2016年高考江苏数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ

参考公式： 样本数据12,,

,n x x x 的方差()

2

2

1

1n

i i s x x

n ==-∑，其中1

1n

i i x x n ==∑．

棱柱的体积V Sh =，其中S 是棱柱的底面积，h 是高．

棱锥的体积1

3

V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 为高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2016年江苏，1，5分】已知集合{}1,2,3,6A =-，{}|23B x x =-<<，则A B =_______．

【答案】{}1,2-

【解析】由交集的定义可得{}1,2A

B =-．

【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题． （2）【2016年江苏，2，5分】复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是_______． 【答案】5

【解析】由复数乘法可得55i z =+，则则z 的实部是5．

【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

（3）【2016年江苏，3，5分】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22

173

x y -=的焦距是_______．

【答案】

【解析】c =

，因此焦距为2c =

【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础 （4）【2016年江苏，4，5分】已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是_______． 【答案】0.1

【解析】 5.1x =，()2222221

0.40.300.30.40.15

s =++++=．

【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用． （5）【2016年江苏，5，5

分】函数y =_______． 【答案】[]3,1-

【解析】2320x x --≥，解得31x -≤≤，因此定义域为[]3,1-．

【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题． （6）【2016年江苏，6，5分】如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是________． 【答案】9

【解析】,a b 的变化如下表：

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答． （7）【2016年江苏，7，5分】将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）

先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．

【答案】5

6

【解析】将先后两次点数记为(

),x y ，则共有6636?=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有

()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为

305366

=．

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．

（8）【2016年江苏，8，5分】已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2

123a a +=-，510S =，则9a 的值是_______．

【答案】20

【解析】设公差为d ，则由题意可得()2

113a a d ++=-，151010a d +=，解得14a =-，3d =，

则948320a =-+?=．

【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．

（9）【2016年江苏，9，5分】定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是________．

【答案】7

【解析】画出函数图象草图，共7个交点．

【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数sin 2y x =与cos y x =在区间

[]0,3π上的图象是关键，属于中档题．

（10）【2016年江苏，10，5分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆

()22

2210x y a b a b +=>>

的右焦点，直线2

b

y =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=?，则该椭圆的离心率是________【解析】由题意得(),0F c ，直线2b

y =

与椭圆方程联立可得2b B ?? ? ???

，2b C ?????

，由90BFC ∠=?可得 0BF CF ?=，2b BF c ??=+- ? ???，2b CF c ??=- ? ??

?，则22231044c a b -+=，由222b a c =-可得 22

3142

c a =，则c e a ==

． 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能

力，属于中档题．

（11）【2016年江苏，11，5分】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),10,2,01,5x a x f x x x +-≤

=?-≤

其中a ∈R ，若5922f f ????

-= ? ?????

，则()5f a 的值是________．

【答案】2

5

-

【解析】由题意得511222f f a ????-=-=-+ ? ?????，91211225210f f ????==-= ? ?????，由5922f f ????

-= ? ?????

可得11210a -+=，

则35a =，则()()()325311155

f a f f a ==-=-+=-+=-．

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a 值，是解答的关键．

（12）【2016年江苏，12，5分】已知实数,x y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥??

+-≥??--≤? 则22x y +的取值范围是________．

【答案】4,135??

????

【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下：22x y +为可行域内的点到原点距离的平方．

可以看出图中A 点距离原点最近，此时距离为原点A 到直线220x y +-=的距离，

d =

=

，则()22min 4

5

x y +=，图中B 点距离原点最远，B 点为240x y -+=与330x y --=交

点，则()2,3B ，则()

22max

13x y +=．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．

（13）【2016年江苏，13，5分】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 上两个三等分点，

4BA CA ?=，1BF CF ?=-，则BE CE ?的值是________．

【答案】7

8

【解析】令DF a =，DB b =，则DC b =-，2DE a =，3DA a =，则3BA a b =-，3CA a b =+，

2BE a b =-，2CE a b =+，BF a b =-，CF a b =+，则229BA CA a b ?=-，

22

BF CF a b ?=-， 224BE CE a b ?=-，由4BA CA ?=，1BF CF ?=-可得2294a b -=，221a b -=-，因此22513

,88

a b ==，

因此2245137

4888

BE CE a b ??=-=-=．

【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档． （14）【2016年江苏，14，5分】在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则t a n t a n t a n A B C 的最小值是_______． 【答案】8

【解析】由()()sin sin πsin sin cos cos sin A A B C B C B C =-=+=+，sin 2sin sin A B C =，

可得sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=（*），由三角形ABC 为锐角三角形，则cos 0,cos 0B C >>， 在（*）式两侧同时除以cos cos B C 可得tan tan 2tan tan B C B C +=，

又()()tan tan tan tan πtan 1tan tan B C

A A

B

C B C

+=--=-+=--(#)，

则tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan B C

A B C B C B C

+=-?-，由tan tan 2tan tan B C B C +=可得

()

2

2tan tan tan tan tan 1tan tan B C A B C B C

=--，令t a n t a n B C t =，

由,,A B C 为锐角可得tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>， 由(#)得1tan tan 0B C -<，解得1t >，2222

tan tan tan 111t A B C t t t =-=---，

2

21111124t t t ??-=-- ???，由1t >则2111

04

t t >-≥-，因此tan tan tan A B C 最小值为8， 当且仅当2t =时取到等号，此时tan tan 4B C +=，tan tan 2B C =，

解得tan 2tan 2tan 4B C A ===（或tan ,tan B C 互换），此时,,A B C 均为锐角．

【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．

作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

（15）【2016年江苏，15，14分】在ABC △中，6AC =，4cos 5

B =，π

4C =．

（1）求AB 的长；

（2）求πcos 6A ?

?- ???的值．

解：（1）4cos 5B =，B 为三角形的内角，3

sin 5

B ∴=，

sinC sin AB AC

B =

，63

5

=，即：AB = （2）()cos cos sin sin cos cos A C B B C B C =-+=

-，cos A ∴=又A 为三角形的内角，

sin A ∴=，

π1cos sin 62A A A ?

?∴-+=

??

? 【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于中档题． （16）【2016年江苏，16，14分】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，

点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证： （1）直线//DE 平面11A C F ； （2）平面1B DE ⊥平面11A C F ．

解：（1）,D E 为中点，DE ∴为ABC ?的中位线，

//DE AC ∴，又111ABC A B C -为棱柱，11//AC AC ∴

11//DE AC ∴，又

11AC ?平面11A C F ，且11DE AC F ?，//DE ∴平面11A C F ．

（2）

111ABC A B C -为直棱柱，1AA ∴⊥平面111A B C ，111AA AC ∴⊥，又

1111AC A B ⊥，

且1

111AA A B A =，111,AA A B ?平面11AA B B ，11AC ∴⊥平面11AA B B ，又11//DE AC ，

DE ∴⊥平面11AA B B ， 又1A F ?平面11AA B B ，1DE A F ∴⊥，又

11A F B D ⊥，1DE

B D D =，且1,DE B D ?平面1B DE ，

1A F ∴⊥平面1B DE ，又111A F AC F ?，∴平面1B DE ⊥平面11A C F ．

【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难答不大． （17）【2016年江苏，17，14分】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四

棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并要求正四棱柱 的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍．

（1）若6m AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少；

（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，仓库的容积最大？

解：（1）12m PO =，则18m OO =，1111231116224m 33

P A B C D ABCD V S PO -?=??==， 111123168288m ABCD A B C D ABCD V S OO -?=?==，111111113312m =P A B C D ABCD A B C D V V V --+=，故仓库的容积为3312m ． （2）设1m PO x =，仓库的容积为()V x ，则14m OO x =

，11A O =

，11A B =，

()11112

3331111272224m 3333

P A B C D ABCD V S PO x x x x x -?=??=-=-=，

11112

3

3142888m ABCD A B C D ABCD V S OO x x x

-?=

?=-=，

()()11111111333226

2428883120633

=P A B C D ABCD A B C D V x V V x x x x x x x --+=-+-=-+<<，

()()22'263122612V x x x =-+=--()06x <<

，当(x ∈时，()'0V x >，()V x 单调递增，

当()

x ∈时，()'0V x <，()V x

单调递减，因此，当x =()V x 取到最大值，

即1m PO =时，仓库的容积最大．

【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档． （18）【2016年江苏，18，16分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：

221214600x y x y +--+=及其上一点()2,4A ．

（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；

（3）设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范

围．

解：（1）因为N 在直线6x =上，设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()2

2

26x y n n -+-=，

0n >，又圆N 与圆M 外切，圆M ：()()2

2

6725x x -+-=，则75n n -=+，解得1n =， 即圆N 的标准方程为()()2

2

611x y -+-=．

（2

）由题意得OA =2OA k = 设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l

的距离d =

，

1

A F

E

C

B

A

C 1

B 1

A 1

则

BC =

=BC =

=

解得5b =或15b =-，即l ：25y x =+或215y x =-． （3）TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=，即TA PQ =，(TA t =

10PQ ≤，

10，解得2

t ?

∈-+?，对于任意2t ?∈-+?，欲使TA PQ =，

此时10TA ≤，只需要作直线TA 的平行线，2

TA 必然与圆交于P Q 、两

点，此时

TA PQ

=，即TA PQ =，因此对于任意2

t ?

∈-+?，均满足题意，

综上2t ?∈-+?．

【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时

要认真审题，注意圆的性质的合理运用．

（19）【2016年江苏，19，16分】已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠． （1）设2a =，1

2

b =

． ①求方程()2f x =的根；

②若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值；

（2）若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值．

解：（1）①()122x

x f x ??

=+ ???

，由()2f x =可得1222x x +=，

则()2

22210x x -?+=，即()2

210x -=，则21x =，0x =．

②由题意得2211

22622x x x x m ??+

+- ?

??

≥恒成立，令1

22x

x t =+，则由20x >可得2t =≥， 此时2

26t mt --≥恒成立，即244

t m t

t t

+=+≤恒成立∵2t ≥时44t t +≥，

当且仅当2t =时 等号成立，因此实数m 的最大值为4．

（2）()()22x x

g x f x a b =-=+-，()ln 'ln ln ln ln x

x x x a b g x a a b b a b b a ????=+=+?? ???????

，由01a <<，1b >可得1b a >，

令()ln ln x

b a h x a b ??=+ ???，则()h x 递增，而ln 0,ln 0a b <>，因此0ln log ln b a

a x

b ??

=- ???时()00h x =，

因此()0,x x ∈-∞时，()0h x <，ln 0x a b >，则()'0g x <；()0,x x ∈+∞时，()0h x >，ln 0x a b >， 则()'0g x >；则()g x 在()0,x -∞递减，()0,x +∞递增，因此()g x 最小值为()0g x ，

① 若()00g x <，log 2a x <时，log 22a x a a >=，0x b >，则()0g x >；x >log b 2时，0x a >，log 22b x b b >=，

则()0g x >；因此1log 2a x <且10x x <时，()10g x >，因此()g x 在()10,x x 有零点，

2l o g 2b

x >且20x x >时，()20g x >，因此()g x 在()02,x x 有零点， 则()g x 至少有两个零点，与条件矛盾；

② 若()00g x ≥，由函数()g x 有且只有1个零点，()g x 最小值为()0g x ，可得()00g x =， 由()00020g a b =+-=，因此00x =，因此ln log 0ln b a a b ??

-= ??

?，即ln 1ln a b -

=，即ln ln 0a b +=， 因此()ln 0ab =，则1ab =．

【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分

析问题解决问题的能力．

（20）【2016年江苏，20，16分】记{}1,2,

,100U =．对数列{}n a （*n ∈N ）和U 的子集T ，若T =?，定义0T S =；

若{}12,,

,k T t t t =，定义12k T t t t S a a a =++

+．例如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++．现设{}n a （*n ∈N ）

是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）对任意正整数k （1100k ≤≤），若{}1,2,,T k ?，求证：1T k S a +<；

（3）设C U ?，D U ?，C D S S ≥，求证：2C C

D

D S S S +≥．

解：（1）当{}2,4T =时，2422930T S a a a a =+=+=，因此23a =，从而2

113

a a =

=，13n n a -=． （2）2

1

12131133332

k k k

T k k S a a a a -+-++=++++=<=≤

（3）设()C A C D =e，

()D B C D =e，A B =?，C A C D S S S =+，D B C D

S S S =+， 22C C

D

D A B S S S S S +-=-，

因此原题就等价于证明2A B S S ≥．由条件C D S S ≥可知A B S S ≥． ① 若B =?，则0B S =，所以2A B S S ≥．

② 若B ≠?，由A B S S ≥可知A ≠?，设A 中最大元素为l ，B 中最大元素为m ，

若1m l +≥，则由第⑵小题，1A l m B S a a S +<≤≤，矛盾．因为A B =?，所以l m ≠，所以1l m +≥，

2

1

1123113332222

m m m l

A B m a a S S a a a -+-+++=++++=<≤≤≤，即2A B S S >．

综上所述，2A B S S ≥，因此2C C D D S S S +≥．

【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．

数学Ⅱ

【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答 的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （21-A ）【2016年江苏，21-A ，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，在ABC △中，90ABC ∠=?，BD AC ⊥，D 为垂足，E 是BC 中点，求证：EDC ABD ∠=∠．

解：由BD AC ⊥可得90BDC ∠=?，由E 是BC 中点可得1

2

DE CE BC ==，则EDC C ∠=∠， 由90BDC ∠=?可得90C DBC ∠+∠=?，由90ABC ∠=?可得90ABD DBC ∠+∠=?，因此ABD C ∠=∠， 又EDC C ∠=∠可得EDC ABD ∠=∠．

【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C 是关键，属于

中档题．

（21-B ）【2016年江苏，21-B ，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵1202??

=??-??A ，矩阵B 的逆矩阵111202-??-??=????

B ，求矩阵AB ．

解：()1

1112124221010222--?

?????????===????????????????

B B ，因此151121*********??????????==??????-???

?-??????AB ． 【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题． （21-C ）【2016年江苏，21-C ，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的

参数方程为()11,2,

x t t y ?

=+??

??=??为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=??

=?为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．

E

C

B A

解：直线l

0y -，椭圆C 方程化为普通方程为2

2

14

y x +=，

联立得22014y y x --=?+=??，解得10x y =??=?

或17x y ?

=-????=??

，因此167AB =． 【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基

础题．

（21-D ）【2016年江苏，21-D 】（本小题满分10分）（选修4-4：不等式选讲）设0a >，13a x -<，23

a

y -<，

求证：24x y a +-<．

解：由13a x -<

可得2223a x -<，22422233

a a x y x y a +--+-<+=≤． 【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，

属于基础题．

【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．． （22）【2016年江苏，22，10分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，

抛物线()2

:20C y px p =>．

（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；

（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ．

①求证：线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --； ②求p 的取值范围．

解：（1）:20l x y --=，∴l 与x 轴的交点坐标为()2,0，即抛物线的焦点为()2,0，22

p

∴

=，28y x ∴=． （2）① 设点()11,P x y ，()22,Q x y ，则：2

11

22222y px y px ?=??=??，即2

1122222y x p y x p

?=????=??，1222

12

12222PQ y y p k y y y y p p -==+-， 又,P Q 关于直线l 对称，1PQ k ∴=-，即122y y p +=-，12

2

y y p +∴=-，

又PQ 中点一定在直线l 上，1212

2222x x y y p ++∴=+=-，

∴线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --； ② 中点坐标为()2,p p --，122212122422y y p y y x x p p +=-?

?

∴+?+==-??

即1222212284y y p y y p p +=-??+=-?，122

12244y y p y y p p +=-?∴?=-?， 即关于222440y py p p ++-=有两个不等根，0∴?>，()()2224440p p p -->，40,3p ??

∴∈ ???

．

【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． （23）【2016年江苏，23，10分】

（1）求34

677C 4C -的值；

（2）设*,m n ∈N ，n m ≥，求证：()()()()()2

12121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m n n n m m m n n m +++-++++++++++=+．

解：（1）34

677C 4C 7204350-=?-?=．

（2）对任意的*m ∈N ，

① 当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()2

21C 1m m m m ++=+=+，等式成立，

② 假设()n k k m =≥时命题成立，即

()()()()()2

12121C 2C 3C C 1C 1C m m m

m m m m m m k k k m m m k k m +++-+++++++

+++=+，

当1n k =+时，左边=()()()()()1211

1C 2C 3C C 1C 2C m m m

m m m

m m m k k k m m m k k k ++-++++++++++++

()()2

2

1

1C

2C

m m k k m k +++=+++，

右边()2

3

1C m k m ++=+，而()()()()()()()()()22323!2!1C 1C 12!1!2!!m m k k k k m m m m k m m k m ++++??+++-+=+-??+-++-????

()()()()()()()

()

()12!1!13122C 2!1!!1!

m k k k m k k m k k m k m m k m +++=+?+--+=+=+????+-+-+ 因此()()()22

2131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+，因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立，

综合①②可得命题对任意n m ≥均成立．

另解：因为()()1

11C 1C m m k k k m +++=+，所以

左边()()()1111211C 1C 1C m m m m m n m m m ++++++=++++

++()()

11

1

1211C C C m m m m m n m ++++++=+++

+

又由11

1

C C

C

k

k k n n n ---=+，知

2212112111112111221121C C C C C C C C C C C C m m m m m m m m m m m m n n n n n n m m n m m n ++++++++++++++++++++++=+=++==+++=+++， 所以，左边=右边．

【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运

用．