利用空间向量求空间角考点与题型归纳
利用空间向量求空间角考点与题型归纳
一、基础知识
1．异面直线所成角
设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b |
|a ||b |
?
， 其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向
向量．
2．直线与平面所成角
如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，
φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n |
|a ||n |
?
.
3．二面角
(1)若AB ，CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→
的夹角，如图(1)．
(2)平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝
|n 1·n 2|
|n 1||n 2|
?
，如图(2)(3)．
两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值．
直线与平面所成角的范围为????0，π
2，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值．
利用公式与二面角的平面角时，要注意〈n 1，n 2〉与二面角大小的关系，是相等还是互
补，需要结合图形进行判断．
二、常用结论
解空间角最值问题时往往会用到最小角定理 cos θ＝cos θ1cos θ2.
如图，若OA 为平面α的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在平面α内的射影，OC 为平面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2. 考点一 异面直线所成的角
[典例精析]
如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2.
(1)求证：MN ∥平面BDE ；
(2)已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为7
21
，求线段AH 的长． [解] 由题意知，AB ，AC ，AP 两两垂直，故以A 为原点，分别以AB ―→，AC ―→，AP ―→
方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．依题意可得A (0，0,0)，B (2，0,0)，C (0,4,0)，P (0，0,4)，D (0,0,2)，E (0,2,2)，M (0，0,1)，N (1,2,0)．
(1)证明：DE ―→＝(0,2,0)，DB ―→
＝(2,0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量， 则?????
n ·DE ―→＝0，n ·DB ―→＝0，
即?????
2y ＝0，2x －2z ＝0.
不妨取z ＝1，可得n ＝(1,0,1)．
又MN ―→＝(1,2，－1)，可得MN ―→
·n ＝0. 因为MN ?平面BDE ，所以MN ∥平面BDE . (2)依题意，设AH ＝h (0≤h ≤4)，则H (0,0，h )， 进而可得NH ―→＝(－1，－2，h )， BE ―→
＝(－2,2,2)． 由已知，得|cos 〈NH ―→，BE ―→
〉|＝|NH ―→·BE ―→||NH ―→||BE ―→|
＝
|2h －2|
h 2＋5×23＝721
， 整理得10h 2－21h ＋8＝0，解得h ＝85或h ＝1
2.
所以线段AH 的长为85或1
2
.
[解题技法]
用向量法求异面直线所成角的一般步骤
(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值．
[提醒] 注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，此夹角就是异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．
[题组训练]
1.如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
解析：选C 以B 为坐标原点，以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系如图所示．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)，∴EF ―→＝(0，－1，1)，BC 1―→＝(2,0,2)，∴EF ―→·BC 1―→
＝2，
∴cos 〈EF ―→，BC 1―→
〉＝
22×22＝1
2
，则EF 和BC 1所成的角是60°，故选C.
2.如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°.
(1)求证：BD ⊥平面P AC ；
(2)若P A ＝AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值． 解：(1)证明：因为四边形ABCD 是菱形， 所以AC ⊥BD .
因为P A ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ， 所以P A ⊥BD .
又因为AC ∩P A ＝A ，所以BD ⊥平面P AC . (2)设AC ∩BD ＝O .
因为∠BAD ＝60°，P A ＝AB ＝2， 所以BO ＝1，AO ＝CO ＝ 3.
如图，以O 为坐标原点，射线OB ，OC 分别为x 轴，y 轴的正半轴建立空间直角坐标系O -xyz ，
则P (0，－3，2)，A (0，－3，0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)， 所以PB ―→＝(1，3，－2)，AC ―→
＝(0，23，0)． 设PB 与AC 所成角为θ，
则cos θ＝|PB ―→·AC ―→||PB ―→||AC ―→|＝622×23＝6
4.
即PB 与AC 所成角的余弦值为
64
. 考点二 直线与平面所成的角
[典例精析]
(2019·合肥一检)如图，在多面体ABCDEF 中，
四边形ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF ＝DE ，M 为棱AE 的中点．
(1)求证：平面BDM ∥平面EFC ；
(2)若DE ＝2AB ，求直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值． [解] (1)证明：连接AC 交BD 于点N ，连接MN ， 则N 为AC 的中点，
又M 为AE 的中点，∴MN ∥EC . ∵MN ?平面EFC ，EC ?平面EFC ， ∴MN ∥平面EFC .
∵BF ，DE 都与平面ABCD 垂直，∴BF ∥DE . ∵BF ＝DE ，
∴四边形BDEF 为平行四边形，∴BD ∥EF . ∵BD ?平面EFC ，EF ?平面EFC ， ∴BD ∥平面EFC .
又MN ∩BD ＝N ，∴平面BDM ∥平面EFC . (2)∵DE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，
∴DA ，DC ，DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D -xyz . 设AB ＝2，则DE ＝4，从而D (0,0,0)，B (2,2,0)，M (1,0,2)，A (2,0,0)，E (0,0,4)，
∴DB ―→＝(2,2,0)，DM ―→
＝(1,0,2)， 设平面BDM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则?????
n ·DB ―→＝0，n ·DM ―→＝0，
得?????
2x ＋2y ＝0，x ＋2z ＝0.
令x ＝2，则y ＝－2，z ＝－1，
从而n ＝(2，－2，－1)为平面BDM 的一个法向量．
∵AE ―→
＝(－2,0,4)，设直线AE 与平面BDM 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos
n ，AE ―→
|＝|n ·AE ―→
||n |·|AE ―→|
＝4515，
∴直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值为45
15
.
[解题技法]
利用向量求线面角的2种方法
(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线与平面所成的角．
[题组训练]
1．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，则D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，由于AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，所以A 1(1,0,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,1)，D 1(0,0,1)，所以A 1C 1―→
＝(－1,2,0)，BC 1―→＝(－1,0,1)，D 1C 1―→
＝(0,2,0)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，
y ，z )，则有?????
A 1C 1―→·n ＝0， BC 1―→·n ＝0，
即?????
－x ＋2y ＝0，－x ＋z ＝0，令x ＝2，得y ＝1，z ＝2，则n ＝(2,1,2)．设
D 1C 1与平面A 1BC 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈D 1C 1―→
，n 〉|＝|D 1C 1―→
·n ||D 1C 1―→||n |＝22×3＝13，即D 1C 1与
平面A 1BC 1所成角的正弦值为1
3
.
答案：13
2.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BA ＝BC ＝5，AC ＝8，D 为线段AC 的中点．
(1)求证：BD ⊥A 1D ；
(2)若直线A 1D 与平面BC 1D 所成角的正弦值为4
5，求AA 1的长．
解：(1)证明：∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，
∴AA 1⊥平面ABC ，
又BD ?平面ABC ，∴BD ⊥AA 1， ∵BA ＝BC ，D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC ，
又AC ∩AA 1＝A ，AC ?平面ACC 1A 1，AA 1?平面ACC 1A 1， ∴BD ⊥平面ACC 1A 1，
又A 1D ?平面ACC 1A 1，∴BD ⊥A 1D . (2)由(1)知BD ⊥AC ，AA 1⊥平面ABC ，
以D 为坐标原点，DB ，DC 所在直线分别为x 轴，y 轴，过点D 且平行于AA 1的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .
设AA 1＝λ(λ＞0)，则A 1(0，－4，λ)，B (3,0,0)，C 1(0,4，λ)，D (0,0,0)， ∴DA 1―→＝(0，－4，λ)，DC 1―→＝(0,4，λ)，DB ―→
＝(3,0,0)， 设平面BC 1D 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则?????
n ·DC 1―→＝0，n ·DB ―→＝0，
即?????
4y ＋λz ＝0，3x ＝0，
则x ＝0，令z ＝4，可得y ＝－λ，
故n ＝(0，－λ，4)为平面BC 1D 的一个法向量． 设直线A 1D 与平面BC 1D 所成角为θ，
则sin θ＝|cos
n ，DA 1―→
|＝|n ·DA 1―→
||n |·|DA 1―→|
＝
|4λ＋4λ|λ2＋16·
λ2＋16
＝4
5
，解得λ＝2或λ＝8， 即AA 1＝2或AA 1＝8.
考点三 二面角
[典例精析]
如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝5
4，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△
D ′EF 位置，OD ′＝10.
(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B -D ′A -C 的余弦值．
[解] (1)证明：由四边形ABCD 为菱形，得AC ⊥BD . 由AE ＝CF ＝54，得AE AD ＝CF
CD ，所以EF ∥AC .
因此EF ⊥DH ，从而EF ⊥D ′H . 由AB ＝5，AC ＝6，得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4.
由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝1
4，
所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3，
则OD ′2＝OH 2＋D ′H 2，所以D ′H ⊥OH . 又OH ∩EF ＝H ，所以D ′H ⊥平面ABCD .
(2)以H 为坐标原点，HB ，HF ，HD ′分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系H -xyz ，如图所示．
则B (5,0,0)，C (1,3,0)，D ′(0,0,3)，A (1，－3,0)， (由口诀“起点同”，我们先求出起点相同的3个向量．) 所以AB ―→＝(4,3,0)， AD ′―→＝(－1,3,3)，AC ―→
＝(0,6,0)． (由口诀“棱排前”，我们用行列式求出两个平面的法向量．) 由????? AD ′―→＝(－1，3，3)， AB ―→＝(4，3，0)，
可得平面ABD ′的法向量n 1＝(－3,4，－5)，
由?????
AD ′―→＝(－1，3，3)， AC ―→＝(0，6，0)，
可得平面AD ′C 的法向量n 2＝(－3,0，－1)． 于是cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝75
25.
所以二面角B -D ′A -C 的余弦值为75
25
.
[解题技法]
(1)利用法向量求二面角的大小时，由于法向量的方向不同，两个法向量的夹角与二面角的大小可能相等，也可能互补．所以，两个法向量的夹角的余弦值与二面角的余弦值可能存在正负号的差异．
(2)有时用观察法难以判定二面角是钝角还是锐角，为了保证解题结果准确无误，我们给出一种万无一失的方法：就是在两个半平面和二面角的棱上各取1个向量，要求这三个向量必须起点相同，在利用行列式计算法向量时，棱对应的向量必须排前面，即口诀“起点同，棱排前”，这样求出的两个法向量的夹角一定与二面角的大小相等．
[题组训练]
如图所示，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△DAB ≌△DCB ，E 为线段BD 上的一点，且EB ＝ED ＝EC ＝BC ，连接CE 并延长交AD 于F .
(1)若G 为PD 的中点，求证：平面P AD ⊥平面CGF ； (2)若BC ＝2，P A ＝3，求二面角B -CP -D 的余弦值． 解：(1)证明：在△BCD 中，EB ＝ED ＝EC ＝BC ， 故∠BCD ＝90°，∠CBE ＝∠BEC ＝60°.
∵△DAB ≌△DCB ，∴∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∠ABE ＝∠CBE ＝60°，∴∠FED ＝∠BEC ＝∠ABE ＝60°.
∴AB ∥EF ，∴∠EFD ＝∠BAD ＝90°， ∴EF ⊥AD ，AF ＝FD . 又PG ＝GD ，∴GF ∥P A .
又P A ⊥平面ABCD ，∴GF ⊥平面ABCD ， ∵AD ?平面ABCD ，∴GF ⊥AD . 又GF ∩EF ＝F ，∴AD ⊥平面CGF .
又AD ?平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面CGF .
(2)以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (3，3，0)，D (0,23，0)，P (0,0,3)，
故CB ―→＝(－1，－3，0)， CP ―→＝(－3，－3，3)，CD ―→
＝(－3，3，0)． 设平面BCP 的一个法向量为n 1＝(1，y 1，z 1)，
则????? n 1·CB ―→＝0，n 1·CP ―→＝0，即????? －1－3y 1＝0，－3－3y 1＋3z 1＝0，解得???
y 1＝－3
3，z 1＝23，
即n 1＝?
??
?
1，－
33，23. 设平面DCP 的一个法向量为n 2＝(1，y 2，z 2)，
则?????
n 2·CD ―→＝0，n 2·CP ―→＝0，
即?????
－3＋3y 2＝0，－3－3y 2＋3z 2＝0，解得?????
y 2＝3，z 2＝2，
即n 2＝(1，3，2)． 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2
|n 1||n 2|＝
4316
9
×8＝2
4， 由图知二面角B -CP -D 为钝角， 所以二面角B -CP -D 的余弦值为－
24
. [课时跟踪检测]
A 级
1.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知M ，N 分别是BD 和AD 的中点，则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为( )
A.30
30 B.3015 C.
3010
D.1515
解析：选C 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则B 1(2,2,2)，M (1,1,0)，D 1(0，0,2)，N (1,0,0)，∴B 1M ―→
＝(－1，－1，－2)， D 1N ―→
＝(1,0，－2)，
∴B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为|B 1M ―→·D 1N ―→|
|B 1M ―→|·|D 1N ―→|
＝
|－1＋4|1＋1＋4×
1＋4
＝3010
. 2．如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝3，E 为线段AB 上一点，且AE ＝1
3
AB ，则DC 1与平面D 1EC 所成角的正弦值为( )
A.33535
B.277
C.33
D.24
解析：选A 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C 1(0,3,1)，D 1(0,0,1)，E (1,1,0)，C (0,3,0)，
∴DC 1―→＝(0,3,1)， D 1E ―→＝(1,1，－1)， D 1C ―→
＝(0,3，－1)． 设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则?????
n ·D 1E ―→＝0，n ·D 1C ―→＝0，
即?????
x ＋y －z ＝0，3y －z ＝0，取y ＝1，得n ＝(2,1,3)．
∴cos
DC 1―→，n
＝DC 1―→
·n |DC 1―→|·|n|
＝33535， ∴DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为335
35
.
3．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1＝2，二面角B -AA 1-C 1的大小为60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为3，点C 到平面ABB 1A 1的距离为23，则直线BC 1与直线AB 1所成角的正切值为( )
A.7
B.6
C.5
D ．2
解析：选A 由题意可知，∠BAC ＝60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为3，点C 到平面ABB 1A 1的距离为23，所以在三角形ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，BC ＝23，∠ABC ＝90°，
则AB 1―→·BC 1―→＝(BB 1―→－BA ―→)·(BB 1―→＋BC ―→
)＝4， |AB 1―→|＝22，|BC 1―→
|＝4， cos
AB 1―→，BC 1―→
＝AB 1―→·BC ―→|AB 1―→|·|BC ―→|＝24，
故tan
AB 1―→，BC 1―→
＝7.
4.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等，E ，F ，G 分别为AB ，AA 1，A 1C 1的中点，则B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为( )
A.3
5 B.5
6 C.3310
D.3610
解析：选A 设正三棱柱的棱长为2，取AC 的中点D ，连接DG ，DB ，分别以DA ，DB ，DG 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B 1()
0，3，2，F (1,0,1)， E ???
?12，3
2，0，G (0,0,2)， B 1F ―→＝()
1，－3，－1，EF ―→＝????12，－3
2，1， GF ―→＝(1,0，－1)．
设平面GEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则????? EF ―→·n ＝0，
GF ―→·n ＝0，即?????
12x －32y ＋z ＝0，x －z ＝0，
取x ＝1，则z ＝1，y ＝3，
故n ＝()
1，3，1为平面GEF 的一个法向量， 所以cos 〈n ，B 1F ―→〉＝1－3－15×5＝－35，
所以B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为3
5
.
5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )
A.12
B.23
C.33
D.22
解析：选B 以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设棱长为1，
则A 1(0,0,1)，E ????1，0，1
2，D (0,1,0)， ∴A 1D ―→
＝(0,1，－1)， A 1E ―→
＝?
???1，0，－12， 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )， 则????? n 1·A 1D ―→＝0，n 1·A 1E ―→＝0，
即?????
y －z ＝0，
1－12z ＝0，
∴?
????
y ＝2，z ＝2，∴n 1＝(1,2,2)． 又平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23
.
即平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为2
3
.
6．如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AB ＝2，CF ＝3.若直线OF 与平面BED 所成的角为45°，则AE ＝________.
解析：如图，以O 为坐标原点，以OA ，OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，以过点O 且平行于CF 的直线为z 轴建立空间直角坐标系．
设AE ＝a ，则B (0，3，0)，D (0，－3，0)，F (－1,0,3)，E (1,0，a )，∴OF ―→＝(－1,0,3)，DB ―→＝(0,23，0)， EB ―→
＝(－1，3，－a )．设平面BED 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则?????
n ·DB ―→＝0，n ·EB ―→＝0，
即?????
23y ＝0，－x ＋3y －az ＝0，
则y ＝0，令z ＝1，得x ＝－a ， ∴n ＝(－a,0,1)，
∴cos 〈n ，OF ―→
〉＝n ·OF ―→
|n ||OF ―→|
＝
a ＋3a 2＋1×
10
.
∵直线OF 与平面BED 所成角的大小为45°， ∴
|a ＋3|a 2＋1×10
＝22
， 解得a ＝2或a ＝－1
2(舍去)，∴AE ＝2.
答案：2
7.如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，且AC ⊥BD ，AC 与BD 交于O ，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝2，AB ＝22，E ，F 分别是AB ，AP 的中点，则二面角F -OE -A 的余弦值为________．
解析：以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示
的空间直角坐标系O -xyz ， 由题知，OA ＝OB ＝2，
则A (0，－2,0)，B (2,0,0)，P (0,0,2)，E (1，－1,0)，F (0，－1,1)， OE ―→＝(1，－1,0)，OF ―→
＝(0，－1,1)，
设平面OEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则?????
m ·OE ―→＝0，m ·OF ―→＝0，
即?????
x －y ＝0－y ＋z ＝0.
令x ＝1，可得m ＝(1,1,1)．
易知平面OAE 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，
则cos 〈m ，n 〉＝m ·n
|m ||n |＝3
3.
由图知二面角F -OE -A 为锐角， 所以二面角F -OE -A 的余弦值为33
. 答案：
33
8．(2018·全国卷Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧C D 所在平面垂直，M 是C D 上异于C ，D 的点．
(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
(2)当三棱锥M -ABC 体积最大时，求平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值． 解：(1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ?平面ABCD ，
所以BC ⊥平面CMD ，
又DM ?平面CMD ，所以BC ⊥DM .
因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径， 所以DM ⊥CM . 又BC ∩CM ＝C ， 所以DM ⊥平面BMC . 因为DM ?平面AMD ， 所以平面AMD ⊥平面BMC .
(2)以D 为坐标原点， DA ―→
的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .当三棱锥M -ABC 的体积最大时，M 为CD 的中点．由题设得D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，M (0,1,1)，AM ―→＝(－2，1,1)，AB ―→＝(0,2,0)，DA ―→
＝(2,0,0)．
设n ＝(x ，y ，z )是平面MAB 的法向量，
又DA ―→
是平面MCD 的一个法向量，
所以cos 〈n ，DA ―→〉＝n ·DA ―→|n ||DA ―→|＝55，sin 〈n ，DA ―→
〉＝255.
所以平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值是25
5
.
9．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．
(1)证明：PO ⊥平面ABC ；
(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M -P A -C 为30°，求PC 与平面P AM 所成角的正弦值．
解：(1)证明：因为P A ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以PO ⊥AC ，且PO ＝2 3.连接OB ，因为AB ＝BC ＝
2
2
AC ， 所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝1
2AC ＝2.
所以PO 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 又因为OB ∩AC ＝O ， 所以PO ⊥平面ABC .
(2)以O 为坐标原点，OB ―→
的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .由已知得O (0,0,0)，B (2,0,0)，A (0，－2,0)，C (0,2,0)，P (0,0,23)，
AP ―→
＝(0,2,23)．
取平面P AC 的一个法向量OB ―→
＝(2,0,0)． 设M (a,2－a,0)(0＜a ≤2)，则AM ―→
＝(a,4－a,0)． 设平面P AM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
令y ＝3a ，得z ＝－a ，x ＝3(a －4)，所以平面P AM 的一个法向量为n ＝(3(a －4)，3a ，－a )，
所以cos 〈OB ―→
，n 〉＝
23(a －4)
2
3(a －4)2＋3a 2＋a 2
.
由已知可得|cos 〈OB ―→
，n 〉|＝cos 30°＝32，
所以
23|a －4|2
3(a －4)2＋3a 2＋a 2
＝32
， 解得a ＝4
3或a ＝－4(舍去)．
所以n ＝????
－833，433，－43.
又PC ―→
＝(0,2，－23)，
所以cos 〈PC ―→
，n 〉＝
833＋83
34＋12·643＋163＋
169
＝3
4
.
所以PC 与平面P AM 所成角的正弦值为
34. B 级
1．如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，AC ∩BD ＝O ，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝2，AA 1＝3.
(1)证明：平面A 1CO ⊥平面BB 1D 1D ；
(2)若∠BAD ＝60°，求二面角B -OB 1-C 的余弦值． 解：(1)证明：∵A 1O ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ， ∴A 1O ⊥BD .
∵四边形ABCD 是菱形，∴CO ⊥BD . ∵A 1O ∩CO ＝O ，∴BD ⊥平面A 1CO . ∵BD ?平面BB 1D 1D ，
∴平面A 1CO ⊥平面BB 1D 1D .
(2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，CO ⊥BD ，∴OB ，OC ，OA 1两两垂直，以O 为坐标原点，OB ―→，OC ―→， OA 1―→
的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
∵AB ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝60°， ∴OB ＝OD ＝1，OA ＝OC ＝3， OA 1＝
AA 21－OA 2
＝ 6.
则O (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，A (0，－3，0)，A 1(0,0，6)，
∴OB ―→＝(1,0,0)，BB 1―→＝AA 1―→＝(0，3，6)， OB 1―→＝OB ―→＋BB 1―→
＝(1，3，6)． 设平面OBB 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则?????
OB ―→·n ＝0，OB 1―→·n ＝0，
即?????
x ＝0，x ＋3y ＋6z ＝0.
令y ＝2，得z ＝－1，∴n ＝(0，2，－1)是平面OBB 1的一个法向量． 同理可求得平面OCB 1的一个法向量m ＝(6，0，－1)， ∴cos
n ，m
＝
n ·m
|n |·|m |＝13×7＝21
21，
由图可知二面角B -OB 1-C 是锐二面角， ∴二面角B -OB 1-C 的余弦值为
2121
. 2．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝2CD .
平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ＝PD ，点E 在PC 上，DE ⊥平面
P AC .
(1)求证：P A ⊥平面PCD ；
(2)设AD ＝2，若平面PBC 与平面P AD 所成的二面角为45°，求DE 的长．
解：(1)证明：由DE ⊥平面P AC ，得DE ⊥P A ，
又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊥AD ，
所以CD ⊥平面P AD ，所以CD ⊥P A ， 又CD ∩DE ＝D ，所以P A ⊥平面PCD . (2)取AD 的中点O ，连接PO ， 因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD ，
又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以PO ⊥平面ABCD ，
以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，由(1)得P A ⊥PD ，由AD ＝2得P A ＝PD ＝2，PO ＝1，
设CD ＝a ，则P (0,0,1)，D (0,1,0)，C (a,1,0)，B (2a ，－1,0)， 则BC ―→＝(－a,2,0)，PC ―→
＝(a,1，－1)． 设m ＝(x ，y ，z )为平面PBC 的法向量，
由?????
m ·BC ―→＝0，m ·PC ―→＝0，
得?????
－ax ＋2y ＝0，ax ＋y －z ＝0，令x ＝2，则y ＝a ，z ＝3a ，故m ＝(2，a,3a )为平
面PBC 的一个法向量，
由(1)知n ＝DC ―→
＝(a,0,0)为平面P AD 的一个法向量． 由|cos
m ，n
|＝
|m ·n |
|m ||n |＝|2a |a 10a 2＋4
＝
22，解得a ＝105，即CD ＝105
，所以在Rt △PCD 中，PC ＝215
5
，
由等面积法可得DE ＝CD ·PD PC ＝3
3
.
3．如图，在三棱锥P -ABC 中，平面P AB ⊥平面ABC ，AB ＝6， BC ＝23，AC ＝26，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且AD ＝2DB ，CE ＝2EB ，PD ⊥AC .
(1)求证：PD ⊥平面ABC ；
(2)若直线P A 与平面ABC 所成的角为45°，求平面P AC 与平面PDE 所成的锐二面角大小．
解：(1)证明：∵AC ＝26，BC ＝23，AB ＝6，
∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°， ∴cos ∠ABC ＝236＝3
3.
又易知BD ＝2，
∴CD 2＝22＋(23)2－2×2×23cos ∠ABC ＝8， ∴CD ＝22，又AD ＝4， ∴CD 2＋AD 2＝AC 2，∴CD ⊥AB .
∵平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，CD ?平面ABC ， ∴CD ⊥平面P AB ，
又PD ?平面P AB ，∴CD ⊥PD ， ∵PD ⊥AC ，AC ∩CD ＝C ， ∴PD ⊥平面ABC .
(2)由(1)知PD ，CD ，AB 两两互相垂直，∴可建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，
∵直线P A 与平面ABC 所成的角为45°，即∠P AD ＝45°，∴PD ＝AD ＝4，
则A (0，－4,0)，C (22，0,0)，B (0,2,0)，P (0,0,4)，
∴CB ―→＝(－22，2,0)，AC ―→＝(22，4,0)，P A ―→
＝(0，－4，－4)． ∵AD ＝2DB ，CE ＝2EB ，∴DE ∥AC ， 由(1)知AC ⊥BC ，∴DE ⊥BC ，
又PD ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，∴PD ⊥BC ， ∵PD ∩DE ＝D ，∴CB ⊥平面PDE ，
∴CB ―→
＝(－22，2,0)为平面PDE 的一个法向量． 设平面P AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则?????
n ·AC ―→＝0，n ·P A ―→＝0，
即?????
22x ＋4y ＝0，－4y －4z ＝0，
利用空间向量求空间角教案设计
利用空间向量求空间角 一、高考考纲要求： 能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用． 二、命题趋势： 在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多. 三、教学目标 知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用； 过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力； 情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力. 四、教学重难点 重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角； 难点：将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程 （一）空间角公式 1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l ，m 的方向向量分别为a r ,b r ,异面直线l ，m
2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a r 为l 的方向向量，n r 为平面α的法向量，θ为 l 与α所成的角，则sin cos ,a n θ==r r a n a n ?r r r r . 3、面面角公式：设1n r ，2n r 分别为平面α、β的法向量，二面角为θ，则12,n n θ=r r 或 12,n n θπ=-r r （需要根据具体情况判断相等或互补） ，其中121212 cos ,n n n n n n ?=r r r r r r . α θ O n r a
（二）典例分析 如图，已知：在直角梯形OABC 中，//OA BC ，90AOC ∠=o ，SO ⊥面OABC ，且 1,2OS OC BC OA ====.求： （1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值； （2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值； （3）二面角B AS O --的余弦值. 解：如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ， (2,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)S ， 于是我们有(2,0,1)SA =-u u r ，(1,1,0)AB =-u u u r ，(1,1,0)OB =u u u r ，(0,0,1)OS =u u u r ， （1）cos ,5SA OB SA OB SA OB ?== =u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r ， 所以异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值为5 . （2）设平面SAB 的法向量(,,)n x y z =r ， 则0,0, n AB n SA ??=???=??r u u u r r u u r ，即0,20.x y x z -+=??-=? 取1x =，则1y =，2z =，所以(1,1,2)n =r ， sin cos ,3OS n OS n OS n α?∴=== =u u u r r u u u r r u u u r r . （3）由（2）知平面SAB 的法向量1(1,1,2)n =u r ， 又OC ⊥Q 平面AOS ，OC ∴u u u r 是平面AOS 的法向量， 令2(0,1,0)n OC ==u u r u u u r ，则有121212 cos ,n n n n n n ?== =u r u u r u r u u r u r u u r . ∴二面角B AS O --O A B C S
(完整版)空间向量与立体几何题型归纳
空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD （1）证明AB⊥平面VAD； （2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=， BC=1，PA=2，E为PD的中点. （1）求直线AC与PB所成角的余弦值； （2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.(易错点,建系后,关于N点的坐标的设法,也是自己的弱项)
3. 如图，在长方体ABCD ―A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ； （2）当E 为AB 的中点时，求点A 到面ECD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角 D 1―EC ―D 的大小为(易错点:在找平面DEC 的法向量的时候,本来法向量就己经存在了,就不必要再去找,但是我认为去找应该没有错吧,但法向量找出来了 ,和那个己经存在的法向量有很大的差别,而且,计算结果很得杂,到底问题出在哪里 ?) 4.如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2DC ＝2，E 为BD 1的中点，F 为AB 的中点，∠DAB ＝60°． (1)求证：EF ∥平面ADD 1A 1； (2)若2 21BB ，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值．
N：5题到11题都是运用基底思想解题 5.空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成60度角，求AD与BC所成角的大小。 6.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB=45°, ∠A1AC=60°,求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。 7.如图，60°的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内， 且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8，求CD的长 8.如图，已知空间四边形OABC中，OB=0C, ∠AOB=∠AOC=Θ，求证OA⊥BC。 9．如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE。 （1）计算DE的长； （2）求点O到平面ABC的距离。 10．如图，线段AB在平面⊥α，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD与平面α所成的角。
平面向量题型全归纳,平面向量知识点和题型总结
第五章 平面向量 题型57 平面向量的概念及线性运算 ? 知识点摘要： 1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，一般用c b a ,,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如AB （其中A 为起点，B 为终点）。 2. 向量的大小：又叫向量的模，也就是向量的长度，记作||a 或||AB 。 3. 零向量：长度为0的向量，记作0，其方向是不确定的。我们规定零向量与任何向量a 共线（平行），即a ∥0。 4. 单位向量：模长为1个单位的向量叫做单位向量。当≠||a 0时，很明显| |a a ± 是与向量a 共线（平行）的单位向量。 5. 相等向量：大小相等，方向相同的向量，记为b a =。 6. 相反向量：大小相等，方向相反的向量，向量a 的相反向量记为a -。 7. 共线向量（平行向量）：方向相同或方向相反的向量，叫做平行向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上。 一、向量的线性运算 1. 向量的加法： 1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b BC a AB ==,，则向量AC 叫做向量a 和b 的和（或和向量），即AC BC AB b a =+=+。 1.2. 向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则，如图： 1.3. 若向量b a ,不共线，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当向量b a ,共线时，只能用三角形法则。 1.4. 三角形法则可推广至若干个向量的和，如图：
2. 向量的减法： 2.1. 向量a 与b 的相反向量之和叫做向量a 与b 的差或差向量，即)(b a b a -+=-。 2.2. 向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则，同起点，指向被减数，如图： 3. 向量的数乘运算： 3.1. 实数λ与向量a 的积是一个向量，记为a λ，其长度与方向规定如下： ①||||||a a λλ= ②当0＞λ时，a λ与a 的方向相同；当0＜λ时，a λ与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向不确定。 3.2. 向量数乘运算的运算律:设μλ，为实数，则 ①a a a μλμλ+=+)(； ②a a )()(λμμλ=； ③b a b a λλλ+=+)(。 二、重要定理和性质 1. 共线向量基本定理：如果)(R b a ∈=λλ，则b a ∥；反之，如果b a ∥且0≠b 时，一定存在唯一实数λ，使b a λ=。 2. 三点共线定理：平面内三点A,B,C 共线的充要条件是，存在实数μλ，，使μλ+=,其中 1=+μλ，O 为平面内任一点。即A,B,C 三点共线?OC OB OA μλ+=（1=+μλ） ? 典型例题精讲精练： 57.1平面向量相关概念 1. 给出下列命题：①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→ 是四 边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；其中正确命题的序号是________．[答案] ①② 2. 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ， μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( )D A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
利用空间向量求空间角考点与题型归纳
利用空间向量求空间角考点与题型归纳 一、基础知识 1．异面直线所成角 设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b | |a ||b | ? ， 其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向 向量． 2．直线与平面所成角 如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量， φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n | |a ||n | ? . 3．二面角 (1)若AB ，CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角，如图(1)． (2)平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝ |n 1·n 2| |n 1||n 2| ? ，如图(2)(3)． 两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值． 直线与平面所成角的范围为????0，π 2，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值． 利用公式与二面角的平面角时，要注意〈n 1，n 2〉与二面角大小的关系，是相等还是互
补，需要结合图形进行判断． 二、常用结论 解空间角最值问题时往往会用到最小角定理 cos θ＝cos θ1cos θ2. 如图，若OA 为平面α的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在平面α内的射影，OC 为平面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2. 考点一 异面直线所成的角 [典例精析] 如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2. (1)求证：MN ∥平面BDE ； (2)已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为7 21 ，求线段AH 的长． [解] 由题意知，AB ，AC ，AP 两两垂直，故以A 为原点，分别以AB ―→，AC ―→，AP ―→ 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．依题意可得A (0，0,0)，B (2，0,0)，C (0,4,0)，P (0，0,4)，D (0,0,2)，E (0,2,2)，M (0，0,1)，N (1,2,0)． (1)证明：DE ―→＝(0,2,0)，DB ―→ ＝(2,0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量， 则????? n ·DE ―→＝0，n ·DB ―→＝0， 即????? 2y ＝0，2x －2z ＝0. 不妨取z ＝1，可得n ＝(1,0,1)．
空间向量知识点归纳总结
空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线 向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝
λb 。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数 ,x y 使p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数 ,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使 ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作 (,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。 （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，
向量知识点归纳与常见题型总结
向量知识点归纳与常见题型总结 一、向量知识点归纳 1．与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“a ＞b ”错了，而|a |＞|b |才有意义. ⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量 ⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（,）,其中x 、y 满足 +2x 2 y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.特别：||AB AB →→表示与AB → 同向的单位向量。 例如：向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； 例1、O 是平面上一个定点，A 、B 、C 不共线，P 满足()[0,).|||AB AC OP OA AB AC λλ=++?∈+∞则点P 的轨迹一定通过三角形的内心。 (变式)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06陕西) ⑸0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. （7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。) 2．与向量运算有关的问题 ⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则） ①当两个向量和不共线时，+的方向与、都不相同，且|+|＜||＋||； ②当两个向量a 和b 共线且同向时，+a b 、a 、b 的方向都相同，且=+||||||b a +； ③当向量a 和b 反向时，若|a |＞|b |，b a +与 a 方向相同 ，且|b a +|=|a |-|b |； 若|a |＜|b |时,b a +与b 方向相同，且|a ＋b |=|b |-|a |. ⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算. 三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。 =+;=- 例2：P 是三角形ABC 内任一点，若,CB PA PB R λλ→→→ =+∈，则P 一定在（ ）
高中数学-空间直角坐标系与空间向量典型例题
高中数学-空间直角坐标系与空间向量 一、建立空间直角坐标系的几种方法 构建原则： 遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。 作法： 充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系． 类型举例如下： （一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠ A 为直角，A B ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，D C ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦 值． 解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--u u u u r ，，，(010)CD =-u u u r ，，． 设1BC u u u u r 与CD uuu r 所成的角为θ， 则11317 cos 17BC CD BC CD θ== u u u u r u u u r g u u u u r u u u r ． （二）利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于 C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB = ，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝ 3 π ．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值． 解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝ 2，∠BCC 1＝ 3 π，
平面向量题型归纳总结
平面向量题型归纳 一。向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】 １。向量得概念:既有大小又有方向得量,记作:或。注意向量与数量得区别.向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就就是有向线段,为什么？（向量可以平移)。 例:已知A(1，2)，B(４,2）,则把向量按向量＝（-1，3）平移后得到得向量就是 ２、向量得模：向量得大小（或长度），记作：或. 3。零向量：长度为0得向量叫零向量，记作：,注意零向量得方向就是任意得; ４．单位向量:单位向量:长度为1得向量。若就是单位向量，则。(与共线得单位向量就是); 5。相等向量:长度相等且方向相同得两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 6。平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反得非零向量、叫做平行向量,记作：∥,规定零向量与任何向量平行。 提醒：①相等向量一定就是共线向量，但共线向量不一定相等; ②两个向量平行与与两条直线平行就是不同得两个概念:两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合; ③平行向量无传递性！（因为有）； ④三点共线共线； 如图，在平行四边形中，下列结论中正确得就是( ) A、B、 C、Ｄ、 7．相反向量：长度相等方向相反得向量叫做相反向量.得相反向量就是－、。例：下列命题：(1)若，则。(2）若，则。（6）若，则。（3）若,则就是平行四边形。(4）若就是平行四边形，则。其中正确得就是_＿_____ 题型1、基本概念 １：给出下列命题: ①若｜|=｜｜,则＝;②向量可以比较大小；③方向不相同得两个向量一定不平行; ④若＝，=，则=；⑤若/／，//，则/／；⑥;⑦； 其中正确得序号就是。 ２、基本概念判断正误：（1）共线向量就就是在同一条直线上得向量。 （２)若两个向量不相等,则它们得终点不可能就是同一点. (3）与已知向量共线得单位向量就是唯一得。 （4）四边形ABCＤ就是平行四边形得条件就是。
(完整版)空间向量与立体几何题型归纳.doc
空间向量与立体几何 1,如图，在四棱锥V-ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧面 VAD是正三角形，平面 VAD⊥底面 ABCD （1）证明 AB⊥平面 VAD； （2）求面 VAD与面 VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥 P— ABCD中，底面 ABCD为矩形，侧棱 PA⊥底面 ABCD，AB= ， BC=1， PA=2， E 为 PD的中点 . （1）求直线 AC与 PB所成角的余弦值； （2）在侧面 PAB内找一点 N，使 NE⊥平面 PAC，并求出 N点到 AB和 AP的距离 .( 易错点 , 建系后, 关于 N 点的坐标的设法 , 也是自己的弱项 )
3.如图，在长方体ABCD― A1 B1 C1D1中， AD=AA1=1， AB=2，点 E 在棱 AB上移动 . （1）证明： D1E⊥A1D； （2）当 E 为 AB的中点时，求点 A 到面 ECD1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角 D1― EC― D的大小为( 易错点 : 在找平面 DEC的法向量的时候 , 本 来法向量就己经存在了, 就不必要再去找, 但是我认为去找应该没有错吧, 但法向量找出来了, 和那个己经存在的法向量有很大的差别, 而且 , 计算结果很得杂, 到底问题出在哪里?) 4.如图，直四棱柱 ABCD － A1 B1C1D1中，底面 ABCD 是等腰梯形， AB ∥ CD ， AB ＝ 2DC ＝ 2， E 为 BD 1的中点， F 为 AB 的中点，∠ DAB ＝ 60°． (1)求证： EF ∥平面 ADD 1A1； 2 1 (2) 若BB12 ，求 A F 与平面 DEF 所成角的正弦值．
向量知识点归纳与常见题型总结
向量知识点归纳与常见题型总结 高三理科数学组全体成员 一、向量知识点归纳 1．与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“＞”错了，而||＞||才有意义. ⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件. ⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（,）,其中x 、y 满足 +2x 2 y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.特别：||AB AB →→表示与AB → 同向的单位向量。 例如：向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； 例1、O 是平面上一个定点，A 、B 、C 不共线，P 满足()[0,).|||AB AC OP OA AB AC λλ=++?∈+∞u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r 则点P 的轨迹一定通过三角形的内心。 (变式)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06陕西) ⑸0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. （7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。) 2．与向量运算有关的问题 ⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则） ①当两个向量和不共线时，+的方向与、都不相同，且|+|＜||＋||； ②当两个向量a 和b 共线且同向时，+a b 、a 、b 的方向都相同，且=+||||||+； ③当向量a 和b 反向时，若|a |＞|b |，b a +与 a 方向相同 ，且|b a +|=|a |-|b |； 若|a |＜|b |时,b a +与b 方向相同，且|a ＋b |=|b |-|a |. ⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算. 三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。 =+;=-