的距离和M 到定直线l ：2a x c =的距离的比是定值c

a

（其中0a >，0c >）．

（1）求动点M 的轨迹方程；

（2）当a ，c 变化时，指出（1）中轨迹方程表示的曲线形状．

如图4，四边形ABCD 为梯形，四边形CDEF 为矩形，平面ABCD ⊥平面CDEF ，

?=∠=∠90ADC BAD ，CD DE AD AB 2

1

===，M 为AE 的中点．

（1）证明：//AC 平面MDF ；

（2）求平面MDF 与平面BCF 的夹角的大小．

图4

22．（本小题满分12分）

已知直线l

：0x y +-=经过椭圆E ：22

221x y a b

+=（0a b >>）右焦点，且与椭圆相交于A ，B 两

点，M 为AB 的中点，OM 的斜率为1

3

（O 为坐标原点）． （1）求椭圆的方程；

（2）若直线l 与圆C ：222x y r +=（0r >）相切，且圆C 的动切线与椭圆E 相交于P ，Q 两点，求△

OPQ 面积的最大值．

A

B

C

D E F

M

2019-2020学年度第一学期期中考试

高二数学试题参考答案与评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项符合要求。

12．解：选择B ．

由2Q A B C P =++-得，()()()Q P A P B P C P -=-+-+-，即PQ PA PB PC =++． 又PA ，PB ，PC 两两垂直，

所以Q 是以PA ，PB ，PC 为三条相邻棱的长方体中与顶点P 相对的顶点． 由OQ OP PA PB PC =+++，

得22222

2()OQ OP PA PB PC OP PA PB PC =++++++．（*） 又OA OP PA =+，所以2

2

2

12OA OP PA OP PA ==++，

同理2

2

2

12OB OP PB OP PB ==++，2

2

2

12OC OP PC OP PC ==++． 三式相加，得2222

332()OP PA PB PC OP PA PB PC =++++++， 代入（*）式，得2232OQ OP =-，即2

||32OQ OP =-（定值）．

所以，动点Q 的轨迹是以O

注：本题也可以采用排除法．分别考虑P 与O 重合和点P 在球面上两种极端情形，研究即得答案．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13． 17 14．

15． 1.41（N ） 16．

3

(2

y x x =-<

注：1、第15小题中，无单位（N ）不扣分；（2）第16小题中，未注明x 不给分．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知空间三点(0,2,3)A ，(2,1,6)B -，(1,1,5)C -． （1）求以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积；

（2）若向量a 分别与AB ，AC

垂直，且||=a ，求向量a 的坐标．

解：（1）由已知(2,1,3)AB =--，(1,3,2)AC =-，……………………………………………1分

所以||(AB =-

2||1AC =；…………………2分

21(1)(3)327AB AC =-?+-?-+?=．……………………………………………………3分

故以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积等于

222||||sin ,||||||14AB AC AB AC AB AC AB AC =-==分 （2）设(,,)x y z =a ，由已知，得222230

3203x y z x y z x y z ?--+=?

-+=??++=?…………………………………………6分

2223

x z

y z

x y z ?=?

?=??++=?……………………………………………………………………………7分 1x y z ?===± ………………………………………………………………………………8分

所以，向量(1,1,1)=a 或(1,1,1)=---a ． (10)

分

18．（本小题满分12分）

设抛物线22y px =（0p >）上的点M 与焦点F 的距离为5

2

，到y 轴的距离为 （1）求抛物线的方程和点M 的坐标；

（2）若点M 位于第一象限，直线2y x =-与抛物线相交于

A ，

B 两点，求证：MA MB ⊥． 解：（1）由抛物线的定义知，点M 到准线2

p x =-

的距离为

5

2

，…………………………………1分 即有

5

22

p +．………………………………………………………………………………2分 解之，得5)0=，1p =． ………………………………………………………3分

所以，抛物线的方程为22y x =， ………………………………………………………………4分 点M 的坐标为(2,2)或(2,2)-． ………………………………………………………………6分

证明：（2）联立直线2y x =-与抛物线22y x =的方程，222y x

y x =-??=?

，……………………………7分

解之，得31x y ?=?

=--?

31x y ?=?=-?

(31A +-

，(31B -

或(31A -

，(31B +-．…………………………………………………10分

又(2,2)M

，所以2(3)5115MA MB

k k --?===--．

故MA MB ⊥．……………………………………………………………………………………12分 注：1、点A ，B 的坐标只需写出一组；2、也可以利用根与系数的关系证明1MA MB k k ?=-（略）． 19．（本小题满分12分）

如图3，在三棱锥O ABC -中，G 是△ABC 的重心（三条中线的交点），P 是空间任意一点． （1）用向量OA ，OB ，OC 表示OG ，并证明你的结论；

（2）设OP xOA yOB zOC =++，,,x y z ∈R ，请写出点P 在△ABC 的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）．

解：（1）1

()3

OG OA OB OC =++．…………………………2分

证明如下：

OG OA AG =+2

3

OA AD =+

…………………………4分 21

()32

OA AB AC =+?+ …………………………6分

1

[()()]3

OA OB OA OC OA =+-+-

1

()3

OA OB OC =++． ………………………………7分 图3 （2）设OP xOA yOB zOC =++，,,x y z ∈R ，则点P 在△ABC 的内部（不包括边界）的充分必要条件是：

1x y z ++=，………………………………………………………………………………………9分

且01x <<，01y <<，01z <<．………………………………………………………………12分

20．（本小题满分12分）

已知动点M 与定点(,0)F c 的距离和M 到定直线l ：2a x c =的距离的比是定值c

a

（其中0a >，0c >）．

（1）求动点M 的轨迹方程；

（2）当a ，c 变化时，指出（1）中轨迹方程表示的曲线形状．

解：（1）设(,)M x y

||

c

a x c

=-．……………………………………………2分

2||c a x a c =-，两边平方，得2222

22()()c a x c y x a c

-+=-，

化简，得动点M 的轨迹方程为22222222()()a c x a y a a c -+=-．……………………………5分 （2）因为0a >，0c >，所以

当0a c =>时，（1）中轨迹方程化为0y =，它表示的曲线是直线x 轴；……………………7分

当0a c >>时，（1）中轨迹方程化为22

222

1x y a a c +=-，它表示中心在原点，焦点在x 轴上，

长半轴长为a

9分

当0c a >>时，（1）中轨迹方程化为22

222

1x y a c a

-=-，它表示中心在原点，焦点在x 轴上， 实半轴长为a

…………………………………………………12分

21．（本小题满分12分）

如图4，四边形ABCD 为梯形，四边形CDEF 为矩形，平面ABCD ⊥平面CDEF ，

?=∠=∠90ADC BAD ，CD DE AD AB 2

1

===，M 为AE 的中点．

（1）证明：//AC 平面MDF ；

（2）求平面MDF 与平面BCF 的夹角的大小．

证明：（1）（法1）

连结CE 与DF 相交于N ，连结MN ．………1分 因为四边形CDEF 为矩形，

A

B

C

D E

F

M

N

所以N 为CE 中点． 图4 又M 为AE 的中点，

所以，在△EAC 中，MN AC //．……………3分

??

?

????MDF MN MDF AC MN

AC 平面平面//?//AC 平面MDF ．……………………………………………………5分 （法2）因为四边形CDEF 为矩形，且M 为AE 的中点，

所以AC DC DA =-………………………………………………………………………………1分

()(2)DF DE DM DE =---

2DF DM =-．…………………………………………………………………………3分

从而AC 与DF ，DM 是共面向量．

又/AC ?平面MDF ，所以//AC 平面MDF ．………………………………………………5分 解：（2）因为四边形CDEF 为矩形，所以DC ED ⊥

又平面ABCD ⊥平面CDEF ，

?ED 平面CDEF ，

平面ABCD 平面CDEF DC =，

所以⊥ED 平面ABCD ．…………………………7分

而?=∠90ADC ，

所以，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴， DE 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，如图5． 图5

设a AB =，由已知，得

??? ??=2,0,2

a a

DM ，()a a DF ,2,0=，()0,,a a CB -=，()a CF ,0,0=．

设平面MDF 的一个法向量为()z y x ,,1=n ，则⊥1n DM ，且⊥1n DF ， 所以?1n 0=DM ，且?1n 0=DF ，

即?????=+=+0

2022az ay z a x a

，取2-=z ，得2=x ，1=y ，即()2,1,21-=n ．

同理，可求得平面BCF 的一个法向量为()0,1,12=n ． ………………………………10分

|

|||,cos 212

121n n n n n n ?=

??2

2011)2(120)2(11122

22222=

++-++?-+?+?=

． 所以，平面MDF 与平面BCF 的夹角为?45． ………………………………12分

22．（本小题满分12分）

已知直线l

：0x y +-=经过椭圆E ：22

221x y a b

+=（0a b >>）右焦点，且与椭圆相交于A ，B 两

点，M 为AB 的中点，OM 的斜率为1

3

（O 为坐标原点）． （1）求椭圆的方程；

（2）若直线l 与圆C ：222x y r +=（0r >）相切，且圆C 的动切线与椭圆E 相交于P ，Q 两点，求△

OPQ 面积的最大值．

解：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22

1122

22

2222

11x y a b x y a b ?+=????+=??， 两式相减并整理，得

2

121221212y y y y b x x x x a

-+?=--+， 即2

2l OM

b k k a

?=-．

所以2211

133

b a -=-?=-．……① ………………………………………………………………2分

又直线l

：0x y +-与x

轴的交点为0)，

由已知，得222a b -=．……②…………………………………………………………………3分 联立①②，解得23a =，21b =．

所以，椭圆的方程为2

213

x y +=．………………………………………………………………5分

（2）由直线l

：0x y +=与圆C ：222x y r +=（0r >）相切，得

r =，所以1r =，圆C ：221x y +=． …………………………………………6分

又设动切线PQ ：x my n =+，

（注：如果设为斜截式，需分斜率存在和不存在两种情况讨论，若未讨论酌情扣分）

由22

13

x my n x y =+???+=??，消去x ，得222(3)230m y mny n +++-=．………………………………7分

所以12|||PQ y y =-

=

=．………………………………………………………8分

又直线PQ ：x my n =+与圆C ：221x y +=相切，

1=，即2211n m =+≥

，从而||PQ =． 所以，△OPQ

面积2

1||

||122

OPQ n S PQ n ?=

?=+

||||

n n =

≤

=

+

………………………………9分 令2

||||

n n =

，解得||1n =≥，相应的||1m =． …………………………………………10分 所以，使△OPQ 面积最大的直线PQ

共有四条：0x y ±+=

和0x y ±=． 故△OPQ

面积的最大值为2

．………………………………………………………………12分