六年级下册奥数试题——牛吃草问题(含答案)人教版.

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1. 理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.

2. 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系

英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．

“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．

解“牛吃草”问题的主要依据：

① 草的每天生长量不变；

② 每头牛每天的食草量不变；

③ 草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值

④ 新生的草量=每天生长量?天数．

同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：

⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；

⑵草的生长速度=(对应牛的头数?较多天数-对应牛的头数?较少天数)÷(较多天数-较少天数)； ⑶原来的草量=对应牛的头数?吃的天数-草的生长速度?吃的天数；

⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；

⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．

“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．

板块一、一块地的“牛吃草问题”

【例 1】 青青一牧场，牧草喂牛羊；

放牛二十七，六周全吃光。

改养廿三只，九周走他方；

若养二十一，可作几周粮？

（注：“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。）

【解说】题目翻译过来是：一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长）

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，27头牛吃6周共吃了276162?=份；23头牛吃9周共吃了

239207?=份．第二种吃法比第一种吃法多吃了20716245-=份草，这45份草是牧场的草

963-=周生长出来的，所以每周生长的草量为45315÷=，那么原有草量为：16261572-?=．

供21头牛吃，若有15头牛去吃每周生长的草，剩下6头牛需要72612÷=(周)可将原有牧草吃完，即它可供21头牛吃12周．

例题精讲 知识精讲 教学目标

牛吃草

【巩固】 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供

25头牛可吃几天？

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了1020200?=份；15头牛吃10天共吃了

1510150?=份．第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050-=份草，这50份草是牧场的草

201010-=天生长出来的，所以每天生长的草量为50105÷=，那么原有草量为：

200520100-?=．

供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要100205÷=(天)可将原有牧草吃

完，即它可供25头牛吃5天．

【巩固】 仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，

如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。仓库里原有

的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完？

【解析】 设1辆汽车1天运货为“1”，进货速度为(9456)(96)2?-?÷-=，原有存货为(42)918-?=，仓

库里原有的存货若用1辆汽车运则需要18118÷=（天）

【例 2】 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头

牛吃18周？

【解析】 设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为(239276)(96)15?-?÷-=，原有草量为

(2715)672-?=，可供72181519÷+=（头）牛吃18周

【巩固】 有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃

20天？

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么251015-=天生长的草量为1225241060?-?=，所以每天

生长的草量为60154÷=；原有草量为：()24410200-?=．

20天里，草场共提供草200420280+?=，可以让2802014÷=头牛吃20天．

【巩固】 (湖北省“创新杯”)

牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则 头牛96天可以把草吃完．

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天新生长的草量为()()103060702460243

?-?÷-=

，牧场原有草量为10306016003??-?= ???，要吃96天，需要10160096203÷+=(头)牛．

【巩固】 一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完．假定草的生长量每日相等，每头

牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完?

【解析】设1头牛1天的吃草量为1个单位，则每天生长的草量为：(509587)(97)22

?-?÷-=，原有草量为：509229252

?-?=，(252226)664

+?÷=(头)

【巩固】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果要4周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变）

【解析】设一只猴子一周吃的野果为“1”，则野果的生长速度是(2112239)(129)15

?-?÷-=，原有的野果为(2315)972

÷+=只猴子一起吃

-?=，如果要4周吃光野果，则需有7241533

【巩固】一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？

【解析】水库原有的水与20天流入的水可供多少台抽水机抽1天？205100

?=(台).

水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天？61590

?=(台).

每天流入的水可供多少台抽水机抽1天？

-÷-=(台).

(10090)(2015)2

原有的水可供多少台抽水机抽1天？

10020260

-?=(台).

若6天抽完，共需抽水机多少台？

÷+=(台).

606212

【例 3】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃10天？

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：()()

?-?÷-=，原有

2051566510草量为：()

+?=；10天吃完需要牛的头数是：15010105

20105150

÷-=(头)．

【巩固】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供多少头牛吃12天？

【解析】设1头牛1天吃的草为“1”。牧场上的草每天自然减少(254166)(64)2

?-?÷-=；

原来牧场有草(252)4108

+?=，

12天吃完需要牛的头数是：1081227

÷-=(头)或(108122)127

-?÷=（头）。

【例 4】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天．那么，可供11头牛吃几天？

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，651

?-?=，原有草量为：

-=天自然减少的草量为2051664 ()

2045120

+?=．

若有11头牛来吃草，每天草减少11415

÷=(天)．

+=；所以可供11头牛吃120158

【巩固】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？

【解析】设1头牛1天吃的草为“1”。牧场上的草每天自然减少(254166)(64)2

?-?÷-=原来牧场有草(252)4108

+?=

可供10头牛吃的天数是：108(102)9

÷+=(天)。

【例 5】一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，由于一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊

吃12天相当于20头牛吃12天．那么每天生长的草量为()()16202012201210?-?÷-=，原有

草量为：()161020120-?=．

10头牛和75只羊1天一起吃的草量，相当于25头牛一天吃的草量；25头牛中，若有10头牛去吃每天生长的草，那么剩下的15头牛需要120158÷=天可以把原有草量吃完，即这块草地可供10头牛和75只羊一起吃8天．

【巩固】 （希望杯六年级二试试题）

有一片草场，草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完?

【解析】 “4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为1，那么14

头牛30天吃了144301680??=单位草量，而70只羊16天吃了16701120?=单位草量，所以草

场在每天内增加了(16801120)(3016)40-÷-=草量，原来的草量为11204016480-?=草量，所

以如果安排17头牛和20只羊，即每天食草88草量，经过480(8840)10÷-=天，可将草吃完。

【巩固】 一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天。

如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天？

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，60只羊的吃草量等于15头牛的吃草量，88只羊的吃草量等于22

头牛的吃草量，所以草的生长速度为(15242012)(2412)10?-?÷-=，原有草量为

(2010)12120-?=，12头牛与88只羊一起吃可以吃120(122210)5÷+-=（天）

【巩固】 一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天，或者可供100

只羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于l 头牛的吃草量，那么8头牛与48只羊一起吃，可

以吃多少天?

【解析】 设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析

16头牛 15天 16×15＝240：原有草量＋15天生长的草量

100只羊（25头牛） 6天 25×6＝150： 原有草量＋6天生长的草量

从上易发现：1天生长的草量＝10；那么原有草量：150－10×6＝90；

8头牛与48只羊相当于20头牛的吃草量，其中10头牛去吃新生草，那么剩下的10头牛吃原有草，90只需9天，所以8头牛与48只羊一起吃，可以吃9天。

【例 6】 有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可以吃完．现有若干头牛吃了6天后，卖

掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完．问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)？

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为()()1730192430249?-?÷-=，原有草

量为：()17930240-?=．

现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，如果不卖掉这4头牛，那么原有草量需增加428?=才能恰好供这些牛吃8天，所以这些牛的头数为()24088940+÷+=(头)．

【巩固】 一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛

一起吃，还可以再吃几天？

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为()()44053040301?-?÷-=，原有草量

为：()

5130120

-?=．如果4头牛吃30天，那么将会吃去30天的新生长草量以及90原有草量，此时原有草量还剩1209030

-=，而牛的头数变为6，现在就相当于：“原有草量30，每天生长草量1，那么6头牛吃几天可将它吃完？”易得答案为：()

30616

÷-=(天)．

【例 7】一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；

如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量．现在

让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？

【解析】设1匹马1天吃草量为“1”，根据题意，有：

15天马和牛吃草量=原有草量15

+天新生长草量……⑴

20天马和羊吃草量=原有草量20

+天新生长草量……⑵

30天牛和羊(等于马)吃草量=原有草量30

+天新生长草量……⑶

由(1)2(3)

?-可得：30天牛吃草量=原有草量，所以：牛每天吃草量=原有草量30

÷；

由⑶可知，30天羊吃草量30

=天新生长草量，所以：羊每天吃草量=每天新生长草量；设马每天吃的草为3份

将上述结果带入⑵得：原有草量60

=，所以牛每天吃草量2

=．

这样如果同时放牧牛、羊、马，可以让羊去吃新生长的草，牛和马吃原有的草，可以吃：()

602312

÷+=(天)．

【巩固】现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，

需多少时间?

【解析】牛、马45天吃了原有45

+天新长的草①

→牛、马90天吃了2原有90

+天新长的草⑤

马、羊60天吃了原有60

+天新长的草②

牛、羊90天吃了原有90

+天新长的草③

↓↓↓

马 90天吃了原有90

+天新长的草④

所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再结合③知，羊吃了90天，吃了90天新长的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草．

所以，②知马60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草．

现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草.

所需时间为

11

1()36

9060

÷+=天.

所以，牛、羊、马一起吃，需36天．

板块二、多块地的“牛吃草问题”

【例 8】东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天．在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少

头牛吃6天？

【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么2000平方米的牧场上1688

-=天生长的草量为181627872

?-?=，即每天生长的草量为7289

÷=．那么2000平方米的牧场上原有草量为：()

18916144

-?=．

则6000平方米的牧场每天生长的草量为()96000200027?÷=；原有草量为：()14460002000432?÷=．6天里，该牧场共提供牧草432276594+?=，可以让594699÷=(头)牛吃6天．

【巩固】 有甲、乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的3倍．30头牛12天能吃完甲草地

上的草，20头牛4天能吃完乙草地上的草．问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草？

【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，由于甲草地的面积是乙草地面积的3倍，把甲草地分成面积相等

的3块，那么每块都与乙草地的面积相等．由于30头牛12天能吃完甲草地上的草，相当于每块

上的草由10头牛12天吃完．那么条件转换为“10头牛12天能吃完乙草地上的草，20头牛4天

也能吃完乙草地上的草”，可知每天乙草地长草量为()()10122041245?-?÷-=，乙草地原有草

量为：()205460-?=；则甲、乙两块草地每天的新生长草量为5420?=，原有草量为：

604240?=．要10天同时吃完两块草地上的草，需要240102044÷+=(头)牛．

【巩固】 有一块1200平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天，

或可供15头牛吃10天，另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一

块牧场相同，问这片牧场可供75头牛吃多少天？

【解析】 设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析

10头牛 20天 10×20＝200 ：原有草量＋20天生长的草量

15头牛 10天 15×10＝150 ：原有草量＋10天生长的草量

从上易发现：1200平方米牧场上20－10＝10天生长草量＝200－150＝50，

即1天生长草量＝50÷10＝5；

那么1200平方米牧场上原有草量：200－5×20＝100或150－5×10＝100。

则3600平方米的牧场1天生长草量＝5×（3600÷1200）＝15；

原有草量：100×（3600÷1200）＝300.

75头牛里，若有15头牛去吃每天生长的草，剩下60头牛需要300÷60＝5（天）可将原有草吃完，即它可供75头牛吃5天。

【例 9】 一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场．三块牧场上的草长得一样密，而且长

得一样快．农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草；如果农夫将8头牛赶到4公顷

的牧场，牛15天可吃完草．问：若农夫将这8头牛赶到6公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃

几天？

【解析】 (法1)设1头牛1天吃草量为“1”，可以将不同的公顷数统一转化为单位量1公顷来解决．

把2公顷牧场分割成2块，每块1公顷，每块可供4头牛吃5天；

把4公顷牧场分割成4块，每块1公顷，每块可供2头牛吃15天．

那么1公顷牧场每天新生长的草量为()()215451551?-?÷-=，1公顷牧场原有草量为

()41515-?=．那么6公顷牧场每天新生长的草量为166?=，原有草量为15690?=．

8头牛里，若有6头牛去吃每天新生长的草，剩下2头牛需要90245÷=(天)可将原有草吃完，即它可供8头牛吃45天．

(法2)题中3块牧场面积不同，要解决这个问题，可以将3块牧场的面积统一起来．

设1头牛1天吃草量为“1”．将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草，相当于12公顷的牧场可供48头牛吃5天；将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草，相当于12公顷的牧场可

供24头牛吃15天．所以12公顷的牧场每天新生长的草量为：()()241548515512?-?÷-=，12公顷牧场原有草量为()48125180-?=．那么12公顷牧场可供16头牛吃()180161245÷-=(天)，

板块三、“牛吃草问题”的变形

【例 10】 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘

水，8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？

【解析】 设1人1小时淘出的水量是“1”，淘水速度是(58103)(83)2?-?÷-=，原有水量(102)324-?=，

要求2小时淘完，要安排242214÷+=人淘水

【巩固】 一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；

6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？

【解析】 设1人1分钟淘出的水量是“1”，401624-=分钟的进水量为34061624?-?=，所以每分钟的

进水量为24241÷=，那么原有水量为：()314080-?=．5人淘水需要()805120÷-=(分钟)把

水淘完．

【例 11】 假设地球上新生成的资源增长速度是一定的，照此计算，地球上的资源可供110亿人生活90年；

或供90亿人生活210年。为了使人类能够不断繁衍，地球上最多能养活多少人？

【解析】 (9021011090)(21090)75?-?÷-=亿人。

【例 12】 画展8:30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如

果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一

个观众到达的时间。

【解析】 设每分钟1个入口进入的人数为1个单位。 8:30到9:00 共30分钟 3个入口共进入33090?=。

8:30到8:45 共15分钟 5个入口共进入51575?=，15分钟到来的人数 907515-=，每分钟到

来15151÷=。8：30以前原有人33013060?-?=。 所以应排了60160÷=（分钟），即第一个

来人在7：30

? 画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3

个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队．求第一个观众到达的时间．

? 如果把入场口看作为“牛”，开门前原有的观众为“原有草量”，每分钟来的观众为“草的增长速度”，

那么本题就是一个“牛吃草”问题．

◆ 设每一个入场口每分钟通过“1”份人，那么4分钟来的人为39552?-?=，即1分钟来的

人为240.5÷=，原有的人为：()30.5922.5-?=．这些人来到画展，所用时间为

22.50.545÷=(分)．所以第一个观众到达的时间为8点15分．

◆ 点评：从表面上看这个问题与“牛吃草”问题相离很远，但仔细体会，题目中每分钟来的观

众一样多，类似于“草的生长速度”，入场口的数量类似于“牛”的数量，问题就变成“牛

吃草”问题了．解决一个问题的方法往往能解决一类问题，关键在于是否掌握了问题的实质．

? 早晨6点，某火车进口处已有945名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处准备进

站．这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个检票口，7分钟可以放完旅客．现要求5分钟放完，需设立几个检票口?

? 设1个检票口1分钟放进1个单位的旅客．

◆ 1分钟新来多少个单位的旅客

● 1(41587)(157)2

?-?÷-= ◆ 检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候， ● 4×１５－

12×15=5212 ◆ 5分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客 ● 52

12+12

×5=55 ◆ 设立几个检票口

● 55511÷=(个)

? 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，

那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面．从站台到地面有 级台阶．

? 本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：

◆ “在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈

一级台阶，那么他走过20秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15秒到达地

面．问：从站台到地面有多少级台阶？”

◆ 采用牛吃草问题的方法，电梯20155-=秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：

21512010?-?=阶，电梯的速度为1052÷=阶/秒，扶梯长度为20(12)60?+=（阶）

。

? 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级梯级，结

果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问：该扶梯共有多少级梯级？

? 本题与牛吃草问题类似，其中扶梯的梯级总数相当于原有草量；而自动扶梯运行的速度则相当于草的

增长速度。并且上楼的速度要分成两部分︰一部分是孩子自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。

◆ 自动扶梯的速度=（女孩每秒走的梯级×女孩走的时间－男孩每秒走的梯级×男孩走的时

间）÷（女孩走的时间－男孩走的时间）(23003100)(300100) 1.5=?-?÷-=，自动扶梯的

梯级总数＝女孩每秒走的梯级×女孩走的时间－自动扶梯的速度×女孩走的时间

◆ 2300 1.5300600450150=?-?=-=（级）所以自动扶梯共有150级的梯级。

? 自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒

向上走1梯级，女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上，女孩用60秒到达楼上。该楼梯共有多少级？

? 该题属于草匀速减少的情况，扶梯的运行速度：(5016032)(6050)1?-÷?÷-=。自动扶梯的梯

级总数：50(11)100?+=(级)

? 小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3

小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米， 分钟能追上。

? 本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合．小明在312-=小时内走了15335110?-?=千米，

那么小明的速度为1025÷=(千米/时)，追及距离为()155330-?=(千米)．汽车去追的话需要：()3304554

÷-=(小时)45=(分钟)．

? 快、中、慢三车同时从A 地出发沿同一公路开往B 地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆车分别

用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人．已知快车每分钟行800米，慢车每分钟行600米，中速车的速度是多少？

? 可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量，骑车人的速度看成草生长的速度，所以骑车人

速度是：(600148007)(147)400?-?÷-=(米/分)，开始相差的路程为：(600400)142800-?=（米），所以中速车速度为：28008400750÷+=(米／分)．

? 有固定速度行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在速度的2倍追赶乙车，5小时后甲车追上乙车；如果

甲车以现在速度的3倍追赶乙车，3小时后甲车追上乙车，那么如果甲车以现在的速度去追赶乙车，问：几个小时后甲车追上乙车？

? 分析知道甲车相当于“牛”，甲追赶乙的追及路程相当于“原有草量”，乙车相当于“新生长的草”．

◆ 设甲车的速度为“1”，那么乙车532-=小时走的路程为25331?-?=，所以乙的速度为

120.5÷=，追及路程为：()20.557.5-?=．

◆ 如果甲以现在的速度追赶乙，追上的时间为：()7.510.515÷-=(小时)．

? 甲、乙、丙三车同时从A 地出发到B 地去．甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每小时48千米．有

一辆卡车同时从B 地迎面开来，分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇，求丙车的速度．

? 相遇问题可以看成是草匀速减少的过程，全程看成是原有草量，卡车速度看成是草匀速减少的速度。

所以卡车速度为：(606487)(76)24?-?÷-=（千米/时），全程：(6024)6504+?=（千米），丙车速度为：50482439÷-=（千米/时）

? 小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去．小新、正南两人的速度分别是每分钟20米和每分

钟16米．在他们出发的同时，风间从公园迎面走来，分别在他们出发后6分钟、7分钟、8分钟先后与小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度．

? 当小新和风间相遇时，正南落后小新()6201624?-=(米)，依题意知正南和风间走这24 米需要

761-=(分钟)，正南和风间的速度和为：24124÷=(米／分)，风间的速度为：24168-=(米／分)，学校到公园的距离为：247168?=(米)．所以妮妮的速度为：1688813÷-=(米／分)．

? 一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则

30分钟能把水池的水排完，如果同时打开进水阀及两个排水阀，则10分钟把水池的水排完．问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水？

? 设一个排水阀1分钟排水量为“1”，那么进水阀1分钟进水量为()()130********.5?-?÷-=，水池

原有水量为()10.53015-?=．关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要1535÷=(分钟)才能排完水池的水．

? 一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入．当池中有一半的水时，如果打开9

个出水口，9小时可以把水排空．如果打开7个出水口，18小时可以把水排空．如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过 时 分水池刚好被排空．

? 本题是牛吃草问题的变形．

◆ 设每个出水口每小时的出水量为1，则进水口每小时的进水量为：(71899)(189)5?-?÷-=，

半池水的量为：(95)936-?=，所以一池水的量为72．

◆ 如果打开全部15个出水口，排空水池所需要的时间为72(155)7.2÷-=小时，即7小时12

分钟．

? 北京密云水库建有10个泄洪洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的速度

增加，为了防洪，需要调节泄洪的速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30个小时以后水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，10个小时后水位降至安全线．根据抗洪形势，需要用2个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个？

? 此题是牛吃草问题的变形，假设每个泄洪洞每小时泄洪的量为1，则水库每小时增加的水量为

(130210)(3010)0.5?-?÷-=，原有的水量超过安全线的部分有(10.5)3015-?=．

如果要用2个小时使水位降至安全线以下，至少需要开1520.58÷+=个泄洪闸．

【巩固】 (“希望杯”五年级二试)有一个蓄水池装了9根相同的水管，其中一根是进水管，其余8根是

出水管．开始时，进水管以均匀的速度不停地向蓄水池注水．后来，想打开出水管，使池内的水全部排光．如果同时打开8根出水管，则3小时可排尽池内的水；如果仅打开5根出水管，则需6小时才能排尽池内的水．若要在4.5小时内排尽池内的水，那么应当同时打开多少根出水管？

【解析】 设1根出水管1小时排水的量为“1”，那么进水管每小时进水量为()()5683632?-?÷-=，池

内原有水量为()82318-?=．要在4.5小时内排尽池内的水，应当同时打开18 4.526÷+=根出水管．

【巩固】 一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀

的速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水再全部排光。如果把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时。问如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？

【解析】 设1根排水管1小时排水为“1”，进水速度为(31883)(183)2?-?÷-=，原有水量为(82)318-?=，

如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开1882 4.25÷+=根出水管，每根出水管1小时排水1份，又出水管的根数是整数，故最少要打开5根出水管。

【巩固】 由于环境恶化、气候变暖，官厅水库的水在匀速减少，为了保证水库的水量，政府决定从上游

的壶流河水库以及册田水库分别向官厅水库进行调水，已知这两个水库的每个闸门放水量是相同的，如果同时打开壶流河水库的5个闸门30小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果同时打开册田水库的4个闸门40小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果24小时使官厅水库水量达到原来的标准，问需同时打开两个水库的几个闸门?

【解析】 设1个闸门1小时的放水量为“1”，那么每小时自然减少的水量为：()()40430540301?-?÷-=，

实际注入水量为：()5130120-?=；24小时蓄水需要打开的闸门数是：1202416÷+=(个)．

【巩固】 （“陈省身杯”国际青少年五年级数学邀请赛）有一个水池，池底存了一些水，并且还有泉水不

断涌出。为了将水池里的水抽干，原计划调来8台抽水机同时工作。但出于节省时间的考虑，实际调来了9台抽水机，这样比原计划节省了8小时。工程师们测算出，如果最初调来10台抽水机，将会比原计划节省12小时。这样，将水池的水抽干后，为了保持池中始终没有水，还应该至少留下 台抽水机。

【解析】 设每台抽水机每小时抽1个单位的水，原计划需要t 小时抽完

则原计划8个小时抽的水量为8t ，

9台抽水机时抽水量为9(8)t -

10台抽水机时抽水量为10(12)t -

所以，8个小时的出水量为89(8)72t t t --=-，

12个小时的出水量为810(12)1202t t t --=-，

而泉水的出水速度是一定的，所以1202 1.5(72)t t -=?-，解得24t =，

所以每小时出水量为(7224)86-÷=，所以需要留下6台抽水机。

【例 13】 甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，5小

时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？(每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉)

【解析】 设1人1小时搬运的份数为“1”，那么一台皮带运输机1小时的工作量为

()()2831255312?-?÷-=，每个仓库存放的面粉总量为：()12125120+?=．那么,丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，需要120212236÷-?=(人)．

【例 14】 小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。第一个桶距水缸有1米，小

方用3次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶装满。第三个桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能把它装满（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变）

【解析】 小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了24135?-?=米路，所以从杯中流出的速

度是150.2÷=（杯/米），于是1桶水原有水量等于330.2 2.4-?=杯水，所以小方要

2.4(130.2)6÷-?=次才能把第三个桶装满。