北京大学量子力学教材 第四章
第四章 量子力学中的力学量
第四章目录 §4.1表示力学量算符的性质 (3) (1) 一般运算规则 (3) (2) 算符的对易性 (5) (3) 算符的厄密性（Hermiticity） (7) §4.2 厄密算符的本征值和本征函数 (10) (1) 厄密算符的本征值和本征函数 (10) (2) 厄密算符的本征值的本征函数性质 (12) §4.3 连续谱本征函数“归一化” (15) （1） 连续谱本征函数“归一化” (15) （2） δ函数 (18) （3） 本征函数的封闭性 (22) §4.4 算符的共同本征函数 (24) (1) 算符“涨落”之间的关系 (24) (2) 算符的共同本征函数组 (27) (3) 角动量的共同本征函数组―球谐函数 (28) (4) 力学量的完全集 (34) §4.5 力学量平均值随时间的变化，运动常数（守恒量）,恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） .36 (1) 力学量的平均值，随时间变化；运动常数 (36) (2) Vivial Theorem维里定理 (37) (3) 能量—时间测不准关系 (38) (4) 恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） (38)
第四章 量子力学中的力学量 §4.1表示力学量算符的性质 (1) 一般运算规则 一个力学量如以算符O ?表示。它代表一运算，它作用于一个波函数时，将其变为另一波函数 )z ,y ,x ()z ,y ,x (O ??=ψ。 它代表一个变换，是将空间分布的几率振幅从 )z ,y ,x ()z ,y ,x (O ???→?ψ 例： /p ?ia x e O ?-=，于是 )x (e )x (O ?dx d a ψ=ψ- ∑∞ =ψ-=0n n n n )x (dx d !n )a ( )a x (-ψ= )x (?= 即将体系的几率分布沿x 方向移动距离a . A. 力学量算符至少是线性算符；量子力学方程是线性齐次方程。 由于态叠加原理，所以在量子力学中的算符应是线性算符。所谓线性算符，即 ψ=ψO ?c )c (O ? 22112211ψ+ψ=ψ+ψO ?c O ?c )c c (O ? 例如1： ψ=?ψ?H ? t i 若1ψ是方程解，2ψ也是方程解，则2211c c ψψ+是体系的可能解。事实上
北京大学物理学院量子力学系列教学大纲
北京大学物理学院量子力学系列教学大纲 课程号： 00432214 新课号： PHY-1-044 课程名称：量子力学 开课学期：春、秋季 学分： 3 先修课程：普通物理（PHY-0-04*以上）、理论力学（PHY-1-051）、电动力学（PHY-1-043）基本目的：使得同学掌握量子力学的基本原理和初步的计算方法，适合于非物理类专业的同学选修。 内容提要： 1．量子力学基本原理：实验基础、Hilbert空间、波函数、薛定谔方程、算符、表象变换、对称性与守恒律 2．一维定态问题：一般讨论、自由粒子、一维方势阱、谐振子、一维势垒3．轨道角动量与中心势场定态问题：角动量对易关系、本征函数、中心势、三维方势阱、三维谐振子、氢原子 4. 量子力学中的近似方法：定态微扰论、跃迁、散射。 5．全同粒子与自旋：全同性原理、自旋的表述、自旋与统计的关系、两个自旋的耦合、磁场与自旋的相互作用 教学方式：课堂讲授 教材与参考书： 曾谨言，《量子力学教程》，北京大学出版社, 1999. 学生成绩评定方法：作业10％、笔试90％ 课程号： 00432214 新课号： PHY-1-054 课程名称：量子力学I 开课学期：春、秋季 学分： 4 先修课程：普通物理（PHY-0-04*以上）、高等数学、数学物理方法（PHY-1-011或以上）基本目的： 使得同学掌握量子力学的基本理论框架和计算方法。适合物理学院各类型同学以及非物理类的相关专业同学选修。 内容提要： 1．量子力学基本原理：实验基础、Hilbert空间、波函数、薛定谔方程、算符、表象变换、对称性与守恒律 2．一维定态问题：一般讨论、自由粒子、一维方势阱、谐振子、一维势垒3．轨道角动量与中心势场定态问题：角动量对易关系、本征函数、中心势、
北大物理专业考研经验分享
这是一篇“经验文”，各位父老乡亲兄弟姐妹老少爷们弯直型宅看一看权当参考，看完后有啥问题可以给俺发邮件交流。悲催的是，对我来说，系里排名不靠前，也没有保送名额，桑心，因此想上北大或清华只能硬碰硬地考研了最后选择考北京大学物理学院。毕业后我在北京租了个房子复习半年，前段时间物理学院网上贴出最终结果，也算是尘埃落定（虽然面试结束后就当场知道结果了）。可能学弟学妹们在大学里有时候觉得自己有些颓，找不着方向，这些我也经历过，对大多数人来说四年就是这样起起伏伏，正常的事儿。退一万步讲，实在茫然颓废的时候咱就看看这段温暖人心的话：“发生这种事，大家都不想的。感情的事呢，是不能强求的。所谓吉人自有天相，做人呢，最要紧的就是开心。饿不饿？我给你煮碗面”。话说回来，最要紧的是咱要知道机会来时盯紧不放，紧追不舍，直至达成目标。考研就是这样的一个机会。 进入正题，咱先按考试顺序来讲一讲吧。 一、政治 工具书：政治考研大纲+肖秀荣1000题+肖秀荣最后4套卷。 时间：11月中旬—初试。 我是按着大纲，顺着1000题对照着做，看一章做一章题，在大纲上做一些标记帮助记忆，最后做完1000题就不用再回看了（也没时间，没必要），直接看大纲，对里面的知识点越熟悉越好，这些八股知识不必倒背如流，混个眼熟就好。最后4套卷是帮助背诵5道大题的，要到12月20号左右才发售，在最后半个月时间背一背。我没有用风中劲草，是因为每天俺看大纲做选择题已经吐
血花去2个多小时，实在没时间再看，耗不起。不过风中劲草最后的时事政治归纳的要点（PDF打印出来）很不错，整理得有条理又全面，值得多看看。我九月份和十一月份各有一段时间在手机上用一个App来做题，顺便说一下，这个App是12元/月付费的，这是我当时每天一套做完的动力之一，发现效果还行，但是由于我定力不强，忍不住做完一套选择题就上微博啥的奖励自个儿一些时间放松，还有就是做完错题回看不方便，又不能导出打印，因此最后弃用。其实最后基本就不怎么带手机了，晚上自习后回到宿舍再看短信、电话回复，办法虽笨，效果不错。 二、英语 英语方面我觉得自己的基础还行，毕竟大学几年追剧看电影一直保持着听英语看英文的习惯。（虽然考研不考听力，但是如果想锻炼一下英语听力顺便晚上放松一下的话，找一些美剧或电影自己看还是不错的。当然，生活大爆炸之类的堆砌词藻耍嘴皮的就算了，推荐一些生活剧、喜剧或剧情类的，如绝望主妇、好汉两个半、绝命毒师）。但是考试方面还是得用八股取士小题狂做的死方法，我开始的时候大约是一周一套卷，真题或者模拟题，花一个下午完整做完同时积累一些生词与句型，没事翻一翻看一看整理的本子。最后一个月强度提一点起来，一周2套3套模拟题，培养一些做题手感，对最后考试做题速度有帮助。关于张剑的模拟题，我感到阅读理解题目问得有些别扭，因此弃之不用。许多人推荐张剑的黄皮书真题集，我觉得没有必要，那解释得过于详细，而且是真题和答案分开装订不方便，应该每年的真题答案一起装订成一本，方便对答案又方便携带，
2016-2017北京大学物理学院凝聚态物理专业课考研经验谈pdf
2016-2017北京大学物理学院凝聚态物理专业课考研经验谈 1、量子力学：我自己选择的是Griffiths的《Introduction to Quantum Mechanics》，并买了本课后习题解答，自己边看边练，算是自学一遍。（系里讲《量子力学》的是人见人爱花见花开的杨主任，可惜的是当时没怎么上他的课，结果应验那句“出来混迟早要还的”，最后还得要靠自个儿花时间自学一遍）。这本教材质量不错，曾被亲切称为“猫书”（因为原版封面上有那只著名的“薛定谔的猫”）。然后真正针对考试习题而练习用的是有口皆碑、闻名九州的《量子力学习题与解答》（陈鄂生著），这本我算是一题题都做了下来，并且跟着最后的许多大学的历年真题又回顾了一遍，其中的题目类型全，解答质量高，对于提升应试技巧很有裨益，属于“大宝啊天天见”的一类辅导书。钱伯初的教材对于基本概念的理解很有帮助，课后习题质量也很高，遗憾的是貌似没有配套的习题解答，只有书后附的简略答案。中间一段时间也在做中科大出版社的《量子力学学习指导》，这本书是配套的曾谨言的教材课后习题而增编的，书前附有知识要点，书后有几套练习题，总的说来质量不错，值得拥有~当时开始做题时碰到啥合流超几何方程贝塞尔函数真是头疼，又记不住这些公式，不过从最后出题风格来看一般不会考这类方程难解的题。今年考试就没遇到，而且竟然试卷最后还友情提供了许多公式，如一维谐振子的波函数（虽然有些没有归一化）和一些积分公式，令人感动它提供了这些公式其实都是有用的，甚至还有一些提示作用，比如倒数第二题是散射问题，第二问就要用到其中一个含有正弦函数的积分公式，不用的话算不出来多可惜。需要注意的是，量子力学复习一定要全面，今年考试第二题就考了玻尔索末非量子化条件，应该是属于中文一些教材的绪论或首章介绍经典物理向量子力学过渡那段历史历程的那部分，当时拿到试卷时扫了一眼不禁暗暗冒了冷汗，毕竟复习时有意无意地将首章忽略了，记忆有些模糊。不过好在最终还是写了出来。 2、固体物理：黄昆的《固体物理学》都快被翻裂了。这本书的质量之优秀和里面的低级印刷错误之多是其两大特色。总的来说，这本书值得拥有，值得一看再看，对照着物理学院网站上的“固体物理学基本要求”将知识点一个个过威力倍增。物理系上这门课的是和蔼可亲的翟奶奶，其实翟奶奶讲课很有条理、循序渐进的，公式模型她都自个儿一个个在黑板上推导，十分难得，感动常在（当时固体物理还有期中考试，不过是开卷的，期末考试闭卷，难度就降低了些）回到这本固体物理教材，这本书课后习题的数量很少，但是质量很好，许多课外习题的解题思路都是从中衍生的。配套的《固体物理学全程导学及习题全解》里有详细的解答，还有知识点概要和补充题，对于理解知识点很有帮助，不过令人头疼的是里面也有许多印刷错误，需要火眼金睛辨别。基泰尔的《固体物理导论》也很不错，有时间可以配合看看，顺便做做课后习题。有一本陈长乐主编的《固体物理学习题解答》非常好（虽然它是配套的另外一套教材），对于巩固自己知识加深对习题理解很有好处。固体物理的题型
普通化学课件 北大 卞江教授 第一章
北京大学化学学院 2006级
“这里要根绝一切犹豫, “Qui si convien lasciare ogni sospetto, Ogni这里任何怯懦都无济于事。” viltà convien che qui sia morta.”
普通化学
Dante (1265-1321) 但丁 Divine 《神曲》地狱篇，第三歌 Comedy, Inferno, Canto III
Introduction, General Chemistry, CCME, Peking University. 2006
Jiang Bian
绪 论
1. 2. 3. 4. 5. 6.
1. 什么是化学？
7. 如何在大学获得成功？ 8. 如何学好普通化学？ 9. 科学方法论 10. 科学计算：有效数字 11. 关于我们的课程
什么是化学？ 为什么要学习化学？ 化学简史：从黑色魔 术到科学 化学王国的版图 化学的理论支柱 化学：面向未来
基本定义： “化学是研究物质的性质、组成、结构和化学变化及 其能量变化的规律的科学” 简单定义： “化学是一门关于变化的科学。”
Introduction, General Chemistry, CCME, Peking University. 2006
Jiang Bian
Introduction, General Chemistry, CCME, Peking University. 2006
Jiang Bian
2. 为什么要学习化学？（1）
为什么要学习化学？（2）
化学是我们认识自然的重要途径 化学是一项智力挑战 化学与人类社会的发展息息相关 化学是生动的和激动人心的
化学：一门中心科学
Introduction, General Chemistry, CCME, Peking University. 2006 Jiang Bian Introduction, General Chemistry, CCME, Peking University. 2006 Jiang Bian
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北京大学量子力学期末试题
量子力学习题（三年级用） 北京大学物理学院 二O O三年
第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量 可能值。
第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结 论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=υ?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2
第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= () .n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系，
量子力学辅导材料
(一) 单项选择题 1.能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是 A. 1.2A 0. B. 1.5A 0. C. 2.1A 0. D. 2.5A 0 . 2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是 A.1.3A 0. B. 0.9A 0. C. 0.5A 0. D. 1.8A 0 . 3. 能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的De Broglie 波长是 A.1.4A 0 . B.1.9?1012 -A 0 . C.1.17?10 12 -A 0. D. 2.0A 0 . 4.温度T=1k 时，具有动能E k T B = 3 2 (k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的De Broglie 波长是 A.8A 0 . B. 5.6A 0 . C. 10A 0 . D. 12.6A 0 . 5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（ ,2,1,0=n ） A.E n n = ω. B.E n n =+()1 2 ω. C.E n n =+()1 ω. D.E n n =2 ω. 6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其De Broglie 波长是 A.5.2A 0. B. 7.1A 0. C. 8.4A 0. D. 9.4A 0 . 7.钾的脱出功是2ev ，当波长为3500A 0 的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为 A. 0.25?1018-J. B. 1.25?1018-J. C. 0.25?1016-J. D. 1.25?1016-J. 8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为 A. 2μc . B. 22μc . C. 22 2μc . D. 2 2μc . https://www.360docs.net/doc/2317813655.html,pton 效应证实了 A.电子具有波动性. B. 光具有波动性. C.光具有粒子性. D. 电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了 A. 电子具有波动性. B. 光具有波动性. C. 光具有粒子性. D. 电子具有粒子性. 11.粒子在一维无限深势阱U x x a x x a (),,,=<<∞≤≥???000 中运动，设粒子的状态由ψπ()sin x C x a = 描写，其归一化常数C 为 A. 1a . B.2a . C.12a . D.4 a . 12. 设ψδ()()x x =，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为 A.δ()x . B.δ()x dx . C.δ2()x . D.δ2()x dx .
2021量子力学考研与量子力学考点复习笔记
2021量子力学考研与量子力学考点复习笔 记 一、考研真题与解题的思路 43试求屏蔽库仑场的微分散射截面。[浙江大学2014研] 【解题的思路】 对于屏蔽库仑场，可以直接使用玻恩近似计算微分散射截面。 【解答】 由玻恩近似可得微分散射截面为 【知识储备】 玻恩近似法 ①适用条件 （高能散射） ②微分散射截面
其中U （r ）为粒子和散射中心相互作用的势能，K →＝k →′－k →，k →′，k → 分别为粒子散射前后的波矢，并且，θ是散射角。 【拓展发散】 对于本题所给信息，也可以用分波法计算，并将计算结果与玻恩近似的结果比较。 44设算符A 和B 不对易， ，但A 和B 都与C 对易，即 ， ，试证明： （1），n 为正整数； （2） [厦门大学2012研] 【解题的思路】 根据所给条件，利用对易恒等式关系，推导出递推关系，即可得证。 【解答】 （1）因为 所以
（2） 【知识储备】 ①e指数函数的展开式 ②对易式中满足的基本恒等式 [A，B＋C]＝[A，B]＋[A，C] [A，BC]＝B[A，C]＋[A，B]C [AB，C]＝A[B，C]＋[A，C]B [A，[B，C]]＋[B，[C，A]]＋[C，[A，B]]＝0 45粒子被束缚在半径为r的圆周上运动。 （1）设立路障进一步限制粒子在的一段圆弧上运动，即
求解粒子的能量本征值和本征函数。 （2）设粒子处于情形（1）的基态，求突然撤去路障后，粒子仍然处于最低能量态的几率是多少？ [南京大学2002研] 【解题的思路】 分析题意，这是不随时间改变的势场，所以可以直接使用定态薛定谔方程和波函数性质求解能量本征值和本征波函数。 【解答】 （1）当时，；当时，粒子的转动惯量为， 对应的哈密顿量为。 由定态薛定谔方程可得 即 令 求解得 由波函数的连续性可得，即，所以
北京大学群论第六章-群论与量子力学
第六章 群论与量子力学 §6.1 哈密顿算符群和相关定理 设()r H ρ ?为哈密顿算符，g 为同一坐标中的坐标变换，P g 为与之对应的函数变换算符， ()()r g f r f P g ρ ρ1-=，()r f ρ为任意函数，有： 故()()1 ??-=g g P r g H P r H ρρ（由()r f ρ 为任意函数） 若坐标经过变换g 作用后，哈密顿算符的形式不变，即：r g r ρ ρ='， ()()()r H r H r g H ρρ??'??==，则： ()()1??-=g g P r H P r H ρρ或()()r H P P r H g g ρρ??= 即当哈密顿算符()r H ρ ?在函数变换算符g P 的作用下不变时，则()r H ρ ?与P g 对易： 【定义6.1】哈密顿算符的群 所有保持一个系统的哈密顿算符H ?不变的变换g 作成的集合构成一个群，称为该哈密顿算符()r H ρ?的群，或薛定谔方程的群：()(){} r H r g H g G H ρρ??== 存在逆元：H G g ∈?，有()()r H r g H ρ ρ??= 令r g r ρρ='，则'1 r g r ρ ρ -=，代入得： ()'?1r gg H ρ-，即：()()'?'?1r H r g H ρρ=-，故H G g ∈-1 封 闭 性 ： H G g g ∈?',,有： )()'()'()()()'(?11'1''1'r H r g H r g H P r H P P r g H P r gg H g g g g ρρρρρρ=====---- 结合律和单位元显然存在。 【定义6.2】 哈密顿算符群或薛定谔方程群 由哈密顿算符的群对应的函数变换算符作成的集合构成群，称为哈密顿算符群或薛定谔方程群，记为：}|{H g G G g P P H ∈=。
北京大学量子力学期末试题12页
量 子 力 学 习 题 （三年级用） 北京大学物理学院 二O O 三年 第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie de -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子( ) 克24 10 671-?=μ.n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克24 10 646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie de -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量可能值。 第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若( ) ,Be e A kx kx -+=?求其几率流密度，你从结果中能得到什么样 的结论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。
5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 其中ρ=/ 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 求：?) t ,x (=?2 第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系， 证明：0 1 1222112112 22 2 21 212211 =+=+=+**S S S S S S S S 这表明S 是么正矩阵 4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数 5、求粒子在下列位场中运动的能级 6、粒子以动能E 入射，受到双δ势垒作用
2018年北京大学凝聚态物理考研参考书目、招生目录、专业指导、考研经验
2018年北京大学凝聚态物理考研参考书目、招生目录、专业指导、考研经验一、北京大学凝聚态物理考研科目、招生人数
二、2018年北京大学凝聚态物理考研参考书目 1、我考研一直关注北大考研联盟：bdkylm 2、量子力学：曾谨言、周世勋、程檀生，钱伯初、曾谨言习题册 3、固体物理：固体物理学黄昆、韩汝琦高等教育出版社 三、北京大学凝聚态物理考研专业课经验分享 1、量子力学：我自己选择的是Griffiths的《Introduction to Quantum Mechanics》，并买了本课后习题解答，自己边看边练，算是自学一遍。（系里讲《量子力学》的是人见人爱花见花开的杨主任，可惜的是当时没怎么上他的课，结果应验那句“出来混迟早要还的”，最后还得要靠自个儿花时间自学一遍）。这本教材质量不错，曾被亲切称为“猫书”（因为原版封面上有那只著名的“薛定谔的猫”）。然后真正针对考试习题而练习用的是有口皆碑、
闻名九州的《量子力学习题与解答》（陈鄂生著），这本我算是一题题都做了下来，并且跟着最后的许多大学的历年真题又回顾了一遍，其中的题目类型全，解答质量高，对于提升应试技巧很有裨益，属于“大宝啊天天见”的一类辅导书。钱伯初的教材对于基本概念的理解很有帮助，课后习题质量也很高，遗憾的是貌似没有配套的习题解答，只有书后附的简略答案。中间一段时间也在做中科大出版社的《量子力学学习指导》，这本书是配套的曾谨言的教材课后习题而增编的，书前附有知识要点，书后有几套练习题，总的说来质量不错，值得拥有~当时开始做题时碰到啥合流超几何方程贝塞尔函数真是头疼，又记不住这些公式，不过从最后出题风格来看一般不会考这类方程难解的题。今年考试就没遇到，而且竟然试卷最后还友情提供了许多公式，如一维谐振子的波函数（虽然有些没有归一化）和一些积分公式，令人感动它提供了这些公式其实都是有用的，甚至还有一些提示作用，比如倒数第二题是散射问题，第二问就要用到其中一个含有正弦函数的积分公式，不用的话算不出来多可惜。需要注意的是，量子力学复习一定要全面，今年考试第二题就考了玻尔索末非量子化条件，应该是属于中文一些教材的绪论或首章介绍经典物理向量子力学过渡那段历史历程的那部分，当时拿到试卷时扫了一眼不禁暗暗冒了冷汗，毕竟复习时有意无意地将首章忽略了，记忆有些模糊。不过好在最终还是写了出来。 2、固体物理：黄昆的《固体物理学》都快被翻裂了。这本书的质量之优秀和里面的低级印刷错误之多是其两大特色。总的来说，这本书值得拥有，值得一看再看，对照着物理学院网站上的“固体物理学基本要求”将知识点一个个过威力倍增。物理系上这门课的是和蔼可亲的翟奶奶，其实翟奶奶讲课很有条理、循序渐进的，公式模型她都自个儿一个个在黑板上推导，十分难得，感动常在（当时固体物理还有期中考试，不过是开卷的，期末考试闭卷，难度就降低了些）回到这本固体物理教材，这本书课后习题的数量很少，但是质量很好，许多课外习题的解题思路都是从中衍生的。配套的《固体物理学全程导学及习题全解》里有详
北京大学 真题量子力学
北京大学2003——2012学年 量子力学 考研真题 与原子物理试题答案 可能会有用的公式： 薛定谔方程： ?H i t ψψ?=? 一维定态薛定谔方程：()()()2 2 2 2d V x x E x m dx ψψ??-+= ??? 动量算符： ?p i x ?=? 高斯积分： 2 x e dx α∞ --∞ = ? 一。[30分]一维无限深方势阱： 质量为 m 的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为： ()()0;0,;0,x a V x x x a ∈??=?∞<>?? 1。[10分]求解能量本征值 n E 和归一化的本征函数()n x ψ； 2。[5分]若已知 0t =时，该粒子状态为：()) 12,0()()x x x ψψψ= +，求t 时刻该粒子的波函数； 3。[5分]求 t 时刻测量到粒子的能量分别为1E 和2E 的几率是多少？ 4。[10分]求t 时刻粒子的平均能量E 和平均位置x 。 解：1）[10分]
222 22n n n x a n E ma πψπ???=? ??????=?? 2）[5分] ()(),n iE t n n x t x e ψψ- = 时刻的波函数：( )1212,()()iE t iE t x t x e x e ψψψ--? ?=+?? 3）[5分] t 时刻测量到粒子的能量为1E 的几率是：()() 2 11 ,,2 x t x t ψψ= 时刻测量到粒子的能量为2E 的几率是：()() 2 21,,2 x t x t ψψ= 4）[10分] 平均能量：()()()()22122 5?,,,,24E E E x t E x t x t i x t t ma πψψψψ+?====? 平均位置： ()()()12216,,cos 29E E t a a x x t x x t ψψπ-??== - ??? 二。[30分]一维线性谐振子： 质量为m 的粒子在一维线性谐振子势：22 ()2 m x V x ω= 中运动。按占有数表象，哈密顿可写为： ( ) ? 12 H a a ω=+ 。这里 ?a 是湮灭算符， ? ?a 是产生算符： ?i a x p m i a x p m ωω??=+??? ?? ? ?=-???? 已知一维线性谐振子基态波函数为： 1。[10分]利用产生算符性质： ()()?01?a x x ψψ=，求线性谐振子第一激发态在坐标表象下的波函数：()1x ψ；（()1 2 42 0m x m x e ωωψπ-??= ??? ） 2。[10分]假设粒子处在基态()0x ψ，突然改变一维线性谐振子的“振动频率”为2ωω'=，粒子新的基态能是多少？新的基态波函数是 什么？
北京大学量子力学复习提纲
北京大学量子力学复习提纲 第一章 绪论 1.德布罗意关系, E h νω== (1) h p n k λ == (2) 2.微观粒子的波粒二象性. 3. 电子被V 伏电压加速,则电子的德布罗意波长为 12.25 h A λ=≈ (3) 第二章 波函数和薛定谔方程 1.波函数的统计解释: 波函数在空间某一点的强度()2 ,r t ψ和在该处找到粒子的几率成正比,描写粒子的波是几率波. 其中2 w * =ψψ=ψ代表几率密度. 2.态叠加原理: 如果1ψ和2ψ是体系的可能状态,那么它们的线性叠加 1122c c ψ=ψ+ψ,也是体系的一个可能状态. 3. 薛定谔方程和定态薛定谔方程
薛定谔方程 ()(),?,r t i H r t t ?ψ=ψ? (4) 定态薛定谔方程 ()()?H r E r ψ=ψ (5) 其中 ()2 2?2H U r μ =-?+ (6) 为哈密顿算符,又称为能量算符, 4. 波函数的标准条件: 有限性,连续性(包括ψ及其一阶导数)和单值性. 5. 波函数的归一化, 1d τ* ∞ ψψ=? (9) 6.求解一维薛定谔方程的几个例子. 一维无限深势阱及其变种, 一维线性谐振子; 势垒贯穿. 第三章 量子力学中的力学量 1. 坐标算符, 动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的法则; 2. 本征值方程,本征值,本征函数的概念 ?F ψλψ= (10)
3. 厄密算符的定义,性质及与力学量的关系. ?F dx ψφ* =? ()?F dx ψφ* ? (11) 实数性: 厄密算符的本征值是实数. 正交性: 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数 相互正交. 完全性: 厄密算符?F 的本征函数()n x φ和()x λφ组成完全系, 即任一函数()x ψ可以按()n x φ和()x λφ展开为级数: ()()()n n n x c x c x d λλψφφλ = +∑? (12) 展开系数: ()()n n c x x dx φ ψ*=?, (13) ()()c x x dx λλφψ* =?. (14) 2 n c 是在()x ψ 态中测量力学量F 得到n λ的几率, 2 c d λλ是在()x ψ态中测量力学量F ,得到测量结果在λ 到d λλ+范围内的几率. 4. 2?L 和?Z L 算符的本征值方程,本征值和本征函数. ()22?1L l l ψψ=+, ?z L m ψψ= 本征函数 (),lm Y θφ.
《量子力学导论》习题答案(曾谨言版-北京大学)1
第一章 量子力学的诞生 1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ???<<><∞=a x a x x x V 0,0,0,)( 试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2 =? =n n a λ n a /2=∴λ （1） 又据de Broglie 关系 λ/h p = （2） 而能量 () ,3,2,12422/2/2 2222 222 22==?===n ma n a m n h m m p E πλ （3） 1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有 ()?==? ,3,2,1, x x x n h n dx p 即 h n a p x x =?2 （a 2：一来一回为一个周期） a h n p x x 2/=∴, 同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, ,3,2,1,,=z y x n n n 粒子能量 ??? ? ??++=++=222222222 222)(21c n b n a n m p p p m E z y x z y x n n n z y x π ,3,2,1,,=z y x n n n 1.3设质量为m 的粒子在谐振子势222 1 )(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2,,2,1, x V E m p n nh x d p -===?? )(x V 解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：221 ()2 x a E V x m a ω=== 。 a - 0 a x
北大本科生量子力学教学大纲
教学大纲（教学计划） 掌握和理解量子力学的基本概念，新的数学方法（微积分、微分方程、线性代数、数理方程、复变等等）和能解决一些简单的量子力学问题。 第一章：定性了解经典困难的实例：微观粒子的波–粒二象性； 第二章，第三章：要全面掌握：波函数与波动方程，一维定态问题，波函数的统计诠释，态叠加原理，薛定谔方程和定态；知0t =的波函数，给出t 时刻的波函数，概率通量矢，反射份额，透射份额，完全透射。 第四章：算符运算规则，厄密算符定义，厄密算符的本征方程，观测值的可能值，概率幅。 力学量完全集（包括H ?的，即为运动常数的完全集）。共同本征态lm Y 的性 质（lm m *lm Y )1(Y ?=，宇称l )1(?） 。 力学量平均值随时间变化，运动常数，维力定律。 第五章：变量可分离型的三维定态问题 有心势下，dinger o Sch &&equation 解在 0r → 的渐近行为。氢原子波函数，能量本征值的推导和结论要全面掌握。 三维各向同性谐振子在直角坐标和球坐标中的解，能级的结果和性质。 Hellmann-Feynman Theorem 。 电磁场下的n Hamiltonia ，规范不变性，概率通量矢。正常塞曼效应及引起的原因。均匀磁场下的带电粒子的能量本征值 磁通量量子化的现象。 第六章：量子力学的矩阵形式及表象理论 算符本征方程，薛定谔方程和平均值的矩阵表示；求力学量在某表象中的矩 阵表示；利用算符矩阵表示求本征值和本征函数。表象变换。dinger o Sch && Picture 和 Heisenberg Picture 第七章：量子力学的算符代数方法-因子化方法 哈密顿量的本征值和本征矢；因子化方法的一些例子；形状不变伴势和谱的对称性 第八章：自旋 自旋引入的实验证据。电子自旋算符，本征值及表示。泡利算符性质，泡利矩阵。 自旋存在下的波函数和算符的表示。)j ,j ,l ?(r 2的共同本征态的矩阵形式。 自旋为1/2的两粒子总自旋波函数，Bell 不等式。 碱金属的双线结构及反常塞曼效应的现象及形成原因。
北京大学量子力学期末试题word资料11页
量 子 力 学 习 题 （三年级用） 北京大学物理学院 二O O 三年 第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie de -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie de -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量可能值。 第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1 121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结 论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于
的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 求： ?)t ,x (=?2 第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系， 证明：0 1 1222112112 22 2 21 212211 =+=+=+**S S S S S S S S 这表明S 是么正矩阵 4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数 5、求粒子在下列位场中运动的能级 6、粒子以动能E 入射，受到双δ势垒作用
从《北大讲量子力学的烂人》谈起
（一）题记关于批评的语气 这题目如果叫做“从……谈起”，除非偶尔碰上大牛，能把一团文章作得密不透风，否则十有八九是作者在为日后的语无伦次和离题万里播种伏笔。高中时候读华罗庚先生的《从杨辉三角谈起》和《从孙子的“神机妙算”谈起》，觉得丝丝入扣，那是大手笔。另有一本《从单位圆谈起》，虽然我从来没有冲出过前三页，但单从目录看，估计也一定是海阔天空而经脉不散的。这种牛书，总是无一例外地能给读者带来身心的巨大愉悦。 大牛不是天天都能碰上的，所以，我的读者恐怕没有我当初那么幸运。 事情的起因是meteorface同学发了一篇批评曾谨言老师的文章，从而引出了我的一些想法。这些想法，我很早就有，meteorface不过起一个诱导的作用。在我下面将要发表的观点中，有一部分针对那篇文章，但大多数不是，尚请meteorface见谅。 meteorface在他的文章中，用了一种我不喜欢的批评语气，有点像人身攻击——比如题目里的“烂人”。再比如，文中称曾老师为“这东东”。就我所知，除了法律系的孙东东老师外，别人套用这个称呼似乎都有欠准确。时下常有人觉得，看见谁不顺眼，大声骂出来才好，才是真性情，客客气气跟人说要么是虚伪，要么是损人不带脏字，总之尤为恶毒。我却一向以为，客气的批评一来是对对手的尊重，二来是为自己的批评增加力度，必要的时候宁可虚伪一点，也不能被对手揪住小辫，所以在这里向大家倾力推荐。 顺便说一下，就我所知，“高等量子力学”的反面乃是“初等量子力学”，而非“低等量子力学”。小时候我初闻何祚庥先生是“高能”物理学家，佩服得不得了，以为比“学部委员”还高。后来听说还有一个“低能物理研究所”，于是大惑不解。可见祖宗文化博大精深，一词多义，比起GRE类比，那是更加地害人不浅。一种有名的数学竞赛杂志，叫做《初等数学》，若是改成《低等数学》，只怕从此销路受阻，一举倒闭。中国社会科学院美国研究所的董乐山先生在为《牛津高阶英汉双解词典》第四版所作的前言中说，“最后要提一下的是：它（指该词典）的汉语名称中‘高级’一词改为‘高阶’，仅此一端，可以看出主其事者确是高手，因为原来的名称不免有misnomer之疵。”我这里想说的，就是这个意思。 熟悉我的人都知道，我生活中说话一向极损，不信大家可以找PlateauWolf确认。这不是好习惯，我也一直在试图改正。不过有一点我敢说的是，我从不搞人身攻击。以前我也曾在物理版发过批评陆果老师的文章，措辞比较激烈，但是里面没有人身攻击的成分。我想这大概可以算作批评的规矩。就好像辩论手即使心里老大不愿，为着裁判的高分，也得咬着牙恭恭敬敬地称自己对面那帮鬼子为“对方辩友”一样，说到底，是会对自己有益的。 附：meteorface原文的reprint --------------------------- 发信人:meteorface(babyface),信区hysics 标题:北大讲量子力学的烂人 发信站:北大未名站(2000年12月05日23:40:19星期二),站内信件 这人我不说大家可能也知道的，他不是写了几本破书吗。然后就平装本，精装本的一通乱出，赚可怜学生的MONEY，当然最可气的是其傲慢，就好象我们大家都不是东西似的。这东东上来就说我们不刻苦，FAINT，老子当时正考G，能不刻苦吗。然后就说我们不如80年代的学生，而80年代又不如50年代的学生。你干脆就说我们不如你不就行了。不过也不知我们底下坐着位初二学高等数学，高中学数理方法，电动力学的老哥是不是也不如他？可恨的是他还以为自己牛X 的不得了，给我们来讲讲低等量子力学就跟委屈了他似的。 麦克风也不愿带，然后自己说话又含含糊糊。按他的说法，上他的课就得打破脑袋的占座，这样才是爱学习，他只给在前面的人讲，后面听不见，活该了。还有最没人性的是我们刚献完血回来就要期中考试，还不告诉你范围什么的。别人都在准备校庆，我们在...
