数理方程与特殊函数教学大纲

数理方程与特殊函数

课程简介：本课程为电子与通信工程类专业的基础课。学分2，周学时2。本课程由“数学物理方程”与“特殊函数”两大部分组成。“数学物理方程”讲授物理学的一个分支——数学与物理所涉及的偏微分方程。主要介绍物理学中常见的三类偏微分方程及其有关的定解问题和这些问题的几种常用解法。“特殊函数”讲授贝塞尔函数与勒让德多项式，以及如何利用这两种特殊函数来解决数学物理方程的一些定解问题的过程。

教学目的与基本要求：通过数理方程与特殊函数课程的学习，使学生系统的掌握工程数学中数学物理方法的知识和技能，培养学生分析问题解决问题的能力，为后续课程的学习及研究奠定重要的数学基础。本课程的先修课程为：高等数学，复变函数，积分变换

主要教学方法：课堂讲授与课外习题。

第零章预备知识（4学时）

复习先修课程中相关的一些内容，主要包括：二阶线性常微分方程解的结构以及常系数情形解的求法；积分学中的一些重要公式和技巧；傅里叶（Fourier）分析；解析函数的极点及其留数；拉普拉斯（Laplace)变换。

第一章典型方程和定解条件的推导（４学时）

在讨论数学物理方程的求解之前，应建立描述某种物理过程的微分方程，再把一个特定物理现象所具有的具体条件用数学形式表达出来。本章学习的重点和难点是了解数学物

理方程的推导及定解问题的确定过程，学会推导一些简单物理过程的微分方程并能确定某些具体物理现象的定解条件。

第一节基本方程的建立

通过几个不同的物理模型，推导出数学物理方程中的三种典型偏微分方程：波动方程、电磁场方程和热传导方程。

第二节初始条件与边界条件

方程决定了物理规律的数学形式，但具体的物理问题所具有的特定条件也应用数学形式表达出来。用以说明某一具体物理现象的初始状态的条件称为初始条件，用以说明其边界上约束情况的条件称为边界条件。

第三节定解问题的提法

由于每一个物理过程都处在特定的条件之下，所以我们要求出偏微分方程适合某些特定条件的解。初始条件和边界条件都称为定解条件。把某个偏微分方程和相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。

本章习题：3-5题

第二章分离变量法（8学时）

本章主要介绍在求解偏微分方程的定解问题时，如何设法把它们转化为常微分方程来求解。本章学习的重点和难点是掌握分离变量法这一“化繁为简”的典型方法的实质，学会求解常见的定解问题。

第一节有界弦的自由振动

通过有界弦的自由振动问题，介绍用分离变量法求解齐次波动方程的全过程。特别应提醒学生，随着定解条件的不同，固有值和固有函数不同，定解问题的解也会有不同的形式。

第二节有限长杆上的热传导

通过运用分离变量法求解热传导方程，总结分离变量法求解定解问题的一般步骤。

第三节圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题

通过运用分离变量法求解圆域内二维拉普拉斯方程的定解问题，指出针对不同的边界形状，应在不同的坐标系内求解定解问题才能获得事半功倍的效果。

第四节非齐次方程的解法

非齐次方程的定解问题，可分解为该方程对应的齐次方程在原定解问题下的解与该方程在零定解条件下的解的叠加。利用分离变量法先求解齐次方程的定解问题后，再将获得的固有函数用于对非齐次方程在零定解条件下的解。这种方法称为固有函数法。

第五节非齐次边界条件的处理

当边界条件为非齐次时，应利用函数代换，将边界条件化为齐次的，然后总结分离变量法求解定解问题的步骤。

本章习题：10-15题

第三章行波法与积分变换法（4学时）

求解无界域内的波动方程时，行波法是一个有效的方法。而积分变换法则不受方程类型的限制，主要用于无界域，但有时也能用于有界域。本章学习的重点和难点是熟练掌握积分变换法的基本解题方法和行波法在波动方程求解中的应用。

第一节一维波动方程的达朗倍尔公式

在一根无界的弦上的任意扰动，总是以左行波和右行波的形式向两端进行传播的。即一维无界域上的波动方程的通解为左右行波函数之和。通过定解条件即可定出行波函数的形式，从而获得该定解问题的解，称为达朗倍尔公式。

第二节三维波动方程的泊松公式

在研究交变电磁场等问题时，需要求解在三维无限空间里的波动方程。则上述左右行波的通解形式通过适当的变形后仍然适用。所得定解问题的解称为泊松公式。

第三节积分变换法举例

积分变换可将未知函数对自变量的求导运算消去，从而将常微分方程化成象函数的代数方程。因此，在偏微分方程两端对某个自变量作积分变换就能消去未知函数对该自变量的求偏导运算，得到象函数的较为简单的微分方程。

本章习题：4-6题

第四章拉普拉斯方程的格林函数法（５学时）

拉普拉斯方程是描述静电场分布的重要方程。格林函数法可以提供该方程的积分形式解。本章学习的重点和难点是掌握拉普拉斯方程的基本特点，了解该方程积分形式解的推导过程，学会用格林函数法求解一些特殊区域内的拉普拉斯方程。

第一节拉普拉斯方程边值问题的提法

拉普拉斯方程的连续解叫做调和函数。拉普拉斯方程的第一边值问题称为狄利克莱问题，而第二边值问题称为牛曼问题。

第二节格林公式

求拉普拉斯方程边值问题的解，就是要求在已知调和函数在边界上的值的情况下，推得调和函数在边界内每一点的值。为此需要先从线面积分中的奥－高公式推导得到格林公式，并进一步得到调和函数的积分表达式。

第三节格林函数

调和函数的积分表达式表明，调和函数在某区域内的值可用该函数在区域边界上的值及其在边界上的法向导数来确定。但这个表达式并不能用于求解狄利克莱问题或牛曼问题，因为他们分别只提供调和函数在边界上的值或者在边界上的法向导数。若要求解狄氏问题，就要从调和函数的积分

表达式中消去“已知调和函数在边界上的法向导数”这一要求。这就需要引进格林函数的概念。

第四节两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解

对于一般的区域，获得格林函数并不是容易的事。但对某些特殊形状的区域，则可用初等的办法获得。在求取半空间和球域的格林函数中，就可用非常直观的电像法。由于格林函数仅依赖于区域，一旦求得该区域的格林函数，则该区域上的一切边界条件下的狄氏问题就能全部得到求解。

本章习题：5题

第五章贝塞尔函数（７学时）

在求解某些热传导方程的过程中，会遇到一种特殊类型的常微分方程，称为贝塞尔方程。在一般情况下，这种方程的解不能用初等函数表出，从而引出一类特殊函数，称为贝塞尔函数。本章学习的重点和难点是掌握贝塞尔函数的基本性质和递推公式，能将函数展开为贝塞尔函数的级数，从而顺利求解以贝塞尔函数为固有函数的定解问题。

第一节贝塞尔方程的引出

从求解圆盘瞬时温度的分布的过程中，引出贝塞尔方程。

第二节贝塞尔方程的求解

通过对贝塞尔方程的求解，得到n阶第一类贝塞尔函数

的级数表达式并构造出n阶第二类贝塞尔函数，最后得到贝塞尔方程的通解。

第三节当n为整数时贝塞尔方程的通解

证明无论n是否为整数，贝塞尔方程的通解都有相同的形式。

第四节贝塞尔函数的递推公式

不同阶的贝塞尔函数之间是有联系的，可用递推公式就反映了这种关系。这意味着如果我们掌握了少数几阶贝塞尔函数的分布，就可以利用递推公式得到其他n阶的贝塞尔函数。

第五节函数展成贝塞尔函数的级数

利用贝塞尔函数的正交性，将函数展开成为贝塞尔函数的级数是求解以贝塞尔函数为固有函数的定解问题的必经步骤。

本章习题：6-10题

第六章勒让德多项式（4学时）

在球坐标系中求解拉普拉斯方程定解问题的过程中，会引出另一类特殊的常微分方程—勒让德方程，其解是另一类特殊函数—勒让德多项式。本章学习的重点和难点是掌握勒让德多项式的基本特性，学会将函数展开为勒让德多项式的级数，从而求解以勒让德多项式为固有函数的定解问题。

第一节勒让德方程的引出

求解球坐标系内的拉普拉斯方程就可引出勒让德方程。

第二节勒让德方程的求解

求解的过程与求解贝塞尔方程类似。

第三节勒让德多项式

介绍勒让德多项式的特点。

第四节函数展成勒让德多项式的级数

利用勒让德多项式的正交性，将函数展开成为勒让德多项式的级数是求解以勒让德多项式为固有函数的定解问题的必经步骤。

本章习题：4-8题

教材：《数学物理方程与特殊函数》，东南大学数学系王元明，高等教育出版社，第三版，2004

参考书目：

1、郭玉翠．《数学物理方法第2版》．清华大学出版社．2006

2、梁昆淼．《数学物理方法第2版》．高等教育出版社．1996

3、王竹溪，郭敦仁．《特殊函数概论》北京大学出版社．2000

数理方程期末试题B答案

北京交通大学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ）（参考答案）学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、计算题（共80分，每题16分） 1．求下列定解问题（15分） 2．用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分） 3．设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。初速度为零，又没有外力作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是由初始条件可得 4．证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求出波动方程的通解。 5．用分离变量法解下列定解问题 [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n π sin ，其解可以表示成把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数因此有利用参数变易法，有于是 6．用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得

以及设0ρβλn n = 为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为问题（I ）的解为于是原问题的解是由初始条件得到故于是最后得到原问题的解是二、证明题（共2分，每题10分） 7．证明平面上的Green 公式其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。 [证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数，n 为C 的外法线方向，其方向余弦为βαcos ,cos ，则有再设u,v 在D 内有二阶连续偏导数，在D+C 上有一阶连续偏导数，令得到交换u,v ，得到上面第二式减去第一式，得到证毕。 8．证明关于Bessel 函数的等式：

数理方程与特殊函数教学大纲

数理方程与特殊函数课程简介：本课程为电子与通信工程类专业的基础课。学分2，周学时2。本课程由“数学物理方程”与“特殊函数”两大部分组成。“数学物理方程”讲授物理学的一个分支——数学与物理所涉及的偏微分方程。主要介绍物理学中常见的三类偏微分方程及其有关的定解问题和这些问题的几种常用解法。“特殊函数”讲授贝塞尔函数与勒让德多项式，以及如何利用这两种特殊函数来解决数学物理方程的一些定解问题的过程。教学目的与基本要求：通过数理方程与特殊函数课程的学习，使学生系统的掌握工程数学中数学物理方法的知识和技能，培养学生分析问题解决问题的能力，为后续课程的学习及研究奠定重要的数学基础。本课程的先修课程为：高等数学，复变函数，积分变换主要教学方法：课堂讲授与课外习题。第零章预备知识（4学时）复习先修课程中相关的一些内容，主要包括：二阶线性常微分方程解的结构以及常系数情形解的求法；积分学中的一些重要公式和技巧；傅里叶（Fourier）分析；解析函数的极点及其留数；拉普拉斯（Laplace)变换。第一章典型方程和定解条件的推导（４学时）在讨论数学物理方程的求解之前，应建立描述某种物理过程的微分方程，再把一个特定物理现象所具有的具体条件用数学形式表达出来。本章学习的重点和难点是了解数学物

理方程的推导及定解问题的确定过程，学会推导一些简单物理过程的微分方程并能确定某些具体物理现象的定解条件。第一节基本方程的建立通过几个不同的物理模型，推导出数学物理方程中的三种典型偏微分方程：波动方程、电磁场方程和热传导方程。第二节初始条件与边界条件方程决定了物理规律的数学形式，但具体的物理问题所具有的特定条件也应用数学形式表达出来。用以说明某一具体物理现象的初始状态的条件称为初始条件，用以说明其边界上约束情况的条件称为边界条件。第三节定解问题的提法由于每一个物理过程都处在特定的条件之下，所以我们要求出偏微分方程适合某些特定条件的解。初始条件和边界条件都称为定解条件。把某个偏微分方程和相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。本章习题：3-5题第二章分离变量法（8学时）本章主要介绍在求解偏微分方程的定解问题时，如何设法把它们转化为常微分方程来求解。本章学习的重点和难点是掌握分离变量法这一“化繁为简”的典型方法的实质，学会求解常见的定解问题。

数理方程练习题(1)

一、填空题 1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（双曲）型，取值为负对应的是（椭圆）型，取值为零对应的是（抛物）型。 2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程：第一个叫（弦自由横振动），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型；第二个叫（热传导），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（椭圆）型；第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0 x x y y u u +=， (,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型；二、选择题 1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］ (A) 260t xx u u xt u ++=； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ( )22 0y xx xxy u x y u u +++=； (D) 340t x xx u u u ++=； 2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］ (A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=； (C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题 ()()( )()()()2,0,00,,0 ,0,,0tt xx x x t u a u t x l u t u l t u x x u x x ?φ?=><

数理方程版课后习题答案

第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。略 2. 求证常向量的微商等于零向量。证：设，为常向量，因为所以。证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。

证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是

因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕 6. 证明平行于固定平面的充要条件是。证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕 §2曲线的概念

1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为 2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为 3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则

数学物理方法学习心得

竭诚为您提供优质文档/双击可除数学物理方法学习心得篇一：数学物理方程的感想数学物理方程的感想通过对数学物理方程一学期的学习，我深深的感受到数学的伟大与博大精深。当应用数学发展到一定高度时，就会变得越来越难懂，越来越抽象，没有多少实际的例子来说明；物理正好也要利用数学来进行解释和公式推导，所以就出现了数学物理方法。刚开始到结束这门课程都成了我的一大问题。很难理解它的真正意义（含义），做题不致从何入手，学起来越来越费劲。让我很是绞尽脑汁。后来由于老师耐心的指导与帮助下我开始有了点理解。用数学物理方法来解释一些物理现象，列出微分方程，当然这些微分方程是以物理的理论列出来的，如果不借助于物理方法，数学也没有什么好办法来用于教学和实践，而物理的理论也借助于数学方法来列出方程，解出未知的参数。这就是数学物理方法的根本实质所在。真正要学好数学物理方程

不仅要数学好物理也不能够太差。接下来我想先对数学物理方程做一个简单的介绍与解释说明。数学物理方程——描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的数学描述都是偏微分方程，例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。这些反映物理及工程过程的规律的偏微分方程人们对偏微分方程的研究，从微分学产生后不久就开始了。例如，18世纪初期及对弦线的横向振动研究，其后，对热传导理论的研究，以及和对流体力学、对位函数的研究，都获得相应的数学物理方程信其有效的解法。到19世纪中叶，进一步从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分的一般理论，如方程的分类、特征理论等，这便是经典的偏微分方程理论的范畴。然而到了20世纪随着科学技术的不断发展，在科学实践中提出了数学物理方程的新问题，电子计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段。又因为数学的其他分支（如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等）也有了迅速发展，为深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而，20世纪关于数学物理方程的研究有了前所未有的发展，这些发展呈如下特点和趋势：

数理方程总结完整终极版

00 |()()t t u x u x t ?ψ===????=?? ?k z j y i x ?????+??+??= ?u u ?=grad 拉普拉斯算子：2222222 z y x ??+??+??=???=?2 2 22 2y u x u u ??+??=? 四种方法: 分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法定解问题：初始条件.边界条件.其他波动方程的初始条

波动方程的边界条件:

(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。定解问题的分类和检验：(1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。 ?解的存在性：定解问题是否有解； ?解的唯一性：是否只有一解； ?解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应的微小变动。分离变量法：基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等

分离变量法步骤：一有界弦的自由振动二有限长杆上的热传导三拉普拉斯方程的定解问题常用本征方程齐次边界条件 2''0 (0)()0,/,1,2,sin k k X X X X l k l k X x λλββπβ+=?? ==? ====0,1,2,0,1,2,λ0,1,2,λ

非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题。解出齐次问题。求出任意非齐次特解。叠加成非齐次解。行波法：1.基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。2.关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。3.适用范围：无界域内波动方程，等…

数理方程习题集综合

例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。解原方程可以写成 e／ex（ev／ey） =xy 两边对x 积分，得 v y =￠（y ）+1/2 x 2 Y, 其中￠（y ）是任意一阶可微函数。进一步地，两边对y 积分，得方程得通解为 v （x,y ）=∫v y dy+f （x ）=∫￠（y ）dy+f （x ）+1/4 x 2y 2 =f （x ）+g （y ）+1/4 x 2y 2 其中f （x ）,g （y ）是任意两个二阶可微函数。例1.1.2 即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η), 其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。试确定该弦的运动方程。取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴，弦的长度为L ，两端固定在O,L 两点。用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。由于弦做微小横振动，故u x ≈0.因此α≈0，cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。作用在这段弧上的力有力和外力。可以证明，力T 是一个常数，即T 与位置x 和时间t 的变化无关。事实上，因为弧振动微小，则弧段'MM 的弧长 dx u x x x x ? ?++=?2 1s ≈x ?。这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。于是由Hooke 定律，力T 与时间 t 无关。因为弦只作横振动，在x 轴方向没有位移，故合力在x 方向上的分量为零，即 T(x+x ?)cos α’-T(x)cos α=0. 由于co's α’≈1，cos α≈1,所以T(X+?x)=T(x),故力T 与x 无关。于是，力是一个

数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件，所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】

3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上

数理方程与特殊函数试卷 3套

2010年6月一、填空题（20分） 1、微分方程的固有值为 ____________，固有函数为____________。 2、勒让德多项式的母函数为________________________。 3、一长为的均匀直金属杆，x=0端固定，x=l端自由，则纵向震动过程中的边界条件为 ________________________。 4、二阶线性偏微分方程属于____________型方程。 5、微分方程，在条件下的拉氏变换表达式为____________________________________。 6、埃尔米特多项式的微分表达式为____________________________________。 7、函数是区域内的调和函数，它在上有一阶连续偏导数，则 ____________. 8、定解问题的解为________________________。 9、在第一类奇次边界条件下=____________。 10、=____________，=____________。二、证明题（10分）三、建立数学物理方程（10分）一长为l、截面积为s、密度为、比热容为的均匀细杆，一端保持零度，另一端有恒定的热量q流入，初始温度为试建立热传导方程，写出定界条件（要有必要的步骤）。四、写出下列定解问题的解（35分） 1、

2、 3、五、将函数展开为广义傅里叶级数（25分） 1、设是的正零点，试将函数展开成的傅里叶贝塞尔级数。 2将函数按埃尔米特多项式展开成级数。 2009年6月一、填空题（20分） 11、微分方程的固有值为 ____________，固有函数为____________。 12、勒让德多项式的母函数为________________________。 13、一长为的均匀直金属杆，x=0端温度为零，x=l端有恒定的热流流出，则热传导过程中的边界条件为________________________。 14、二阶线性偏微分方程属于____________型方程。 15、微分方程，在条件下，其拉氏变换表达式为____________________________________。 16、埃尔米特多项式的微分表达式为____________________________________。 17、函数是区域内的调和函数，它在上有一阶连续偏导数，则 ____________. 18、定解问题的解为 ________________________。 19、在第一类奇次边界条件下=____________。 20、=____________，=____________。二、证明题（10分）

数学物理方程学习总结

数学物理方程学习总结四年前匡老师作为我的高数老师走进我的大学生活，如今作为一名研究生，很荣幸又能跟着匡老师学习数学。我本科主修土木工程专业，现在学的是岩石力学专业，主要是跟着导师从事一些关于应力波的研究，所以数学物理方程这门课成了我的必修课。数学物理方程研究的主要对象是从物理学中提出来的一些偏微分方程。这些方程中的自变量和函数有着鲜明的物理意义，有些问题的解可以通过实验给出，这给偏微分方程的研究指明了方向，同时由于物理学上的需求，就诞生了专门研究有物理意义的偏微分方程的解法。本学期数学物理方程起初学习了拉普拉斯和傅立叶变换概念、性质以及卷积定理，了解其在微分方程求解中的应用，并着重介绍了Γ函数和β函数的性质以及其两者的关系。然后介绍了三大经典方程的建立和定解条件（泊松方程与拉普拉斯方程都是描述恒稳场状态，与初始状态无关，所以不提初始条件）的提出和表示。第四章和第五章分别详细的讲了分离变量法、行波法和积分变换法在求解经典方程中的应用，主要针对求解热传导方程和波动方程。三种方法有时候可以通用但有时候还是有区别，分离变量法主要用来求解有限区域内定解问题；行波法是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法；积分变换法主要是求解一个无界域上不受方程类型限制的方法。第六章主要讲述用格林函数法求解拉普拉斯方程，伊始提出两种拉普拉斯方程的边值问题（狄氏内问题、狄氏外问题、牛曼内问题、牛曼外问题），然后介绍几种格林函数的取得，最后简介求解狄氏问题。最后三章分别介绍几个特殊类型的常微分方程（贝塞尔方程和勒让德方程）的引入和他们性质和求解。数学物理方程概括起来就是使用四种方法求解三种经典方程，介绍求解过程中产生的两种特殊函数的一门学科。作为数理方程的学习者，本人觉得它确实是一门比较难的课程，真正的难点却并不是只有数理方程课程本身，而是对以前高等数学学过的知识的理解与记忆的加深。所以，我觉得想学好这门课程，不仅要把时间放在对相关内容的巩固、复习上，还得多做课本上的例题、习题。

数学物理方程与特殊函数课后答案

29.0(,)11 cos , sin (,)(cos ,sin ),cos sin ; sin cos . sin cos ;s xx yy rr r r x y x y x r y laplace u u r u u u r r x r y r u x y u r r u u u u r u r u u u u r u θθθθθθ θθθθθθθθθ+=++==??=?∴==+??? =?+??=??=∵ 证明方程在极坐标下为证明： sin cos ;cos cos in .sin .sin ()cos () sin sin cos cos r xx x r r u u r y r r u u u x x r r x u u r r r r θθθθθθθθθθθθθθθθθθ???????=??????????????? ???????+=+?????????? ? ?????? ?==????????? ?????? ??=???????????? 从而 2222222222222 sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin .cos ()sin () sin yy u u u u r r r r r r u u u r r r r u u u y y r r y θθθθθθθθ θθθθθθθθθθθ?????? ?=+ ?+?????????++???????????==+?????????= 2222 22 2222222 cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos .1u u r r r r u u u u r r r r r r u u u r r r r u u u u θθθθθθθθθθθθθθ θθθθθθθθ ????? ???++???????????? ????=?++????????+?+????+=+ 所以 1 0. u +=

数理方程练习题.

数理方程练习题一(2009研 1. 设(,u u x y =,求二阶线性方程 20u x y ?=?? 的一般解。解先把所给方程改写为 (0u x y ??=?? 2分两边对x 积分,得 (0((u u dx dx y y y x y ?????==+=????? 4分这里, (y ?是任意函数。再两边对y 积分,得方程的一般解为y ((((u u dy y dy f x f x g y y ??==+=+?? ? 6分这里,(,(f x g y 是任意两个一次可微函数。 2. 设 u f = 满足Laplace 方程

222 2 0u u x y ????+ = 求函数u. 解 : ,.r x r y r x r x r ??===?? ''(,(.u x u y f r f r x r y r ???==?? 3分因此有 222''' 223222 ''' 223 ((((u x y f r f r x r r u y x f r f r y r r ?=+??=+? 3分原方程化为:'''1((0f r f r r += 2分故有 :1212(ln r u f r c c c c ==+= 2分例1 求Cauchy 问题

2 20 00(,(0,cos tt xx t t t u a u x t u x u x x ==?-=∈?∞??==∈??R R 的解. 解由定理3.1得 22222((1u(x, tcos 221 cos sin x at x at x at x at d a x a t x at a ξξ+-++-=+=++? 例2 求解Cauchy 问题 200cos (,(0,cos 010tt xx t t t u a u t x x t x x u x u x ==?-=∈?∞?≥?? ==??

数学物理方程与特殊函数期末考试试题卷子2011

XXXXX 大学研究生试卷（考试时间：至，共 2小时）课程名称数理方程与特殊函数教师学时60 学分 3 教学方式闭卷考核日期 2011年 12 月 28 日成绩 1．化方程2220xx xy yy x y x u xyu y u xu yu ++++=为标准形. (10分) 2. 把定解问题：(10分) 212(0)(0,)(),(,)() (,0)(),(,0)(),(0) tt xx x x t u a u x l u t h t u l t h t u x x u x x x l ?ψ?=<

3．有一带状的均匀薄板(0x a ≤≤,0y ≤<+∞), 边界0y =上的温度为0u ，其余边界上的温度保持零度，并且当y →+∞时，温度极限为零. 求解板的稳定温度分布. (用分离变量法求解).(20分) 4．求下面的定解问题：（10分） 090,(,0) 0,sin tt xx t t t u u x R t u u x ==-=∈>??? ==??. 第2页

5．求()2 1,1 (),()0,1 x x F f x f x x ?-≤?=?>??，其中()F ?表示Fourior 变换.（10分） 6．求()2(),()sin(),03 L f t f t t t π =-≥，其中()L ?为Laplace 变换.（10分）第3页学号姓名学院教师座位号 ……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………

大学高数学习方法总结

2014年大学高数学习方法总结一提起“数学”课，大家都会觉得再熟悉不过了，从小学一直到高中，它几乎就是一门陪伴着我们成长的学科。然而即使有着大学之前近xx年的数学学习生涯，仍然会有很多同学在初学大学数学时遇到很多困惑与疑问，更可能会有一种摸不着头脑的感觉。那么，究竟应该如何在大学中学好高数呢? 在中学的时候，可能许多同学都比较喜欢学习数学，而且数学成绩也很优秀，因而这时是处于一种良性循环的状态，不会有太多的挫败感，因而也就不会太在意勇于面对的重要性。而刚一进入大学，由于理论体系的截然不同，我们会在学习开始阶段遇到不小的麻烦，甚至会有不如意的结果出现，这时就一定得坚持住，能够知难而进，继续跟随老师学习。很多同学在刚入学不久，就是一直感觉很晕。对于上课老师所讲的知识，虽然表面上能听懂，但却不明白知识背后的真正原因，所以总是感觉学到的东西不实在。至于做题就更差劲了，“吉米多维奇”上的习题根本不敢去看，因为书上的课后习题都没几个会做的。这确实与高中的情形相差太大了，香港浸会大学的杨涛教授曾经在一次讲座中讲过：“在初学高数时感觉晕是很正常的，而且还得再晕几个月可能就好了。”所以关键是不要放弃，初学者必须要克服这个困难才能学好大学理论知识。除了要坚持外，还要注意不要在某些问题的解决上花费过多的时间。因为大学数学理论十分严谨，教科书在讲解初步知识时，有时会不可避免地用到一些以后才能学到的理论思想，因而在初步学习时就对着这种问题不放是十分不划算的。所以，在开始学习数学时，可以考虑采取迂回的学习方式。先把那些一时难以想通的问题记下，转而继续学习后续知识，然后不时地回头复习，在复习时由于后面知识的积累就可能会想通以前遗留的问题，进而又能促进后面知识的深刻理解。这种迂回式的学习方法，使得温故不但能知新，而且还能更好地知故。篇二：高等数学学习方法及经验总结高等数学学习方法及经验总结大学生学习高等数学要掌握合适的学习方法，因人而异，这里我只是结合我自己的一些学习方法和经验供大家参考。高等数学作为高等教育的一门基础学科，几乎对所有的专业的学习都有帮助，对于我们飞行器动力工程专业，高等数学是联系物理，力学，以及贯穿于专业基础课的一把刃剑和纽带，对于大一这一年的学习尤为重要，只有打下坚实的基础，对于之后学习其他的学科，包括选修课中的工程数学的分支（复变函数，数理方程等），都有很大的帮助。首先了解高等数学的组织结构，大一上学期主要学习极限，函数，以及微分和积分，（空间几何在下学期学），在期末考试中大多数都集中在积分和微分这部分。极限是积分和微分的基础，重要的概念和思想在学习极限这部分就会体现出来，有些问题运用基本定义就会迎刃而解，在掌握了基本概念和常用的解题方法后，学习起来就会很轻松；下学期比较重要，相对于上学期的内容也较丰富和复杂；对于偏导数和曲线积分、曲面积分，需要扎实的微积分思想，此外就是级数和微分方程；总之，高等数学可以说是积分，微分占据主要地位。（一）做题的方法和技巧学习高等数学的过程中必不可少的就是学习方法的及时总结，理想的情况下就是保证每个人手中都有一本课外的教辅书（个人推荐吉米多维奇），在平时做作业和做课外题目的过程中，自己会做的题目也要做到自己的思想和答案的思想进行比较，互相补充，遇到好的解题方法要记下来，要记的内容是题目，方法和自己的感受；遇到不明白的题目时不要浮躁，也不要着急先看答案，首先进行冷静的思考，要知道考的内容是什么，要用到什么知识点，然后一步一步看答案，这里我的意思是先看答案的第一步求解的问题是什么，然后停止看答案，想一想答案的这一步对你是否有启示作用，接下来自己试一试能不能继续独立往下做，如果不行的话继续往下看答案，直到做出来为止，做完后一定做好笔记。（二）考试后的反思

研究生数理方程与特殊函数考题2014

科技大学研究生试卷（考试时间：至，共 2小时）课程名称数理方程与特殊函数教师学时60 学分 3 教学方式闭卷考核日期 2014年 12 月日成绩考核方式：（学生填写） 1．化简方程22222 (,)(,)(,) 1280u x y u x y u x y x x y y ???++=????并求其通解. (10分) 2. 设有一长度为L 的均匀细棒，其侧面和两端均绝热，初始温度分布为已知。(1)求以后时刻的温度分布；(2)证明：当初始温度分布为常数时，以后时刻的温度分布也必为常数. (20分) 第 1页 3．求解定解问题：(15分) 学号姓名学院教师座位号 ……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………

200000 (0,0),t xx x x l t u a u x l t q u u u k u u ===?=<<>? ? ==?? ?=?,00,,,a u k q 均为常数. 4．求函数()() 2 1 ()13f s s s =+- 的Laplace 逆变换.（10分）第2页 5．求下面的定解问题：（15分）号效……………………

2 00,(,0) ,sin tt xx t t t u a u x at x R t u x u x ==?-=+∈>?? ==??. 6．求3()J x dx ? .（10分）第3页 7．写出平面第一象限的Dirichlets 问题对应的Green 函数及其定解问题.（10分）

数理方程期末试题B答案

数理方程期末试题B答案集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

[ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n πsin ，其解可以表示成把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数因此有利用参数变易法，有于是 6．用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得以及设0ρβλn n =为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为问题（I ）的解为于是原问题的解是由初始条件得到故于是最后得到原问题的解是二、证明题（共2分，每题10分） 7．证明平面上的Green 公式其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。

数学物理方法大总结

数学物理方法一、填空题 1、Г函数为：Г(x)= 0,10 >-∞ -? x dt t e x t ；又称为第二类欧拉积分的为： 0Re ,)(10 >=Γ-∞ -?z dt t e z z t 。 2、B 函数（又称为第一类欧拉积分）为： 0Re ;0Re )1(),(110 1>>-=--?q p dt t t q p B q p ，；B 函数与Г函数之间的重要关系为：) () ()(),(q p q p q p B +ΓΓΓ= 3、勒让德P l (x)的母函数：1)(211 1),(0 2<=+-==∑∞ =t t x P t tx d t x v l l l ，（B 卷） 4、贝塞尔J n (x)的母函数：∑∞ ∞ --=n n t t x t x J e )()1 (2；其积分形式为： dt t e i x J l n t t x n ?+-= 1)1 (221)(π（B 卷） 5、球阶函数： ?θπ?θ?θim m l m M l m l l l l l m l e p m l m l l Y y r d r c u )(cos )! ()!(412)1(),(),()1(,1 ,+-+-=+=+，其中 6、=-?l n a z dz )(? ??≠=的整数）是0(0)1(2n n n i π 7、S —L 方程表现形式： 0)()(])([=+-y x y x q dx dy x k dx d λρ 8、复数=-)4ln()2(4ln ππk i ++ 9、=+??∞ ∞-)6 (sin π δx x 216sin -=-π 10、复数=i cos 2 1 1--e e

数学物理方法知识点归纳

第一章复述和复变函数 1.5连续若函数)(x f 在0z 的领域内（包括0z 本身）已经单值确定，并且 )()(0lim z f z f z z =→，则称f(z)在0z 点连续。 1.6导数若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??在点不仅存在而且连续。 (ii)C-R 条件在该点成立。C-R 条件为 ???? ?? ???-=????=??y y x u x y x v y y x v x y x u ),(),(),(),( 1.7解析若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。解析的必要条件：函数f(z)=u+iv 在点z 的领域内(i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??存在。 (ii)C-R 条件在该点成立。解析的充分条件：函数f(z)=u+iv 在领域内(i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??不仅存在而且连续。 (ii)C-R 条件在该点成立。 1.8解析函数和调和函数的关系拉普拉斯方程的解都是调和函数： 22x u ??+2 2y u ??=0 ①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C —R 条件。 ②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)? 通过C —R 条件列微分方程第二章复变函数的积分 2.2解析函数的积分柯西定理：若函数f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与B 的那些曲线来讲，积分 ?B A dz z f )(的值均相等。柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。 ?=C dz z f 0)( 二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D 解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。 n+1连区域柯西定理： ???? ΓΓΓΓ+++=n i i i e dz z f dz z f dz z f dz z f )(....)()()(2 1 推论：在f(z)的解析区域中，围线连续变形时，积分值不变。 2.3柯西公式若f(z)在单连有界区域D 内解析，在闭区域D 的边界连续，则对于区域D 的任何一个内点a ，有?Γ -= dz a z z f i a f ) (21)(π其中Γ是境界线。 2.5柯西导数公式 ξξξπd z f i n z f C n n ?+-= 1)() () (2!)( 第三章级数 3.2复变函数项级数外尔斯特拉斯定理：如果级数 ∑∞ =0 )(k k z u 在境界Γ上一致收敛，那么 (i)这个级数在区域内部也收敛，其值为F(z) (ii)由它们的m 阶导数组成的级数

A-2005级-数理方程与特殊函数B卷

课程编号：北京理工大学2006-2007学年第二学期 2005级数学物理方程期末试题（B 卷）班级_______________学号_______________姓名______________成绩_____________ 一、填空（请写在答题纸上，每题5分，共计40分） 1. 设弦一端在0x =处固定，另一端在x l =处做自由运动。则弦振动问题的边界条件为：________________________________。 2. 边界为Γ的区域Ω上函数u 的第二类边界条件为__________________ 。 3. 三维泊松方程是______________________________。 4. 极坐标下的二维拉普拉斯方程为__________________________。 5. 定解问题2 02||0tt xx t t t u u x u x u ===-∞<<+∞ ???==??，，的解__________________________。 6. 三维拉普拉斯方程的牛曼内问题为______________________________；其解存在的必要条件为____________。 7. 设2()J x 为2阶贝塞尔函数，则2 2()d x J kx dx ????=__________________。 8. 写出4阶贝塞尔方程的标准形式_____________________________。二、（10分）求解定解问题： 200(0)()00()0.t xx x x u a u x l t u t u l t t u x x x l ?=<<>? ==≥??=≤≤? ，，，，，，，，0，