高中数学1[1].2《极坐标系》教案新人教选修
极坐标系
【基础知识导学】
1． 极坐标系和点的极坐标
极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。规
定：当点M 在极点时，它的极坐标θρ,0=可以取任意值。
2． 平面直角坐标与极坐标的区别
在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系中，
虽然一个有序实数对),(θρ只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对对应),(θρ，极坐标系中的点与有序实数对极坐标
),(θρ不是一一对应的。
3． 极坐标系中，点M ),(θρ的极坐标统一表达式Z k k ∈+),2,(θπρ。
4． 如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表
示，同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
5． 极坐标与直角坐标的互化
（1） 互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X 轴的正方向重合；③
两种坐标系中取相同的长度单位。
（2） 互化公式?
??==θρθ
ρsin cos y x ，
??
?
?
?≠=+=0,tan 2
22x x y y x θρ。 【知识迷航指南】 【例1】
在极坐标系中，描出点)3
,
2(π
M ，并写出点M 的统一极坐标。
【点评】点)3
,
2(π
M 的统一极坐标表示式为)3
2,2(π
π+
k ，如果允许0<ρ，还可以
O
X
表示为)3
)12(,2(π
π+
+-k 。
【例2】已知两点的极坐标)6
,3(),2,
3(π
π
B A ，则|AB|=______,AB 与极轴正方向所成的角为________.
解:根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=600
,即?AOB 为等边三角形,所以|AB|=|AO|=|BO|=3, ∠ACX=
6
5π 【点评】在极坐标系中我们没有定义两点间的距离,我们只要画出图形便可以得到结果. 【例3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线. (1)4
3π
θ=
,()R ∈ρ (2)θθρcos 2sin +=
【解】(1)根据极坐标的定义,因为x y x
y
-==即,43tan
π,所以方程表示直线. (2)因为方程给定的ρ不恒为0,用ρ同乘方程的两边得:θρθρρcos 2sin 2
+= 化为直角坐标方程为,22
2
x y y x +=+即4
5)21
()1(22=
-+-y x ,这是以(1,21)为
圆心,半径为
2
5
的圆. 【点评】①若没有R ∈ρ这一条件,则方程表示一条射线.
②极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘ρ,使之出现ρ2
是常用的方法.
【解题能力测试】
1．已知点的极坐标分别为)4
,3(π
-A ，)32,
2(πB ，),23(πC ，)2
,4(π
-D ，求它们的直
角坐标。
1． 已知点的直角坐标分别为)32,2(),3
5
,0(),3,3(---C B A ，求它们的极坐标。
3．已知点M 的极坐标为)3
,5(π
-，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是
（ ）
)3,5.(π
-A
)3
4,5.(πB )3
2,5.(π
-
C
)3
5,5.(π-
-D 4．点P 的直角坐标为)3,1(-，则点P 的极坐标为（ ）
)3,2.(π
A
)34,
2.(πB )3
,2.(π
-C
)3
4,2.(π-
D 【潜能强化训练】
1．在极坐标中，若等边?ABC 的两个顶点是)4
,2(π
A 、)4
5,
2(π
B ，那么顶点
C 的坐标可能是（ ）
)4
3,
4.(πA )4
3,
32(πB ),32.(πC
),3.(πD
2．在极坐标系内，点)2
,3(π
关于直线.6
π
θ=
)(R ∈ρ的对称点坐标为（ ）
A （3，0）
)2,3(π
B
)3
2,
3(π-C
)6
11,3(πD
3
．
若
)
3
,2(π
-
-P 是极坐标系中的一点，则
).35,2()..38,2()..32,
2(πππ-M R Q )3
52,2(π
π-k N )(Z k ∈四点中与P 重合的点有（ ） A ．1个 B 2个 C 3个 D 4个 4．极坐标方程)0..(2
2
cos ≥=
ρθ表示的曲线是（ ） A 余弦曲线 B 两条相交直线 C 一条射线 D 两条射线 5．极坐标系中，点A 的极坐标是)6
,
3(π
，则 （1）点A 关于极轴对称的点是_______.
(2) 点A 关于极点对称的点的极坐标是___. (3) 点A 关于直线2
π
θ=
的对称点的极坐标是________.(规定: )0(>ρ[)πθ2,0∈
【知识要点归纳】
(1)要注意直角坐标与极坐标的区别,直角坐标系中平面上的点与有序实数对),(y x 是一一对应的,在极坐标系中,平面上的点与有序实数对),(θρ不是一一对应的,只有在规定
0(>ρ,[)πθ2,0∈)的前提下才一一对应.在解题时要注意极坐标的多和表示形式.
(2)直角坐标与极坐标互化要注意互化的前提.若要判断曲线的形状,可先将极坐标方程化为直角坐标方程,再判断.
二、坐标系
〔解题能力测试〕
1． A (((0,4)B C D --
2． 34),)(4,).6
323
A B C π
ππ
3、A 、
4、C 〔潜能强化训练〕
1、B
2、D
3、C
4、D 5（1）11(3,
)6π （2）7(3,)6π （3）5(3,)6
π