2017年一级注册结构工程师基础(高数)

一、知识梳理

1、常见函数定义域的求法

（1）整式函数的定义域为R ；（2）分式函数的分母不得为0；（3）开偶次方根的函数被开放数为非负数；（4）对数函数的真数必须大于0；（5）指数函数和对数函数的底数必须大于0且不等于1；（6）三角函数中的正切函数tan ,,2

y x x k k Z ππ=≠+∈；（7）如果函数是实际意义确定的解析式，应根据变量的实际意义确定其取值范围；（8）对于抽象函数，要用整体的思想确定自变量的范围；（9）对于符合函数[]()y f g x =，若已知()f x 的定义域为[],a b ，其复合函数[]()y f g x =的定义域是不等式()a g x b ≤≤的解集。

二、典型例题

题型一 由解析式确定函数的定义域

例1、 求函数x

x x y +---=11lg 252的定义域。

巩固练习：求下列函数的定义域

求下列函数的定义域：

（1）14)(2--=x x f （2）2

143)(2-+--=x x x x f （3）=)(x f x 1

11

11

++ （4）x x x x f -+=0)1()(

（5）373132+++-=

x x y （6）1122---=x x y

题型二 由实际问题确定函数的定义域

例2、周长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部分为半圆形的框架，，若矩形底边长为2x ，求此框架围成面积y 与x 的函数关系式，并求定义域

题型三、抽象函数的定义域

已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域：

① 若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由

()a g x b ≤≤解出；

② 若复合函数[]()f g x 的定义域为[],a b ，则()f x 的定义域为()x g 在[]b a ,上的值域．

例3、已知函数)(x f 的定义域为〔0，4〕，求函数)3(+=x f y ；)(2x f y =；)()3(2x f x f y ++=的定义域。

题型四 求定义域的逆向思维

例4、（1）已知函数86)(2++-=m mx mx x f 的定义域为R ，求实数m 的取值范围。

（2）函数()f x =

31323

-+-ax ax x 的定义域为R ，则求实数a 的取值范围。

题型五 用分类讨论思想方法求定义域

例5、求函数)4(log x a a y -= （10≠>a a 且）的定义域。

三、课堂练习

1.求定义域：

①()01()x f x

x x +=- ②()f x = ③x x x x f -+--=

4lg 32)( ④1()lg 4x f x x -=-

⑤23)4lg(-+--=x x x y

2、已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则(2)x f 的定义域为

3、若函数24()43

x f x mx mx -=++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是

4. 已知f

的定义域为[]2,3，求(5)f x +的定义域

5.已知函数a

ax ax y 12+-=的定义域为R ，求实数a 的范围。

四、链接高考

1、[2011·福建卷] 已知函数f (x )＝??? 2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.

若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3

2、[2011·广东卷] 函数f (x )＝11－x

＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)

C ．(－1,1)∪(1，＋∞)

D ．(－∞，＋∞)

[2011·浙江卷] 设函数f (x )＝???

－x ，x ≤0，x 2，x >0.

若f (α)＝4，则实数α＝( )

A ．－4或－2

B ．－4或2

C ．－2或4

D ．－2或2

3、[2011·湖南卷] 给定k ∈N *，设函数f ：N *→N *满足：对于任意大于k 的正整数n ，f (n )＝n －k .

(1)设k ＝1，则其中一个函数f 在n ＝1处的函数值为________________；

(2)设k ＝4，且当n ≤4时，2≤f (n )≤3，则不同的函数f 的个数为________． 4、[2011·陕西卷] 设f (x )＝???

lg x ，x ＞0，10x ，x ≤0，

则f (f (－2))＝________. 5、[2011·四川卷] 函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数，例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题：

①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；

②指数函数f (x )＝2x (x ∈R )是单函数；

③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；

④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．

其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)

6.函数)23(x f -的定义域为[]1,2-，则函数)(x f 的定义域是________.

7.函数(1)f x +的定义域为[]2,3-，则()21f x -的定义域是_________.

8.若函数()y f x =的定义域是02,????，则函数()()11y f x f x =++-

的定义域为______________________________________________.

8、若函数11

441

)(22-+++-=m m m m x x x f 的定义域是R ，求实数m

的取值范围。