新人教版九年级数学上册讲义

九年级上册数学讲义

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第二十一章 一元二次方程

1、 一元二次方程 方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如

ax bx c a 200++=≠（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。其中ax bx c 2，，分别叫做

一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a 、b 分别是二次项和一次项的系数。

如：24102

x x -+=满足一般形式ax bx c a 2

00++=≠（），2412

x x ，，-分别是二次项、一

次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。 注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。

●夯实基础

例1 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。

（1）

272y y =-

（2）

()()512152y y y +-=-

（3）()m x n mx x 2

2

10++-=（是未知数）

例2 已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围．

例3 若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________．

●能力提升

例4若方程（m-1）x 2+ x=1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠1 B ．m≥0 C ．m≥0且m≠1 D ．m 为任何实数

●培优训练

例5 m 为何值时，关于x 的方程2

((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程．

第一讲 一元二次方程的定义

例6关于x 的方程（m+3）x m2-7+（m-3）x+2=0是一元二次方程，则m 的值为

例7（2000?兰州）关于x 的方程（m 2-m-2）x 2+mx+1=0是一元二次方程的条件是（ ）

A ．m≠-1

B ．m≠2

C ．m≠-1或m≠2

D ．m≠-1且m≠2

●课后练习

1、m 为何值时，关于x 的方程2

((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程．

2、已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围．

3、已知关于x 的方程22()(2)x a ax -=-是一元二次方程，求a 的取值范围．

4、若2310a b a b x x +--+=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．

5、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为________

（1）直接开平方法

形如x m m 2

0=≥（）的方程都可以用开平方的方法写成x m =±，求出它的解，这种解法称为直

接开平方法。 （2）配方法

通过配方将原方程转化为()x n m m +=≥2

0（）的方程，再用直接开平方法求解。

配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。 配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。 （3）公式法

求根公式：方程ax bx c a 2

00++=≠（）的求根公式

x b b ac a

b a

c =-±--≥224240（）

步骤：

1）把方程整理为一般形式：ax bx c a 2

00++=≠（），确定a 、b 、c 。 2）计算式子b ac 2

4-的值。

3）当b ac 2

40-≥时，把a 、b 和b ac 2

4-的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。

（4）因式分解法

把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。

●夯实基础

例1、（2012?鄂尔多斯）若a 是方程2x 2-x-3=0的一个解，则6a 2-3a 的值为（ ） A ．3 B ．-3 C ．9 D ．-9

例2（2011?哈尔滨）若x=2是关于x 的一元二次方程x 2-mx+8=0的一个解．则m 的值是（ ）

A ．6

B ．5

C ．2

D ．-6

例3用直接开平方法解下列方程

（1）()x +-=2302

（2）231182

()x += (3)2269(52)x x x -+=-

例4先配方，再开平方解下列方程

（1）x x 2440--= （2）2372

x x =- (3) 211063

x x +-= (4) 231y +=

第二讲 一元二次方程的解与解法

例5 用公式法解下列方程

（1）x x 2320-+= （2）2122x x -=-

（3）()x x +=-132 (4)1

(61)432(2)2

x x x x ++-=+

例6 用因式分解法解下列方程

（1）23302x x --= （2）24545002

x x --= （3）t t 2

2220-+=

●能力提升

例7（2011?乌鲁木齐）关于x 的一元二次方程（a-1）x 2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a 的值为（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．-1或1

例8关于x 的一元二次方程（a-1）x 2+ax +a 2-1=0的一个根是0，则a 值为（ ） A ．1 B ．0 C ．-1 D ．±1

例9已知a 、β是方程x 2-2x-4=0的两个实数根，则a 3+8β+6的值为（ ）

A ．-1

B ．2

C ．22

D ．30

例10解方程：22(32)60mx m x m -++=

●培优训练

例11解方程：2

x 2x 240++-=

例12（新思维）设x 1、x 2是方程240x x +-=的两个实数根，求代数式3212510x x -+的值．

例13已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程31

1

=-+x x 的解相同． （1）求k 的值；

（2）求方程022=-+kx x 的另一个解．

课后练习

一、填空：

1. 一元二次方程的一般形式是______________________。

2. 一元二次方程3562

x x =+的一般形式是_________________________________，a=___________，b=___________，c=___________。

3. 关于x 的方程()m x mx ++-=12302

是一元二次方程，则m 的取值范围是___________。 4. 关于x 的方程()()m x m x m 2

2420-+-+=是一元二次方程时，m 的取值范围是___________，是一元一次方程时，m 的取值范围是___________。 二、下列方程中，是一元二次方程的为（ ）

A ．x 2+3x=0

B ．2x+y=3 C

D ．x （x 2+2）=0

三、解方程：

1.

x x 2560-+= 2. x x 2222-= 3. x x 237

4

0--= 4. ()x x -+-=15302

四、解关于x 的方程：2(1)(21)30m x m x m -+-+-=．

一元二次方程根的判别式的定义

运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac

x a a -+=，显然只有当2

40b ac -≥时，才能直接开平方得：

2b x a += 也就是说，一元二次方程

20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ?=-≥时才有实数根．这里2

4b ac -叫做一元二次方程根的判别式．

4、判别式与根的关系

在实数范围内，一元二次方程

20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由2

4b ac ?=-确定．

设一元二次方程为

20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ?=-则 ①0?>?方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．

②0?=?方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根

122b

x x a ==-． ③0?

2

0(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 若a ，b ，c 为有理数，且?为完全平方式，则方程的解为有理根；

若?为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．

说明：

⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有 两个不相等的实数根时，0?>；有两个相等的实数根时，0?=；没有实数根时，0?<．

⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式2

4b ac ?=-判定方程的根的情况（有两

个

不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当2

40b ac ?=-=时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．

①当0a >时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；

②当0a <时?抛物线开口向下?顶点为其最高点．

5、一元二次方程的根的判别式的应用

一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： ⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；

⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题

（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．

第三讲 一元二次方程根的判别式

●夯实基础

例1不解方程，判断下列方程是否有实根，若有，指出相等还是不等。 （1）82525y y ()-=-

例2如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ． 1k < B ． 0k ≠ C ．10k k <≠且 D ． 1k >

例3已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（ ）

A ．有两个不相等的正实数根

B ．有两个异号的实数根

C ．有两个不相等的负实数根

D ．不一定有实数根

例4若关于x 的方程kx x 2

690-+=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。

例5已知a 、b 、c 是ABC ?的三边的长，且方程22()()()0x b c x a b c a +-+--=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．

●能力提高

例6关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是 ．

例7已知关于x 的方程()()m x m x m ---++=221102

在下列情况下，分别求m 的非负整数值。 （1）方程只有一个实数根 （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有两个不相等的实数根

例8 （新思维）如果一直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，∠B =90°，那么，关于x 的方程

0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况是（ ）．

A ．有两个相等的实数根

B ．有两个不相等的实数根

C ．没有实数根

D ．无法确定

●课后练习

1、一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根

Ｄ．没有实数根

2、若关于z 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m-1 C ．m>l D ．m<-1

3、关于x 的方程2

0x px q ++=的两根同为负数，则（ ） A ．0p >且q >0 B ．0p >且q <0 C ．0p <且q >0 D ．0p <且q <0 4、不解方程，判断下列各方程根的情况

（1）. x 210+= （2）. 44102

x x -+=

5、k 为何值时，方程()()k x k x k ---++=1272202

的两个根相等？

6、已知关于x 的方程222(1)50x m x m ++++=有两个不相等的实数根，化简：|1|m -

7、在等腰ABC ?中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知3a =，b 和c 是关于x 的方程

21

202

x mx m ++-=的两个实数根，求ABC ?的周长．

第四讲一元二次方程的应用

●夯实基础

例1解方程

例2一个车间加工300个零件，加工完80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15个，一共用了6天完成了任务，求改进操作方法后每天加工的零件的个数。

例3某商场运进120台空调准备销售，由于开展了促销活动，每天比原计划多售出4台，结果提前5天完成销售任务，原计划每天销售多少台？

例4甲、乙两队学生绿化校园，如果两队合作，6天可以完成，如果单独工作，甲队比乙队少用5天，问两队单独工作各需多少天完成？

例5某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．

(1)该公司2006年盈利多少万元?

(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元?

设方程ax 2

＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)的两根为x 11, x 2则x 11＋x 2＝a b

-，x 11x 2＝a c ，这个方

程的根与系数a,b,c 的关系叫做根与系数的关系定理，也叫韦达定理。

1. 若两个数x 11，x 2满足x 11＋x 2＝a b

-，x 11x 2＝a c ，则x 11，x 2是方程ax 2

＋bx ＋c ＝

0 (a ≠0)的两个根，这个定理称为韦达定理的逆定理。

2. x 11，x 2是方程ax 2

＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)的两个实数根，则必有?＝b 2

－4ac 0≥,反之

亦成立。

●夯实基础

例1 若方程042=+-c x x 的一个根为2，则方程的另一根为_______，c =______．

例2：已知x 11，x 2是方程x 2

－3x ＋1＝0的两个根，求x 2

1x 2＋ x 11x 2

2的值。

例3若x 2

－3x －1＝0的两根是x 1，x 2，则11

x ＋21x ＝_______

例4 已知方程0532=-+x x 的两根为x 1、x 2，则=+2

221x x _________

例5 （2011?厦门）已知关于x 的方程2x 2x 2n 0--=有两个不相等的实数根． （1）求n 的取值范围；

（2）若n ＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n 的值．

例6（2011?南充）关于的一元二次方程2

x 2x k 10+++=的实数解是1x 和2x ．

（1）求k 的取值范围；

（2）如果1212x x x x 1+--＜且k 为整数，求k 的值． 第五讲 一元二次方程根与系数的关系

课后练习

1、已知x 1、x 2是方程032

=--x x 的两根，那么2

22

1x x +的值是（ ）．

A ．1

B ．5

C ．7

D ．

7

49

2、已知关于x 的一元二次方程024

1)2(2

2

=-+

+-m x m x ． （1）当m 为何值时，这个方程有两个相等的实数根；

（2）如果这个方程的两个实数根x 1、x 2 满足182

22

1=+x x ，求m 的值．

3. 已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1的两个实数根． 求：（x 1+x 2）2÷（

2

11

1x x +）的值．

4、（2010?中山）已知一元二次方程2x 2x m 0-+=． （1）若方程有两个实数根，求m 的范围；

（2）若方程的两个实数根为12x x 、，且12x 3x 3+=，求m 的值．

5.（2010?孝感）关于x 的一元二次方程2

x x p 10-+-=有两实数根12x x ，， （1）求p 的取值范围；

（2）若1122 [2x 1x ][2x 1x ]9+-+-=（）（）

，求p 的值．

6.已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．

第二十二章 二次函数

知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫

做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0

考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式

例1、 函数y=（m ＋2）x

2

2-m

＋2x －1是二次函数，则m= ．

例2、 下列函数中是二次函数的有（ ）

①y=x ＋

x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21

x

＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．

训练题:

1、已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．

2、若函数y=(m 2

+2m －7)x 2

+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。

3、已知函数y=(m －1)x 2m +1

+5x －3是二次函数，求m 的值。

4、已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系．

5．下列不是二次函数的是（ ）

A ．y=3x 2＋4

B ．y=－

31

x 2 C ．y=52-x

D ．y=（x ＋1）（x －2） 6．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ）

A ．m 、n 为常数，且m ≠0

B ．m 、n 为常数，且m ≠n

第六讲 二次函数的定义

知识点归纳：

1、求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222

2

-+

??? ?

?

+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a

b

x 2-

=. （2）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

2、二次函数的图象及性质：

（1）二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．

（2）二次函数c bx ax y ++=2

的图象是一条对称轴平行y 轴或者与y 轴重合的抛物线．要会根据对称轴和图像判断二次函数的增减情况。

3、图象的平移：左加右减，上加下减 例1、

例2、已知直线y=－2x ＋3与抛物线y=ax 2相交于A 、B 两点，且A 点坐标为（－3，m ）．

（1）求a 、m 的值；

（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；

（3）x 取何值时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而减小； （4）求A 、B 两点及二次函数y=ax 2的顶点构成的三角形的面积． 例3、求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式：

（1）y=ax 2经过（1，2）； （2）y=ax 2与

y=2

1

x 2的开口大小相等，开口方向相反； 1

第七讲 二次函数的图像和性质

例4、二次函数y=a(x －h)2

的图象如图：已知a=12

，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式。

例5、试写出抛物线y=3x 2

经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

（1）右移2个单位；（2）左移2

3

个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

例6、把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2

－3x+5，试求b 、c 的值。

训练题:

1．抛物线y=－4x 2－4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y= ． 2．当m= 时，y=（m －1）x

m

m +2－3m 是关于x 的二次函数．

3．抛物线y=－3x 2上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ． 4．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）x

m

m +2＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y 随x 的

增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ．

5．抛物线y=3x 2与直线y=kx ＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ．

6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为

．

7．在同一坐标系中，图象与y=2x 2的图象关于x 轴对称的是（ ）

A ．y=2

1

x 2

B ．y=－2

1

x 2

C ．y=－2x 2

D ．y=－x 2

8．抛物线，y=4x 2，y=－2x 2的图象，开口最大的是（ ）

A ．y=4

1

x 2

B ．y=4x 2

C ．y=－2x 2

D ．无法确定

9．对于抛物线y=31x 2

和y=－3

1x 2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）

A ．两条抛物线关于x 轴对称

B ．两条抛物线关于原点对称

C ．两条抛物线关于y 轴对称

D ．两条抛物线的交点为原点

10．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）

11．已知函数y=ax 2的图象与直线y=－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一象限内的交点相同，则a 的值为（ ）

A ．4

B ．2

C ．2

1

D ．4

1

12.已知二次函数y=41x 2－2

5

x ＋6，当x= 时，y 最小= ；当x 时，y 随x 的增大而减

小．

13．抛物线y=2x 2

向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为

．

14．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。

15．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n ＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.

16．已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0. 17.二次函数y=3x 2－6x+5，当x>1时，y 随x 的增大而 ；当x<1时，y 随x 的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 。

18.如果将抛物线y=2x 2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。 19.将抛物线y=ax 2+bx+c 向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x 2－4x －1则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .

20.将抛物线y ＝ax 2

向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.

21、右图是二次函数y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图像，?观察图像写出y 2≥y 1时，x 的取值范围_______．

22、函数y=ax 2 (a ≠0)的图像与直线y=-2x-3交于点（1,b ） （1)求a 和b 的值

（2）求抛物线y=ax 2 的解析式，并求出顶点坐标和对称轴； （3）x 取何值时，二次函数y=ax 2 中的y 随x 的增大而增大？ （4）求抛物线与直线y=-2的两个交点及顶点所构成的三角形的面积。

知识点：a看开口方向

c看与y轴的交点位置

b结合a看对称轴的位置(左同右异)。

例1、已知二次函数2

y ax bx c

=++（0

a≠）的图象如图所示，有下列四个结

论：2

0040

b c b ac

<>->

①②③④0

a b c

-+<，其中正确的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

例2、已知二次函数2

y ax bx c

=++的图象如图所示，有以下结论：①

a b c

++<；②1

a b c

-+>；③0

abc>；④420

a b c

-+<；⑤1

c a

->其中所有正确

结论的序号是（）

A．①②B．①③④

C．①②③⑤D．①②③④⑤

训练题

1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c的符号为（）

A.a>0,b>0,c>0

B.a>0,b>0,c=0

C.a>0,b<0,c=0

D.a>0,b<0,c<0

2.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象2如图所示，则下列结论正确的是（）

A．a+b+c> 0 B．b> -2a

C．a-b+c> 0 D．c< 0

3.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图3，有以下结论：

①c>0；②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正确的为（）

A．①②B．①④C．①②③D．①③⑤

4.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（）

5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图所示的( )

第八讲二次函数的图象特征与a、b、c的关系

1

1

1-O x

y 1x

y

O1x

y

O1x

y

O1x

y

O

6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图5所示，那么abc，b2－4ac， 2a＋b，a＋b＋c

四个代数式中，值为正数的有( )

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

7.二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是图中的（）

8、在同一坐标系中，函数y=ax2＋bx与y=x

b

的图象大致是图中的（）

9.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：

①a，b同号；②当x＝1和x＝3时，函数值相同；③4a＋b＝0; ④当y＝－2时，x的值只能取0；

其中正确的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

11.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则

直线y＝ax＋bc不经过（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

12、二次函数)0

(

2≠

+

+

=a

c

bx

ax

y的图象如图，下列判断错误的是（）A．0

<

a B．0

<

b C．0

<

c D．0

4

2<

-ac

b

13、二次函数c

bx

ax

y+

+

=2的图象如图所示，则下列关系式中错误

．．的是（）

A．a＜0

B．c＞0

C．ac

b4

2-＞0

D．c

b

a+

+＞0

y

x

O 1

－1

知识点：二次函数与x轴、y轴的交点的求法：分别令y=0,x=0；二次函数与一次及反比例函数等的相交：联立两个函数表达式，解方程.

例1、已知抛物线y＝x2-2x-8，

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点，并求出这两个交点的坐标。

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积

例2、已知抛物线y=1

2

x2+x-

5

2

．

（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．

例3、如图，直线ι经过A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数y=x2＋1的图象，在第一象限内相交于点C．求：

（1）△AOC的面积；

（2）二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积．

例4．已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10．

（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？

（2）当m为何值时，方程x2－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？

（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．

第九讲二次函数的交点问题

练习题

1．抛物线y=a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为 ．

2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x 轴交点的距离等于4，它在y 轴上的截距是－6，则它的表达式为

．

3．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2

＋bx ＋c 经过 象限．

4．抛物线y=x 2

－2x ＋3的顶点坐标是

．

5．若抛物线y=2x 2－（m ＋3）x －m ＋7的对称轴是x=1，则m=

．

6．抛物线y=2x 2

＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m=

．

7．已知抛物线y=ax 2

＋bx ＋c 的系数有a －b ＋c=0，则这条抛物线经过点 ． 8．二次函数y=kx 2

＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围

．

9．抛物线y=x 2－2a x ＋a 2

的顶点在直线y=2上，则a 的值是

．

10．抛物线y=3x 2

＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ） A ．3个

B ．2个

C ．1个

D ．无

11．如图1所示，函数y=ax 2

－bx ＋c 的图象过（－1，0），则b a c a c b c b a +++++的值是（ ）

A ．－3

B ．3

C ．21

D ．－21

12．已知二次函数y=ax 2

＋bx ＋c 的图象如图2所示，则下列关系正确的是（ ）

A ．0＜－

a b 2＜1 B ．0＜－a b 2＜2 C ．1＜－a b 2＜2 D ．－a b

2=1

13．已知二次函数y=x 2

＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点．

14．已知二次函数y=x 2

－2kx ＋k 2

＋k －2． （1）当实数k 为何值时，图象经过原点？

（2）当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？