湖北省恩施州巴东县2018-2019学年九年级(下)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年九年级(下)期中数学试卷
一.选择题(共12小题)
1.tan45°的值等于()
A.B.C.1 D.
2.用配方法解一元二次方程:x2﹣6x﹣9=0,下列变形正确的是()A.(x+3)2=0 B.(x﹣3)2=0 C.(x+3)2=18 D.(x﹣3)2=18 3.抛物线y=﹣(x﹣2)2+2的顶点坐标为()
A.(﹣2,2)B.(2,﹣2)C.(﹣2,﹣2)D.(2,2)
4.一张矩形纸片在太阳光的照射下,在地面上的投影不可能是()A.正方形B.平行四边形C.矩形D.等边三角形
5.将一根圆柱形的空心钢管任意放置,它的主视图不可能是()
A.B.C.D.
6.已知△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的周长比为:1,则△DEF与△ABC的面积比为()A.1:2 B.2:1 C.:1 D.1:
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,AC=,则∠B的度数为()A.30°B.60°C.45°D.75°
8.已知圆内接正三角形的面积为,则该圆的内接正六边形的边心距是()A.2 B.1 C.D.
9.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函数y=的图象上,若x1<x2,且x1x2>0,那么y1与y2的大小关系是()
A.y1>y2 B.y2>y1 C.y1<y2 D.y2<y1
10.如图,在边长为1的正方形网格中,B、C、F为格点,则sin C的值为()
A.B.C.1 D.
11.CD是⊙O的弦,AB是直径,且CD⊥AB,垂足为点P.若CD=4,OP=1,AB的值为()
A.3 B.5 C.D.2
12.如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(﹣2,0)和点B,交y轴负半轴于点C,且OB=OC.下列结论:
①>0:②ac=b﹣1;③4a+c>0;④b≠2.
其中正确的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
二.填空题(共4小题)
13.点O为正方形ABCD对角线的交点,若正方形以点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合,则正方形ABCD旋转的最小角度是.
14.如图,已知点A、B分别在反比例函数y=(x>0),y=﹣(x>0)的图象上,且OA⊥OB,则的值为.
15.如图,在边长为1的正方形网格中,点A、B、C、D、E均为格点,则∠ADB+∠AEB=.
16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速运动,其速度均为2cm/s,s后,△PCQ的面积是△ABC面积的一半.
三.解答题(共8小题)
17.(1)计算:﹣(﹣sin30°)﹣1﹣|1﹣4tan60°|
(2)先化简,后求值:﹣1﹣a.其中,a=3﹣2cos60°.
18.(1)如图1,矩形ABCD是由两个边长为1的正方形构成.请你剪两刀后拼成一个与矩形ABCD面积相等的正方形.
(2)如图2,矩形EFGH的长FG为6,宽EF为4,用剪刀剪两次,然后将其拼接成一个与矩形EFGH面积相等的正方形,画出裁剪线及拼接后的图形,简要说明裁剪线是如何确定的.如果你没有想到好方法,不用急,请沉着应对.细读下列数学事实或许对你解决有帮助.
(3)如图3,在⊙O中,MN为直径,PQ⊥MN,垂足为点Q,交⊙O于点P,连结PM、PN.易证明PQ2=MQ?NQ.此结论可直接运用.
19.学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话,牢固树立“绿水青山就是金山银山”
的科学观,让环保理念深入到学校,某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况,对本班全体学生进行了调查,并将调查结果分为了三类:A:好,B:中,C:差.
请根据图中信息,解答下列问题:
(1)求全班学生总人数;
(2)将上面的条形统计图与扇形统计图补充完整;
(3)张老师在班上随机抽取了4名学生,其中A类1人,B类2人,C类1人,若再从这4人中随机抽取2人,请用画树状图或列表法求出全是B类学生的概率.
20.如图,直线y=ax﹣a与双曲线y=(k>0)交于A、B两点,与x轴交于点D,与y 轴交于点E,AC⊥y轴,垂足为点C.已知S△ACD=2,B(﹣1,m)
(1)直接写出a与k的值.
(2)求△ABC的面积.
21.如图,两座建筑物的水平距离CD=60m,从点B测得点A的俯角∠MBA为30°,测得点C的俯角∠MBC为38°.求这两座建筑物的高度.参考数据:sin38°=0.62,cos38°≈0.79,tan38°=0.78,≈1.73,≈1.41.
22.如图1,为美化校园环境,某校计划在一块长为60米,宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽为a米.(1)用含a的式子表示花圃的面积.
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的,求出此时通道的宽.
(3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1(元)、y2(元)与修建面积x(m2)之间的函数关系如图2所示,如果学校决定由该公司承建此项目,并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米,那么通道宽为多少时,修建的通道和花圃的总造价最低,最低总造价为多少元?
23.如图,AC为⊙O的直径,MN为⊙O的切线,点D为切点,连结AD.直线MN 与直线AC交于点B,过点A作AE⊥MN,垂足为E.
(1)求证:AD平分∠EAB.
(2)求证:AD2=AG?AB.
(3)若AE=6,BE=8,求BC的长.
24.如图1,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B(0,4),在x轴上有一动点D(m,0)(0<m<4),过点D作x轴的垂线交直线AB于点C,交抛物线于点E,
(1)直接写出抛物线和直线AB的函数表达式.
(2)当点C是DE的中点时,求出m的值,并判定四边形ODEB的形状(不要求证明).(3)在(2)的条件下,将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′,旋转角为α(0°<a
<90°),连接D′A、D′B,求D′A+D′B的最小值.
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题)
1.tan45°的值等于()
A.B.C.1 D.
【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案.
【解答】解:tan45°=1.
故选:C.
2.用配方法解一元二次方程:x2﹣6x﹣9=0,下列变形正确的是()A.(x+3)2=0 B.(x﹣3)2=0 C.(x+3)2=18 D.(x﹣3)2=18 【分析】把常数项﹣1移项后,应该在左右两边同时加上一次项系数1的一半的平方.【解答】解:x2﹣6x﹣9=0,
x2﹣6x+9=18,
(x﹣3)2=18.
故选:D.
3.抛物线y=﹣(x﹣2)2+2的顶点坐标为()
A.(﹣2,2)B.(2,﹣2)C.(﹣2,﹣2)D.(2,2)
【分析】根据抛物线y=﹣(x﹣2)2+2,可以直接写出该抛物线的顶点坐标,本题得以解决.
【解答】解:∵抛物线y=﹣(x﹣2)2+2,
∴该抛物线的顶点坐标为(2,2),
故选:D.
4.一张矩形纸片在太阳光的照射下,在地面上的投影不可能是()A.正方形B.平行四边形C.矩形D.等边三角形【分析】根据平行投影的性质求解可得.
【解答】解:一张矩形纸片在太阳光线的照射下,形成影子不可能是等边三角形,故选:D.
5.将一根圆柱形的空心钢管任意放置,它的主视图不可能是()
A.B.C.D.
【分析】根据三视图的确定方法,判断出钢管无论如何放置,三视图始终是下图中的其中一个,即可.
【解答】解:∵一根圆柱形的空心钢管任意放置,
∴不管钢管怎么放置,它的三视图始终是,,,主视图是它们中一个,
∴主视图不可能是.
故选:A.
6.已知△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的周长比为:1,则△DEF与△ABC的面积比为()A.1:2 B.2:1 C.:1 D.1:
【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比求出相似比,再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方列式计算即可得解.
【解答】解:∵△ABC∽△DEF,且△ABC与△DEF的周长比为:1,
∴△ABC与△DEF的相似比为:1,
∴△DEF与△ABC的周长比为1:,
∴△DEF与△ABC的面积比1:2.
故选:A.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,AC=,则∠B的度数为()A.30°B.60°C.45°D.75°
【分析】求出∠B的正切值,根据特殊锐角的三角函数值,即可得到∠B的度数.
【解答】解:∵tan B===,
∴∠B=60°,
故选:B.
8.已知圆内接正三角形的面积为,则该圆的内接正六边形的边心距是()
A.2 B.1 C.D.【分析】根据题意可以求得半径,进而解答即可.
【解答】解:如图(1),
O为△ABC的中心,
AD为△ABC的边BC上的高,
则OD为边心距,
∴∠BAD=30°,
又∵AO=BO,
∴∠ABO=∠BAD=30°,
∴∠OBD=60°﹣30°=30°,
在Rt△OBD中,
BO=2DO,
即AO=2DO,
∴OD:OA:AD=1:2:3.
在正△ABC中,AD是高,设BD=x,则AD=BD?tan60°=BD=x.∵正三角形ABC面积为cm2,
∴BC?AD=,
∴×2x?x=,
∴x=1.
即BD=1,则AD=,
∵OD:OA:AD=1:2:3,
∴AO=cm.
即这个圆的半径为cm.
所以该圆的内接正六边形的边心距×sin60°=,故选:B.
9.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函数y=的图象上,若x1<x2,且x1x2>0,那么y1与y2的大小关系是()
A.y1>y2 B.y2>y1 C.y1<y2 D.y2<y1
【分析】根据k的值判断此函数图象所在的象限,根据此函数的增减性即可解答.【解答】解:∵反比例函数y=的图象在一,三象限,在每一象限内y随x的增大而减小,
∵x1x2>0,
∴点A(x1,y1),B(x2,y2)两点位于同一象限,
∵x1<x2,
∴y1>y2.
故选:A.
10.如图,在边长为1的正方形网格中,B、C、F为格点,则sin C的值为()
A.B.C.1 D.
【分析】利用网格得出∠C是特殊的锐角,即∠C=45°,进而可求出其正弦值.
【解答】解:根据网格的性质,可得∠C=45°,
∴sin C=sin45°=,
故选:A.
11.CD是⊙O的弦,AB是直径,且CD⊥AB,垂足为点P.若CD=4,OP=1,AB的值为()
A.3 B.5 C.D.2
【分析】根据垂径定理和勾股定理即可得到结论.
【解答】解:∵CD⊥AB,CD=4,
∴CP=2,
连接OC,
∵OP=1,
∴OC===,
∴AB=2OC=2,
故选:D.
12.如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(﹣2,0)和点B,交y轴负半轴于点C,且OB=OC.下列结论:
①>0:②ac=b﹣1;③4a+c>0;④b≠2.
其中正确的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识,逐个判断即可.
【解答】解:抛物线开口向上,a>0,对称轴在y轴左侧,a、b同号,因此b>0,与y
轴交点在负半轴,因此c<0,因此<0,故①不正确;
抛物线y=ax2+bx+c的图象与y轴交点C的坐标为(0,c),又OB=OC,因此点B(﹣c,0),代入y=ax2+bx+c得,ac2﹣bc+c=0,即,ac=b﹣1,因此②正确;
把A(﹣2,0)代入y=ax2+bx+c得,4a﹣2b+c=0,即4a+c=2b,又b>0,因此4a+c >0,故③正确;
由ac=b﹣1,4a+c=2b,若b=2,则ac=1,4a+c=4,解得c=2>0,与题意不符,因此b≠2,故④正确;
因此正确的有②③④,
故选:C.
二.填空题(共4小题)
13.点O为正方形ABCD对角线的交点,若正方形以点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合,则正方形ABCD旋转的最小角度是90°.
【分析】求出正方形的旋转角的度数,再根据旋转对称图形的性质解答.
【解答】解:∵正方形ABCD的旋转角=360°÷4=90°,
∴至少旋转90度才能与原图形重合.
故答案为:90°.
14.如图,已知点A、B分别在反比例函数y=(x>0),y=﹣(x>0)的图象上,且OA⊥OB,则的值为 2 .
【分析】作AC⊥y轴于C,BD⊥y轴于D,如图,利用反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到S△OAC=,S△OBD=2,再证明Rt△AOC∽Rt△OBD,然后利用相似三角形的性质得到的值.
【解答】解:作AC⊥y轴于C,BD⊥y轴于D,如图,
∵点A、B分别在反比例函数y=(x>0),y=﹣(x>0)的图象上,
∴S△OAC=×1=,S△OBD=×|﹣4|=2,
∵OA⊥OB,
∴∠AOB=90°
∴∠AOC+∠BOD=90°,
∴∠AOC=∠DBO,
∴Rt△AOC∽Rt△OBD,
∴=()2=,
∴=.
∴=2.
故答案为2.
15.如图,在边长为1的正方形网格中,点A、B、C、D、E均为格点,则∠ADB+∠AEB=45°.
【分析】根据勾股定理得到AC==,求得=,根据相似三角形的性质得到∠ADB=∠CAE,根据三角形外角的性质即可得到结论.
【解答】解:∵AC==,CD=1,CE=2,
∴=,==,
∴=,
∵∠ACD=∠ECA,
∴△ACD∽△ECA,
∴∠ADB=∠CAE,
∴∠ADB+∠AEB=∠AEB+∠CAE=∠ACB=45°,
故答案为:45°.
16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速运动,其速度均为2cm/s, 1 s后,△PCQ的面积是△ABC面积的一半.
【分析】设xs后,△PCQ的面积是△ABC面积的一半,根据三角形的面积公式结合△PCQ 的面积是△ABC面积的一半,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.
【解答】解:设xs后,△PCQ的面积是△ABC面积的一半.
依题意,得:(6﹣2x)(8﹣2x)=××6×8,
整理,得:x2﹣7x+6=0,
解得:x1=1,x2=6(不合题意,舍去).
故答案为:1.
三.解答题(共8小题)
17.(1)计算:﹣(﹣sin30°)﹣1﹣|1﹣4tan60°|
(2)先化简,后求值:﹣1﹣a.其中,a=3﹣2cos60°.
【分析】(1)先利用特殊角的三角函数值得到原式=2﹣(﹣)﹣1﹣|1﹣4|,然后根据负整数指数幂的意义和绝对值的意义计算;
(2)先通分得到原式=,再根据特殊角的三角函数值计算出a的值,然后把a的值代入计算即可.
【解答】解:(1)原式=2﹣(﹣)﹣1﹣|1﹣4|
=2﹣(﹣2)+1﹣4
=2+2+1﹣4
=3﹣2;
(2)原式=
=,
当a=3﹣2×=3﹣时,原式==2+.
18.(1)如图1,矩形ABCD是由两个边长为1的正方形构成.请你剪两刀后拼成一个与矩
形ABCD面积相等的正方形.
(2)如图2,矩形EFGH的长FG为6,宽EF为4,用剪刀剪两次,然后将其拼接成一个与矩形EFGH面积相等的正方形,画出裁剪线及拼接后的图形,简要说明裁剪线是如何确定的.如果你没有想到好方法,不用急,请沉着应对.细读下列数学事实或许对你解决有帮助.
(3)如图3,在⊙O中,MN为直径,PQ⊥MN,垂足为点Q,交⊙O于点P,连结PM、PN.易证明PQ2=MQ?NQ.此结论可直接运用.
【分析】(1)如图1所示,分别沿AE,DE各剪一刀,即可拼成与原矩形面积相等的正方形AEDF;
(2)如图2﹣1,延长GF至M,使MF=EF=4,作以MG为直径的圆,延长FE交圆于点N,由射影定理可知NF2=MF?GF=EF?GF=24,如图2﹣2,以F为圆心,FN为半径作圆,交矩形EH边于点Q,过G作GK⊥FQ于点K,沿FQ,GK剪开后可拼成正方形KGPO,且S正
=24.
方形KGPO
【解答】解:(1)如图1所示,分别沿AE,DE各剪一刀,即可拼成与原矩形面积相等的正方形AEDF;
(2)如图2﹣1,延长GF至M,使MF=EF=4,
作以MG为直径的圆,延长FE交圆于点N,
由射影定理可知NF2=MF?GF=EF?GF=24,
∴S正方形=S矩形=24,
如图2﹣2,以F为圆心,FN为半径作圆,交矩形EH边于点Q,过G作GK⊥FQ于点K,沿FQ,GK剪开后可拼成正方形KGPO,且S正方形KGPO=24.
19.学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话,牢固树立“绿水青山就是金山银山”
的科学观,让环保理念深入到学校,某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况,对本班全体学生进行了调查,并将调查结果分为了三类:A:好,B:中,C:差.
请根据图中信息,解答下列问题:
(1)求全班学生总人数;
(2)将上面的条形统计图与扇形统计图补充完整;
(3)张老师在班上随机抽取了4名学生,其中A类1人,B类2人,C类1人,若再从这4人中随机抽取2人,请用画树状图或列表法求出全是B类学生的概率.
【分析】(1)由A类人数及其所占百分比可得总人数;
(2)总人数减去A、B的人数求得C类人数,再分别用B、C的人数除以总人数可得对应百分比,据此即可补全图形;
(3)列表得出所有等可能结果,再根据概率公式求解可得.
【解答】解:(1)全班学生总人数为10÷25%=40(人);
(2)∵C类人数为40﹣(10+24)=6,
∴C类所占百分比为×100%=15%,B类百分比为×100%=60%,
补全图形如下:
(3)列表如下:
A B B C
A BA BA CA
B AB BB CB
B AB BB CB
C AC BC BC
由表可知,共有12种等可能结果,其中全是B类的有2种情况,
所以全是B类学生的概率为=.
20.如图,直线y=ax﹣a与双曲线y=(k>0)交于A、B两点,与x轴交于点D,与y 轴交于点E,AC⊥y轴,垂足为点C.已知S△ACD=2,B(﹣1,m)
(1)直接写出a与k的值.
(2)求△ABC的面积.
【分析】(1)由知S△ACD=2,可得矩形OMAC的面积为4,进而确定k的值,从而确定反比例函数的关系式,把点B坐标代入可求出m的值,确定点B的坐标,代入一次函数的关系式确定a的值;
(2)一次函数、反比例函数的关系式联立方程组求出解即可确定点A的坐标,根据三角形的面积公式进行计算即可.
【解答】解:(1)过点A作AM⊥x轴,垂足为M,
则S矩形OMAC=2S△ACD=4=k,
∴反比例函数的关系式为y=,
把x=﹣1代入得y=﹣4,因此点B(﹣1,﹣4),代入y=ax﹣a得,﹣4=﹣a﹣a,解得,a=2,
答:a=2,k=4;
(2)由题意得,
,解得,,,
∴A(2,2),
∴S△ABC=×2×(2+4)=6.
21.如图,两座建筑物的水平距离CD=60m,从点B测得点A的俯角∠MBA为30°,测得点C的俯角∠MBC为38°.求这两座建筑物的高度.参考数据:sin38°=0.62,cos38°≈0.79,tan38°=0.78,≈1.73,≈1.41.
【分析】构造直角三角形,利用锐角三角函数,求出BD,BN即可.
【解答】解:过点A作AN⊥BD,垂足为N,
∵∠MBA=30°,∠MBC=38°,
∴∠BAN=30°,∠BCD=38°,
在Rt△BDC中,BD=tan38°×CD≈0.78×60=46.8m,
在Rt△BAN中,BN=tan30°×CD≈×60=34.6m,
∴AC=ND=BD﹣BN=46.8﹣34.6=12.2m,
答:这两座建筑物的高度分别为AC=12.2m,BD=46.8m.
22.如图1,为美化校园环境,某校计划在一块长为60米,宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽为a米.(1)用含a的式子表示花圃的面积.
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的,求出此时通道的宽.
(3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1(元)、y2(元)与修建面积x(m2)之间的函数关系如图2所示,如果学校决定由该公司承建此项目,并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米,那么通道宽为多少时,修建的通道和花圃的总造价最低,最低总造价为多少元?
【分析】(1)用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可;
(2)根据通道所占面积是整个长方形空地面积的,列出方程进行计算即可;
(3)根据图象2,设出通道和花圃的解析式,用待定系数法求解y与x的函数关系式,再建立x与a的函数关系,进而得出y与a的函数关系式,再根据实际问题写出自变量的取值范围即可.
【解答】解:(1)由图可知,花圃的面积为(40﹣2a)(60﹣2a);
(2)由已知可列式:60×40﹣(40﹣2a)(60﹣2a)=×60×40,
解以上式子可得:a1=5,a2=45(舍去),
答:所以通道的宽为5米;
(3)设修建的道路和花圃的总造价为y,通道宽为a;