2018浙江高考数学试卷含答案

2018浙江

一．选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3}，则C U A ＝( )

A ．?

B ． {1，3}

C ． {2，4，5}

D ． {1，2，3，4，5} 2．双曲线x 23

－y 2

＝1的焦点坐标是( )

A ． (－2，0)，(2，0)

B ．(－2，0)，(2，0)

C ． (0，－2)，(0，

2)D ． (0，－2)，(0，2)

3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )

A ． 2

B ． 4

C ． 6

D ． 8

4．复数2

1－i

(i 为虚数单位)的共轭复数是( )

A ． 1＋i

B ． 1－i

C ． －1＋i

D ． －1－i

5．函数y ＝2|x |sin2x 的图象可能是(

)

D

C B A

6．已知平面α，直线m ，n 满足m ?α，n ?α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )

A ．充分不必要条件

B ． 必要不充分条件

C ． 充分必要条件

D ． 既不充分也不必要条件 7．设0＜p ＜1，随机变量ξ的分布列是

P

1－p

2 12 p 2

则当p 在(0，1)内增大( )

A ．D (ξ)减小

B ． D (ξ)增大

C ．

D (ξ)先减小后增大 D ． D (ξ)先增大后减小

8．已知四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点)，设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S －AB －C 的平面角为θ3，则( )

A ．θ1≤θ2≤θ3

B ．θ3≤θ2≤θ1

C ．θ1≤θ3≤θ2

D ．θ2≤θ3≤θ1

9．已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为π

3，向量b 满足b 2－4e ?b

＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )

A ．

－1

B ．

＋1

C ． 2

D ． 2－

10．已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝ln(a 1＋a 2＋a 3)，若a 1＞1，则( )

A ．a 1＜a 3，a 2＜a 4

B ．a 1＞a 3，a 2＜a 4

C ．a 1＜a 3，a 2＞a 4

D ．a 1＞a 3，a 2＞a 4

二．填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)

11．我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则?

???

?

x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋1

3z ＝100，，当z ＝81时，x ＝___________，y ＝____________ 12．若x ，y 满足约束条件，则z ＝x ＋3y 的最小值是____________，最大值是___________

13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，

c ＝__________ 14．二项式(

＋1

2x

)8的展开式的常数项是_____________ 15．已知λ∈R ，函数f (x )＝?

???

?x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.，当λ＝2时，不等式f (x )＜0的解集是___________，

若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________

16．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成_________个没有重复数字的四位数(用数字作答)

17．已知点P (0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m ＞1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →

，则当m ＝________时，点B

横坐标的绝对值最大．

解答题(本大题共5小题，共74分)

18．(14分)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P (－，－

)．

⑴．求sin(α＋π)的值； ⑵．若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．

19．(15分)如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC ＝120°，A 1A ＝4，C 1C ＝1，AB ＝BC ＝B 1B ＝2

⑴．证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1

⑵．求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值

20．(15分)已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 3＋a 4＋a 5＝28，a 4＋2是a 3，a 5的等差中项，数列{b n }满足b 1＝1，数列{(b n ＋1－b n )a n }的前n 项和为2n 2＋n

⑴．求q 的值

⑵．求数列{b n }的通项公式

21．(15分)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上

⑴．设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴

⑵．若P 是半椭圆x 2

＋y 2

4

＝1(x ＜0)上的动点，求△PAB 面积的取

值范围

22．(15分)已知函数f (x )＝x －ln x

⑴．若f (x )在x ＝x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，证明：f (x 1)＋f (x 2)＞8－8ln2

⑵．若a ≤3－4ln2，证明：对于任意k ＞0，直线y ＝kx ＋a 与曲线y ＝f (x )有唯一公共点

C 1

B 1

A 1

C

A

P

M

B

A

O

y x

数 学 答 案

1．解答：由题意知，?U A ＝{2，4，5}． 2．解答：因

c 2＝3＋1＝4，故双曲线

x 23

－y 2

＝1的焦点坐标是(－2，0)，(2，0)． 3．解答：由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V ＝12

×(1＋2)×2×2＝6．

4．解答：因为21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（1＋i ）1－i 2＝1＋i ，所以复数2

1－i 的共轭复数为1－i ．

5．设f (x )＝2|x |sin 2x ，其定义域关于坐标原点对称，又f (－x )＝2|－

x |·sin(－2x )＝－f (x )，故y ＝f (x )是奇函数，故排除①②；令f (x )＝0，故sin 2x ＝0，故2x ＝k π(k ∈Z )，故x ＝k π

2(k ∈Z )，故排除

③．故填④．

6．【解】若m ?α，n ?α，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α．若m ∥α，m ?α，n ?α，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面．故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．

7．解答：由题可得E (ξ)＝12＋p ，所以D (ξ)＝－p 2＋p ＋14＝－(p －12)2＋1

2，所以当p 在(0，1)

内增大时，D (ξ)先增大后减小．

8．解答：作SO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，取AB 的中点M ，连接SM ．过O 作ON 垂直于直线SM ，可知θ2＝∠SEO ，θ3＝∠SMO ，过SO 固定下的二面角与线面角关系，得θ2≤θ3．易知，θ3也为BC 与平面SAB 的线面角，即OM 与平面SAB 的线面角，根据最小角定理，OM 与直线SE 所成的线线角θ3≤θ1，故θ2≤θ3≤θ1．

9．解答：设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →

＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3

，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x ＞0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1．

解 设e ＝(1，0)，a ＝(x ，y )，b ＝(m ，n )，由题设可得a ·e ＝|a |·|e |cos π3，即x ＝1

2x 2＋y 2，整理得y

＝3x (x ≥0)．又由b 2－4e ·b ＋3＝0可得m 2＋n 2－4m ＋3＝0，整理得(m －2)2＋n 2＝1．在直角坐标系xOy 中，分别画出圆C ：(x －2)2＋y 2＝1，射线l ：y ＝3x (x ≥0)，过圆心C 作CD ⊥l ，交直线l 与点D ．由直观图可知，|a －b |的最小值是|CD |－1＝3－1．故选A ．

10．解答：因ln x ≤x －1，故a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝ln(a 1＋a 2＋a 3)≤a 1＋a 2＋a 3－1，得a 4≤－1，即a 1q 3≤－1，故q ＜0．若q ≤－1，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q )(1＋q 2)≤0，a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)≥a 1＞1，矛盾．故－1＜q ＜0，则a 1－a 3＝a 1(1－q 2)＞0，a 2－a 4＝a 1q (1－q 2)＜0．故a 1＞a 3，a 2＜a 4．

11．法一：由题意，得?

????

x ＋y ＋81＝100，5x ＋3y ＋1

3×81＝100，即????? x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得?????

x ＝8，

y ＝11. 法二：100－81＝19(只)，81÷3＝27(元)，100－27＝73(元)．假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则5×19＝95(元)．因为95－73＝22(元)，所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)，鸡翁：19－11＝8(只)．

12．解答：不等式组所表示的平面区域如图所示，当?

???

?

x ＝4，y ＝－2，时，z ＝x ＋3y 取最小值，最

小值为－2；当?

????

x ＝2，

y ＝2.时，z ＝x ＋3y 取最大值，最大值为8．

13．因为a

＝7，b ＝2，A ＝60°，故由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝2×

327＝21

7．由余弦定

理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得c 2－2c －3＝0，故c ＝3．

14．解析 该二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r

8x 8－r

3(

12x )r ＝C r 8(12)r

x 8－4r 3．令8－4r 3

＝0，解得r ＝2，所以所求常数项为C 28×(12

)2

＝7． 15．解答：(1)若λ＝2，当x ≥2时，令x －4＜0，得2≤x ＜4；当x ＜2时，令x 2－4x ＋3＜0，解得1＜x ＜2．综上可知，1＜x ＜4，所以不等式f (x )＜0的解集为(1，4)．

(2)令f (x )＝0，当x ≥λ时，x ＝4，当x ＜λ时，x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3．因为函数f (x )恰有2个零点，结合如图函数的图象知，1＜λ≤3或λ＞4．

16．解答：C 25C 23A 44＋C 25C 13C 13A 33＝720＋540＝1260．

17．解答：

法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线斜率不存在时，m ＝9，x 2＝0．当直线斜率存在时，设AB 为y ＝kx ＋1．代入x 24

＋y 2

＝m 得，(1＋4k 2)x 2＋8kx ＋4－4m ＝0，Δ＞0得，4mk 2＋m －1＝0，x 1＋x 2

＝－8k 1＋4k 2，1224441

m x x k -=+．因AP →＝2PB →

，故122x x =-，解得x 1＝－16k 1＋4k 2，x 2＝8k 1＋4k 2．故228821414k x k k k

=

=≤++(当且仅当|k |＝12时取“＝”)．x 1x 2＝－16k 1＋4k 2˙8k

1＋4k 2＝－8，122442241

m

x x m k -=

=-+，得m ＝5，故当m ＝5时，点B 横坐标最大．

法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由＝2，得?????－x 1＝2x 2，

1－y 1＝2（y 2

－1），即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2．因为点

A ，

B 在椭圆上，故?

??4x 22

4＋（3－2y 2）2＝m ，x 224

＋y 2

2＝m ，得y 2＝14m ＋34，故x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－1

4

(m －5)2＋4≤4，故当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2． 18．解答：①由角α的终边过点P (－，－)得sin α＝－45，故sin(α＋π)＝－sin α＝4

5

．

②由角α的终边过点P (－，－)得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±12

13．由β＝(α＋β)

－α得cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，故cos β＝－5665或cos β＝16

65．

19．解答：(1)证明 如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz ．由题意知各点坐标如下：A (0，－3，0)，B (1，0，0)，A 1(0，－3，4)，B 1(1，0，2)，C 1(0，3，1)．因此AB 1→＝(1，3，2)，A 1B 1→＝(1，3，－2)，A 1C 1→

＝(0，23，－3)．由AB 1→·A 1B 1→＝0得AB 1⊥A 1B 1．由AB 1→·A 1C 1→＝0得AB 1⊥A 1C 1，A 1B 1∩A 1C 1＝A 1，所以AB 1⊥平面A 1B 1C 1．

(2)设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ．由(1)可知AC 1→＝(0，23，1)，AB →＝(1，3，0)，BB 1→＝(0，0，2)．设平面ABB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )．由?????n ·AB →＝0，n ·BB 1→＝0，即???x ＋3y ＝0，

2z ＝0，令y ＝1，则x ＝－

3，z ＝0，可得平面ABB 1的一个法向量n ＝(－3，1，0)．所以sin θ＝|cos 〈AC 1→，n 〉|＝

|AC 1→

·n |

|AC 1→|·|n |＝

3913．因此，直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是39

13

． 20．解答：(1)由a 4＋2是a 3，a 5的等差中项得a 3＋a 5＝2a 4＋4，故a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＋4＝28，解得a 4＝8．由a 3＋a 5＝20得8(q ＋1q )＝20，解得q ＝2或q ＝1

2

，因为q ＞1，故q ＝2．

(2)设c n ＝(b n ＋1－b n )a n ，数列{c n }前n 项和为S n ．由c n ＝?????S 1，n ＝1，

S n －S n －1

，n ≥2，解得c n ＝4n －1．由(1)可

知a n ＝2n －

1，故b n ＋1－b n ＝(4n －1)·(12)n －1，故b n －b n －1＝(4n －5)·(12)n －2，n ≥2，b n －b 1＝(b n －b n －1)

＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 3－b 2)＋(b 2－b 1)＝(4n －5)·(12)n －2＋(4n －9)·(12)n －3＋…＋7·12＋3．设T n ＝3＋7·

1

2

＋11·(12)2＋…＋(4n －5)·(12)n －2，n ≥2，12T n ＝3·12＋7·(12)2＋…＋(4n －9)·(12)n －2＋(4n －5)·(12)n －1，故12T n

＝3＋4·12＋4·(12)2＋…＋4·(12)n －2－()4n －5·(12)n －1，因此T n ＝14－(4n ＋3)·(12)n －

2，n ≥2，又b 1＝1，故

b n ＝15－(4n ＋3)·(12)n －2，n ≥2，又b 1＝1也适合上式，故b n ＝15－(4n ＋3)·(12)n －

2(n ∈N *)．

21．解答：(1)证明 设P (x 0，y 0)，A ????14y 21，y 1，B ????14y 22，y 2．因为P A ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程

????y ＋y 022＝4·14y 2

＋x 02，即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 2

0＝0的两个不同的实根．所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于y 轴．

(2)解 由(1)可知?????y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20

，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 2

0－3x 0，|y 1－y 2|＝22（y 20－4x 0）．因此，△P AB 的面积S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32．因为x 20＋y 204＝1(x 0＜0)，所以y 20－4x 0

＝－4x 20－4x 0＋4∈[4，5]，因此，△P AB 面积的取值范围是????62，15104． 22．解答：(1)f ′(x )＝12x －1x ，不妨设f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝t ，即x 1，x 2是方程12x －1

x

＝t 的两根，即x 1，x 2

是方程tx 2－x 2＋1＝0的根，所以Δ＝14－4t ＞0，得0＜t ＜116，且x 1＋x 2＝12t ，x 1·x 2＝1

t

，f (x 1)

＋f (x 2)＝(x 1＋x 2)－ln x 1x 2＝12t －ln 1t 2＝12t ＋2ln t ，令g (t )＝12t ＋2ln t ，g ′(t )＝2t －12t 2＝4t －1

2t

2＜0，故

g (t )在(0，116)上单调递减．故g (t )＞g (1

16)＝8－8ln2，即f (x 1)＋f (x 2)＞8－8ln2．

(2)设h (x )＝(kx ＋a )－f (x )＝kx ＋a －x ＋ln x ，则当x 充分小时h (x )＜0，充分大时h (x )＞0，故h (x )至少有一个零点，则h ′(x )＝k －12x ＋1x ＝k －116＋(1x －14

)2，①k ≥1

16，则h ′(x )≥0，h (x )递增，h (x )

有唯一零点，②0＜k ＜1

16，则令h ′(x )＝0，得h ′(x )有两个极值点x 1，x 2(

x 1≠x 2)14

>，故0＜x 1＜16．可知h (x )在(0，x 1)递增，(x 1，x

2)递减，(x 2

，＋∞)

递增，故

111111

1

()ln )ln h x kx x a x x a x =

+=-+11ln

x a =-++

，又

11

11()h x x '==

，故h (x 1)在(0，16)上单调递增，故h (x 1)＞h (16)＝3－a －ln16＝3－a －4ln2≥0，故h (x )有唯一零点，

综上可知，k ＞0时，y ＝kx ＋a 与y ＝f (x )有唯一公共点．