[初中数学]一元二次方程全章教案 人教版

《一元二次方程》全章教案

第一课时 1 设计思路

通过探究实际问题中的数量关系极其变化规律，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程。从而引出一元二次方程的一般式，并能识别各项的系数。培养学生的观察能力和思维能力。

3 教学目标

1． 通过探究实际问题中的数量关系极其变化规律，2． 经历由具体问题抽象出一元

二次方程的过程。

2．解一元二次方程的概念；正确掌握一元二次方程的一般形式。 教学重点：正确掌握一元二次方程的概念和一般形式。

教学难点：正确理解和掌握一般形式中的a ≠0 ，“项”和“系数”。 三、教学过程 1

1) 会根据实际问题中的数量关系列出方程。

1．方形桌面的面积是2m 2，求它的边长？

2．矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19米。 如果花圃的面积是24m 2，求花圃的长和宽？

3． 我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册， 平均每年增长的百分率是多少？

4． 长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙 的距离是3米。如果梯子底端向右滑动的距离与

梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。 根据题意列出方程

22=x

2225)3()4(=++-x x 2.7)1(52=+x

24)219(=-x x

(二)观察以上四个方程它们有什么共同特点

1 都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.

(三)一元二次方程的概念:

像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程

(四) 例1:判断下列方程是否为一元二次方程：

)0(0).7(0

).6()2)(1(3).5(023).4(1).3(1

).2(1).1(222222的常数为不等于m mx c bx ax x x x y x x x

x x x x ==+++-=-=+-=

==+

(五)一元二次方程的一般形式:

ax 2+ bx +c=0(a 、b 、c 为常数且a ≠ 0) 注意:为什么要限制a ≠0，b ,c 可以为零吗？

并指出一元二次方程中一二次项、一次项、常数项：二次项系数、一次项系数(六) 例2:一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.

2(2)510 2.20x x +-=

2(1)109000x x --=

2(4)30x x += 2(3)2150x -=

(5)

3)2(2

=+x (6)0)3)(3(=-+x x 四、归纳小结

（一）小组讨论学习成果,并总结本节课的知识点,提出疑点,由同学解答或老师解答. （二）教师讲解、板演例题、小结（突出重难点）

1. 一元二次方程的概念.

2.例1、例2解题过程. 五、练习应用

1.课本P81练习第1、2、题.

2.《探究与训练》P65第1-5题.

六、作业:

A 组：课本P82习题 1

B 组：《探究与训练》P66第10题.

第1课时 4.2 一元二次方程的解法

一、设计思路

本节课是在上学期平方根的基础上，通过引导学生回顾平方根，探索一元二次方程的基本解法---直接开平方法，初步感受一元二次方程的解的特点和解法，在探索活动中，激发学生大胆尝试、探索发现一元二次方程的解法的热情，充分发挥学生的主体意识，让他们在自主探索、合作交流的氛围中学习，并渗透转化的数学思想，以提高学生分析问题，解决问题的能力． 二、教学目标

1．让学生探索一元二次方程的解法，使学生在尝试、探索、比较等活动中，发现解一元二次方程---直接开平方法．

2．会用直接开平方法解形如

()()02

≥=+k k h x 的方程．

教学重点：会用直接开平方法解形如

()()02

≥=+k k h x 的方程．

教学难点：掌握直接开平方法．直接开平方法与一个数的平方根的关系 三、教学过程

（一）回顾平方根的含义，会求一个数的平方根

如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根。

如果

,2a x =那么x 就叫a 的平方根。 4的平方根是______，即()42=;2的平方根是______,即()22

=. 如果42

=x ， 那么x =_____ 如果

22=x ， 那么x =_____ 注意：由于一个正数的平方根有两个，所以开平方时遗漏，需要特别提醒学生。学生

第一次接触一元二次方程有两个根，特别强调方程的两个根。 （二）知道什么是直接开平方法解一元二次方程

1. 阅读教材Ｐ83的黑体字，了解什么是直接开平方法。

2. 给出一元二次方程的两个根的规范写法：______,2

1==x x

（三）会用直接开平方法解形如

()02≥=k k x 的方程：

（1）完成解方程

42

=x ， 22=x ，规范解方程的过程。 （2）在完成（1）的练习后，将方程进行变形，从而讲解教材P83的例1：

解下列方程：（1） 042

=-x ；(2) 0142

=-x ；

（3）完成教材P84 的练习1（学生在黑板板演）。

注意：本节出现的一元二次方程相对简单，应鼓励学生大胆尝试，即可解出方程，并进行简单的检验，为强调解题的规范性，教师可板演解题过程。

（四）会用直接开平方法解形如

()()02

≥=+k k h x 的方程： （1）在完成例1的讲解后，再回到方程22

=x ，其解是_____=x ，

（2）完成教材P83的例2解方程：

()212

=+x

（3）完成教材P84 的练习2（学生在黑板板演）。

（4）补充练习：解方程：

()0412

=-+x ， ()0

32122

=--x

（5）关于x 的一元二次方程()0112

2

=-++-a x x a 一个根是0，则a 的值为（ ）

A. 1

B. -1

C.1或-1

D.21

注意：例2的过程应用数学的整体思想，将括号内部分看成一个整体，就可直接运用直接开平方法，并且每次解方程后依然强调检验的重要性。 四、课堂小结：

教师讲解，板演示范 ，学生总结本节课的学习内容，特别突出重点、难点 五、当堂测试：《探究与训练》P67 第6（1）、（3）、（6）题。 六、作业：

A 组：课本93页习题4．2第1题

B 组：课本84页练习第3题

第2课时 4.2 一元二次方程的解法

一、设计思路

本节课是在直接开平方法的基础上，通过引导学生回顾直接开平方法，探索一元二次方程的基本解法---配方法，再次感受一元二次方程的解的特点和解法，在探索活动中，激发学生大胆尝试、探索发现一元二次方程的解法的热情，充分发挥学生的主体意识，让他们在自主探索、合作交流的氛围中学习，并渗透转化的数学思想，以提高学生分析问题，解决问题的能力．

二、教学目标

1．让学生探索一元二次方程的解法，使学生在尝试、探索、比较等活动中，发现解一元二次方程---配方法．

2．会用配方法解形如02

=++c bx x 的方程．

教学重点：会用配方法解形如02

=++c bx x 的方程． 教学难点：将方程进行变形，再将左边配成完全平方法． 三、教学过程

(一)复习一元二次方程的有关知识及完全平方公式。

1、填空：

(1)方程

1322+-=x x 的一般形式是__________________， 其中二次项系数是__，一次项系数是__，常数项是___．

(2)方程

()532=+x 的一般形式是___________________，其中二次项系数是___，一次项系数是__，常数项是__.．

（3）完全平方公式：______________________________

2．用直接开平方法解方程：（1）92

=x （2）()532

=+x

注意：本块内容由有承上启下的作用，应全面复习，尤其是完全平方公式，展开时有三

项，学生遗忘较多，需要特别提醒学生，指出形如

()k h x =+2

的方程都可用直接开平方法求解，对于不是这种形式的方程，只要变形为这种形式即可求解．

（二）知道什么是配方法解一元二次方程

2. 填空：

()()2

2__6+=++x x x ，接着完成Ｐ87的练习第1题． 3. 配方过程为：方程 0462=++x x ，移项后得

___62=+x x ，方程两边同时加上___，即___,得

______62

+=++x x ，将方程左边配成完全平方得()____2=+x ,解这个方程即可求出方程的解．

3．阅读教材Ｐ85的黑体字，了解什么是配方法。． （三）会用配方法解形如02

=++c bx x 的方程：

1．完成解方程

462=++x x ，规范解题过程．

2．在完成（1）的练习后，将方程进行变形，从而讲解教材P85的例3

解下列方程：（1） 0342

=+-x x ；(2) 0132

=-+x x ； 3．完成教材P87 的练习2（学生在黑板板演）．

4．通过一系列的练习，使学生深刻理解“在配方时方程两边同时加上的常数究竟是如

何确定的”这一问题．

注意：本节出现的一元二次方程相对简单，应鼓励学生大胆尝试，即可解出方程，为

强调解题格式的规范性和检验的必要性，教师可板演解题过程，例3的第2个例题的一次项系数不是偶数时，配方易出错，要引起师生注意． （四）数形结合理解配方法的过程 1．方程02422

=-+x x ，配方过程为：移项后得2422

=+x x ，方程两边同时加上___，

即___,得__24__22

+=++x x ，即

()____2=+x ． 2．2x 可以构造一个边长为x 的正方形，2x 可以构造一个边长分别为x 、2的长方形，两个图

形拼成一个长方形，其面积是24．

3．配方的过程就是将面积为24的长方形割补后拼成一个正方形． 4．阅读教材P87 的图4-3

注意：用拼图直观的描述配方法的过程，帮助学生理解配方法，一定要边操作边理解． 四、课堂小结：

教师讲解，板演示范 ，学生总结本节课的学习内容，特别突出配方的关键． 五、当堂测试：《探究与训练》P68 第8、9题． 六、作业：

A 组：课本93页习题4．2第2题

B 组：课本87页练习第3题

课本93页练习第6题

第3课时 4.2 一元二次方程的解法

一、设计思路

本节课是在了解了一元二次方程的配方法的基础上，再次感受一元二次方程的解的特点和解法，在探索活动中，分组讨论交流，充分发挥学生的主体意识，让他们在自主探索、合作交流的氛围中学习，并渗透转化的数学思想，以提高学生分析问题，解决问题的能力． 二、教学目标

1、掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤和方法

2、会正确运用配方法解一元二次方程，进一步体会配方法是一种重要的数学方法 重点：使学生掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 难点：把一元二次方程转化为的（x ＋m ）2

= n （n ≥0）形式 三、教学过程

（一）复习旧知，引入新课。 用配方法解一元二次方程0252

=+-x x .

那么如何解方程2x 2

－5x ＋2 = 0呢? （二）探索活动

由于该方程不是（x ＋m ）2

= n （n ≥0）的形式，因此不能用直接开平方法解，而且也不符合

上节课用配方法所解的方程的形式，观察两个方程之间的区别是________________.如果将方

程两边同时____________就能将2x 2

－5x ＋2 = 0转化成我们上节课所学的形式。

方程两边同时除以2，得

x 2

－25x ＋1= 0

再用上节课的知识解决即可。

小结：对于二次项系数不为1的一元二次方程，我们可以先将两边同时除以二次项系数，再利用配方法求解。

(三)、例题教学 例 1 解下列方程：

⑴ 3x 2

＋8x ＋1 = 0

⑵ －3x 2＋4x ＋1 = 0

分析：第1小题先将方程两边同时除以3，将二次项系数化为1，再用配方法解之；而第2小题的二次项系数是负数，同样只需两边同除以二次项系数－3，再用配方法解之。

小结：用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1、方程两边同时除以二次项系数；

2、把常数项移到方程右边；

3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；

4、利用直接开平方法解之。

P 88 练习 1

《数学补充习题》P61 1（1）（4），2（4）

四、课堂小结：

1、四人一组检查自学情况并讨论自学内容，小组提出问题老师解答。

2、教师讲解、板演示范、小结 1 例1、等题解题过程 2 用配方法解一元二次方程的一般步骤 五、当堂测试：

《探究与训练》P69 4，6题。 六、作业：

A 组：P 88 练习 1

B 组：P 93 习题4.2 3

第4课时 4.2 一元二次方程的解法

一、设计思路

由于学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验，因此教学中引导学生自主探索一元二次方程的求根公式。体会直接开平方法，配方法，公式法之间的联系与转化。 二、学习目标

1、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b 2

－4ac ≥0

2、会用公式法解一元二次方程

重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程.

难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误. 三、学习过程： （一）、情境创设

1、用配方解一元二次方程的步骤是什么？

2、用配方法结合直接开平方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？

3、如何解一般形式的一元二次方程ax 2

＋bx ＋c = 0（a ≠0）？ （二）、用配方法推导一元二次方程求根公式

能否用配方法把一般形式的一元二次方程ax 2

＋bx ＋c = 0（a ≠0）转化为

2224()4b b ac x a a -+=

呢？

回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识： 因为0a ≠，方程两边都除以a ，得

20b c

x x a a +

+=

移项，得

2b c x x a a +

=-

配方，得

2222()()222b b b c

x x

a a a a ++=-

即

2224()24b b ac

x a a -+=

当240b ac -≥，且0a ≠时，2244b ac

a -大于等于零吗？

让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当240b ac -≥时，因为0a ≠，所以240a >，

从而22

404b ac

a -≥

到此，你能得出什么结论？

让学生讨论、交流，从中得出结论，当2

40b ac -≥时，一般形式的一元二次方程

20(0) ax bx c a

++=≠

的根为2

b

x

a

+=

，即

x=

。

由以上研究的结果，得到了一元二次方程

20(0)

ax bx c a

++=≠的求根公式

：x=

（240

b ac

-≥）

这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

思考：当240

b ac

-<时，方程有实数根吗？

（三）、例题教学

例1解下列方程：

⑴x2＋3x＋2 = 0⑵ 2 x2－7x = 4

分析：（1）对于方程2，首先要把方程化为一般形式；

（2）强调确定a、b、c值时，不要把它们的符号弄错；

（3）先计算24

b ac

-的值，再代入公式。

《探究与训练》P703

P90练习 1

四、课堂讨论（或教师讲解，小结）

（一）四人一组检查自学情况并讨论自学内容，小组提出问题，教师解答（或用其他方式展示学习成果）

（二）教师讲解、板演示范、小结（突出重难点）

1.一元二次方程求根公式的推导。

2.例6解体过程

3.强调公式法中确定a、b、c的取值不要漏掉符号。

五、当堂测试:

《探究与训练》P70 4（1）（2），5

六、作业

A组：P90 练习1 B组：P93 习题4.2 2、3

4.2 一元二次方程的解法（根的判别式）

一、设计思路

一元二次方程是以前学过的方程的延续和深化，在熟练应用公式法的基础上，探索得出一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项、一次项及常数项的关系。它在现实生活及数学中有着广泛的应用，它也是以后学习其他数学知识的基础。

二、教学目标

1、用公式法解一元二次方程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用

2、能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况

学习重点：一元二次方程根与系数的关系

学习难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值

三、教学过程

（一）引入情境：

不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？

⑴x2＋2x－8 = 0 ⑵x2 = 4x－4 ⑶x2－3x = －3

（二）探索活动

1、一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？

例7 解下列方程：

⑴x2＋x－1 = 0 ⑵x2－2 x＋3 = 0 ⑶2x2－2x＋1 = 0

分析：本题三个方程的解法都是用公式法来解，由公式法解一元二次方程的过程中先求出b2－4ac的值可以发现它的符号决定着方程的解。

由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定：当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当b2－4ac = 0时，方程有两个相等的实数根；

当b2－4ac ＜0时，方程没有实数根。

我们把－b24ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的判别式。

2、若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到的值的符号呢？

当一元二次方程有两个不相等的实数根时b2，－4ac＞0

当一元二次方程有两个相等的实数根时，b2－4ac = 0

当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac ＜0

（三）例题教学

例1 不解方程，判断下列方程根的情况：

⑴3x2－x＋1 = 3x⑵5（x2＋1）= 7x⑶3x2－4 x = －4

分析：先把方程化为一般形式，确认a、b、c后，再算出b2－4ac的值，对方程给予判定。

例2 若方程8x2－（m－1）x＋m－7 = 0有两个不相等的实数根，求m的值。

分析：本题与例1刚好相反，应由方程有两个不相等的实数根得b2－4ac = 0，从而得到关于m 的方程，求出m的值。

四、课堂讨论（或教师讲解）

1、四人一组检查自学情况并讨论自学内容，小组提出问题老师解答。

2、教师讲解、板演示范。

五、当堂测试

1、P91 练习1、2

2、当k为何值时，关于x的方程k x2－（2k＋1）x＋k＋3 = 0有两个不相等的实数根？

3、课堂小结一元二次方程根与系数有什么样的关系？

六、作业：1、不解方程，判断下列方程根的情况：

⑴4x2＋13x＋9 = 0 ⑵3（x－2）=x2⑶3x2＋4x = 5

2、当m为何值时，方程8m x2＋（8m＋1）x＋2m = 0

⑴有两个不相等的实数根？⑵有两个相等的实数根？⑶没有实数根？

七、教后反思

4.2 解一元二次方程（因式分解）

一、设计思路

让学生探索一元二次方程的解法，使学生在尝试、探索、比较等活动中，发现解一元二次方程的基本解法——直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，体会一元二次方程与一元一次方程知识的联系和转化，体会几种之间的相互联系。

二、教学目标：

1、会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法

2、能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解方法，体会解决问题的灵活性和多样性

教学重点：因式分解法解一元二次方程

教学难点：将方程的右边化为零后，对左边进行正确的因式分解

三、教学过程：

（一）回顾一元二次方程的几种解法？．

1．直接开平方法2．配方法 3.公式法

（二）感受解方程x2－x = 0的三种方法

让学生用所学过的三种方法解方程。

（三）交流体会：

本题既可以用配方法解，也可以用公式法来解，但由于公式法比配方法简单，一般选用公式法来解。还有其他方法可以解吗？

仔细观察方程的左边，可以发现这个等式的左边有公因式x，这时可把x提出来，左边即为两项的乘积，我们知道：两个因式的乘积等于0，则这两个因式为零，这样，就把一元二次方程降为一元一次方程，此时，方程即可解。

解：x2 -x＝0，

x(x-1)＝0，

于是x＝0或x-3＝0．

∴x1=0，x2=3

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

下面哪些方程，用因式分解法求解比较简便？

⑴x2－2x－3 = 0 ⑵（2x－1）2－1 = 0

⑶（x－1）2－18 = 0 ⑷3（x―5）2 = 2（5―x）

分析：第⑴、⑷小题用因式分解法求解比较简便。

结论：如果一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积，那么这样的一元二次方程就可以用因式分解法求解。

（四）例题教学

例8 解下列方程：

⑴x2= －4x ⑵x＋3－x（x＋3）= 0

分析：第⑴小题先化为一般形式，再提取公因式分解因式解之；第⑵小题可以将（x＋3）作为一个整体，提取公因式解之。

例9 解方程（2x－1）2－x2= 0

分析：方程的左边可以用“平方差公式”分解因式，将之分解为两个一次因式的积，从而解之。思考：在解方程（x＋2）2 = 4（x＋2）时，在方程两边都除以（x＋2），得x＋2=4，于是解得x =2，这样解正确吗？为什么？（不正确，这样解使得方程少了一个解，原因在于两边同时除以的因式（x＋2）可能为0，而方程两边不可以同时除以0）

四、课堂讨论（或教师讲解，小结）

（一）不分组全部学生完成书上P92第1、2、3题，并分层次让学生板书。

（二）教师讲解、板演示范、小结（突出重难点）

1.一元二次方程因式分解方法的注意事项.

2.例8、例9、等题解题过程

五、当堂测试:

1.《补充习题》P64第1、2 题

2. 《探究与训练》P73第6、7题

六、作业:

A组：课本P93 习题4

B组：《探究与训练》P74第8、10题

七、教后反思

4.3 用一元二次方程解决问题（1）

一、设计思路

通过探索现实问题情境，解决贴近学生生活的实际问题，强化学生的模型思想；通过学生的自主探索研究，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，获得更多地解决问题的方法和经验，同时也进一步使学生掌握好解方程的技能.

二、教学目标：

1、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；

2、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题.

教学重点：用一元二次方程解决实际问题的过程.

教学难点：检验所得的问题的结果是否符合实际意义.

三、教学过程：

（一）回顾解一元一次方程应用题的一般步骤．

第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；

第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等关系；

第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式（简称关系式）从而列出方程；

第四步：解这个方程，求出未知数的值；

第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后，写出答案（及单位名称）。（二）一元二次方程的应用

(1）一个三位数，十位上的数字比它个位上的数字大3，百位上的数字等于个位上的数字的平

方,已知这个三位数比它的个位上的数字与十位上的数字的积的25倍大202，求这个三位数。

思考：

①一个三位数与它各个数位上的数字有何关系？也就是如何用各个数位上的数字表示三位数？

②由题意知，十位上的数字、百位上的数字都与个位上的数字有关，因此你可以设_____上的数字为______，那么______位上的数字为______，______位上的数字为________。这个三位数可表示为_________。

(2)课本P94的情境:组织员工旅游的问题

问题1:如何设未知数？如何找出表达实际问题的相等关系？

2一般情况下，应设要求的未知量为未知数;

3从题中寻找未知数所表示的未知量与已知量之间的等量关系.

问题2:这个问题中的相等关系是什么？如何解此题呢？

③首先知道总费用是28000元, 即有等量关系“人均费用×人数=28000元”;

④人数可设未知数x人,人均费用呢?

根据:“如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元”, 则总费用不超过30×800=24000＜28000;而现用28000元,所以人数应超过30人;根据:“如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元”.

⑤本题实际意义是:人均旅游费用不得低于500元.

( 板书课本P94的解题过程)

（三）归纳概括：解一元二次方程应用题的一般步骤．

第一步：设未知数(单位名称);

第二步：根据相等关系列出方程；

第三步：解这个方程，求出未知数的值；

第四步：检验求得的值是否符合实际意义；

第五步：写出答案（及单位名称）。

（四）列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；(1）例题选讲：

例1: 有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多5，求这个两位数。(注意解题格式)

例2: 两个连续奇数的积是323，求这两个数。(注意未知数的设法)

(2) 练习应用：

1、两个数的和为16，积为48。求这两个数。

2、一个直角三角形的三边长是连续整数。求这三条边长。

3、课本P95练习

四、课堂讨论（归纳小结）

（一）小组合作讨论课本P94的情境，给出分析过程的展示（或用其他方式展示学习成果）；（二）教师板演示范、小结（突出重难点）

1.解一元二次方程应用题的一般步骤

2.课本P94的情境的解题过程

五、当堂测试:

1.《探究与训练》P76第1、2、3、5题

2.《补充习题》P65 第2题

3.《探究与训练》P76第4、7题

五、作业:

A组：《补充习题》P65 第1、4题

B组：《补充习题》P65 第3、5题

4.3 用一元二次方程解决问题（2）

第二课时

一﹑设计思路

课本安排了问题1和问题2，在以前的教学中出现过，学生较为熟悉，教学是重点应放在帮助学生理解题意，找出一个能表示实际问题全部意义的关系上，问题2可从具体的数字入手与学生共同分析问题中的数量关系．

二﹑学习目标

1、使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题．

2、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生

应用数学的意识．

教学重点：学会用列方程的方法解决有关增长率问题．

教学难点：有关增长率之间的数量关系．

三﹑教学过程

（一）（课本P95问题1探索活动）

如图所示，一块长方形铁皮的长是宽的２倍，四角各截去一个正方形，制成高是５cm，容积是５００cm3的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽．

思考：

如果设这块铁皮的宽是xcm，那么制成的长方体容器底面的宽是_____，长是________．

从而可以根据相等关系：______________，可以列出方程求解．

问题1：如何设未知数？如何找出表达世纪问题的等量关系？

问题2：这个问题中的相等关系是什么？

（二）（课本P96问题2探索活动）

某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，这两个月的月平均增长的百分率是多少？

分析：在求解这类问题时，可以从具体的数字问题入手，结合这个问题可以介绍与增长率相关的知识．

设月平均增长的百分率为x．

根据题意得：

()2 250013600

x

+=

，

解得，

120.2, 2.2x x ==-（不合题意，舍去）

答：平均每月增长率是20％． 注意以下几个问题：

（1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为x ． （2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到等词语的关系． （3）用直接开平方法做简单，不要将括号打开． （三）课堂练习

(1)课本P94练习1，2，3，4

(2)补充练习：

练习1. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？

练习2．若设每年平均增长的百分数为x ，分别列出下面几个问题的方程．

（1）某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b 倍，求每年平均增长的百分率． （2）某工厂用两年时间把总产值由a 万元增加到b 万元，求每年平均增长的百分数． （3）某工厂用两年时间把总产值增加了原来的b 倍，求每年增长的百分数． 四．课堂讨论（四人一组）

某企业成立三年来，累计向国家上缴利税280万元，其中第一年上缴40万元，求后两年上缴利税的年平均增长的百分率？ 五．作业

A 组：课本P99习题4.3第1，2题；

B 组：《探究与训练》P77第10课时 用一元二次方程解决问题（2）

4.3 用一元二次方程解决问题（3）

第三课时 一﹑设计思路

问题3的教学重点应放在帮助学生理解题意，找出一个能表示实际问题全部意义的关系上． 二﹑教学目标 学习目标：

1、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；

2、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。 教学重点：用一元二次方程解决生活中的实际问题． 教学难点：根据数量关系列出一元二次方程． 三﹑教学过程

（一）（课本P97问题3探索活动） 问题3：一根长22cm 的铁丝．

（1）能否围成面积是30cm 2的矩形？

（2）能否围成面积是32 cm 2的矩形？并说明理由．

分析：如果设这根铁丝围成的矩形的长是xcm ，那么矩形的宽是__________． 首先假设这样的矩形是存在的，根据相等关系：

矩形的长×矩形的宽=矩形的面积，

可以列出方程求解．

思考：如何找这个问题中的数量关系？

解：（1）如果矩形的面积是30cm 2，

那么，()1130

x x -=，解得

125,6x x ==

当15x =时，1116x -=；

当

25x =时，2116x -=．

答：长22cm 的铁丝能围成面积是30cm2的矩形． （2）如果矩形的面积是32cm2， 那么，

()1132

x x -=，2

4b ac -〈 0 ，

所以此方程没有实数解．

答：长22cm 的铁丝不能围成面积是30cm2的矩形．

（二）补充动点问题，拓展学生思维

练习1:如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=3cm 。点P 沿边AB 从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 沿边DA 从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动。如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0≤t ≤3）。那么，当t 为何值时，△QAP 的面积等于2cm 2?

Q

P

D

C

B

A

(有学生分析，自主完成)

练习2:如图，A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，AB=16cm ，BC=6cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动，一直到达B 为止；点Q 以2cm/s 的速度向点D 移动。经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ？ （三）课堂练习

Q

P

D

B

A

用长为100 cm 的金属丝制作一个矩形框子。框子各边多长时，框子的面积是600 cm 2？能制成面积是800 cm 2的矩形框子吗？ 四．课堂讨论（四人一组）

（课本P97思考与探索）

如图，在矩形ABCD 中，AB=6 cm ，BC=12 cm ，点P 从点A 沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动；同时，点Q 从点B 沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，问几秒后△PBQ 的面积等于8 cm 2？ 五．作业

A 组：课本P99习题4.3第5，6题;

B 组：《探究与训练》P78第11课时 用一元二次方程解决问题（3）

4.3用一元二次方程解决问题（4）

一、设计思路：

本节课首先通过商品销售问题让学生感受到数学就在我们身边，生活中处处有数学，通过解决这些丰富多彩的、贴近学生生活的实际问题，强化方程的模型思想，而且通过学生的自主探索研究，培养的分析问题、解决问题的能力，近一步使学生掌握好解方程的技能. 二、教学目标：

1、使学生会用列一元二次方程的方法解决有关商品的销售问题．

2、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识.

教学重点: 学会用列方程的方法解决有关商品的销售问题． 教学难点: 如何找出商品的销售问题中的等量关系. 三、教学过程： （一）创设问题情景

1、某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为a 元，则可卖出（350—10a ）件，商场计划要赚450元，则每件商品的售价为多少元？ 请根据上述条件回答下列问题：

（1）如何找出表达实际问题的相等关系？ （2）如何列出方程？

（3）在解决问题过程中应注意什么？ （二）探索归纳

阅读3遍以上，可以提出以下问题：（阅读4.3用一元二次方程解决问题P98）

问题1：（1）如何找出表达实际问题的相等关系？

问题2：（2）商场应选择每件衬衫降价10元还是20元？

（三）例题讲解

10某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降一元，商场平均每天可多售出2件.如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？

例２、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，椐市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

（月销售利润＝月销售量×销售单价－月销售成本．）

（四）练习应用（分层训练）

（1）基础巩固

1、某种服装，平均每天可销售20件，若每件降价1元，则每天可多售5件.如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？

2、某商场礼品柜台购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可销售500张，每张盈利0.3元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的措施.调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天多售出300张.商场要想平均每天盈利160元，每张贺年卡应降价多少元？

（2）拓展延伸：

1、某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个.调查表明：这种台灯的售价每上涨一元，其销售量就将减少10个.为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？

2、某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售200件.请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利9100元？

3、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？

4、某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～65元3之间.市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱.

⑴写出平均每天销售y（箱）与每箱售价x（元）之间的关系式；

⑵求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的关系式（每箱的利润＝售价－进价）；

⑶当每箱牛奶售价为多少时，平均每天的利润为900元？

⑷当每箱牛奶售价为多少时，平均每天的利润为1200元？

四、课堂讨论（或教师讲解，小结突出重难点）

（一）1．善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程．培养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法．

2．在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题．

（二）四人一组检查自学情况并讨论自学内容，小组提出问题，教师解答（或用其他方式展示学习成果）

教师讲解、板演示范、小结

1.问题中的等量关系式

2.例1、例2、等题解题过程

3.部分练习的解题过程

五、当堂测试:

1.《探究与训练》P80—P81第7、8、9题.

六、作业:

A组：教材P100 习题4.3第9题.

B组：拓展延伸第4题.