傅里叶变换

研究生课程论文（作业）封面

（ 2014 至 2015 学年度第 1 学期）

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开课---结课：第周---第周

评阅日期：年月日

东北农业大学研究生部制

积分变换在工程上的应用

摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的积分变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用，并在分离变数法中对齐次方程及非齐次方程进行了区分。傅里叶变换在不同的领域有不同的形式，诸如现代声学，语音通讯，声纳，地震，核科学，乃至生物医学工程等信号的研究发挥着重要的作用。 关键词：傅里叶变换；偏微分方程；数字信号处理

1 概要介绍

积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。傅里叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

1.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。——（1）

2.傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。

3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。

()()()()()()??

?

??-++=-?

?

∞

+∞

+∞

-.,200,]cos [1

其它连续点处，

在t f t f t f t f d d t f ωττωτπ

当()t f 满足一定条件时，在()t f 的连续点处有：

()()ωττπ

ωωτd e d e f t f t i i ?

?

+∞

∞

-+∞

∞

--=

][21.

从上式出发，设

()()dt e t f F t i ωω-+∞

∞-?= (1)

则

()t f ()ωωπ

ωd e F t

i ?+∞

∞-=

21

(2) 称(1)式，即()()dt e t f F t i ωω-+∞

∞

-?

=

为()t f 的傅里叶变换简称傅氏变换,记为

()=ωF F ()}{t f .

称(2)式，即()t f ()ωωπ

ωd e F t i ?

+∞

∞

-=

21为傅里叶逆变换简称傅氏逆变换,记为

()t f =F 1-[()t f ].

(1)式和(2)式，定义了一个变换对()ωF 和()t f 也称()ωF 为()t f 的像函数；()t f 为的原像函数 ,还可以将()t f 和()ωF 用箭头连接: ()t f ?()ωF .

2傅里叶变换的本质

即将时间域的函数f （t ）表示为频率域的函数F(ω)的积分。一般可称函数f （t ）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair ）。傅里叶变换的公式为

dt e t f F t

j ?

+∞

∞

--=

ωω)()( 可以把傅里叶变换也成另外一种形式：

t j e t f F ωπ

ω),(21

)(=

可以看出，傅里叶变换的本质是内积，三角函数是完备的正交函数集，不同频率的三角函数的之间的内积为0，只有频率相等的三角函数做内积时，才不为0。

)(2,21)(2121Ω-Ω==?Ω-ΩΩΩπδdt e e e t j t j t j

下面从公式解释下傅里叶变换的意义 因为傅里叶变换的本质是内积，所以f(t)和t

j e

ω求内积的时候，只有f(t)中频率为ω的分

量才会有内积的结果，其余分量的内积为0。可以理解为f(t)在t

j e

ω上的投影，积分值是时间

从负无穷到正无穷的积分，就是把信号每个时间在ω的分量叠加起来，可以理解为f(t)在t

j e ω上的投影的叠加，叠加的结果就是频率为ω的分量，也就形成了频谱。

傅里叶逆变换的公式为

ωωπωd e F t f t j ?+∞

∞

-=)(21)(

计算方法

连续傅里叶变换将平方可积的函数f （t ）表示成复指数函数的积分或级数形式。

[]dt e t f t F t i ωω-∞∞-?=Γ=)()(f )( 这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f （t ）的积分形式。连续傅里叶变换的逆变换(inverse Fourier transform)为

[]ω

ωπωωd e F F t t i )(21)()(f 1

∞

∞--?=Γ=

下面从公式分析下傅里叶逆变换的意义

傅里叶逆变换就是傅里叶变换的逆过程，在)(ωF 和t

j e

ω-求内积的时候，)(ωF 只有t 时

刻的分量内积才会有结果，其余时间分量内积结果为0，同样积分值是频率从负无穷到正无穷的积分，就是把信号在每个频率在t 时刻上的分量叠加起来，叠加的结果就是f(t)在t 时刻的值，这就回到了我们观察信号最初的时域。

对一个信号做傅里叶变换，然后直接做逆变换，这样做是没有意义的，在傅里叶变换和傅里叶逆变换之间有一个滤波的过程。将不要的频率分量给滤除掉，然后再做逆变换，就得到了想要的信号。比如信号中掺杂着噪声信号，可以通过滤波器将噪声信号的频率给去除，再做傅里叶逆变换，就得到了没有噪声的信号。

优点：频率的定位很好，通过对信号的频率分辨率很好，可以清晰的得到信号所包含的频

率成分，也就是频谱。

缺点：因为频谱是时间从负无穷到正无穷的叠加，所以，知道某一频率，不能判断，该频率的时间定位。不能判断某一时间段的频率成分。

例子：

平稳信号：x(t)=cos(2*pi*5*t)+cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*20*t)+cos(2*pi*50*t)

傅里叶变换的结果：

由于信号是平稳信号，每处的频率都相等，所以看不到傅里叶变换的缺点。对于非平稳信号：信号是余弦信号，仍然有四个频率分量

傅里叶变换的结果：

由上图看出知道某一频率，不能判断，该频率的时间定位。不能判断某一时间段的频率成分。

3短时傅里叶变换

傅里叶变换存在着严重的缺点，就是不能实现时频联合分析。傅里叶变换要从负无穷计算到正无穷，这在实际使用当中，跟即时性分析会有很大的矛盾。根据这一缺点，提出了短时傅里叶变换。后来的时间—频率分析也是以短时傅里叶变换为基础提出的。

为了弥补傅里叶变换的缺陷，给信号加上一个窗函数，对信号加窗后计算加窗后函数的傅里叶变换，加窗后得到时间附近的很小时间上的局部谱，窗函数可以根据时间的位置变化在整个时间轴上平移，利用窗函数可以得到任意位置附近的时间段频谱，实现了时间局域化。

短时傅里叶变换的公式为：

τττττττΩΩ--=-=Ω?j j x e t g x d e t g x t STFT )(),()()(),(

在时域用窗函数去截信号，对截下来的局部信号作傅立叶变换，即在t 时刻得该段信号得傅立叶变换，不断地移动t ，也即不断地移动窗函数的中心位置，即可得到不同时刻的傅立叶变换，这样就得到了时间—频率分析。

短时傅里叶变换的本质和傅里叶变换一样都是内积，只不过用ττΩ-j e t g )(代替了τ

Ωj e ，

实现了局部信号的频谱分析。

短时傅里叶变换的另一种形式：

t

v j t v j x e v G v X dv e v G v X t STFT )()()(),(21)()(21),(Ω--+∞

∞-Ω-Ω-=Ω-=Ω?π

π

该式子表明在时域里)(τx 加窗函数)(τ-t g ，得出在频域里对)(v X 加窗)(Ω-v G 。 优点：在傅里叶变换的基础上，增加了窗函数，就实现了时间—频率分析。

缺点：短时傅里叶变换使用一个固定的窗函数，窗函数一旦确定了以后，其形状就不再发生改变，短时傅里叶变换的分辨率也就确定了。如果要改变分辨率，则需要重新选择窗函数。短时傅里叶变换用来分析分段平稳信号或者近似平稳信号犹可，但是对于非平稳信号，当信号变化剧烈时，要求窗函数有较高的时间分辨率；而波形变化比较平缓的时刻，主要是低频信号，则要求窗函数有较高的频率分辨率。短时傅里叶变换不能兼顾频率与时间分辨率的需求。测不准原理告诉我们，不可能在时间和频率两个空间同时以任意精度逼近被测信号，因此就必须在信号的分析上对时间或者频率的精度做取舍。短时傅里叶变换受到测不准原理的限制，所以短时傅里叶变换窗函数的时间与频率分辨率不能同时达到最优。在实际使用时，根据实际情况选用合适的窗函数。

例子：

原始信号: 信号是余弦信号，有四个频率分量.

当窗函数选为：

时，短时傅里叶变换为：

由上图可以看出，时域的分辨率比较好，但是频率出现一定宽度的带宽，也就是说频率分辨率差;

当窗函数选择为：

时，短时傅里叶变换为：

由上图可以看出，频率的分辨率比较好，但是时域分辨率差，有点接近傅里叶变换。有上图可以看到短时傅里叶变换的缺点。

参考文献：

[1]俞卞章著，数字信号处理，第 1 版，西安:西北工业大学出版社，1994

[2]布雷斯韦尔,张建，傅里叶变换及其应用，叶图版，西安：西安交通大学出版社，2005

[3]林家翘、西格尔，自然科学中确定性问题的应用数学，科学出版社，北京。

[4]罗纳德·N·布雷斯韦尔，傅里叶变换及其应用（第三版），西安交通大学出版社

[5]C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974

[6] 李红著，复变函数与积分变换，北京：高等教育出版社，1999