1984年全国统一高考数学试卷(理科)

1984年全国统一高考数学试卷（理科）

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）

1．（3分）（1984?全国）数集X={（2n+1）π，n是整数}与数集Y={（4k±1）π，k是整数}之间的关系是（）

A．X?Y B．X?Y C．X=Y D．X≠Y

2．（3分）（1984?全国）如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（）A．F=0，G≠0，E≠0 B．E=0，F=0，G≠0 C．G=0，F=0，E≠0 D．G=0，E=0，F≠0

3．（3分）（1984?全国）如果n是正整数，那么[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）的值（）

A．一定是零B．一定是偶数

C．是整数但不一定是偶数D．不一定是整数

4．（3分）（1984?全国）arccos（﹣x）大于arccosx的充分条件是（）

A．x∈（0，1]B．x∈（﹣1，0）C．x∈[0，1]D．

5．（3分）（1984?全国）如果θ是第二象限角，且满足，那么（）

A．是第一象限角

B．是第三象限角

C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角

D．是第二象限角

二、解答题（共15小题，满90分）

6．（4分）（1984?全国）已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积．

7．（4分）（1984?全国）函数log0.5（x2+4x+4）在什么区间上是增函数？

8．（4分）（1984?全国）求方程的解集．

9．（4分）（1984?全国）求式子（|x|+﹣2）3的展开式中的常数项．10．（4分）（1984?全国）求的值．

11．（4分）（1984?全国）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）．

12．（6分）（1984?全国）设画出函数y=H（x﹣1）的图象．13．（6分）（1984?全国）画出极坐标方程的曲线．

14．（12分）（1984?全国）已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行．

15．（12分）（1984?全国）设c，d，x为实数，c≠0，x为未知数，讨论方程在什么情况下有解，有解时求出它的解．

16．（12分）（1984?全国）设p≠0，实系数一元二次方程z2﹣2pz+q=0有两个虚数根z1，z2、再设z1，z2在复平面内的对应点是Z1，Z2，求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长．

17．（9分）（1984?全国）求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为的

椭圆的左顶点的轨迹方程．

18．（12分）（1984?全国）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且c=10，，P为△ABC的内切圆上的动点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值．

19．（12分）（1984?全国）设a＞2，给定数列{x n}，其中x1=a，

求证：

（1）x n＞2，且；

（2）如果a≤3，那么．

20．（1984?全国）如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO 交于点M．又知当AP=时，点P的速度为v，求这时点M的速度．

1984年全国统一高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）

1．（3分）（1984?全国）数集X={（2n+1）π，n是整数}与数集Y={（4k±1）π，k是整数}之间的关系是（）

A．X?Y B．X?Y C．X=Y D．X≠Y

【考点】18：集合的包含关系判断及应用．

【分析】题中两个数集都表示π的奇数倍的实数，根据集合的相等关系得这两个数集的关系．

【解答】解：∵数集X={（2n+1）π，n是整数}

∴其中的元素是π的奇数倍．

∵数集Y={（4k±1）π，k是整数}

∴其中的元素也是π的奇数倍．

∴它们之间的关系是X=Y．

故选：C．

【点评】本题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间相等的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．

2．（3分）（1984?全国）如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（）A．F=0，G≠0，E≠0 B．E=0，F=0，G≠0 C．G=0，F=0，E≠0 D．G=0，E=0，F≠0

【考点】J2：圆的一般方程．

【分析】圆与x轴相切于原点，则圆心在y轴上，G=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，F=0，E≠0

【解答】解：圆与x轴相切于原点，则圆心在y轴上，G=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，F=0，E≠0．

故选：C．

【点评】本题考查圆的一般式方程，直线与圆的位置关系，是基础题．

3．（3分）（1984?全国）如果n是正整数，那么[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）的值（）

A．一定是零B．一定是偶数

C．是整数但不一定是偶数D．不一定是整数

【考点】F4：进行简单的合情推理．

【专题】32 ：分类讨论．

【分析】这是一个简单的合情推理问题，我们可以对n的取值进行分类讨论，并加以简单的证明，不难得到正确的答案．

【解答】解：∵n是正整数

①当n为奇数时，n2﹣1必为8的整数倍，不妨令n2﹣1=8Z，Z∈N*

则=2Z，Z∈N*

即此时的值为偶数．

②当n为偶数时，1﹣（﹣1）n=0

则=0

故的值一定是偶数

故选：B．

【点评】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．

4．（3分）（1984?全国）arccos（﹣x）大于arccosx的充分条件是（）A．x∈（0，1]B．x∈（﹣1，0）C．x∈[0，1]D．

【考点】HV：反三角函数．

【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题；32 ：分类讨论；35 ：转化思想．

【分析】充分考虑arccosx的范围，推出arccos（﹣x）的范围，然后确定arccos

（﹣x）大于arccosx的充分条件

【解答】解：∵arccosx∈[0，π]，

（1）arccosx∈[0，）时，x∈∈（0，1]，arccos（﹣x）∈（，π]＞arccosx，（2）arccosx∈（，π]时，x∈[﹣1，0），arccos（﹣x）∈[0，）＜arccosx，（3）arccosx=时x=0，arccosx==arccos（﹣x），

故选：A．

【点评】本题考查反三角函数的运用，考查分类讨论的思想，是基础题．

5．（3分）（1984?全国）如果θ是第二象限角，且满足，那么（）

A．是第一象限角

B．是第三象限角

C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角

D．是第二象限角

【考点】GW：半角的三角函数．

【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．

【分析】先根据θ的范围确定的范围，再由可确定的大小关系，进而确定的象限．

【解答】解：∵θ是第二象限角，

∴，

∴（k∈Z）

∴当k为偶数时，在第一象限；

当k为奇数时，在第三象限；

∵==

∴

∴是第三象限角

故选：B．

【点评】本题主要考查象限角和二倍角公式以及同角三角函数的基本关系．属基础题．

二、解答题（共15小题，满90分）

6．（4分）（1984?全国）已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积．

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．

【专题】11 ：计算题；32 ：分类讨论．

【分析】圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，可以有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积．

【解答】解：圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，

当母线为4时，圆柱的底面半径是此时圆柱体积是

当母线为2时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是

综上所求圆柱的体积是：或．

【点评】本题考查圆柱的侧面展开图，圆柱的体积，是基础题．容易疏忽一种情况．

7．（4分）（1984?全国）函数log0.5（x2+4x+4）在什么区间上是增函数？

【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点．

【专题】11 ：计算题．

【分析】本题是一个复合函数，故应依据复合函数的单调性来判断其单调性，先求出定义域，判断出外层函数与内层函数的单调性，再依规则来判断即可．【解答】解：令x2+4x+4＞0，得x≠﹣2，由t=x2+4x+4知，其对称轴为x=﹣2

故内层函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，+∞）上是增函数．

因为外层函数的底数0.5＜1，故外层是减函数，欲求复合函数的增区间，只须求内层的减区间

故函数y=log0.5（x2+4x+4）在（﹣∞，﹣2）上是增函数．

答：函数y=log0.5（x2+4x+4）在（﹣∞，﹣2）上是增函数．

【点评】本题的考点是复合函数的单调性，考查了对数与二次函数的单调性的判断方法以及定义域的求法．

8．（4分）（1984?全国）求方程的解集．

【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．

【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合．

【分析】利用平方关系和倍角公式对方程进行整理，根据一个周期内的正弦函数值求解，最后解集写出几何形式．

【解答】解：由题意知，，即1+sin2x=，

∴sin2x=﹣，则2x=+2nπ或﹣+2nπ（n∈Z），

解得x=+nπ或﹣+nπ（n∈Z），

∴所求方程的解集是：{x|x=+nπ，n∈Z}∪{x|x=﹣+nπ，n∈Z}

【点评】本题考查了三角函数方程的求解，即利用同角的基本关系、倍角公式、两角和差公式等等，对方程进行化简，再由三角函数在一个周期内的函数值和周期求出解集．

9．（4分）（1984?全国）求式子（|x|+﹣2）3的展开式中的常数项．

【考点】DA：二项式定理．

【分析】解法一：利用分步乘法原理展开式中的常数项是三种情况的和，

解法二：先将利用完全平方公式化成二项式，利用二项展开式的通项公式求得第r+1项，令x的指数为0得常数项．

【解答】解法一：（|x|+﹣2）3=（|x|+﹣2）（|x|+﹣2）（|x|+﹣2）得到常数项的情况有：

①三个括号中全取﹣2，得（﹣2）3；

②一个括号取|x|，一个括号取，一个括号取﹣2，得C31C21（﹣2）=﹣12，∴常数项为（﹣2）3+（﹣12）=﹣20．

解法二：（|x|+﹣2）3=（﹣）6．

设第r+1项为常数项，

=C6r?（﹣1）r?（）r?|x|6﹣r=（﹣1）r?C6r?|x|6﹣2r，得6﹣2r=0，r=3．则T r

+1

∴T3

=（﹣1）3?C63=﹣20．

+1

【点评】本题考查解决二项展开式的特定项问题的重要工具有二项展开式的通项公式；还有分步乘法原理．

10．（4分）（1984?全国）求的值．

【考点】6F：极限及其运算．

【专题】11 ：计算题．

【分析】分子、分母同时除以3n，原式转化为，由此能求出的值．

【解答】解：==0．

【点评】本题考查数列的极限和运算，解题时要注意合理地进行等价转化．

11．（4分）（1984?全国）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）．

【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．

【专题】11 ：计算题．

【分析】首先分析两个舞蹈节目不得相邻的排列法，可以猜想到用插空法求解，然后分别求出舞蹈节目的排法及歌唱节目的排法，相乘即可得到答案．

【解答】解：此题采用插空法，因为任何两个舞蹈节目不得相邻，即可把6个歌唱节目每个的前后当做一个空位，共有7个空位，只需把舞蹈节目安排到空位上就不会相邻了，共有A74种排法，舞蹈节目排好后再排歌唱节目共有A66种

所以共有种A74?A66排法，

答案为A74?A66．

【点评】此题主要考查排列组合及其简单的计数问题，对于不相邻这种类型题目的求解，要想到可以用插空法求解，这种解题思路非常重要，要很好的理解记忆．

12．（6分）（1984?全国）设画出函数y=H（x﹣1）的图象．

【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；3A：函数的图象与图象的变换．

【分析】考查函数图象的变化，y=H（x﹣1）的图象是由y=H（x）的图象向右平移一个图象得到的．故可以先画出H（x）的图象然后再向右平移1个单位得到H （x﹣1）的图象．

【解答】解：

【点评】考查函数图象的平移问题．记y=f（x），则y=f（x+1），y=f（x﹣1），y=f （x）+1，y=f（x）﹣1的图象，是由y=f（x）图象分别向左，向右，向上，向下平移1个单位得到的．

13．（6分）（1984?全国）画出极坐标方程的曲线．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．

【专题】13 ：作图题．