专题复习-实数和二次根式
专题复习 二次根式
知识点归纳：
一．实数：
1. 数的分类：
??????
??无理数分数整数有理数实数（定义分） ????
?
?????????
?负无理数负有理数负实数负无理数正有理数正实数实数（大小分）0 2. 平方根的性质：
（1） 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （2） 算术平方根a 具有双重非负性，即：0,0≥≥a a .
（3）
??
?<-≥==)
0()0(2
a a a a a a )0()(2
≥=a a a 3. 立方根的性质：
（1） 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. （2）
a a =3
3 a a =33)(
二．二次根式：
1.二次根式的概念：式子a ),0(≥a 叫做二次根式，具有双重非负性。
2.最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数不含开的尽方的整数和整式。
3.同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同。
4.分母有理化：把分母化为有理数的过程，即去分母中的根号的过程。
5.二次根式运算法则： 加减法：合并同类二次根式； 乘法：)0,0(≥≥=
?b a ab b a
除法：
)0,0(>≥=
b a b
a
b
a 6.常见化简：?????<-≥=)
0()0(22a b a a b
a b a )0(1>=
=a a a a a a a 或
典型例题讲解及变式练习：
例1 若一个数的平方根是2a-1和-a+2，求这个正数的平方。
练习：
1. 已知某数有两个平方根，分别为a+3和2a-15，求这个数平方的倒数。
2. 已知13-+=m n m A 为m+3n 的算术平方根，121+-=n m B 为2
1m -的立方根，求A+B
的值。
3．已知12-a 的平方根是3±，3a+b-1的立方根是4，求a+2b 的值。
练习：
1.0)2(132
=-++++c b a ，求12
-+c
b a 的算术平方根。
2.若12-++-b a b a 与互为相反数，求3222b a +的值。
3.已知55)12(22
--=
-++-+x x b a b a ，求a a x b -的值。
4. _________0|
4|)2(7162
2==+++-n m m m n m ，则。
5. 已知x x x y 62112+-+-=，求132-+y x 的平方根。
例3 已知103+的小数部分是a ，103-的小数部分为b ，求b a +和b a -的值。
练习：已知137+的小数部分是a ，13-7的小数部分为b ，求b a +和2
)(b a -的值。
1.化简=+-+-a
a a 1112
2 。
2. 已知)10(1<<-=a a a
x ，则x x 42+= 。
3. 已知21< 1 24 4222 -+-+ +--x x x x x x =_________。 例5 最简二次根式a 21+与22+a 是同类二次根式，则a 的值是_______. 练习： 1. 若a+b 5b 与3a+2b 已化成最简二次根式，且被开方数相同，则a= ，b= 。 2．若62312与-+n n m 是同类最简二次根式，则n=_______,m=_______。 例6 已知实数a 满足a a a =-+-2010|2009|，则2 2009-a =_________。 例7 计算： 1 33261 236+++ ++ 1. 1-222-4-1-33-36 53225+ ++ 2.1 23 622++++ 例8 较下列每组数里两个数的大小: 6347与; 6253++与. 比较43-与32-的大小 比较1n n +-与1n n --的大小 例9 化简求值：已知12,12+=-=y x ，求 xy x y x y y x 33++++的值。 练习： 1. ()x x y y x y x y x y x ++++-÷-+211 ，其中x =+23，y =-23 2. 设xy x y x +??? ? ? ?--+=+-=2 2 22y ,2321,2321求的值。 3．已知：2420-=x ，求221 x x +的值． 4．已知)( 1 31,1 31a b b a ab b a ++= -=求的值。 巩固训练： 一．选择题： 1．下列式子中最简二次根式的个数有 （ ） ⑴ 31；⑵3-；⑶12+-x ；⑷38；⑸23 1 )(-；⑹)(11>-x x ；⑺322++x x . A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2．下列计算正确的有 （ ） ①69494=-?-=--))((；②69494=?=--))((； ③345454522=-?+=-；④145452222=-=-； A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．把 ab a 123分母有理化后得 （ ） A ．b 4 B ．b 2 C ． b 2 1 D ． b b 2 6.已知22-15--25x x =2，则 -252x +2-15x =（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 7．式子 221,5,,1x x x x ++--中,无论x 为何值,一定有意义的式子的个数是 （ ）个. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 8. 如果最简根式3b b a -和2 2b a -+是同类二次根式，那么a ，b 的值是（ ） A. a ＝0，b ＝2 B. a ＝2，b ＝0 C. a ＝－1，b ＝1 D. a ＝1，b ＝－2 9.化简二次根式a a a - +1 2 的结果是（ ） A. --a 1 B. -- -a 1 C. a +1 D. -- +a 1 10.已知：ab>0，bc<0，化简-a c b 33 3 的结果为（ ） A. ac b abc 2 B. ac b abc 2 - C. - -ac b abc 2 D. - ac b abc 2 11.已知：a b =-= +152152 ，，则a b 22 7++的值。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12.已知a 13. 如果 y x x y += 322，那么y x x y +的值等于（ ） A. 3 2 B. 5 2 C. 7 2 D. 92 14. 若a = -1 21 ，b =+21，则a 、b 的关系是（ ） A. 互为倒数 B. 互为相反数 C. 相等 D. 互为有理化因式 二. 填空题： 1. 若a 的算术平方根是 1 2 ，则a ＝________ 2. 64的平方根为__________；--=272 3 _________ 3. 若x ≤0时，则||12 --=x x _______ 4. 当a<1且a ≠0时，化简 a a a a 2221 -+-=__________ 5. 请你观察思考下列计算过程： 11121121112 =∴=，； 同样 11112321123211112 =∴=，， 由此猜想12345678987654321=_________ 6. 已知xy ＝3，那么x y x y x y +的值为_________ 7. 实数a 在数轴上的位置如图所示，化简||()a a -+-=122 ________ a -1 0 1 2 8. 计算 123 2761 3++-=_______ 9. 若y x x x =-+-+36633 ，则10x ＋2y 的平方根为_________ 10. 根式：y 2 ，m n 2，23 x y ，622()a b -，7533x y ，x y 22+， 22 a a 中， 最简根式有__________个 11．. 代数式 x x --1 2 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________ 12. 32-的相反数是__________，倒数是__________ 14. 当 x x x x +-= +-292 9时，x 的取值范围是_________ 15. 6 273 -分母有理化的结果是___________ 17. 已知()||x xy xy z -++-+--=253302 ，则x y z -= _________ 18. 在 150******** ，，，中，与12是同类二次根式的是________ 19. 如果最简二次根式3b b a -和2 2b a -+是同类二次根式，那么a b =_______ 20. 已知：xy ＝3，那么x y x y x y +的值是_________ 21. 已知：a b ab +==54，，则 a b a b -+=_________ 22. 在实数范围内分解因式：a a a 5 3 56--= ________ 23. 已知x>0，y>0，且x x y y --=560，则 x xy y x xy y -++-=22________ 24. 若式子 x x x ---2 23 2 有意义，则x 的取值范围是__________ 25. 当0 + -=1 2_______ 26. 观察下列各式：113213 214 314 315 415 +=+=+=；；； 将你猜想到的规律用含自然数n （n ≥1）的代数式表示出来是____________ 三．解答题 1. 化简-a b 3 （b>0） 2. 计算：a bb a a b b a bb a b b ab ++?--+÷ -()1 3. 用简便方法计算： 已知x =+51 2，求x x x 331 ++的值。 四．中考链接 1.（08遵义）若230a b -+-=，则2 a b -= ． 8．(08宁波)若实数x y ，满足2 2(3)0x y ++-=，则xy 的值是 ． 9．（08自贡）写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 。 10．（08中山）已知等边三角形ABC 的边长为33+ ，则ΔABC 的周长是__________ 11．（2007山东烟台）观察下列各式：111111 12,23,34,....334455+ =+=+= 请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来__________________________． 12. （08云南）下列计算正确的是（ ） A ．326a a a ?= B ．0( 3.14)1π-= C ．1 1( )22 -=- D ．93=± 13. (08郴州)下列计算错误的是（ ） A ．－（－2）=2 B ．822= C ．22x +32x =52 x D ．235()a a = 14．（08聊城）下列计算正确的是（ ） A ．234265+= B ．842= C ．2733÷= D ．2(3)3-=- 15．（08重庆）计算28- 的结果是（ ） A 、6 B 、6 C 、2 D 、2 24．（08湖北荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ） A.21a + B. 1 2 C.8 D.27 25．（08广东中山市）下列根式中不是最简二次根式的是（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．2 26．(08桂林)在下列实数中，无理数是（ ） A 、 51 .0 B 、 π C 、 4- D 、7 22 27．(08常州) 下列实数中,无理数是( ) A.4 B. 2 π C. 13 D. 12 28．(08宜昌）从实数－2，－ 3 1 ，0，л，4中，挑选出的两个数都是无理数的为（ ） A. － 3 1 ，0 B. л，4 C. －2，4 D. －2，л 29．(08宁波)比3大的实数是（ ） A ．5- B ．0 C ．3 D ．2 31.(08永州) 下列判断正确的是（ ） A ． 2 3 ＜3＜2 B ． 2＜2＋3＜3 C ． 1＜5－3＜2 D ． 4＜3·5＜5 32．(08益阳) 一个正方体的水晶砖，体积为100cm 3 ，它的棱长大约在 A. 4cm~5cm 之间 B. 5cm~6cm 之间 C. 6cm~7cm 之间 D. 7cm~8cm 之间 33．（08芜湖）估计1 32202 ?+的运算结果应在（ ）． Ａ．6到7之间 Ｂ．7到8之间 Ｃ．8到9之间 Ｄ．9到10之间 38．（08大连）若b a y b a x +=-= ,，则xy 的值为 ( ) A ．a 2 B ．b 2 C ．b a + D ．b a - 39.(08常州)若式子5x +在实数范围内有意义,则x 的取值范围是（ ） A.x >-5 B.x <-5 C.x ≠-5 D.x ≥-5 40.(08常州) 化简:0 611822??-- ??? 41。 （08苏州）计算：1 21(3)42-?? --+ ??? ． 42．（08广东湛江） 计算：(1-)2008 －(π－3)0 ＋4． 43．（08沈阳）计算：1 01(1)527232-?? π-+-+-- ??? ． 45．(08宁夏)先化简，再求值：)1()1112(2-?+--a a a ，其中33-=a 。 23．甲同学用如图方法作出C 点，表示数，在△OAB 中，∠OAB=90°，OA=2，AB=3，且点O ，A ，C 在同一数轴上，OB=OC （1）请说明甲同学这样做的理由； （2）仿照甲同学的做法，在如图所给数轴上描出表示﹣ 的点A ． 24．如果正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，则每个小格的顶点叫做格点． （1）如图①，以格点为顶点的△ABC中，请判断AB，BC，AC三边的长度是有理数还是无理数？ （2）在图②中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为3，，2． 25．阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如， 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）==； （二）===﹣1； （三）====﹣1．以上这种化简的方法叫 分母有理化． （1）请用不同的方法化简： ①参照（二）式化简=． ②参照（三）式化简=． （2）化简： +++…+． 八年级数学第二章《实数》单元测试卷 2、 一个长方形的长与宽分别时 6、3，它的对角线的长可能是 (A) 整数 (B) 分数 (C) 有理数 (D) 无理数 3、 下列六种说法正确的个数是 与有理数的积一定仍是无理数 7、下列运算正确的是 10、若 a 2 -4,b 2 =9 ,且ab ：：： 0 ,则a -b 的值 为 ( ) (A) -2 (B) - 5 (C) 5 (D) -5 一 S (B) S 的平方根是a (C) a 是S 的算术平方根(D) (A) S =、a 班级 _______________ .选择题(30分) 姓名 ________________ 学号 _____________ 1 在下列各数 0.51515354；、0、0.2、3二、 理数的个数是 22 ~7 6.1010010001；、 13 1 71 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 。无限小数都是无理 ⑦正数、负数统称有理数 ③无理数的相反数还是无理数 @无理数与无理数的和一定还是无理数 ⑤无理数与有理数的和一定是无理数 ⑥无理数 4、 (A) (C) F 列语句中正确的是 -9的平方根是-3 9的算术平方根是一 3 (B) (D) 9的平方根是3 9的算术平方根是3 -4 ,③.-22 二- 22 一 2，④ 1 - 1 16 1 25 4 9 20 (B) (C) (D) ■ (-5)2 的平方根是 (A) -5 (B) (C) -5 (D) 一 、、5 (A) 3 ―^ = -V -1 (B) (C) 3 -1 = 3 -1 (D) 8、若a 、b 为实数, "2 一1「一‘ 4，则a b 的值为 (A) -1 (B) (C) (D) 9、已知一个正方形的边长为 a ，面积为S ，则 6、 5、 下列运算中，错误的是 ,②.(二4)2 专题复习 二次根式 知识点归纳： 一．实数： 1. 数的分类： ?????? ??无理数分数整数有理数实数（定义分） ???? ? ????????? ?负无理数负有理数负实数负无理数正有理数正实数实数（大小分）0 2. 平方根的性质： （1） 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （2） 算术平方根a 具有双重非负性，即：0,0≥≥a a . （3） ?? ?<-≥==) 0()0(2 a a a a a a )0()(2 ≥=a a a 3. 立方根的性质： （1） 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. （2） a a =3 3 a a =33)( 二．二次根式： 1.二次根式的概念：式子a ),0(≥a 叫做二次根式，具有双重非负性。 2.最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数不含开的尽方的整数和整式。 3.同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同。 4.分母有理化：把分母化为有理数的过程，即去分母中的根号的过程。 5.二次根式运算法则： 加减法：合并同类二次根式； 乘法：)0,0(≥≥= ?b a ab b a 除法： )0,0(>≥= b a b a b a 6.常见化简：?????<-≥=) 0()0(22a b a a b a b a )0(1>= =a a a a a a a 或 典型例题讲解及变式练习： 例1 若一个数的平方根是2a-1和-a+2，求这个正数的平方。 练习： 1. 已知某数有两个平方根，分别为a+3和2a-15，求这个数平方的倒数。 2. 已知13-+=m n m A 为m+3n 的算术平方根，121+-=n m B 为2 1m -的立方根，求A+B 的值。 3．已知12-a 的平方根是3±，3a+b-1的立方根是4，求a+2b 的值。 练习： 1.0)2(132 =-++++c b a ，求12 -+c b a 的算术平方根。 二次根式计算专题训练 解答题（共30小题） 1．计算： （1）+；（2）（+）+（﹣）． 2．计算： （1）（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣+（）﹣2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）2． 3．计算化简： （1）++（2）2﹣6+3． 4．计算 （1）+﹣（2）÷×． （1）×+3×2（2）2﹣6+3． 6．计算： （1）（）2﹣20+|﹣| （2）（﹣）× （3）2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣） 7．计算 （1）?（a≥0）（2）÷ （3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣） （1）+﹣（2）3+（﹣）+÷． 9．计算 （1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2． 10．计算： （1）﹣4+（2）+2﹣（﹣）（3）（2+）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0． 11．计算： （1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2?． ①4+﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2． 13．计算题 （1）××（2）﹣+2 （3）（﹣1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣） （5）÷﹣×+（6）． 14．已知：a=，b=，求a2+3ab+b2的值． 15．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值． 16．化简：﹣a． 17．计算： （1）9+5﹣3；（2）2；（3）（）2016（﹣）2015． 18．计算：． 19．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值． 20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简． 21．已知1＜x＜5，化简：﹣|x﹣5|． 22．观察下列等式： ①==； ②==； ③== …回答下列问题： （1）利用你观察到的规律，化简： （2）计算：+++…+． 23．观察下面的变形规律： =，=，=，=，…解答下面的问题： （1）若n为正整数，请你猜想=； （2）计算： （++…+）×（） 24．阅读下面的材料，并解答后面的问题： ==﹣1 第二章实数测试题 一、选择题(每题3分，共30分) 1．有一组数如下：－π，13，|－2|，4，7，3 9，0.808008…(相邻两个8之间0 的个数逐次加1)．其中无理数有( ) A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个 2．下列说法中，正确说法的个数是( ) ①－64的立方根是－4； ②49的算术平方根是±7； ③127的立方根是13； ④116的平方根是14 . A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．下列各组数中，互为相反数的一组是( ) A ．－3与3 －27 B ．－3与（－3）2 C ．－3与－1 3 D .||－3与3 4．下列各式计算正确的是( ) A .2＋3＝ 5 B ．43－33＝1 C ．23×33＝6 3 D .27÷3＝3 5．下列各式中，无论x 为任何数都没有意义的是( ) A .－7x B .－1999x 3 C .－0.1x 2－1 D .3 －6x 2－5 6．若a ＝15，则实数a 在数轴上的对应点P 的大致位置是( ) 图1 7．如图2是一数值转换机，若输出的结果为－32，则输入的x的值为( ) 图2 A．－4 B．4 C．±4 D．±5 8．若a，b均为正整数，且a>7，b>3 20，则a＋b的最小值是( ) A．6 B．5 C．4 D．3 9．实数a，b在数轴上所对应的点的位置如图3所示，且||a>||b，则化简a2－|| a＋b 的结果为( ) 图3 A．2a＋b B．－2a＋b C．b D．2a－b 10．已知x＝2－3，则代数式(7＋4 3)x2＋(2＋3)x＋3的值是( ) A．2＋ 3 B．2－ 3 C．0 D．7＋4 3 请将选择题答案填入下表： 二、填空题(每题3分，共18分) 二次根式定义及性质 教学内容： 1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：， ，，并利用它们进行计算和化简． 2.重点：；，及其运用． 3.难点：利用，，解决具体问题. 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 知识点三：代数式 形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression). 经典例题透析 类型一：二次根式的概念 例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)； 不是二次根式的有：、、、． 例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？ 思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义． 总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 举一反三 【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？ (1)； (2)； 解：(1)由≥0，解得：x取任意实数 ∴当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义. (2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1 ∴当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义. 二次根式培优专题 、【基础知识精讲】 1. 二次根式：形如...a （其中a ______ ）的式子叫做二次根式。 2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开得尽的_______________ ；⑵被开方数中不含______ ；⑶分母中不含______ 。 3. 同类二次根式： 二次根式化成______________ 后，若 ___________ 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4. 二次根式的性质： （1）G.-/a ）= ____ （其中a ___ ）（ 2）a2 = _______ （其中a ___ ） 5. 二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式 的符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。 （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数。 JOb= _________ （其中a^_ b ______ ）；J a= ______________ （其中a—一b ____ ）. \ b （4）分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因 式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如,3的有理化因式就是,3 , .8的有理化因式可以是8也可以是2 , ，b 的有理化因式就是需- Ub . （5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘 法公式，都适用于二次根式的运算. （6）二次根式的加减乘除运算，最后的结果都要化为最简二次根式. 6. 双重二次根式的化简： 二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根式。双重二次根式化简的方法是： 设x 0, y 0, a 0, y 0 ,且x y 二a, xy = b，贝U a 2、 b = （x y） 2、_ xy = C、x）2（、._ y）22 xy = （、x .. y）2 西 关 中 学 八 年 级 上 册 数 学 第二章 实数 单元测试卷（一卷） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列每小题都给出了四个答案，其中只有 一个答案是正确的，请把正确答案的代号填在该小题后的括号内。 1、若x 2=a ，则下列说法错误的是（ ） （A ）x 是a 的算术平方根 （B ）a 是x 的平方 （C ）x 是a 的平方根 （D ）x 的平方是a 2、下列各数中的无理数是（ ） （A ）16 （B ）3.14 （C ）113 （D ）0.1010010001…（两个1之间的零的个数依次多1个） 3、下列说法正确的是（ ） （A ）任何一个实数都可以用分数表示 （B ）无理数化为小数形式后一定是无限小数 （C ）无理数与无理数的和是无理数 （D ）有理数与无理数的积是无理数 4、9=（ ） （A ）±3 （B ）3 （C ）±81 （D ）81 5、如果x 是0.01的算术平方根，则x=( ) （A ）0.0001 （B ）±0.0001 （C ）0.1 （D ）±0.1 6、面积为8的正方形的对角线的长是（ ） （A ）2 （B ）2 （C ）22 （D ）4 7、下列各式错误的是（ ） （A ）2)5(5= （B ）2)5(5-= （C ）2)5(5-=（D ）2)5(5-= 8、4的算术平方根是（ ） （A ）2 （B ）2 （C ）4 （D ）16 9、下列推理不正确的是（ ） （A ）a=b b a = （B ）a=b 33b a = （C ）b a = a=b （D ）33b a = a=b 10、如图（一），在方格纸中， 假设每个小正方形的面积为2， 则图中的四条线段中长度是 有理数的有（ ）条。 《实数和二次根式》知识点 1.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a 的平方根，也就是若x a 2=，则x叫做a的平方根。 2.开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。 3.平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 4.平方根的表示：当a≥0时，a的平方根记为±a。 5.算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，零的算术平方根是零。 注：（1）非负数才有算术平方根 （2）非负数的算术平方根仍为非负数 6.算术平方根的表示：当a≥0时，a的算术平方根记作a 7.立方根： （1）定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫a的立方根，也就是若x a 3=，则x叫做a的立方根。 （2）立方根的表示：a3 （3）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方和立方互为逆运算，开立方的结果是立方根。 （4）性质：一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。 8.平方根和立方根的区别 （1）被开方数的取值范围不同 （2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个，负数没有平方根，而它有一个立方根。 9.实数：有理数和无理数统称为实数。 实数与数轴上的点一一对应。 分类： 实数有理数正有理数负有理数有限小数或无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数0????????????????????????? 10.实数的相反数、绝对值、倒数、比较大小、运算律和运算法则的应用类似于有理数中的。 11.二次根式：一般地，式子a a ()≥0叫做二次根式。 注：（1）含有二次根号 “” （2）被开方数a 是代数式且a 必须是非负数 （3）二次根式a a ()≥0是a 的算术平方根，因此a a ≥≥00() 12.二次根式的基本性质： ()()a a a 20=≥ 《二次根式》专题 第三讲：二次根式的加减 北京四中 郭伦 一、复习:最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： (1)被开方数的因数是___________，因式是___________； (2)被开方数中不含能开得尽方的______________． 练习:下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A.9 B.a 3 C.23a D. 3a 注：上节中化简二次根式，就是要求化成最简二次根式． 二、二次根式的加减 1、同类二次根式的概念： 化成_____________后，如果________相同，这样的二次根式就叫做同类二 次根式。 例1．当a ＝________时，最简二次根式12-a 与73--a 是同类二次根 式． 2、二次根式加减法运算步骤：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 例2：计算： （1）4832315311 312--+ （2） )5.0420010 1(08.027252+-+ （3） a a a a a a a 1082363273223-+- (4) 2++-+a b b a b a a b 三、二次根式的混合运算： 注：1、在有理数范围内成立的运算律,在实数范围内仍成立； 2、在二次根式的运算中,多项式乘法法则和乘法公式仍然适用. 例3：计算： （1）22)3223()3223(--+ （2）)753)(753(-++- （301 (π)++- （4） ?÷-4 8)832(3x x x x （5） 101100103103）（）（-+． 四．有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们 说这两个代数式互为有理化因式．如：a 与a ，3＋6与3－6互 为有理化因式． 例4：试写出下列各式的有理化因式(写出最简单的一个即可)： (1)25与________； (2)y x 2-与________； (3)mn 与________； (4)32+与________； (5)223+与________； (6)3223-与________． 例5、计算：).23(6- ÷ 巩固练习: 1、下列各式中运算正确的是（ ） A.2510)5225(-=÷- B.529)52(2+=+ C.1)2131)( 23(=-- D.c a b a c b a +=+÷)( 2、已知,525,25,52-=-=-=c b a 则a 、b 、c 的大小顺序是 （ ） A.a 北师大版八年级数学上册第二章实数单元测试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 在实数1 2,?√3，?3.14，0，π 2，2.616116111，√643中，无理数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列说法中，正确的是( ) A. 8 27的立方根是±2 3 B. 16的平方根是?4 C. ?5是?125的立方根 D. 9的平方根是3 3. 在0，?2，?√3，1中最小的实数是( ) A. ?√3 B. 0 C. ?2 D. 1 4. 估计√8+√18的值应在( ) A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 5. 下列二次根式：√1.2，5√x +y ，√4a 3 ，√x 2?4，√15，√28.其中，是最简二次根 式的有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 在数轴上表示1、√2的对应点分别是A ，B ，点B 到点A 的距离与点C 到原点O 的 距离相等，设点C 所表示的数为x ，且x >0，则(x ?√2)2的值为( )． A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2 7. 计算：(2019?π)0+(?2)2?(12 )?1 的值为( ) A. 3 B. ?5 C. 4.5 D. 3.5 8. 已知 ，则1m ?1 n 的值为( ) A. 1 4 B. 0 C. 1 D. ?1 9. 如果√2.373≈1.333，√23.73≈2.872，那么√0.02373 约等于( ) A. 13.33 B. 28.72 C. 0.13333 D. 0.2872 10. 圆柱形水桶的底面周长为3.2πm ，高为0.6m ，它的侧面积是( ) A. 1.536πm 2 B. 1.92πm 2 C. 0.96πm 2 D. 2.56πm 2 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 下列实数：163，√3，√83，√25，π 3，?1.6，?0.010010001.其中，属于无理数的是 ________． 12. 用计算器计算：√2018≈______(结果精确到0.01) 13. 计算：(3?π?)0?√8+(1 2)?1+|1?√2|=________． 14. 将下列实数按从小到大的顺序用“<”连接：?√7，?√273 ， π，3.14 ______________． 15. 对于两个不相等的数a ，b ，定义一种新的运算如下：a ?b =√a+b a?b (a +b >0)， 如：3?2= √3+2 3?2 =√5，那么6?(5?4)=______________． 三、解答题（本大题共6小题，共55分） 16. 将下列各数填入相应的集合中：?7，0，22 7，?221 3，?2.55555……，3.01，+9， 4.020020002…，+10%，?π 2． 无理数集合：{ };负有理数集合：{ }; 正分数集合：{ };非负整数集合：{ }． 二次根式培优 一、知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地，我们把形如a a() ≥0 的式子叫做二次根式，其中0 a≥。 根据二次根式的定义，我们知道：被开方数a的取值范围是0 a≥，由此我们判断下列式子有意义的条件： 1 (1; 2 (4); 1 x ++ -+ + 2、 教科书中给出： (0) a a =≥，在此我们可将其拓展为： a a a a a a 2 == ≥ -< ? ? ? || () () （1）、根据二次根式的这个性质进行化简： ①数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简 2a ②化简求值： 1 a a= 1 5 ③已知， 1 3 2 m -<< ，化简2m ④______ =； ⑤若为a,b,c ________ =; ___________ =. （2）、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。 ①若1 m=,求m的取值范围。 4x =-，则x的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ③若a= ④3,2xy 已知求的值。 二．二次根式a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即0 ≥ a ②二次根式a 是非负数，即0≥a 例1. 要使1 21 3-+ -x x 有意义，则x 应满足（ ）． A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．2 1 ＜x ≤3 例2（1）化简x x -+-11＝_______． (2) x ＋y )2，则x －y 的值为( ) (A)－1． (B)1． (C)2． (D)3． 例3(1)若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．以上都不是 (2)已知y x ,是实数，且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数，求实数x y 的倒数。 三，如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。 （1）、 根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内： ①- ②(a -（2）、利用此方法可比较两个无理数的大小。 (2)2-—3 四，拓展性问题 1、 整数部分与小数部分 要判断一个实数的整数部分与小数部分，应先判断已知实数的取值范围，从而确定其整数部分，再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。 例：（1）1的整数部分为a ，小数部分为b ，试求ab —b 2的值。 （2）若x 、y 分别为 8-2xy —y 2的值。 （3 a ，小数部分为 b ，求a 2+b 2 的值。 （4）若________a a b a b ==是的小数部分，则。 5a a b -（的整数部分为a ，小数部分为b ，求的值。 2、巧变已知，求多项式的值。 32351 x x x x = +-+（1）、若的值。 第二章 实数单元测试 班级：______________ 姓名：______________ 满分100分 得分：___________ 一、选择题（每小题3分，共36分） 1.在实数0.3,0,7 , 2 π ,0.123456…中，其中无理数的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 2.化简4)2(-的结果是（ ） A.－4 B.4 C.±4 D.无意义 3.下列各式中，无意义的是（ ） A.23- B.33)3(- C.2)3(- D.310- 4.如果1-x +x -9有意义，那么代数式|x －1|+2)9(-x 的值为（ ） A.±8 B.8 C.与x 的值无关 D.无法确定 5.在Rt △ABC 中，∠C =90°,c 为斜边，a 、b 为直角边，则化简2)(c b a +-－2|c －a －b |的结果为（ ） A.3a +b －c B.－a －3b +3c C.a +3b －3c D.2a 6.414、226、15三个数的大小关系是（ ） A.414<15<226 B. 226<15<414; C.414<226<15 D. 226<414<15 7.下列各式中，正确的是（ ） A.25=±5 B.2 )5(-=5 C.4116 =42 1 D.6÷ 3 2 2= 2 2 9 8.下列计算中，正确的是（ ） A.23+32=55 B.（3+7）·10=10·10=10 C.（3+23）（3－23）=－3 D.（b a +2）(b a +2)=2a +b 9.如果2 231,223-= +=b a ，那么（ ） A.b a ＞ B.b a ＜ C.b a = D.b a 1 = 10.若的取值范围是则x x x ,5)5(2-=-（ ） A.5＜x B.5≤x C.5＞x D.5≥x 11.一个数的算术平方根等于它的立方根，满足这个条件的数的个数有（ ）个 A.0 B.1 C.2 D.3 实数和二次根式知识点梳理 1．平方根的定义：若x2=a,那么x 叫a 的平方根，（即a 的平方根是x ）；注意： （1）a 叫x 的平方数，（2）已知x 求a 叫乘方，已知a 求x 叫开方，乘方与开方互为逆运算. 2．平方根的性质： （1）正数的平方根是一对相反数； （2）0的平方根还是0； （3）负数没有平方根. 3．平方根的表示方法：a 的平方根表示为a 和a -.注意：a 可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算. 4．算术平方根：正数a 的正的平方根叫a 的算术平方根，表示为a .注意：0的算术平方根还是0. 5．三个重要非负数： a2≥0 ,|a|≥0 ，a ≥0 .注意：非负数之和为0，说明它们都是0. 6．两个重要公式： （1） () a a 2=; (a ≥0) （2） ???<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 . 7．立方根的定义：若x3=a,那么x 叫a 的立方根，（即a 的立方根是x ）.注意： （1）a 叫x 的立方数；（2）a 的立方根表示为3a ；即把a 开三次方. 8．立方根的性质： （1）正数的立方根是一个正数； （2）0的立方根还是0； （3）负数的立方根是一个负数. 9．立方根的特性：33a a -=-. 10．无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：π和开方开不尽的数是无理数. 11．实数：有理数和无理数统称实数. 12．实数的分类：（1）?????????????????????????无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数与无限循环小负有理数正有理数有理数实数0（2） ?????负实数正实数实数0 . 13．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应. 14．无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆：414.12= 732.13= 236.25=. 数学专题 第六讲：二次根式 【基础知识回顾】 一、 二次根式 式子a （ ）叫做二次根式 提醒：①次根式a 必须注意a___o 这一条件，其结果也是一个非数即：a ___o ②二次根式a （a ≥o ）中，a 可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式 二、 二次根式的性质： ①（a ）2= （a ≥0） ③= （a ≥0 ,b ≥0） ④= (a ≥0, b ≥0) 提醒：二次根式的性质注意其逆用：如比较23和 可逆用（a ）2=a(a ≥0)将根号外的整数移到根号内再比较被开方数的大小 三、最简二次根式： 最简二次根式必须同时满足条件： 1、被开方数的因数是 ，因式是整式 2、被开方数不含 的因数或因式 四、二次根式的运算： 1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将 的二次根式进行合并，合并的方法同合并同类项法则相同 2、二次根式的乘除： = （a ≥0 ,b ≥0） （a ≥0，b ＞0） 3、二次根式的混合运算顺序：先算 再算 最后算 提醒：1 、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化去这一方法进行：如：= = 2、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用 3、二次根式运算的结果一定要化成 重点考点例析 考点一：二次根式有意义的条件 A ．x ≠3 B ．x ＜ 3 C ．x ＞3 D ．x ≥3 （a ≥o ） （a ＜o ） 思路分析：根据二次根式的意义得出x-3≥0，根据分式得出x-3≠0，即可得出x-3＞0，求出即可． 对应训练 A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠ 1 D．一切实数 考点二：二次根式的性质 A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b 思路分析：现根据数轴可知a＜0，b＞0，而|a|＞|b|，那么可知a+b＜0，再结合二次根式的性质、绝对值的计算进行化简计算即可． 解：根据数轴可知，a＜0，b＞0， 原式=-a-[-（a+b）]=-a+a+b=b．故选C． 点评：二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性． 对应训练 解：∵由数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|， =|a+b|+a =-a-b+a =-b，故答案为：-b． 考点三：二次根式的混合运算 分式和二次根式专题训练 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、当 x ＿＿＿＿时，分式有意义。 ２、当＿＿＿＿时，有意义。 ３、计算：－a －1＝＿＿＿＿。 ４、化简：(x 2 －xy)÷＝＿＿＿＿。 ５、分式 ，，的最简公分母是＿＿＿＿。 ６、比较大小：2＿＿＿＿3。 ７、已知 ＝，则的值是＿＿＿＿。 ８、若最简根式和是同类根式，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 ９、仿照2＝·＝＝的做法，化简3 ＝＿＿＿＿。 10、当 2＜x ＜3 时，－＝＿＿＿＿。 11、若的小数部分是 a ，则 a ＝＿＿＿＿。 12、若 ＝＋＋2成立，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、下列各式中，属于分式的是（ ） A 、 B 、 C 、x ＋ D 、 ２、对于分式 总有（ ） A 、＝ B 、＝ C 、＝ D 、＝ ３、下列根式中，属最简二次根式的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 ４、可以与合并的二次根式是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 x 2x －3 a －2a 2 a －1 x －y xy b 2a 24a 3b c a 5c 2 32x ＋2y 2y 5 2x ＋y y x ＋1y 30.5220.54×0.521 3 (2－x)2(x －3)2 31－x x －1x －y 22x ＋y 12x 2 1 x －1 1x －1x －1(x －1)21x －1x ＋1x 2－11x －112 (x －1)21x －11 1－x 27x 2＋11 2 a 2 b 182761 3 8y y ５、如果分式 中的 x 和 都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值（ ） A 、扩大 2 倍 B 、扩大 4 倍 C 、不变 D 、缩小 2 倍 ６、当 x ＜0 时，｜－x ｜等于（ ） A 、0 B 、－2x C 、2x D 、－2x 或0 三、计算：（每题 6 分，共 24 分） １、()3÷()0×(－)－2 ２、(＋)÷ ３、－＋ ４、(3－2)2 四、计算：（每题 6 分，共 24 分） １、－＋ ２、÷(x ＋ 1)· ３、－· ４、4b ＋－3ab (＋) 五、解答题：（每题 8 分，共 32 分） １、某人在环形跑道上跑步，共跑两圈，第一圈的速度是 x 米/分钟，第二圈的速度是 米/分钟（x ＞），则他平均一分钟跑的路程是多少？ 2x x ＋y x 2b 2a 22b 23a b a x 2x －242－x x ＋2 2x 84 2 1223x x ＋y y y －x 2xy x 2－y 2x 2－1x 2＋4x ＋4x 2＋3x ＋2 x －1 20＋55 1312a b 2a a 5b 31 ab 4ab y y y 八 年 级 上 册 数 学 第二章 实数 单元测试卷（一卷） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列每小题都给出了四个答案，其中只有 一个答案是正确的，请把正确答案的代号填在该小题后的括号内。 1、若x 2=a ，则下列说法错误的是（ ） （A ）x 是a 的算术平方根 （B ）a 是x 的平方 （C ）x 是a 的平方根 （D ）x 的平方是a 2、下列各数中的无理数是（ ） （A ）16 （B ）3.14 （C ）113 （D ）0.01…（两个1之间的零的个数依次多1个） 3、下列说法正确的是（ ） （A ）任何一个实数都可以用分数表示 （B ）无理数化为小数形式后一定是无限小数 （C ）无理数与无理数的和是无理数 （D ）有理数与无理数的积是无理数 4、9=（ ） （A ）±3 （B ）3 （C ）±81 （D ）81 5、如果x 是0.01的算术平方根，则x=( ) （A ）0.0001 （B ）±0.0001 （C ）0.1 （D ）±0.1 6、面积为8的正方形的对角线的长是（ ） （A ）2 （B ）2 （C ）22 （D ）4 7、下列各式错误的是（ ） （A ）2)5(5= （B ）2)5(5-= （C ）2)5(5-=（D ）2)5(5-= 8、4的算术平方根是（ ） （A ）2 （B ）2 （C ）4 （D ）16 9、下列推理不正确的是（ ） （A ）a=b b a = （B ）a=b 33b a = （C ）b a = a=b （D ）33b a = a=b 10、如图（一），在方格纸中， 假设每个小正方形的面积为2， 则图中的四条线段中长度是 有理数的有（ ）条。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 《实数与二次根式》全章复习与巩固 一、目标与策略 姓名： 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ● 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根. ● 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根. ● 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化. ● 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. ● 5.理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. ● 6.熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. ● 7.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 学习策略： ● 本章的概念、公式比较多，有难于理解，因此熟记概念和公示是本章的难点和重点； ● 要注意知识点的相互联系,二次根式的化简一定要注意被开方数小于0的这种情况，主要依据是公式 (0) 0(0-a(a a a a a >?? ==?? 北师大版八年级上册数学第二章实数单元测试卷含 答案 Written by Peter at 2021 in January 实数单元测试 班级：______________ 姓名：______________ 满分100分 得分： ___________ 一、选择题（每小题3分，共36分） 1.在实数,0,7 ,2π ,…中，其中无理数的个数是（ ） 2.化简4)2(-的结果是（ ） A.－4 C.±4 D.无意义 3.下列各式中，无意义的是（ ） A.23- B.33)3(- C.2)3(- D.310- 4.如果1-x +x -9有意义，那么代数式|x －1|+2)9(-x 的值为（ ） A.±8 C.与x 的值无关 D.无法确定 5.在Rt △ABC 中，∠C =90°,c 为斜边，a 、b 为直角边，则化简2)(c b a +-－2|c －a －b |的结果为（ ） +b －c B.－a －3b +3c +3b －3c 14、226、15三个数的大小关系是（ ） 14<15<226 B. 226<15<414; 14<226<15 D. 226<414<15 7.下列各式中，正确的是（ ） A.25=±5 B.2)5(-=5 C.4116 =42 1 ÷3 2 2= 2 2 9 8.下列计算中，正确的是（ ） 3+32=55 B.（3+7）·10=10·10=10 C.（3+23）（3－23）=－3 D.（b a +2） (b a +2)=2a +b 9.如果2 231,223-= +=b a ，那么（ ） A.b a ＞ B.b a ＜ C.b a = D.b a 1 = 10.若的取值范围是则x x x ,5)5(2-=-（ ） A.5＜x B.5≤x C.5＞x D.5≥x 11.一个数的算术平方根等于它的立方根，满足这个条件的数的个数有（ ）个 12.化简a a 3 - 的结果是（ ） A.a 3- B.a 3 C.a 3-- D.3- 二、填空题（每小题3分，共12分） 13.25的算术平方根是 . 14.364 1 - 的相反数是 ，－2 3 的倒数是 . 15.（2－3）2018·（2+3）2017= . 16.如图，数轴上与1，2对应的点分别为表示的数，设点的对称点为关于点C C A B B A ,, 实数的运算练习一 （1) (2)48512739+- （ 3) 10 1 2 52403-- （4)2)32)(347(-+ （５)20)21(82 1 )73(4--?++ （6）102006)21()23()1(-+--- (7)10)2 1()2006(312-+---+ （8)02)36(2218)3(----+-- （9）3 2 6? (1０）4327-? ? (1１）2)13(- ? (13）3 6 （12)22)52()2511(- ? （１４）75.0125.204 1 12484--+- （1５)1215.09002.0+ ? (16)250580?-? （17)3 721? (1８）)25)(51(-+ ? （19）2)3 13(- （２0)8 92334?÷ （21）20032002)23()23(+?- (22)75.0421*******+-+ ? (23）33 3322227 1912105+-?--- (2４)753 1 31234+- （２5）3122112-- (26）5 1 45203-+ ? （２７)48122+ (28)325092-+ ? (2９)2)2 31(- 实数的运算练习二 （1）3 181083315275--+ （2）758 1312325.0---+ （3）??? ? ??--???? ??-5.0431381448 （4）() 147162752722 3 +-+ （5） ??? ? ??-+-67.123 256133223 （6）( ) 326125.021 322--??? ? ??-+ （7）3 44273125242965++-+ （８)??? ? ??--???? ??+121580325.12712 （9）))((36163--?-; （10）633 1 2?? （11）)(102 132531-?? （12）z y x 10010101??- 初二数学专题练习《二次根式》 一．选择题 1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1 2．若1＜x＜2，则的值为（）A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 3．下列计算正确的是（）A．=2B．= C．=x D．=x 4．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（） A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b 5．化简+﹣的结果为（）A．0 B．2 C．﹣2D．2 6．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x 7．下列式子运算正确的是（）A．B．C．D． 8．若，则x3﹣3x2+3x的值等于（）A．B．C．D． 二．填空题 9．要使代数式有意义，则x的取值范围是． 10．在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为． 11．计算：=．12．化简：=．13．计算：（+）=．14．观察下列等式： 第1个等式：a1==﹣1， 第2个等式：a2==﹣， 第3个等式：a3==2﹣， 第4个等式：a4==﹣2， 按上述规律，回答以下问题： （1）请写出第n个等式：a n=； （2）a1+a2+a3+…+a n=． 15．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b=． 16．已知：a＜0，化简=． 17．设，，，…，． 设，则S=（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．三．解答题 18．计算或化简：﹣（3+）； 19．计算：（3﹣）（3+）+（2﹣） 20．先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0． 21．计算：（+）×． 22．计算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3． 23．计算：（+1）（﹣1）+﹣（）0． 24．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：． 25．阅读材料，解答下列问题． 例：当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身； 当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零； 当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数． ∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即， 这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想． 问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况； （2）猜想与|a|的大小关系． 26．已知：a=，b=．求代数式的值． 27．阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以八年级数学第二章《实数》单元测试卷
专题复实数和二次根式
二次根式计算专题训练
八年级数学上册《第二章实数》单元测试题(含答案)
二次根式定义与性质
《二次根式》培优专题一精编版
《实数》单元测试及答案
《实数和二次根式》知识点汇总
《二次根式》专题.doc
北师大版八年级数学上册 第二章 实数 单元测试卷(有答案)
培优专题：二次根式
北师大版八年级上册数学实数单元测试卷含答案
实数和二次根式知识点梳理
二次根式专题(含答案详解)
中考数学—分式和二次根式专题训练
北师大-八年级数学上册第二章实数测试卷(精华)(带答案)
《实数和二次根式》全章复习与巩固(提高)
北师大版八年级上册数学第二章实数单元测试卷含答案
7实数与二次根式的混合运算-计算题86道-3
二次根式专题练习