非球面光学元件检测方法

非球面光学元件检测方法

学院：光电学院

学号： 2520120037

姓名：张宇碟

2012 年11 月

摘要：随着当今社会生活要求的提高，非球面在越来越广泛的领域所运用，因

此非球面的质量迫切需要提高，非球面的检测技术成为研究的热点。该文阐述了光学投影式、郎奇检验法、曲面CGH全息图检测法和双波带板产生径向剪切干涉法四中比较热门的非球面检测法，介绍了上述几种方法的原理、光学系统和数据处理方式，并且归纳了检测技术总体的发展趋势。

关键词:非球面；检测方法；郎奇光栅；波带板；剪切干涉

1 绪论

1.1 非球面的定义以及检测方法的分类

1.1.1 引言

人们在几百年前就认识到非球面光学元件在光学应用上相对于球面光学元件有很多优势。但是由于受到加工水平和加工工艺的限制，一直以来非球面光学元件没有得到真正的广泛应用。直到上世纪七十年代，非球面镜片才开始不断的被应用到实际生产中。由于实际生产的需要，人们不断的尝试加工出更精确的非球面光学元件，因此非球面光学技术得到发展。八十年代后，由于计算机的应用和激光干涉技术的发展，非球面技术得到了蓬勃的发展。

非球面光学元件的面形质量直接影响其成像质量，是其广泛应用的最关键的技术之一，面形质量就是指加工制成的表面形状和理论形状的符合程度。对光学表面来说，表面的实际形状相对于理论形状允许一定的偏差。一般用光的波长的几分之几来表示。光学元件的面形检测就是指找到实际面形相对于理论形状的偏差。找到这个偏差就是检验的基本目的。 1.1.2 非球面的定义：

非球面是相对于球面定义的，球面是由一个参数，即球面半径来决定它的面形，而非球面可以拥有多个参数，参数之间没有一定的关系可循，可以是连续变化的。按照有无回转轴可以将非球面划分为两大类：有回转轴的包括抛物面、椭圆面等；没有回转轴的包括离轴抛物面等[1]。

面上每一点的曲率半径都相同的面为球面。而面上每一点的曲率半径随着曲面的位置而改变的面就是非球面。非球面分为凸非球面和凹非球面两大类，包括双曲面、抛物面、椭圆面等等。非球面也可以理解为除了球面以外的曲面。

表示非球面的常用公式：

() +++++-+?=

8866442

221X A X A X A X k L L X shape Z （1）

式中：X 表示距非球面对称轴的水平距离，L 表示顶点曲率半径，k 表示二次曲

线常数，4A 、 6A 、表示非球面修正系数，??

?-+，凸面

，凹面

11shape ，Z 表示非球面的旋转对称轴上的对应值。若式中的2X 换成22Y X +则表示相应的旋转曲面。

当非球面修正系数4A 、 6A 都为零时，上式可以写成二次圆锥曲线方程：

()2

2

21X

k L L X shape Z +-+?=

（2）

当L 值相同时，k 变化与形状的关系：

0>Z 凹面 0

0>k 绕短轴旋转的扁椭球面

1.1.3非球面检测方法的分类

在16世纪，牛顿、卡塞格林、格力哥里等人就在天文反射望远镜中应用了二次非球面镜。但由于非球面镜自身的几何特点使得其加工与检测存在很大难度，所以使得非球面光学元件的发展和应用受到很大的制约，其中非球面光学元件检测技术是制约其应用的关键之一。随着计算机技术的发展和激光的出现，非球面光学元件检测技术得到了较快的发展。要获取高精度的非球面检测结果，就必须采用合适的检测分析方法，一方面适当扩展仪器的检测范围，另一方面尽可能地降低仪器的检测误差。

非球面光学元件检测方法有很多，但没有一种通用的方法可以测量所有类型的非球面光学元件。一般要根据非球面的类型和条件选择合适的检测方法。本文着重介绍按照原理的分类，大致分为三类：几何光线法，主要是运用光的直线原理；干涉法，主要是运用光的波动性原理；直接面形轮廓法，主要是运用测头扫描被测镜面。各类方法中包含了多种具体的检测方法；非球面光学元件检测方法又可分为接触式检测和非接触式检测。最初发展的是接触式检测，是利用机械探针轮廓仪（二维或三维）、三坐标测量仪等扫描被测表面得出其几何轮廓并分析面形参数。由于接触式检测要和被检测面接触，所以容易损伤被测面，而且不容易检测断口。另外对硬度较大的材料容易损伤机械探头。在这种情况下，非接触式检测的研究得到了广泛的重视。非接触检测有刀口法、哈特曼法等几何光线检测法和干涉法。干涉法有轮廓投影法、补偿干涉法、计算全息法、剪切干涉法、原子探针测量法、莫尔条纹法等等。干涉法的高灵敏度使其成为高精度定量检测非球面的主要途径。

?????

?????

??????

?

?

???-??

??

?

?

?

?

??

?????????

???????............三坐标测量法

直接面形轮廓法欠采样法双波长全息法

剪切干涉法非零位检测莫尔条纹法补偿法计算全息法零位检测干涉法郎奇法哈特曼常数法刀口阴影法

几何光线检测法 1.2 本课题的研究目的和意义

通过对本课题的研究，熟悉这种非球面检测技术的原理，以及在实际操作中

需要注意的事项，通过比较得出各种方法的优、缺点，分析影响检测精度的因素和各种检测方法的适用范围。

了解各种检测方法的原理、注意事项，完善自己在这方面的理论知识，为自己在以后的工作、学习过程中遇到此类问题作铺垫。也可以考虑将至少两种检测方式相结合创造出一种全新的检测方式，可能会进一步提高检测精度。

2 非球面光学元件检测方法的概述

2.1 光学投影式

2.1.1 基本原理

利用计算机软件控制空间光调制解调器（SLM）形成检测所需的图样，此调制图样经过光学系统投射到光学元件上，得到反射图样，再进行后期数据处理。该系统可以完成对反射图样的判读处理、自动采集、波面和波差值的三维立体图[2]，原理框架图如图1所示。

图1 非球面检测原理的框架图

为了更好的达到实验设计的要求，实验之前，对某些数值需要进行计算机模拟。模拟过程的光学原理：系统投射出的平行光经过非球面被测物体反射到投影系统，经过投影系统的透射与立方棱镜的反射最后投射到CCD摄像机的接收面。

进行计算机模拟的目的：

（1）完成理论计算，被测元件与参考球面垂轴距离y，CCD摄像机接收面上检测距离d，算出他们之间的公式关系；

（2）借助计算机和C语言，模拟出垂轴距离，与计算出的垂轴距离作比较，并输出各自的数据；

（3）根据输出的数据，利用excel进行制表，作出根据理论计算得到的非球面曲线和模拟出的非球面曲线。

2.1.2 理论计算

将半反半透镜'P、透镜L、接收屏和非球面按照如图2所示放置，向此光路系统透射入一与光轴平行的光线HA，经透镜L汇聚交于非球面，再反射到透镜L 上，形成另一束与光轴平行但方向相反的光线BG。若此时将非球面换为参考球面，球心与透镜L的焦距重合，光线按原路返回。假设非球面与参考球面的同球心误差为h，平行入射光线与平行反射光线在接收屏上的间距为d，取非球面的方程为抛物线方程进行理论计算。

图2 光路计算原理图

（1）已知非球面截面的方程，计算待测距离d 的值。

非球面的抛物线方程为

px y 22= (焦点为

（p/2，0）） （1） 本文中我们选择的参考球面为近似法。如图2中所示，球心为点O （R ，0），半径为R 。在非球面截面上任意取一点P （0x ,0y ）,过P 点且与x 轴平行划一直线，相交参考球面于点1P (10,y x )，则两截面在y 轴上的偏离量为01y y -=δ，若被检非球面最大口径为max D ，对应的x 轴的坐标为max x ，则球面对应的最大口径用公式表示为2max 2max 0)(x R R D --=，则要求：

εδ≤---=2

max 2max max )(x R R D （ε是可控制的数值） （2）

则参考面的半径满足以下条件

max max

22max max max 22max 2)(2)(x x D R x x D +-≥

≥++εε （3） 已知参考球面的方程为

()222R y R x =+- （4） 对于非球面曲线上的任意点()00,y x P 来说，其P 点的垂轴距离为

002px y ±= （5） 连接P 点与参考球面的球心O 点，连线OP 交球面于()11,y x P ，不难求出，

()h R x h R x ++=

01，h

R Ry y +=0

1。代入（4）式中可得：

R x R h -+=2

02 （6）

P 点在接收面M 上对应的点为()222,y x P ，其中，1

12x R f

y y -=

。 则非球面截面与参考球面在P 点和'P 的切线方程分别可以表示为： P

x x x y y 0

021-=

- （7）

1

21

11

1

21

x R x

Rx x x y y ---=- （8）

则两切线间存在夹角θ，那么θcos 为：

()???? ??+?

??? ??+--+--=

12121

22cos 02

12111

2

110

P

x x R x Rx x R x Rx P

x θ （9）

若焦距为f 的透镜，且接收面与透镜间的距离为L ,此时设P 点的反射光与入射光间的夹角为α，则存在θα2=的关系，令

AP

AB

≈αsin

其中：()()?????+=

+++=αα

sin sin 2

22

2

2

2

f y HG h R f y AB （10）

则可求的待测距离d 为 ()f

f L AB L HG d -?-?=

（11）

（2）根据测量出的距离d ，则可计算对应的非球面和参考球面之间的垂轴距离。

由已知条件可得：

??

???+=--=2

22

1

2

1

21

f y Ry y y R R x （12） 根据几何关系得出：

L

f L d AB d HG -=

-- 其中：()()???

?

?+=

+++=α

αsin sin 2

22

2

22

f y HG h R f y AB （13）

化简上式可得 ()

f L R f y f

df

--+=

2

22

sin α （14）

若OP 与光轴间的夹角为β，P O '与光轴间的夹角为γ，由此得： f

y 2

tan =

β，αβγ-= （15） 则γ

αsin )

(sin 'h R OO +=

（16）

()0

0'tan tan x R OO x R -+-=

βγ （17）

()γ

βγ

βtan tan tan 'tan 0-+-=

R OO R x （18）

根据几何关系得： β

cos 0

x R R h --

= （19） 由于h 远远小于R ，则有γ

α

sin sin 'R OO =

。将'OO 代入上述公式中计算，再用R x R h -+=2

02进行循环补偿10次，就能确定h 值。最后就能计算出垂轴距离0

y 的值：

βsin 10h y y += （20）

以上是理论计算部分，由于各种条件的限制，接下来简要介绍下计算机模拟，与理论计算相似，也是分为那两个步骤，主要是运用C 语言编程。在已知非球面与参考球面的曲线方程，在非球面截面上任取一点（即不同的横坐标0x 值），输入到程序中，模拟计算出接收面上的待测距离d 。下一步就是根据模拟到的d 值，输入到编程软件中，模拟计算出对应的非球面与参考球面的垂轴距离。

通过理论计算与模拟计算得到的一系列数据，用Excel 制表作图，更直观的表现出理论计算与模拟出的非球面曲线，计算出他们之间的误差。

2.2 郎奇检验法

2.2.1 系统组成及工作原理

此检测方法选用的装置包括光源、Ronchi 光栅（透射式黑白线性光栅）、CCD 图像采集装置和被检反射镜面，如图3所示。

透射过的Ronchi 光栅的像经过被测非球面的反射回落到光栅上，前提是光栅在被放置在非球面的曲率中心位置，从而产生莫尔条纹，根据莫尔条纹的变形

来计算出被检镜面的面形误差，其中的莫尔条纹可以看作是由衍射和干涉共同作用产生的结果。其检测具体过程如下：

（1）绘制及刻划Ronchi 光栅，分为两个步骤：第一步是根据被加工镜面的方程和检测光路来计算出郎奇光栅方程。一般来说，检测非球面镜面得到的Ronchi 条纹都是弯曲的，而不是直线，对于技术人员来说，更难于测量。而且弯曲的条纹容易由于衍射效应导致条纹扩散，为测量带来了困难。这时就要用特殊的补偿光栅上的刻线曲率来补偿镜面的非球面度，产生宽度固定的直条纹。第二步就是根据上述计算得到的郎奇光栅方程刻划出对应的郎奇光栅。 （2）将上面刻画好的光栅置于检测光路中，并安装在一个可以径向转动?90的旋转台上，这样就可以实现二维测量。

（3）图形的采集和数据处理。利用CCD 采集条纹图像并输入到计算机中进行对条纹的数据化。再与计算机数据库中的理想条纹作比较，从而计算出被检镜面的面形误差[3]。

图3 Ronchi 光栅测量系统示意图

2.2.2 光栅频率及灵敏度分析

在镜面加工的初阶段面形误差变化非常大，特别是在精磨和初抛光过程中，变化大约为m μ200到m μ2，因此在方便测量的前提下，就需要合理选择适当频

率的光栅。若光栅与光源间的距离为L 且有()

1

42

2-≤R Rp L λ，此时有一下关系： ()?

???????????????

?++??? ??=2

/12/251110D R R D R p λλ

其中p 为光栅缝宽，λ为检测光源的波长，R 为镜面的顶点曲率半径，D 为镜面的口径，R ?为非球面度[4]。

由图4可以看出，当镜面的非球面度（垂直于纸面的坐标轴）不变，F 数（平行于纸面的坐标轴）越大，光栅的缝宽（纵轴）就越宽，当F 数不变时，镜面的非球面度越大，光栅的缝宽就越大。由三者间的这种关系就可知，光栅频率必定存在一个最小值，找出这个最小值，对于大口径非球面的检测至关重要。在测量过程中，若光栅的频率小于这个最小值，就会导致测量数据不准确。假设被测镜面为抛物线镜面，其方程为X Y 160002=，F 数为2，非球面口径mm D 2000=，可以计算出其最大非球面度为m μ035.61，光栅最大缝宽为m μ42.45，那么测量过程中的试用的光栅频率不能低于11线对/mm （假设光栅的缝宽与夹缝间隔相等）。在实际检测中，非球面度不同的镜面都有其对应的最大非球面度，从而计算出光栅的最小频率。

图4 光栅周期与镜面参数关系

由以上的分析可以知道，条纹变形与镜面变形有关，那么可以将郎奇检测法的灵敏度定义为镜面面形的变化导致光栅条纹的变化，这样我们测到的光栅条纹变化越小，则灵敏度越高。用公式表达就是：R X ??=/δ,δ为灵敏度，X ?为光栅条纹变化，R ?为镜面面形（局部曲率半径）变化。在实际检测中，灵敏度的表达式也可为()2L R pL --=δ，从式中可以看出，灵敏度只与光栅频率有关，光栅频率越高，灵敏度越高；光栅频率越低，灵敏度越低,如图5。假设有一个410mm 口径的抛物线镜面，其方程为X Y 24002=，选用口径为30mm 的光栅，

μ，则可计算出光栅缝宽为0.142mm，若测200如果要测的镜面面形误差为2m

μ的误差，则计算出光栅缝宽为14.2mm。在非球面精磨与初抛光的加工阶段m

中，镜面的误差不同，就需要使用不同频率的光栅进行检测，精磨阶段误差大，需要使用低频率的光栅，初抛光阶段中镜面的误差小，需要使用高频率的光栅。

μ到那么改变光栅频率（光栅缝宽p）就能使其测量的灵敏度发生改变，实现2m μ范围内的镜面面形误差检测[4]。

200m

图5 光栅周期与灵敏度间的关系

2.2.3 数据处理

数据处理过程中使用到的软件包括：1）计算绘图软件：计算及绘制出光栅条纹以便刻划出光栅，且在计算机中存储一个标准的理想Ronchi条纹。2）图像采集软件：将采集到的光栅条纹以灰度矩阵的形式保存到计算机里面。3)面形分析软件包：将采集到的条纹与标准条纹作比较，计算出被检镜面的面形误差；并且能对误差进行深度处理，形成类似干涉图的检测图。4）灵敏度分析软件包，镜面在精磨与初抛光阶段需要运用到不同灵敏度的检测装置，这个软件就是用来检测灵敏度的软件，从而选择合适频率的光栅。基本流程图如图6

图6 Ronchi检验流程框图

像象差算法的基本思路。

在检测系统中，出射光的波象差表示为

r TA x W

x -=??，r TA y W y -=?? （1） 式中r 为波面的曲率半径。

假设郎奇光栅的缝宽为d ，光栅与y 轴的夹角为?，那么第m 个条纹上的点

()y x ,可以表示为：

r

md

y W x W -

=??-????sin cos （2） 如果被测镜面是连续变化且不对称的，那么可以用第k 级的二维多项式进行表面拟合

()j i j j

i i

j ij y x B y x W -==∑∑=00, （3）

其对x 和y 的偏导数分别为

()j i j j i k i i

j y x B j x W -++-==∑∑+=??1,11001 （4） ()j i j i k i i

j y x B j i y W -+-==∑∑+-=??11001 （5） 则有

()()[]d r

y x m y x m y W

x W ,,sin cos 0--=??-???? （6） 式中()y x m ,为实际郎奇图中某点()y x ,的值，()y x m ,0为在完善郎奇图同一对应点的计算值。此时取光栅刻线与y 轴的夹角?=0?和?=90?，其对应的两个()y x m ,值分别为()y x m x ,和()y x m y ,。图形公式为 ()()[]d r

y x m y x m x W

x ,,0--=?? ()?=0? （7）

()()[]

d r

y x m y x m y W y ,,0--=?? ()?=90? （8） 用最小二乘法使差分函数()0m m y -拟合第()1-k 级次的二维多项式，得出：

∑∑-==-=??100

k i i

j j i j ij y x C x W （9）

∑∑-==-=??100k i i

j j i j ij y x D y W （10） 联系式（4）（5）（9）（10）比较与计算能够得出：

???-==???? ??-+=----1,...,3,2,1,...,3,2,211,11,1i j k

i j i D j C B j i j i ij （11） 确定系数ij B 以后，利用式（3）就能计算得到波面偏差()y x W ,。假设Z 表示非球面，0Z 表示球面，就有：

()()()y x W y x Z y x Z ,2,,0=- （12） 用公式（12）可以计算出任一个非球面的理想郎奇图，便能求出被测镜面的面形偏差。

2.3 曲面CGH(计算全息图)检测法

2.3.1 曲面CGH 检测凹非球面的基本原理

全息图检测法按照制作方法不同分为光学全息图检测法和CGH 检测法，本节研究利用曲面CGH 与补偿镜相结合形成的光学系统，达到补偿位相差的效果，检测凹非球面镜面[5]。

图7 用CGH 检测的光路图

如图7所示，激光经过显微物镜和针孔后产生的标准球面波，垂直照射到附有CGH 的透镜上，一部分光被反射，一部分光发生衍射作用。反射光作参考波，衍射光中的1级光再垂直照射到被检非球面并反射，非球面反射的光波与透镜反射光波经分束镜反射并经过光阑滤波后有成像透镜成像到CCD 上[6]。 2.3.2 曲面CGH 的位相函数

在实际检测中将CGH 刻制在补偿镜的凸面上，如图8所示，则可以计算出CGH 的位相函数。

图8 CGH 位相函数的几何定义

设'OPL 为抛物面上离轴物点到像点I 的光程，0OPL 为抛物面上共轴物点到像点I 的光程，r 为带有CGH 的非球面镜面口径，则有：

()I H H C C O r OPL ''''''++= （1）

()()()222''''''''z z y y x x O C O C O C C O -+-+-= （2）

()()()222''''''''z z y y x x C H C H C H H C -+-+-= （3）

()()()222''''z z y y x x H I H I H I I H -+-+-=

（4）

()HI CH OC r OPL ++=0 （5） z z O C OC -= （6） z z C H CH -= （7） z z H I HI -= （8） 因此CGH 的位相函数为：

()()()r OPL r OPL r W CG H -=' （9） 确定好元件位置后，CGH 位相函数可表示为：

()()()r W r W r W p f CG H += （10） 式（10）中，()2r r W f ∞可调节光角度，成像与光轴不同位置，以便分离其他级次的杂散光，()r W p 用来补偿理想凹非球面与理想球面之间的部分位相差[7]。 2.3.3 CGH 的衍射特性

经过CGH 的补偿镜后，各级衍射波表达式为：

()[]()()()()∑=++=m

in c m r iW r iW r imW A r W H λπλπλπ/2/2/2exp

()()()()+++--λπλπλπ/2/2/2exp ...1r iW r iW r iW A in c ()()()++λπλπ/2/2exp 0r iW r iW A in c

()()()().../2/2/2exp 1λπλπλπr iW r iW r iW A in c ++

(),sin m m D c D A = D A =0 ()p f W W r W += （11） 式(11)中：A 为各衍射级次的系数值；D 为计算全息图的占空比；m 为各衍射级次；()r W c 为标准球面波的位相。其中1+=m 级的波为使用波的级次，其他级次的波使其成像于光轴不同的位置，1+=m 级次的波经凹非球面反射并经带有CGH 和全息图的补偿镜后汇聚于一点，形成1'+=m 级次波。在光波汇聚处加一个光阑形成滤波器，达到滤波效果，如图9所示。不仅减少了检测系统的元件数量，而且使测试变得更加容易。同时在补偿镜刻制之前，使用计算全息图对补偿镜进行补偿，提高制作精度，降低费用。

图9 空间滤波器的滤波效果

2.4 双波带板产生径向剪切干涉

2.4.1 双波带板产生径向剪切干涉的基本原理

剪切干涉是使用某种特殊装置将一个具有空间相干性的波面进行分裂，得到具有一定错位的两个相同或者相似波面，这样的两个波面在重合区域会形成干涉条纹，通过分析干涉条纹的形状可以得到原始波的相关信息[8]

。

菲涅耳波带板是由一组半径为r k k λρ=的同心圆构成的明暗相间的环带，

k 为正整数，λ为光源的波长，r 为焦距。菲涅尔波带板不仅可以达到透镜成像的作用，还可以达到分光的作用，不过与普通的分光器不同，它的部分透射光线

会发生菲涅尔衍射效果[9]。图10是基于双波带板而产生径向剪切干涉光路图。1ZP ，2ZP 为菲涅耳带板，其焦距取1f 和2f ，当在距离1ZP 带板d 的位置放置一个光阑D ，

存在21f f d -=的关系时，则光波通过光阑后将发生径向剪切干涉，在接收屏P 上形成条纹[5]。

图10 剪切干涉光路图

2.4.2 径向剪切干涉的波面求解

极坐标系中分别定义待测波面、两个相干波面为()θ,R W ,()θ,r W 和()θ,rs W ，得到的干涉图的强度分布为：

()()[]()[]()[]{}θθθθ,cos 22,exp ,exp ,2

2

r kW A rs ikW A r ikW A r I OPD +=+= （1）

其中，()()()θθθ,,,rs W r W r W O PD -= （2） 为两相干波的波相差。将（2）式中两边的径向变量r 同时乘上s 得到： ()()()θθθ,,,2rs W rs W rs W O PD -= （3） 重复以上步骤n 次后并化简得：

()()()∑=-=n

i n i OPD rs W r W rs W 0,,,θθθ （4）

当式（4）中n 较大时，()

θ,n rs W 退化为波面中心点，波面为常数0W ：

()()∑=-=n

i i OPD W rs W r W 00,,θθ （5）

由于()θ,R W ，()θ,r W 相似，可以将式（5）中的r 换成R ，得到下式： ()()∑=-=n

i i OPD W Rs W R W 00,,θθ （6）

通过干涉条纹图案解调获得()θ,i O PD Rs W 。 2.4.3 共光路径向剪切干涉仪

干涉仪的原理光图如图11所示。激光器1发出激光束经过光阑2扩束、滤波后投射到透镜3上，经过准直后到达反射镜4，再经分光镜5分光部分光束分离出光路系统，部分光束方向不变照射到被测非球面6上。图中7是一个高精度

的凸面镜，且凸面镜的曲率中心与被测非球面的焦点重合。这样透射过非球面6的携带非球面信息的光束经凸面镜反射按原路返回，再经分光镜5反射到菲涅耳波带板8,9上，对光束进行剪切，由光阑10滤波后在接收屏11上产生干涉条纹，CCD 摄像机将接收到的干涉条纹输入到计算机13中进行处理。

图11 干涉仪的光学系统图

2.4.4 条纹图的处理及波面面形的重建

本节利用傅里叶变换方法对干涉条纹进行处理后干涉条纹的光强为： ()()()()[]y x x f y x b y x a y x g ,2cos ,,,0φπ++= （7） 式（7）中()y x a ,为背景光强，()y x b ,为振幅，()y x ,φ为波面位相差。首先要将式（7）转化为指数形式，才能使用傅里叶变换对干涉条纹进行分析、处理： ()()()()()()x jf y x c x jf y x c y x a y x g 0*02exp ,2exp ,,,ππ-++= （8） 式（8）中，j 和*表示虚部和共轭，()()()()[]y x j y x b y x c ,exp ,2/1,φ?=。对（8）式中的x 进行傅里叶变换：

()()()()y f f C y f f C y f A y f G ,,,,0*0++-+= （9） 其中，G ,A ,C 分别为g ，a ，c 的傅里叶变换，f 为x 方向上的空间频率。当载频0f 慢慢增大，增大到一定程度的时候，就能充分拉开正、负一级和零级谱分量间的距离。使用滤波器可以得到正一级的谱分量，并移频到几点位置，得到

()y f C ,，再进行傅里叶变换：

()()[]y f C F y f c ,,1-= （10） 求出原始波面的相位分布：

()()[]()[]?

?????=-y x c y x c y x ,Re ,Im tan ,1φ （11）

()y x ,φ和()y x W OPD ,存在关系为：

()()y x W y x OPD ,/2,λπφ= （12） 根据（6）式可以算出被检波面的任意点的面形差分，对x 积分得到：

()()dx y x W y x W O PD x ,,?= （13） 式(13)为x 方向的波面面形表达式，同理可以求出y 方向的波面面形()y x W y ,的表达式，这样就能得到整个被测非球面的面形偏差。

4 非球面检测技术的发展趋势

非球面镜相对于球面镜来说，具有相当大的优势，被广泛运用于军事、天文等各种领域，所以近几十年来对非球面检测方法的研究也是乐此不疲。上世纪六七十年代非球面检测技术的兴起，才为大批量生产非球面带来可能，到了八十年代，随着激光与计算机的发展，检测技术得到了快速发展。在所有非球面镜面的检测技术中，虽然早期的传统检测技术已经日趋完善，依旧满足不了现加工阶段的测量精度，具有灵敏度高、测量精度高等特点的干涉法逐渐成为主流。

最近提出的利用ZYGO数字干涉仪和计算机全息术相结合的新技术检测非球面面形，这种方法使用菲索干涉仪光路，不仅保留了干涉仪本身带有位相处理机能，还能通过设计光路，消除波面变形导致的测量误差[11]。

参考文献

[1] 王洪臣，二次旋转曲线法线等距离线加工法及机床研制[D].长春：长春理工大学，2006

[2] 段存丽，田爱玲，陈志超.光学非球面器件检测新方法探究[J].应用光学，2004,5.

[3] 雷柏平，伍凡，陈强.大口径非球面Ronchi光栅测量方法[J].光电工程，2007,5

[4] 高海滨，二次曲面镜的郎奇检验灵敏度及精度分析研究[D].烟台：烟台大学，2008

[5] 刘华，卢振武，李凤有，张红鑫.计算全息图检测大口径凹非球面系统的研究[J].红外与激光工程，2007,3

[6] 卢振武，利用曲面计算全息图进行非球面检测[J].光学精密工程，2004,6

[7] 刘华，利用曲面计算去稀土检测非球面[R].长春：中国科学院长春光学精密机械与物理研究所，2006

[8] 张斌，马力，王鸣，贺安之，使用双波带板径向剪切干涉仪检测非球