2004年高考数学试题(浙江文)及答案

2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（浙江卷）（文史类）

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则U e=?)(N M

（ ）

(A) {1,2,3} (B) {4} (C) {1,3,4} (D) {2}

（2）直线y=2与直线x+y —2=0的夹角是 （ ）

(A)

4

π

(B)

3

π

(C)

2

π

(D)

4

3π (3) 已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =

（ ）

(A) –4

(B) –6

(C) –8

(D) –10

（4）已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==且∥，则αtan = (A)

4

3

(B)4

3

-

(C)

3

4

(D)3

4-

(5)点P 从（1，0）出发，沿单位圆12

2

=+y x 逆时针方向运动

3

2π

弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（ ） (A)（)23,21-

(B)（)21,23-- (C)（)23,21-- (D)（)2

1,23- （6）曲线y 2

=4x 关于直线x=2对称的曲线方程是

（ ）

(A)y 2=8--4x (B)y 2=4x —8 (C)y 2

=16--4x (D)y 2

=4x —16 (7) 若n

x

x )

2

(3

+

展开式中存在常数项,则n 的值可以是

（ ）

(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12

(8)“2

1

sin =A ”“A=30o”的

（ ）

(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件

(9)若函数)1,0)(1(log )(≠>+=a a x x f a 的定义域和值域都是[0，1]，则a=

（ ）

(A)

3

1

(B) 2

(C)

2

2

(D)2

（10）如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中已知AB=1，D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则α=

(A)

3π (B)4

π

(C)410arcsin (D)46arcsin

(11)椭圆)0(12222??=+b a b

y a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被点（2b

，0）分成5：3两段，则此椭圆的

离心率为

（ ）

(A)

17

16

(B)

17174 (C)5

4

(D)

5

5

2 (12)若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能．．．是 (A)512

-

+x x (B)512++x x (C)5

12

-x (D)5

1

2

+

x 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.把答案填在题中横线上. （13）已知??

?≥?-=,0,1,

0,1)(x x x f 则不等式2)(≤+x x xf ≤5的解集是 .

（14）已知平面上三点A 、B 、C

,5

43 则AB· BC+BC·CA+CA·AB 的值等于 . （15）已知平面α⊥β， βα?=l ，P 是空间一点，且P 到α、β的距离分别是1、2，则点P 到l 的距离为 .

（16）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动

质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种（用数字作答）. 三. 解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和为).)(1(3

1

,*∈-=N n a S S n n n （Ⅰ）求21,a a ；

（Ⅱ）求证数列{}n a 是等比数列. （18）（本题满分12分）

在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且3

1cos =A . （Ⅰ）求A C

B 2cos 2

sin

2

++的值； （Ⅱ）若3=

a ，求bc 的最大值.

（19）（19）（本题满分12分）

如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，

AB=2，AF=1，M 是线段EF 的中点.

（Ⅰ）求证AM∥平面BDE ； （Ⅱ）求证AM⊥平面BDF ；

（Ⅲ）求二面角A —DF —B 的大小；

（20）（本题满分12分）

某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）.假定工厂之间的选择互不影响.

（Ⅰ）求5个工厂均选择星期日停电的概率；

（Ⅱ）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率. （21）（本题满分12分）

已知a 为实数，))(4()(2

a x x x f --= （Ⅰ）求导数)(x f '；

（Ⅱ）若0)1(=-'f ，求)(x f 在[--2，2] 上的最大值和最小值；

（Ⅲ）若)(x f 在（—∞，—2]和[2，+∞）上都是递增的，求a 的取值范围.

（22）（本题满分14分）

解：已知双曲线的中心在原点，右顶点为A （1，0）.点P 、Q 在双曲线的右支上，点M （m,0）到直线AP 的距离为1.

（Ⅰ）若直线AP 的斜率为k ，且]3,3

3

[

∈k ，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）当12+=

m 时，ΔAPQ 的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程.

2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（浙江卷）（文史类）参考答案

一选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.

1.B

2.A

3. B

4.A

5.A

6.C

7.C

8.B

9.D 10.D 11D 12. B 二.填空题 (本大题共4小题,每小题4分,共16分) 13.(]1,∞- 14. –4 15. 5 16. 5 三.解答题

（17）解: (Ⅰ)由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a ∴=1a 21- 又)1(3122-=a S ,即)1(31221-=+a a a ,得4

1

2=a .

(Ⅱ)当n>1时,),1(3

1

)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a

得

,211-=-n n a a 所以{}n a 是首项为21-,公比为2

1

-的等比数列. (18) 解: (Ⅰ)A C B 2cos 2sin

2

++=)1cos 2()]cos(1[212-++-A C B =)1cos 2()cos 1(2

1

2-++A A =)192()311(21-++= 9

1

-

(Ⅱ) ∵

31cos 2222==-+A bc a c b ∴222223

2

a bc a c

b b

c -≥-+=, 又∵3=

a ∴.4

9

≤

bc 当且仅当 b=c=

23时,bc=49,故bc 的最大值是4

9. (19) (满分12分)

方法一

解: (Ⅰ)设AC ∩BD=0，连结OE ，

∵O、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是矩形， ∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴AM∥OE.

∵?OE 平面BDE ， ?AM 平面BDE ，∴AM∥平面BDE. (Ⅱ)∵BD ⊥AC ，BD ⊥AF ，且AC 交AF 于A ，

∴BD ⊥平面AE ，又因为AM ?平面AE ，∴BD ⊥AM.

∴AD=2,AF=1,OA=1,∴AOMF 是正方形，

∴AM ⊥OF ，又AM ⊥BD ，且OF ∩BD=0∴AM ⊥平面BDF. （Ⅲ）设AM ∩OF=H ，过H 作HG ⊥DF 于G ，连结AG ， 由三垂线定理得AG ⊥DF ，

∴∠AGH 是二面角A —DF —B 的平面角.

2sin 6060AH AG AGH AGH A DF B =

=∴∠=∴∠=∴--二面角的大小为

方法二 （Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系. 设N BD AC = ，连接NE ，

则点N 、E 的坐标分别是（

)0,22,22、（0,0,1）, ∴NE=()1,2

2,22--, 又点A 、M 的坐标分别是)0,2,2(）、（

)1,2

2

,22. ∴ AM=（)1,2

2

,22--

∴NE=AM 且NE 与AM 不共线， ∴NE∥AM.

又∵?NE 平面BDE ， ?AM 平面BDE ，∴AM∥平面BDF. （Ⅱ）),1,2

2,22(--

=AM

(2,0,0),(2,(0,2,1),0,.,,.

D F DF AM DF AM DF AM BF DF BF F AM BDF ∴=∴?=⊥⊥?=∴⊥所以同理又平面

（Ⅲ）∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ∩AD=A ，∴AB ⊥平面ADF.

2(2,0,0).(,,1)(0,222222

(,,1)(,,1)0,,AB DAF NE DB NE NF NE DB NE NF ∴=-?=-

-?=⊥=-

-?=⊥⊥为平面的法向量得

1

.cos ,.

2

6060

NE BDF AB NE AB NE A DF B ∴∴<>=∴--为平面的法向量与的夹角是即所求二面角的大小是 (20)

解: (Ⅰ)设5个工厂均选择星期日停电的事件为A,

则168071

7

1)(5

==

A P . (Ⅱ)设5个工厂选择的停电时间各不相同的事件为B,

则.2401360

7

345677)(5

55

7=????==A B P 因为至少有两个工厂选择同一天停电的事件是B , 所以.2401

204124013601)(1)(=-

=-=B P B P (12分) (21) 解: (Ⅰ)由原式得,44)(2

3

a x ax x x f +--= ∴.423)(2

--='ax x x f

(Ⅱ)由0)1(=-'f 得21=

a ,此时有43)(),21)(4()(2

2--='--=x x x f x x x f . 由0)1(=-'f 得34=x 或x=-1 , 又,0)2(,0)2(,2

9

)1(,2750)34(==-=--

=f f f f 所以f(x)在[--2,2]上的最大值为,29最小值为.27

50

-

(Ⅲ)解法一: 423)(2

--='ax x x f 的图象为开口向上且过点(0,--4)的抛物线,由条件得

,0)2(,0)2(≥'≥-'f f 即

{084.

048≥+≥-a a ∴--2≤a ≤2. 所以a 的取值范围为[--2,2].

解法二:令0)(='x f 即,04232

=--ax x 由求根公式得: )(3

122122,1x x a a x ?+±=

所以.423)(2

--='ax x x f 在(]1,x ∞-和[)+∞,2x 上非负.

由题意可知,当x≤-2或x≥2时, )(x f '≥0, 从而x 1≥-2, x 2≤2,

即?????+≤+-≤+6122.

6122a a a a 解不等式组得: --2≤a ≤2. ∴a 的取值范围是[--2,2].

(22) (满分14分)

解: (Ⅰ)由条件得直线AP 的方程),1(-=x k y (),0≠k 即0=--k y kx .又因为点M 到直线AP 的距离为

1,所以

,11

2

=+-k k mk 得221

111k

k k m +=+=

-. ∵],3,33[

∈k ∴332≤1-m ≤2,解得332+1≤m≤3或--1≤m≤1--3

3

2. ∴m 的取值范围是∈m ].3,13

3

2[]3321,1[+-

- (Ⅱ)可设双曲线方程为),0(122

2

≠=-b b

y x

由),0,1(),0,12(A M +得2=AM .

又因为M 是ΔAPQ 的内心,M 到AP 的距离为1,所以∠MAP=45o,直线AM 是∠PAQ 的角平分线,且M 到

AQ 、PQ 的距离均为1.因此，1,1-==AQ AP k k （不妨设P 在第一象限）

直线PQ 方程为22+=x .

直线AP 的方程y=x-1,

∴解得P 的坐标是（2+2，1+2），将P 点坐标代入122

2

=-b

y x 得，3

2122++=

b

所以所求双曲线方程为,11

2)32(22=++-

y x 即.1)122(22=--y x