历年高等数学期末考试试题
2008-2009学年第一学期期末试题
一、填空题(每题5分,共30分)
1.曲线1ln()y x e x
=+的斜渐近线方程是________________________ 2.若函数)(x y y =由2cos()1x y
e xy e +-=-确定,则在点(0,1)处的法线方程是________
3.设()f x 连续,且21
40
()x f t dt x -=?
,则(8)______f =
4.积分
20
sin n xdx π
=?
___________________
5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_____________ 6
.曲边三角形y =
0,1y x ==绕x 轴旋转所得的旋转体体积为_________
二.选择题(每题3分,共15分)
1.当0x +→
)
()
A 1- ()
B ()
C 1 ()
D 1-2. 若1()(21)f x x x
??=-????
,则()f x 在( )处不连续
()A 3x = ()B 2x = ()C 12x =
()D 13
x = 3.若()sin cos f x x x x =+,则( )
()A (0)f 是极大值,()2f π是极小值, ()B (0)f 是极小值,()2f π
是极大值
()C (0)f 是极大值,()2f π
也是极大值 ()D (0)f 是极小值,()2
f π
也是极小值 4.设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解,
12,c c 是任意常数,则该方程的通解为( )
()A 11223c y c y y ++, ()B 1122123()c y c y c c y +-+, ()C 1122123(1)c y c y c c y +---, ()D 1122123(1)c y c y c c y ++--,
5.极限2
1
33lim (
)n n i i n n n →∞=-∑可表示为( ) ()A 2
2
13x dx -? ()B 1
2
03(31)x dx -? ()C 2
2
1
(31)x dx --? ()
D 1
20
x dx ?
三、计算题(每题6分,共36分) 1
.x x → 2.2
(1)
x
xe dx x +? 3.设()y f x =为单调函数, 且二阶可导,()g x 为其反函数,若(1)2,f =
(1)3
f '=-
,(1)2f ''=, 求(2)g ''. 4.若曲线)(x f y =
由221
1
,t t x y ==?
?
确定,
,求该曲线对应于01t ≤≤的弧长。
5. 求微分方程2
cos tan y x y x '+=满足(0)0y =的特解。
6.设曲线3
2
x at
y t bt
?=??=-??在1t =处切线斜率为13, 试确定,a b 使曲线与x 轴所围图形的面积最
大
四.综合题(1题7分,2、3题6分,共19分,) 1.设21
()lim sin
[(2)(2)]t x f x t g x g x t t
→∞
=+-,其中()g x 可导, (1)证明:()(2)f x xg x '=;
(2)若()g x 的一个原函数为ln(1)x +,求
1
()f x dx ?
.
2.设)(x f 在0=x 的某邻域内可导,且(0)1,(0)2f f '==,求1
1
(1cos )1lim[()]n n
n f n
-→∞
3.设()f x 是周期为2的连续函数,证明:2
()2()()x g x f t dt x f t dt =-??也是周期为2
的函数。
五.附加题(共20分,本题的得分记入总分)
1.设()f x 在[0,1]连续,(0,1)可导,且(0)(1)0f f ==,1()12
f =,证明:(0,1)ξ?∈,使得()1f ξ'=.
2.设()f x ''在[2,4]上连续,且(3)0f =,证明:(2,4)ξ?∈,使得4
2
()3()f f t dt ξ''=?
2008-2009学年第二学期期末试题
一、选择题(每题3分,共15分)
1.下列结论正确的是( )
()A 若(,)f x y 在00(,)x y 处可微,则(,)x f x y ',(,)y f x y '在00(,)x y 处一定连续。
()B 若(,)f x y 在00(,)x y 处沿任意方向的方向导数都存在,
则00(,)x f x y ',00(,)y f x y '存在; ()C 若00(,)x f x y '存在,则一元函数0(,)f x y 在00(,)x y 处连续,所以0
0lim (,)x x f x y →存在;
()D 若00(,)x f x y a '=,00(,)y f x y b '=,则00(,)
x y dz
adx bdy =+;
2.设(,,)f x y z 具有一阶连续偏导数,且(,,)0f x y z >,曲面∑为椭球面222
2221
x y z a b c
++=的外侧在第二卦限内的部分,则下列积分小于零的是( )
()(,,)A f x y z ds ∑
?? ()
(,,)B f x y z dxdy ∑??
()
(,,)C f x y z dzdx ∑
?? ()(,,)D f x y z dydz ∑
??
3.设幂级数
(1)
n
n n a x ∞
=+∑在2x =-处条件收敛,则此级数在2x =处( )
()A 条件收敛 ()B 绝对收敛 ()C 发散 ()D 收敛性不能确定
4.设α为非零实数,则级数
2
2
(1)
ln n
n n n
α∞
=--∑( )
()A 发散 ()B 条件收敛 ()C 绝对收敛 ()D 收敛性与a 有关
5.设函数(,)u x y 在平面有界闭区域上具有二阶连续偏导数,且满足
2(,)
0u x y x y ?≠??, 2222
(,)(,)
0u x y u x y x y ??+=??,则(,)u x y 的( ) ()A 最大值点和最小值点都在D 的内部 ; ()B 最大值点和最小值点都在D 的边界上;
()C 最大值点在D 的内部,最小值点都在D 的边界上; ()D 最小值点在D 的内部,最大值点都在D 的边界上。
二、填空题(每题3分,共15分)
1.曲面3z
e z xy -+=在点(2,1,0)处的切平面方程是______________________ 2.积
分11
210
2
(,)(,)I dx f x y dy dx f x y dy =
+?
?在极坐标系下的累次积分为
____________________________ 3.设()f u 具有连续导数,且4
()4f u du =?
,L
为半圆周y ,起点为(0,0)A ,
终点为(2,0)B ,则
22()()L
f x y xdx ydy ++=?
_______________________________
4.设L 为正向闭曲线2x y +=,则
L axdy bydx x y -=+??_____________________
5.设函数2
()()f x x x x πππ=+-<<的付立叶级数展开式为
01
(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞
=++∑,则其中系数3b 的值为________________
三、计算题(每题8分,共48分) 1.设(,)z z x y =由方程
ln x z z y =所确定,求z y
?? 2.设2
2
2
2
:x y z a ∑++= ,求2
(sin )xy z ds ∑
+??ò 3.求
(sin )x z dV Ω
+???,其中Ω
是由曲面z
与z =所围的区域
4.若()f x 具有连续的导数,曲线积分()[1]()L
f x ydx f x dy x +
-?
与路径无关,
且1
(1)2
f =,求()f x
5.计算2
42(1)xzdydz yzdzdx z dxdy ∑
-+-??,其中∑为曲线0y
z e x ?=?=?(0)y a ≤≤绕z 轴旋
转而成的曲面的上侧
6.求级数2
()ln(32)f x x x =--在1x =-处展开成幂级数,并指出收敛域
四、综合与证明题(选作两题,每题11分,共22分)
1.设2
2
(,)f x y x xy y =-+,L 为抛物线2
y x =自原点至点(1,1)A 的有向弧段,n 为L 的
切向量顺时针旋转
2π角所得的法向量,f n
??表示(,)f x y 在曲线L 上点(,)M x y 处沿法向量n 的方向导数,计算L f
ds n
???
2.设闭曲面∑上任一点{},,x y z 处的法向量为{},,P Q R ,Ω为∑所围成的闭区域, (1
)证明:
(
)P Q R
dV x y z
∑
Ω
???=++?????
??? (2)利用(1
)中所得的结论计算:
∑
??
,其中222
:14z x y ∑++=
3..设()f x 在0x =的某领域内连续,且0
()
lim 1x f x x
→=,{}
2222(,,)x y z x y z t Ω=++≤ (1)计算4
()
lim
t F t t π→ 其中()F t
=f dxdydz Ω
??? (2)问λ为何值时,级数
1
11
()n F n n λ∞
='∑收敛 4.设∑为曲面(,)y f x y =的上侧,∑的正向边界曲线为Γ,(,,)P x y z 在∑及其边界Γ上有一阶连续偏导数,证明:(,,)P P dzdx dxdy P x y z dx Z y Γ∑
??-=??????
考生注意:第四大题如选作两个以上,可酌情加分,但卷面总分不得超过100分。
2009-2010学年第一学期期末试题
一. 填空题(每题3分,共15分)
1
.设()f x =,则(0)f '=______________________
2.若函数)(x y y =与sin y x =在(0,0)点处相切,0
()
lim
x f x x
→=____________ 3
.积分
2
2
[ln(x -++=?
______________________
4.积分21x
x
e dx e +?=_________ 5.111lim 12n n n n n →∞??+++=
?+++??
L _______________________。
二.选择题(每题3分,共15分)
1.1x =是函数1
2111()1
01
x x e x f x x x -?-≠?
=-??=?
的( )间断点。
(A )可去 (B) 跳跃 (C) 无穷 (D) 振荡
2.0→x 时,与2
43
x 等价的无穷小量是( )
(A) (B) ()ln 1x x +-
(C)
1
(D) x +3. 若1x →时,()(1)f x f -与3
(1)x -为等价无穷小量,则在1=x 处()f x ( ) (A) 连续,但不可导 (B) 可导,但0)1(≠'f
(C),0)1(='f 但)1(f 不是)(x f 的极值 (D) ,0)1(='f 且)1(f 是)(x f 的极小值 4.设()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''><,x ?为x 在0x 点处的增量,y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ?>,则( )
()A 0dy y < ()B 0y dy < ()C 0y dy ?<< ()D 0dy y <
5.设()f x 为连续的奇函数,且0()()x
x f t dt ?=
?,(2)a ?=,3
2
()4
a
f x dx =-? (A) 3(3)(2)4??=-- (B) 5
(3)(2)4??=
(C) 3(3)(2)4
??-= (D) 5
(3)(2)4??-=--
三、计算题(每题8分,共48分) 1.30sin cos lim
x x x x
x
→- 2.
22arctan (1)x
dx x x +?
3.若221cos 0sin ()t x t y f u du -?=??=??
? 其中()f u 可导,求2
2d y dx . 4.设2
2
1
()x t f x e dt -=?
,求1
()I xf x dx =?
5. 设()f x 是以π为周期的连续函数,求
20
sin ()n xf x dx π?
6. 若)(x f 在[0,
]2
π
上连续,且2
40
()sin (2)f x x f x dx π+=?,求20
()f x dx π?
四.综合题(共22分,选作三题)
1.若()f x 在0x =的邻域内可导,且0()lim 1x f x x →=
,求0ln cos()x
x x t dt →- 2. 设 1
01n
n x a dx x
=+? (1)写出n a 的递推关系式; (2)证明:lim 0n n a →∞
=
(3) 证明:11111
1(1)ln 2234n n
+-
+-++-+=L L 3. 设数列{}n x 满足101x <<
,11n x += (1)证明lim n n x →∞
存在,并求该极限;
(2)计算1sin 12lim n
x n n n x x +→∞??
???
4. 设()f x 在[0,1]上有连续的导数,且(0)0f =,证明[0,1]ξ?∈,使得
1
()()f f x dx ξ'=?
2009-2010学年第二学期期末试题
一、选择题(每题3分,共15分)
1.下列命题正确的是( )
()A 若00(,)x f x y '存在,则函数0(,)f x y 在00(,)x y 处连续,所以0
0lim (,)x x f x y →存在;
()B 若(,)f x y 在00(,)x y 处沿任何方向的方向导数都存在,
则00(,)x f x y ',00(,)y f x y '存在; ()C 若00(,)1x f x y '=,00(,)2y f x y '=,则00(,)2df x y dx dy =+;
()D 若00(,)1x f x y '=,00(,)2y f x y '=,则(,)f x y 沿{}1,1的方向导数
00(,)
x y u
l
?=
?2.设321(cos )I x y x dv Ω
=
-???,223
2(sin )I x y x y z dv Ω
=+??? 3223(cos )I z x xy dv Ω
=+???,其中{}
222(,)1x y x y z Ω=++≤,则( )
321()A I I I >> 123()B I I I >> 213()C I I I >> 312()D I I I >>
3.设()f t 是连续的奇函数,区域{}
(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤, 则 ( )
()
A ()0D
f x y dxdy +=??; ()B ()0D
f x y dxdy -=??;
()C (2)0D
f x y dxdy +=??; ()D (2)0D
f x y dxdy -=??
4.设
1
n
n u
∞
=∑条件收敛,且1
lim
n n n
u u ρ+→∞=,则( )
()A 1ρ= ()B 1ρ=- ()C 1ρ> ()D 1ρ<
5.函数2
2
(,)235f x y x xy y =-++在(0,0)点处( )
()A 取得极大值 ()B 取得极小值 ()C 不取得极值 ()D 不能确定
二、填空题(每题3分,共15分)
1.力22F i j k =-+在向量i j k α=++上的分力为( ) 2.级数111
12!3!!
n +
++++=L L ( ) 3.设l 为正向圆周2
2
1x y +=,则
2L
xdy ydx -=??( )
4.设曲线2222:0
x y z R x y z ?++=Γ?++=?,则22
()x y z dl Γ
++?=( )
5.设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-上定义为3
2,10,(),01,
x f x x x -<≤?=?<≤?
则()f x 的付立叶级数在1x =处收敛于( ) 三、计算题(每题10分,共50分) 1.
计算二重积分
2
1
1
x
dx ?
?
2.设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续二阶偏导数,求2z
x y ???.
3. 设l 是从1(1,)2
A 沿2
2y x =到(2,2)B 的弧段,计算222l x x dx dy y y -? 4.计算曲面积分
3
23232()()()x
y dydz y z dzdx z x dxdy ∑
+++++??其中∑为上半球
面
z =的上侧.
5.设()y y x =满足微分方程322x
y y y e '''-+=,且其图形在点(0,1)处的切线与曲线
21y x x =-+在该点的切线重合,求函数()y y x =
四、综合与证明题(20分)
1.证明:若{}n a 单调递减,且0n a >,证明:22
1
1n n n n
a a a ∞
+=-∑收敛 (6分)
2.设04a π
=,122
arctan (1)(1)n n D
n y
a dxdy x y -=++??,1,2,n =L 其中{}
(,)0,01D x y y x x =≤≤≤≤ (1)求n a ;(2)求幂级数
n
n n a x
∞
=∑的收敛域及和函数 (6分)
3.设P 为椭球面2
2
2
:10S x y z yz ++--=上的动点,若S 在点P 处的切平面与xoy 面垂直,(1)求点P 的轨迹C ;(2
)计算I ∑
=,其中∑是椭球面
S 位于曲线C 上方的部分 (8分)
2010-2011学年第一学期期末试题
一、填空题(每题5分,共30分) 1.20
lim[1ln(1)]x
x x →++=( )
2.若ln t x t y t t
?=?=?,则
1
t dy dx ==( )
3.
1
1x dx e =+?( ) 4.201ln dx x x
+∞=?( ) 5.方程0y y ''+=的通解是( )
6.设()y f x =由3
3
332x y y x ++-=确定,则()f x 的极大值点为( ) 二、选择题(每题3分,共15分)
1.下列函数在其定义域内无界的是( )
()A 2
x xe
- ()B 2
1ln(1)
x x +
()C 2
sin x x ()D 21sin x x 2.设(0)0f =且0(1cos )
lim 2x f x x α→-=,若(0)0f '=,则( ) ()A 2α=; ()B 2α>; ()C 2α<; ()D 不能确定
3.曲线2
2ln(
)1
x y x x =+-渐近线的条数为( ) ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3
4.设0
lim ()0x f x →=,0
lim ()0x g x →=,则0
()lim
()
x f x g x →''存在是0()
lim ()x f x g x →存在的( )
()A 必要条件 ()B 充分条件 ()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件
5.设2,0
()sin 1,0
x x f x x x ?≥=?+,0
()()x x f t dt ?=?,则( )
()A ()x ?是()f x 的一个原函数; ()B ()x ?在(,)-∞+∞上不连续; ()C ()x ?在(,)-∞+∞上可导,但不是()f x 的原函数;. ()D ()x ?在(,)-∞+∞上连续,但不是()f x 的原函数;.
三、计算题(每题7分,共35分)
1.设凹函数()f x 具有连续的二阶导数,在(0,0)处()f x 的曲率半径为2,且与2
y x =相
切,求2
0lim ()
x x f x →
2.若
1
sin ln x
t
dt x t
>?
成立,求 x 的取值范围
3.已知1x y e =,2x y x e =+,23x
y x e =+为某二阶非齐次微分方程的三个解,求该微分
方程的通解
4.从10m 深的井中,把10kg 的水匀速上提,若每升高1m ,漏掉0.25kg 的水,计算把水从井底提高到井口外力所做的功?
5.设()y y x =满足cos sin y y x x '-=-,(0)0y =,求曲线()y y x =与x 轴在[0,]π内所围成平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体体积? 四、综合题(每题10分,共20分)
1.已知()g x 是以T 为周期的连续函数,且(0)1g =,且20
()()x
f x x t
g t dt =-?
,
求2.设()f x 可微,()1,()1,22
f f π
π
-
==-()g x 为()f x 的反函数,且满足 ()2
21sin 3()1cos f x x
t
g t dt dt t π
π-
-+=+??, 求22
()f x dx π
π-?
五、附加题(共10分)
1.若()f x 在[0,1]具有连续的二阶导数,且20
()
lim
1x f x x
→=,(1)2f =, 证明:(0,1)ξ?∈使得()3f ξ''=
2011-2012学年第二学期期末考试试题
一、选择题:(每题4分,共20分)
1、设L 为圆周2
2
1x y +=,方向为顺时针,则2L
xdy ydx -?
( )
()A 3π ()B -3π ()C 12π ()D 12π-
2、设2
2
()(2)(2)f x ax x by y =--,则(,)f a b ( )
()A 不是极值 ()B 不能确定是极值; ()C 是极小值 ()D 是极大值;
3、设(,)z f x y =在(0,0)
的领域内连续,0
x y A →→=,0A ≠
则( )
()A (0,0)点是(,)f x y 的极值点,且(,)f x y 在(0,0)可微; ()B (0,0)点是(,)f x y 的极值点,但(,)f x y 在(0,0)不可微; ()C (0,0)点不是(,)f x y 的极值点,但(,)f x y 在(0,0)可微; ()D (0,0)点不是(,)f x y 的极值点,且(,)f x y 在(0,0)也不可微;
4、设()y f x =与sin y a x =(0a ≠)在(0,0)相切,且()f x 的一阶导数连续,
则级数
1
1
(1)
()n
n f n
∞
=-∑( ) ()A 绝对收敛 ()B 条件收敛 ()C 发散, ()D 敛散性与a 有关
5、设级数
1
n
n a
∞
=∑条件收敛,则11
()
lim
()
n
k
k k n
n k
k k a
a a
a =→∞=-+∑∑的值为( )
()A 0 ()B 1 ()C 1- ()D 不存在
二、填空:(每题4分,共20分)
(1)曲面2
2
2
1x y z yz ++-=与平面20y z -=的交线在xoy 面的投影曲线为______;
(2)
1
arcsin 0
arcsin _______y
y
dy xdx π-=?
?
;
(3)设曲线L 为,(01)y x x =≤≤,其质量密度分布为x y
e
+,则L 的质量为_________;
(4)设有向曲线L 为cos ,()2
2
y x x π
π
=-≤≤
,起点为(,0)2π,终点为(,0)2π
-
则
2
sin()______x y L
xy dx e dy +=?
;
(5)设0n a >,且1
lim (1cos )1p
n n n a n →∞-=,若1
n n a ∞
=∑收敛,则p 的取值范围是______;
三、设(,)x
z f x ye =,其中f 存在二阶连续偏导数,求2,
z z
x x y
?????;(10分) 四、计算221D
I dxdy x y =
+??,其中22
:14D x y ≤+≤
,x y ≤≤;(10分)
五、计算(x y dv Ω+???,其中222222
:1;1x y z x y z ?++≤?
Ω+≤??≥?
(10分) 六、计算曲线积分2
2(23)42(1)I x z
dydz yzdzdx z dxdy ∑
=
-++-??,其中∑是旋转曲面
2)z z e =≤≤的下侧;
(10分) 七、将函数()arctan(1)f x x =+在1x =-处展开幂级数,并指出收敛域;(10分)
八、设()2()n n xf x nf x '=,(n 为正整数),且21
(1)!n n f n +=,求级数1
()n n f x ∞
=∑的和;
(10分)
2012—2013学年第一学期期末试题
一、填空题:(每个小题5分,共25分)
1.函数sin ln ()1x x f x x =-的可去间断点是________
2.设2
cos(1)
()1)(1)x
x f x x e x e -=
-+-(,则(1)________f '=
3.设222
33312lim n n n n n
→∞+L (++)=______
4.设()f x 连续,
arctan 0
()x
f t dt x =?
,则(0)______f =
5.设 320y y y '''-+=的通解为________ 二、选择题:(每个小题3分,共15分)
1.曲线2
ln (1)(2)
x y x x x =---的渐近线条数为______条
()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 4
2.下列函数在区间其定义域内无界的是______
()A
()B
2
x ()C
()D
3.设对任意的(,)x ∈-∞+∞,总有()()()x f x g x ?≤≤,且lim[()()]0x g x x ?→∞
-=, 则lim ()______x f x →∞
()A 存在且一定等于零 ()B 存在当不一定等于零
()C 一定不存在 ()D 不一定存在
4.设函数()f x 在[0,2]上连续,且(0)(1)(2)6f f f ++=,则必[0,2]ξ?∈使得,
()f ξ等于________
()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 6
5.设2
2
2x y +=,23
[1()]a y '=+,2
()b y ''=,则________
()A a b = ()B 2a b = ()C 3a b = ()D 9a b =
三、解答题:(共60分) 1. 求极限 0sin ln(1sin )
lim
ln(1sin )
x x x x x →-+-+ (8分)
2. 设()y y x =
由方程arctan
y x =所确定,求dy
dx
( 8分) 3. 设()f x 可导,且cot 1
()
()1,lim[
]2()n x n f x n f e f x π→∞+==,求 ()f x (8分) 4. 计算:2
(1)x
xe dx x +?
( 8分) 5.
计算:
20
a
?
(0a >) (7分)
6.计算:微分方程2
2
()20y x dy xydx -+=的通解(7分)
7.若方程2
ln (1)0x x k x --=恰有两个不同的根,求k 的取值范围? (7分) 8
.求曲线1
)2
y x =≤≤绕x 轴旋转所得旋转体的体积和侧面积 (7分) 四、附加题:(共20分) 1.设1
()()()x f x x e
x x ?-=-,其中()x ?在[0,1]上二阶可导,(0)0?=, (1)0?≠,
(1)问1x =是否为()f x 的极值点,(1,0)点是否为()f x 的拐点?说明你的理由; (2)证明:(0,1)ξ?∈使得,()0f ξ'''=
2.设()f x 在[0,)+∞上可导,且20()1x f x x ≤≤+,证明:0ξ?>使得,2
22
1()(1)
f ξξξ-'=+
2012—2013学年第二学期期末试题
一、选择题(每题3分,共15分)
1、
(,)(0,0)lim
_____x y xy
x y →=+
()A 0 ()B 1 ()C -1 ()D 不存在;
2、函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的偏导数存在是(,)f x y 在该点连续的____
()A 充分但不必要 ()B 必要但不充分()C 充分必要 ()D 既不充分也不必要;
3、设()f x 为连续函数,1
()()t
t
y
F t dy f x dx =
?
?,则(2)____F '=
()A 2(2)f ()B (2)f ()C (2)f - ()D 0
4、直线
1011
x y z
-==绕z 轴旋转一周所得旋转面的方程为____ ()A 2221x y z +-= ()B 2221x y z --= ()C 2221x y z -+= ()D 222x y z +=;
5、函数2
()f x x =在[,]ππ-上展开成傅里叶级数,其中_____n b =
()A 1 ()B 1-()C 0 ()
D 1
n
二、 填空题(每题3分,共15分)
1、已知?6,3,3,(,)6a b c a b π====r r r r r ,且,c a c b ⊥⊥r r r r ,则()____a b c ?=r r r g
2、函数z xy =在点(,)x y 处沿方向(cos ,sin )l αα=r
的最大方向导数为______
3、设l 为周长为a 的椭圆22
143x y +=,则22(234)_____l
xy x y ds ++=?i 4、设Ω是由球面2
2
2
1x y z ++=围成的闭区域,则222222
ln(1)
z x y z dV x y z Ω+++++???
_______=
5、设积分2()L
x y dx x ydy ?+?
与路径无关,其中(0)0?=,()y ?具有一阶连续的导数,
则
(1,2)
2(0,1)
()______x y dx x ydy ?+=?
三、 计算(每题10分,共70分)
1、若f 具有连续的二阶偏导数,且2
2
(,)xy
z f x y e =+,求2z x y
???
2、求旋转抛物面22
z x y =+与平面1x y z +-=之间的最短距离; 3
、计算
),D y dxdy +其中22:D x y x +≤
4、计算
V
zdV ???,其中Ω
是曲面z =
与z =所围成的区域
5、
2
2()x
y ds ∑
+??
其中:z ∑=及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面;
6、设l 是由(,0)A a 到(0,0)O 得上半圆2
2
(0)x y ax y +=≥, 计算(sin )(cos )x x
l
e y my dx e y m dy -+-?
;
7、求级数
1
(21)2
n
n n ∞
=+∑的和;
四、选作(共10分) 1、计算222x dydz y dzdx z dxdy ∑
++??ò,其中2
222:()
()()x a y b z c R ∑-+-+-=的外
侧;
2013—2014学年第一学期期末试题
一、填空题(每题3分,共24分) 1、20
lim(1ln(1))______x
x x →++=
2、函数sin ln ()1
x x
f x x =
-的可去间断点是________
3、2
cos(1)
()(1)e (1)e ,x
x f x x x -=-+- 则(1)_______f '=
4、设,0
(x)sin ,0
ax e x f b x x ?<=?+≥? 在0x = 处可导,则____,______a b ==
5、设()f x 连续,
arctan 0
()x
f t dt x =?
,则(0)_____f =
6、设2
2
2x y += ,23
2
(1()),()a y b y '''=+= ,则2____a b -= 7
、
2
32
(sin ________x -+=?
8、设320y y y '''-+=的通解为________ 二、简答题(每题8分,共48分) 1、设()y f x = 是由2cos()1x y
e
xy e +-=-所确定,求()y f x =在(0,1)的切线方程;
2、讨论3
2
3x y x
=- 的渐近线; 3、若曲线()y f x =由参数方程sin ,cos t
t
x e t y e t ==所确定,求该曲线对应于02
t π<<
的弧长; 4、若0
sin (),x
t
f x dt t
π=-?
求0()d f x x π?
5、
3
22
1(1)
dx x +∞
+?
;
6、已知()F x 是()f x 的一个原函数,且2
()
()1xF x f x x
=+ 求()f x ; 三、证明题与综合题(每题7分,共28分)
1、已知某曲线过点(1,1),它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求曲线方程
2、若方程2
ln (1)x x k x =-恰有两个不同的根,讨论k 得取值范围; 3、曲线21(0)2
y x x =
≥ 上一点M 处作切线,曲线及x 轴围成的面积为13
1)切点M 坐标; 2)过点M 的切线方程
3)上述平面绕2x = 旋转一周得到的旋转体的体积; 4、证明 当1x <时,(1)1x
e x -≤ 附加题:(20分)
1.求
2
1000
3
1
n n
-
=∑的整数部分;
2.设()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导,且()0f x ''>,且0x ?使得0()0f x <,又
lim ()0x f x α→-∞
'=<,lim ()0x f x β→+∞
'=>,证明:()f x 有且仅有两个零点。
安徽大学高等数学3期末考试试卷
安徽大学2011—2012学年第一学期 《高等数学A (三)》考试试卷(A 卷) 院/系 年级 专业 姓名 学号 答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线---------------------------------------- (闭卷 时间120分钟) 考场登记表序号 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 阅卷人 得分 一、选择题(每小题2分,共10分) 1.设A 为阶可逆矩阵,则下列各式正确的是( )。 n (A); (B)1(2)2A ?=1A ?11(2)(2)T T A A ??=; (C); (D)。 1111(())(())T T A A ????=11(())(())T T T A A ???=1 2.若向量组12,,,r αα α可由另一向量组12,,,s ββ β线性表示,则下列说法正确的是 ( )。 (A); (B)r ; r s ≤s ≥(C)秩(12,,,r ααα )≤秩(12,,,s ββ β); (D)秩(12,,,r ααα ≥)秩(12,,,s ββ β)。 3.设,A B 为阶矩阵,且n A 与B 相似,E 为阶单位矩阵,则下列说法正确的是( )。 n (A)E A E B λλ?=?; (B)A 与B 有相同的特征值和特征向量; (C)A 与B 都相似于一个对角矩阵; (D)对任意常数,与k kE A ?kE B ?相似。 4.设123,,ααα为3R 的一组基,则下列向量组中,( )可作为3R 的另一组基。 (A)11212,,3ααααα??; (B)1212,,2αααα+; (C)12231,,3αααααα++?; (D)12231,,3αααααα+++。 5.设,,()0.8P A =()0.7P B =(|)0.8P A B =,则下列结论正确的是( )。 (A)事件A 与B 互不相容; (B)A B ?; (C)事件A 与B 互相独立; (D)。 ()()()P A B P A P B =+∪
《高等数学》专科期末考试卷
遵章守纪考试诚信承诺书 在我填写考生信息后及签字之后,表示我已阅读和理解《XX 学院学生考试违规处理办法》有关规定,承诺在考试中自觉遵守该考场纪律,如有违规行为愿意接受处分;我保证在本次考试中,本人所提供的个人信息是真实、准确的。 承诺人签字: 数理部《高等数学》(专科)课程期末考试卷 2016——2017学年第二学期 闭卷 考试时间: 100分钟 任课教师: (统一命题的课程可不填写) 年级、专业、班级 学号 姓名 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设 2 1 ,1()1 ,1x x f x x a x ?-≠? =-??=?,)(x f 在1=x 处连续,则=a 。 2.已知()3 f x '=,则0 ( 2)() lim x f x x f x x ?→-?-= ? 。 3. 2 11x +是 () f x 的一个原函数,则()f x d x = ? 。 4.已知曲线ln y x =,求曲线点(,1)e 的切线方程 。 5.函数 ()ln f x x x =+在[1,]e 上满足拉格朗日中值定理的点ξ = 。 二、单项选择题(每小题3分,共15分) 1.函数2 11y x = -的定义域是( )。 A.(2,2)- B.[2,2]- C.[2,1)(1,2]--- D.[2,1) (1,1) (1,2] --- 2.设函数(,) z f x y =有一阶、二阶偏导数,则当( )时, 2 2 z z x y y x ??= ????。 A.函数(,) z f x y =连续 B.函数(,) z f x y =可微 C. ,z z x y ????连续 D.,x y y x z z ''''连续 3.若函数 () f x 在点0x 处满足 00()0,()0 f x f x '''=≠,则点0x 是曲线() y f x =的( )。 A.拐点 B.极大值点 C.极小值点 D.单调性不能确定 4.由曲线2 y x =,直线2,2,0 x x y =-==围成的屏幕图形的面积为( )。 A.22 x d x ? B.22 2 x d x -? C.40 y ? D.4 2y ? 5.以下方程中( )是一阶线性微分方程。 A.x y y e +'= B.x y y '= C.0 y x y y '''+ += D.ln y y x '- = 三、计算题(每小题6分,共54分) 1.1 1lim ( ) ln 1 x x x x →- - 2.22lim ( ) x x x x -→∞ -
同济大学版高等数学期末考试试卷
同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ( )g x =(C )()f x x = 和 ( )2 g x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7.211 f dx x x ??' ????的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ??+ ??? (D )1f C x ?? -+ ???
高等数学[下册]期末考试试题和答案解析
高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题:(本题共5小题,每小题4分,满分20分,把答案直接填在题中横线上) 1、已知向量a 、b 满足0a b +=,2a =,2b =,则a b ?= .
2、设ln()z x xy =,则32 z x y ?=?? . 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 . 4、设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =,则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ,在x π=处收敛于 . 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段,则 ()L x y ds +=? . ※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程,并在每张答题纸写上:姓名、学号、班级. 二、解下列各题:(本题共5小题,每小题7分,满分35分) 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程. 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积. 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛? 4、设(,)sin x z f xy y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2, z z x x y ?????. 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部. 三、(本题满分9分) 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值. (本题满分10分) 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? , 其中m 为常数,L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>. 四、(本题满分10分) 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数.
2018最新大一高等数学期末考试卷(精编试题)及答案详解
大一高等数学期末考试卷(精编试题)及答案详解 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是 等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )2 2x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
大学高等数学期末考试题及答案详解(计算题)
大学数学期末高等数学试卷(计算题) 一、解答下列各题 (本大题共16小题,总计80分) 1、(本小题5分) .d )1(22x x x ? +求 2、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) .求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) .求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求.x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) . 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) .求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) .,求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求.y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题
高数-下-期末考试试卷及答案
2017学年春季学期 《高等数学Ⅰ(二)》期末考试试卷(A ) 注意: 1、本试卷共 3 页; 2、考试时间110分钟; 3、姓名、学号必须写在指定地方 一、单项选择题(8个小题,每小题2分,共16分)将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中. 1.已知a 与b 都是非零向量,且满足-=+a b a b ,则必有( ). (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2 2 22 00 1 lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3.下列函数中,d f f =?的是( ). (A )(,)f x y xy = (B )00(,),f x y x y c c =++为实数 (C )(,)f x y = (D )(,)e x y f x y += 4.函数(,))f x y y ,原点(0,0)是(,)f x y 的( ). (A )驻点与极值点 (B )驻点,非极值点 (C )极值点,非驻点 (D )非驻点,非极值点 5.设平面区域2 2 :(1)(1)2D x y -+-≤,若1d 4D x y I σ+= ??,2D I σ=,3D I σ=,则有( ). (A )123I I I << (B )123I I I >> (C )213I I I << (D )312I I I << 6.设椭圆L :13 42 2=+y x 的周长为l ,则22(34)d L x y s +=??( ). (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 7.设级数 ∑∞ =1 n n a 为交错级数,0()n a n →→+∞,则( ). (A)该级数收敛 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中,正确的命题是( ). (A )若级数 1n n a ∞ =∑发散,则级数21n n a ∞ =∑也发散 (B )若级数 21n n a ∞=∑发散,则级数1n n a ∞=∑也发散 (C )若级数 21n n a ∞ =∑收敛,则级数 1n n a ∞ =∑也收敛 (D )若级数 1 ||n n a ∞=∑收敛,则级数2 1 n n a ∞=∑也收敛 二、填空题(7个小题,每小题2分,共14分). 1.直线34260 30 x y z x y z a -+-=?? +-+=?与z 轴相交,则常数a 为 . 2.设(,)ln(),y f x y x x =+则(1,0)y f '=______ _____. 3.函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 4.设2 2 :2D x y x +≤,二重积分 ()d D x y σ-??= . 5.设()f x 是连续函数,22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--,22()d f x y v Ω +???在柱面坐标系下 的三次积分为 . 6.幂级数11 (1)!n n n x n ∞-=-∑ 的收敛域是 . 7.将函数2 1,0 ()1,0x f x x x ππ --<≤??=?+<≤??以2π为周期延拓后,其傅里叶级数在点x π=处收敛 于 . 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 …………………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………
高等数学(专科)复习题及答案
高等数学期末试卷 一、填空题(每题2分,共30分) 1.函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。 2.若函数52)1(2-+=+x x x f ,则=)(x f . 解. 62 -x 3.________________sin lim =-∞→x x x x 答案:1 正确解法:101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ,则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23 4 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ,则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6.函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解:由)(x f 是分段函数,0=x 是)(x f 的分段点,考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+- →→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的, 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的,故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7. 设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y (1)!n + 8.2 )(x x f =,则__________)1)((=+'x f f 。
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3分)定积分22 π π-?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 20 1 lim sin x x x →= . 4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. (6分)设2 ,1 y x =+求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. (6分)求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无 穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x , 则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. . 求,, 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续, =?1 ()()g x f xt dt ,且 →=0 () lim x f x A x ,A 为常数. 求'() g x
历年高等数学期末考试试题
2008-2009学年第一学期期末试题 一、填空题(每题5分,共30分) 1.曲线1ln()y x e x =+的斜渐近线方程是________________________ 2.若函数)(x y y =由2cos()1x y e xy e +-=-确定,则在点(0,1)处的法线方程是________ 3.设()f x 连续,且21 40 ()x f t dt x -=? ,则(8)______f = 4.积分 20 sin n xdx π =? ___________________ 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_____________ 6 .曲边三角形y = 0,1y x ==绕x 轴旋转所得的旋转体体积为_________ 二.选择题(每题3分,共15分) 1.当0x +→ ) () A 1- () B () C 1 () D 1-2. 若1()(21)f x x x ??=-???? ,则()f x 在( )处不连续 ()A 3x = ()B 2x = ()C 12x = ()D 13 x = 3.若()sin cos f x x x x =+,则( ) ()A (0)f 是极大值,()2f π是极小值, ()B (0)f 是极小值,()2f π 是极大值 ()C (0)f 是极大值,()2f π 也是极大值 ()D (0)f 是极小值,()2 f π 也是极小值 4.设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解, 12,c c 是任意常数,则该方程的通解为( ) ()A 11223c y c y y ++, ()B 1122123()c y c y c c y +-+, ()C 1122123(1)c y c y c c y +---, ()D 1122123(1)c y c y c c y ++--, 5.极限2 1 33lim ( )n n i i n n n →∞=-∑可表示为( ) ()A 2 2 13x dx -? ()B 1 2 03(31)x dx -? ()C 2 2 1 (31)x dx --? () D 1 20 x dx ?
高等数学C1-期末考试卷-A-(答案)
5 一、 单项选择题 1. D (解释:, 2. A (解释: 在 处连续 ,所以 必须存在, 也就是 在 处有定义。) 3. B (解释: ,可以这样理解: 。) 4. C ,见书P90。) 5. D 就是 ,定积分 是一个常数, 所以它的导数为0。 , 。 二、 填空题 1. 解:由的定义, 在 处连续,是指: ,也就是: 2. 解:先回顾导数的定义 看作 ,那么原极限可以变为: 计算两部分的极限,其中 所以答案为:。 3. 解:要求法线方程,可以先计算曲线在 处的导数(也就是切线斜率),法 线的导数是切线斜率的负倒数。 在点 出导数 ,代入 , 得到,所以法线的斜率为 。 4. 解:函数 的正负变化情况 所以极大值: 。5. 解:此题可先计算不定积分
计算定积分: 5
三、求解下列各题 1.解: 2.解: 3.解: 4.解: 5.解:先对原等式两侧求微分,得到: 整理后得到 再计算 即:,代入,并代入点 得到: 6.解: 5
5 7.解:可以令 , 代换原式得到: 8.解:第一步用凑微分的方法,就是 可知:当为最小 值。 边际成本函数为,代入。 2.解:此题需要列表讨论函数的一二阶导数,并计算渐进线。 首先计算: , 用使上面两式等于0: 1.是垂直渐进线; 2.由可知,是其水平渐进线; 3.无斜渐进线。 3.解:先计算,并作图
曲线的切线斜率为 方程则为,此线过原点,也就是说:代入 ,所以切线位于曲线的切点坐标为:。红色区域为所围成的区域,求此区域绕轴旋转一周形成的旋转体体积。 回顾:绕轴旋转一周的旋转体体积公式为: 但此题中不能直接使用该公式,原因是红色区域的上边界(不含轴)不构成一个函数。而应考虑为是一个圆锥体(在区间上绕轴形成)体积减去其中由抛物线在区间上绕轴形成的旋转体体积,即:五、证明题 证:构造函数,由条件可知:,且上连续,内可导,满足罗尔中值定理的使用条件,因此:必存在使得,而通过计算我们知道: 所以:,其中,所以. 5
最新高数期末考试题.
往届高等数学期终考题汇编 2009-01-12 一.解答下列各题(6*10分): 1.求极限)1ln(lim 1 x x e x ++ →. 2.设?? ? ??++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d . 3.设?????-=-=3 232t t y t t x ,求22d d x y . 4.判定级数()()0!1 2≥-∑∞ =λλλn n n n n e 的敛散性. 5.求反常积分() ?-10 d 1arcsin x x x x . 6.求?x x x d arctan . 7.?-π 03d sin sin x x x . 8.将?????≤≤<=ππ πx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数,并指出收敛于()x f 的区间. 9.求微分方程0d )4(d 2=-+y x x x y 的解. 10.求曲线1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域. 三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点() ()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴及曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 及曲线 ()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值. 四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间? 五.(8分)(学习《工科数学分析》的做(1),其余的做(2)) (1)证明级数∑∞ =-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛. (2)求幂级数()∑ ∞ =-----1 221 21212)1(n n n n x n 的收敛域及和函数. 六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()?''-+ ??? ??+-=b a f a b b a f a b dx x f ξ324 1 2
(完整word版)同济大学版高等数学期末考试试卷
《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ( )g x =(C )()f x x = 和 ( )2 g x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4 y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果是( ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ ( D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( ).
关于大学高等数学期末考试试题与答案
关于大学高等数学期末考 试试题与答案 Last revision on 21 December 2020
(一)填空题(每题2分,共16分) 1 、函数ln(5)y x =+-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ??=??+? 000x x x <=> ,若0lim ()x f x →存在,则a = . 3、已知 30lim(1)m x x x e →+=,那么m = . 4、函数21()1x f x x k ?-?=-??? 11x x ≠= ,在(),-∞+∞内连续,则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、20cos x d tdt dx ??=? ???? . (二)单项选择(每题2分,共12分。在每小题给出的选项中,选出正确答案) 1、下列各式中,不成立的是( )。 A 、lim 0x x e →+∞= B 、lim 0x x e →-∞= C 、21 lim 1x x e →∞= D 、1lim 1x x e →∞= 2、下列变化过程中,( )为无穷小量。 A 、()sin 0x x x → B 、()cos x x x →∞ C 、()0sin x x x → D 、()cos x x x →∞ 3、0lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的( )条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件,则ξ=( )。 A 、 B 、
5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<,()0f x ''>,则曲线在此区间内 ( )。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是( ). A 、1 12111dx x x --=-? B 、 122π-==?? C 、22cos xdx ππ-=?0 D 、2220 sin 2sin 2xdx xdx πππ-==?? (三)计算题(每题7分,共 56分) 1、求下列极限 (1 )2x → (2)lim (arctan )2x x x π →∞?- 2、求下列导数与微分 (1)x x y cos ln ln sin +=,求dy ; (2)2tan (1)x y x =+,求 dx dy ; (3)ln(12)y x =+,求(0)y '' 3、计算下列积分 (1 ); (2 ); (3)10arctan x xdx ?. (四)应用题(每题8分,共16分) 1. 求ln(1)y x x =-+的单调区间与极值. 2. 求由抛物线21y x +=与直线1y x =+所围成的图形的面积. 参考答案 一、填空题(每空2分,共16分) 1. ()3,5 2. 2 3. 3 4. 2 5. 10x y -+= 6. ()F x C + 7. sec tan x x C ++ln 8.2cos x
同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)
学年第二学期期末考试试卷 课程名称:《高等数学》 试卷类别:A 卷 考试形式:闭卷 考试时间:120 分钟 适用层次: 适用专业; 阅卷须知:阅卷用红色墨水笔书写,小题得分写在每小题题号前,用正分表示,不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内;考试课程应集体阅卷,流水作业。 课程名称:高等数学A (考试性质:期末统考(A 卷) 一、单选题 (共15分,每小题3分) 1.设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ,00(,)y f x y 都存在,则 ( ) A .(,)f x y 在P 连续 B .(,)f x y 在P 可微 C . 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D . 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2.若x y z ln =,则dz 等于( ). ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3.设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域,则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ). 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4. 4.若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处( ). A . 条件收敛 B . 绝对收敛 C . 发散 D . 敛散性不能确定 5.曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点(1,1,2)处的一个切线方向向量为( ). A. (-1,3,4) B.(3,-1,4) C. (-1,0,3) D. (3,0,-1) 二、填空题(共15分,每小题3分) 系(院):——————专业:——————年级及班级:—————姓名:——————学号:————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
《高等数学B》本科期末考试试卷A卷
西南科技大学2013-2014-2学期《高等数学B2》本科期末考试试卷(A卷) 2、设y z x =,求dz=__________。
3、求曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切线方程________。 4、求函数3u xy z =在点(1,1,2)-处的梯度__________。 5、设,αβ为有向曲线弧L 在点(,)x y 处的切向量的方向角,则平面曲线L 上的两类曲线积分的关系(________________)L L Pdx Qdy ds +=??。 三、解答题(1-2小题每题8分,3-8小题每题9分,共70分) 1、 求曲面22214x y z ++=上平行于平面2320x y z ++=的切平面方程。 2、 设2 2 (,),z f x y xy = -,其中 f 具有连续的二阶偏导数,求2z x y ???。 3、 求函数4242z x xy y =-+的极值。 4、 计算|1|D I x y dxdy =+-??,其中[0,1][0,1]D =?。 5、 把二次积分4 2200 )dx x y dy +?化为极坐标形式,并计算积分值。
1、解:令222(,,)14F x y z x y z =++-, 在点000(,,)P x y z 处的法向量为000(,,)n x y z =r 000 123 x y z k ===令 ,代入方程22214x y z ++=中可得1k =±---————--4分, 在点(1,2,3)处的切平面为2314x y z ++=-————----2分, 在点(-1,-2,-3)处的切平面为23140x y z +++=----————-2分。 2、解:122(3)z xf yf x ?'' =+?分。 3、解:3440,440x y z x y z x y =-==-+=求得驻点为(0,0),(1,1),(-1,-1)。(3分) 212,4,4xx xy yy A z x B z C z ====-==,在点(0,0)处2160AC B -=-<没有极值,(3分) 在点(1,1)和(-1,-1)处2320,0AC B A -=>>,所以有极小值(1,1) 1.z ±±=-(3分) 4、解: 5 、解3334 4cos 22 3 4 2 200 )64cos 12dx x y dy d r dr d π π θ θθθπ+===??? ?分 分 分 。 6、解:131 lim 3 31n n n n n ρ+→∞==+,所以收敛半径为3,收敛区间为323x -<-<,即15 x -<<(3分) 当5x =时1131 3n n n n n n ∞ ∞ ===∑∑g 发散(2 分),当1x =-时11(3)(1)3n n n n n n n ∞ ∞ ==--=∑∑ g 收敛,(2分) 因此原级数的收敛域为[1,5)-。(2分) 7、解:42332,4,24Q P P xy y Q x xy x y x y ??=-=-==-??,所以该曲线积分和积分路径无关。(4分) 11 4 2 3 30 (23)(4)314)=3L xy y dx x xy dy dx y dy -++-=+-???((5 分) 8、解:由高斯公式得22322 ()2=()xy dydz x y z dzdx xydxdy x y dxdy ∑ Ω +-++????? ò(4分) 由柱面坐标224 22300 28()3 r x y dxdydz d r dz π π θΩ +== ?????(5分)
高等数学二期末考试试题
华北科技学院12级《电子商务专业》高等数学二期末考试试题 一、选择题:1~10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内。 1、 .设函数25x y e =+,则'y = A.2x e B.22x e C. 225x e + D.25x e + 2、设y x =+-33,则y '等于( ) A --34x B --32x C 34x - D -+-334x 3、设f x x ()cos =2,则f '()0等于( ) A -2 B -1 C 0 D 2 4. 曲线y x =3的拐点坐标是( ) A (-1,-1) B (0,0) C (1,1) D (2,8) 5、sin xdx ?等于( ) A cos x B -cos x C cos x C + D -+cos x C 6、已知()3x f x x e =+,则'(0)f = A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7、下列函数在(,)-∞+∞内单调增加的是 A.y x = B.y x =- C. 2y x = D.sin y x = 8、1 20x dx =? A.1- B. 0 C. 13 D. 1 9、已知2x 是()f x 的一个原函数,则()f x = A.2 3 x C + B.2x C.2x D. 2 10. 已知事件A 的概率P (A )=0.6,则A 的对立事件A 的概率P A ()等于( ) A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
二、填空题:11~20小题,每小题4分,共40分。把答案填写在题中横线上。 11、lim()x x x →-+=13 2____________________。 12、lim()x x x →∞-=13____________________。 13、函数y x =+ln()12的驻点为x =____________________。 14、设函数y e x =2,则y "()0=____________________。 15、曲线y x e x =+在点(0,1)处的切线斜率k =____________________。 16、()12 +=?x dx ____________________。 17、2031lim 1 x x x x →+-=+ 。 18、设函数20,()02,x x a f x x ≤?+=?>? 点0x =处连续,则a = 。 19、函数2 x y e =的极值点为x = 。 20、曲线3y x x =-在点(1,0)处的切线方程为y = 。 三、解答题:21~24小题,共20分。解答应写出推理、演算步骤。 21、(本题满分5分) 计算lim x x x x →-+-122321