最新全国各地中考数学解答题压轴题解析2

全国各地中考数学解答题压轴题解析2

2011年全国各地中考数学解答题压轴题解析（2）

1．（湖南长沙10分）如图，在平面直角坐标系中，已知

点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，

在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时，

记Q得位置为B。

（1）求点B的坐标；

（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值；

（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）过点B作BC⊥y轴于点C，

∵A(0,2)，△AOB为等边三角形，

∴AB=OB=2，∠BAO=60°，

∴BC=3，OC=AC=1。即B（ 3 1，）。

（2）不失一般性，当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，

∵∠PAQ==∠OAB=60°，∴∠PAO=∠QAB，

在△APO和△AQB中，∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB，∴△APO≌△AQB总成立。

∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立。

∴当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°。

（3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，

∴AO与BQ不平行。

①当点P 在x 轴负半轴上时，点Q 在点B 的下方，

此时，若AB∥OQ ，四边形AOQB 即是梯形，

当AB∥OQ 时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°。

又OB=OA=2，可求得BQ=3。

由（2）可知，△APO≌△AQB ，∴OP=BQ=3，

∴此时P 的坐标为（3 0-，

）。 ②当点P 在x 轴正半轴上时，点Q 在点B 的上方，

此时，若AQ∥OB ，四边形AOQB 即是梯形，

当AQ∥OB 时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°。

又AB= 2，可求得BQ=23，

由（2）可知，△APO≌△AQB ，∴OP=BQ=23，

∴此时P 的坐标为（23 0，

）。 综上所述，P 的坐标为（3 0-，

）或（23 0，）。 【考点】等边三角形的性质，坐标与图形性质；全等三角形的判定和性质，勾股定理，梯形的判定。

【分析】（1）根据题意作辅助线过点B 作BC⊥y 轴于点C ，根据等边三角形的性质即可求出点B 的坐标。

（2）根据∠PAQ═∠OAB=60°，可知∠PAO=∠QAB ，得出△APO≌△AQB 总成立，得出当点P 在x 轴上运动（P 不与Q 重合）时，∠ABQ 为定值90°。

（3）根据点P 在x 的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果。

2.（湖南永州10分）探究问题：

⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF ，求证DE+BF=EF ．

感悟解题方法，并完成下列填空：

将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得： AB=AD ，BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，∴∠ABG+∠ABF=90°＋

90°=180°，

因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．

∵∠EAF=45° ∴∠2＋∠3=∠BAD －∠EAF=90°－45°=45°．

∵∠1=∠2， ∴∠1＋∠3=45°．即∠GAF=∠_________．

又AG=AE ，AF=AF∴△GAF≌_______．∴_________=EF ，故DE ＋

BF=EF ．

⑵方法迁移：

如图②，将Rt△ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，

且∠EAF=21

∠DAB ．试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想． ⑶问题拓展：

如图③，在四边形ABCD 中，AB=AD ，E ，F 分别为DC,BC 上的点，满

足∠EAF=21

∠DAB,试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时，可使得

DE+BF=EF ．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

【答案】解：（1）EAF 、△EAF 、GF 。

（2）DE ＋BF=EF 。证明如下：

假设∠BAD 的度数为m ，将△ADE 绕点A 顺时针旋转0

m 得到△ABG ，

此时AB与AD重合，由旋转可得：

AB=AD，BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°＋90°=180°，

∴点G，B，F在同一条直线上。

∵∠EAF=1

2

m?

，

∴∠2+∠3=∠BAD－∠EAF，即

11

22

m m m

?-?=?

。

∵∠1=∠2，∴∠1＋∠3=1

2

m?

，即∠GAF=∠EAF。

又∵AG=AE，AF=AF，∴△GAF≌△EAF（SAS）。∴GF=EF。

又∵GF=BG＋BF=DE+BF，∴DE＋BF=EF。

（3）当∠B与∠D互补时，可使得DE＋BF=EF。

【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，翻折变换（折叠问题），等量代换。

【分析】（1）利用角之间的等量代换得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案。

（2）利用旋转的性质，由已知得出∠GAF=∠FAE，再证明

△AGF≌△AEF，即可得出答案。

（3）根据角之间关系，只要满足∠B＋∠D=180°时，就可以得

出三角形全等，即可得出答案：

如图，将△ADE绕点A顺时针旋转0m得到△ABG后，

此时AB与AD重合，由旋转可得：∠ABG=∠D，

∵∠ABF＋∠D=180°，∴∠ABG＋∠ABF=180°，

∴点G ，B ，F 在同一条直线上。

∵∠EAF=12m ? , ∴∠DAE ＋∠BAF=∠BAD －∠EAF ，即

1122m m m ?-?=?。 ∵∠BAG =∠DAE ∴∠BAG +∠BAF =12m ?，即∠GAF=∠EAF 。

又∵AG=AE ，AF=AF ，∴△GAF≌△EAF （SAS ）。∴GF=EF 。

又∵GF=BG ＋BF=DE ＋BF ， ∴DE ＋BF=EF 。

3.（湖南常德10分）如图，已知抛物线过点A （0，6），B （2，0），C(7，5

2)。

（1）求抛物线的解析式；

（2）若D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，F 与E 关于D 对称，求证：∠CFE=∠AFE;

（3）在y 轴上是否存在这样https://www.360docs.net/doc/2014211077.html,/的点P ，使△AFP 与△FDC 相似，若有，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若没有，请说明理由。

【答案】解：（1）设抛物线解析式为2y ax bx c =++，

将A 、B 、C 三点坐标代入，得6420

54972c a b c a b c ??=?++=???++=?

，解得124

6a b c ?=??=-??=??。

∴抛物线解析式为

2

1

46

2

y x x

=-+

。

（2）证明：设直线AC的解析式为y kx b

=+，

将A、C两点坐标代入，得

6

5

7

2

b

k b

=

?

?

?

+=

??

，解得

1

2

6

k

b

?

=-

?

?

?=

?。

∴直线AC的解析式为

1

6

2

y x

=-+

。

∵

()2

2

11

4642

22

y x x x

=-+=--

，∴D（4，﹣2），E（4，4）。

∵F与E关于D对称，∴F（4，﹣8）。

则直线AF的解析式为

7

6

2

y x

=-+

，CF的解析式为

7

22

2

y x

=-

。

∴直线AF，CF与x轴的交点坐标分别为（12

7，0），（

44

7，0）。

∵4﹣12

7=

44

7﹣4，∴两个交点关于抛物线对称轴x=4对称。

∴∠CFE=∠AFE。

（3）解：存在．设P（0，d），则由点P在点A下方，得AP=6﹣d ，

=

FD=－2－（－8）=6，

=

。

当△AFP∽△FDC时，AP AF

FC

FD

=

，即

6

=

﹣

，解得d=

41

2

-

；

当△AFP∽△FCD时，AP AF

FD FC

=

，即

6d

6

=

﹣

，解得d=﹣2。