初中数学八上《整式的乘法与因式分解》知识点与经典题型

整式的乘法及因式分解知识点

1．幂的运算性质：

a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例：(－2a )2(－3a 2)3 2．＝ a mn （m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．

例： (－a 5)5

3．

（n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积． 4．＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）

同底数幂相除，底数不变，指数相减．

5．零指数幂的概念：a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．

6．负指数幂的概念：

a －p ＝ （a ≠0，p 是正整数）

任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数．

也可表示为：（m ≠0，n ≠0，p 为正整数）

7．单项式的乘法法则：

单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

8．单项式与多项式的乘法法则：

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．

9．多项式与多项式的乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．

10、因式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2

=(a+b)(a-b)；

(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2

；

()

n

m a ()n

n n b a ab =n

m a a ÷p

a 1p

p

n m m n ?

?? ??=?

?

? ??-

(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2

)；

(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2

)． 下面再补充两个常用的公式：

(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2

；

(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2

-ab-bc-ca)；

11、凡是能用十字相乘法分解因式的二次三项式ax 2+bx+c ，都要求 >0而且

是一个完全平方数。（a 、b 、c 是常数）

整式的乘法及因式分解相关题型：

一、有关幂的典型题型：

公式的直接应用：（1）2

2253)(63

1

ac c b a b a -?? （2）423

3)2()2

1(n m n m -?-

1、若n 为正整数，且x 2n ＝3，则(3x 3n ) 2的值为

2、如果(a n b ·ab m ) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是

3、已知102m =，103n =，则3210

m n

+=____________．

练习题：若._____34,99221

3

=-=??++-m m y x y x y

x n n m m 则

如果

，

，则

______________．

4、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x

5、若142-=y x ，1327+=x y ，则y x -等于（ ）

（A ）－5 （B ）－3 （C ）－1 （D ）1

6、计算:2003

2）（-·200221）（等于( )． (A)－2 (B)2 (C)－

21 (D)2

1 7、计算：1003

1002

)16

1()

16(-

?-＝ ． 8、已知,2,2

1

==

mn a 求n m a a )(2?的值 练习题：（2）若的求n n n x x x 22232)(4)3(,2---=值

（3）若0352=-+y x ，求y

x 324?的值．

9、若1

4

2-=y x

，1

3

27+=x y ，则y x -等于（ ）

24b ac ?=-

（A ）－5 （B ）－3 （C ）－1 （D ）1 10．如果55

2=a ，44

3=b ，33

4=c ，那么（ ）

（A ）a ＞b ＞c （B ）b ＞c ＞a （C ）c ＞a ＞b （D ）c ＞b ＞a

练习题：如果a=223，b=412,c=87

,比较a 、b 、c 的大小

乘法法则相关题目：

法则应用：)3

1

1(3)()2(2

x xy y x -

?+-?-； （2）)12(4)392(32--+-a a a a a （3）))(2(y x y x -+ （4）(－4x 2＋6x －8)·(－1

2

x 2)

（5）（2x 2

y ）3

·（-7xy 2

）÷14x 4y 3

（6）3

2232512152??

?

??-÷??? ?????? ??xy y x y x

（7）2

2221524125??

?

??-???? ??-÷??? ??-+n n n n b a b a b a

（8）()()[]()()[]

2

3

4

5

64y x x y y x y x +?-÷+-；（9）()()[]()()[]

2

3

5616b a b a b a b a -+÷-+

1、 (－3x 2

)＋(2x －3y)(2x －5y)－3y(4x －5y)＝

2、在(ax 2＋bx －3)(x 2－

1

2

x ＋8)的结果中不含x 3和x 项，则a ＝ ，b ＝ 3、一个长方形的长是10cm ，宽比长少6cm ，则它的面积是

，若将长方形的长和都扩大

了2cm ，则面积增大了 。 4、若 (ax 3m y 12)÷(3x 3y 2n )=4x 6y 8 , 则 a = , m = ,= ;

5．先化简，再求值：（每小题5分，共10分） （1）x （x -1）+2x （x +1）－（3x -1）（2x -5），其中x =2． （2）3

42)()(m m m -?-?-，其中m =2-

（3），其中． 6、已知：3

2

a b +=

，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 7、在实数范围内定义运算“”，其法则为：，求方程（43）的解．

乘法公式相关题目:

3、2

2

2

____9(_____)x y x ++=+；2

235(7)x x x +-=+（______________）

4、已知15x x +=，那么331x x +=_______；2

1x x ?

?- ??

?=_______。

5、若2

2

916x mxy y ++是一个完全平方式，那么m 的值是__________。

2

2

()()()2a b a b a b a +-++-1

33

a b ==-，⊕2

2

a b a b ⊕=-⊕⊕24x =

A y x y x y x ?-=+--)(22，则A =_____________________

6、证明x 2

+4x+3的值是一个非负数

练习题：a 2

-6a+10的值是一个非负数。

7、当代数式x 2+4x+8的值为7时,求代数式3x 2

+12x-5的值.

因式分解：

基础题：（1）2220.25a b c -（2）29()6()1a b b a -+-+

（3）42222244a x a x y x y -+ （4）22()12()36x y x y z z +-++

2、分解因式：

.

3. （2011广东广州市，19，10分）分解因式8(x 2－2y 2

)－x(7x ＋y)＋xy ．

4. (2011 浙江湖州，18，6)8因式分解：

5、分解因式：

6、分解因式：

练习题：分解因式：（1）、（2） （3）

7、分解因式（1）

解：原式==

设，则

∴原式== == == =

（2）

解：原式== 设，则

∴原式==

==

例15、分解因式（1）

解法1——拆项。 解法2——添项。

原式= 原式= = = =

= =

2

168()()x y x y --+-=3

9a a -2

222c b ab a -+-652

++x x 672

+-x x 101132

+-x x 2

2

1288b ab a --262234+---x x x x )1162(222x x x x x +-

--[]6)1

()1(2222-+-+x x x

x x t x x =+121

222-=+t x x [

]6)222

2---t t x （

()10222--t t x ()()2522+-t t x ??

? ??++??? ??-+215222x x x x x ???

??++??? ??-+21··522·x x x x x x ()()1225222+++-x x x x )2)(12()1(2

--+x x x 1442

34+++-x x x x 22241

(41)x x x x x -++

+??????+??? ??--??? ?

?+1141222x x x x x y x x =-121

222+=+y x x 22(43)x y y -+2

(1)(3)x y y --)31)(11(2----x

x x x x ()()1312

2----x x x x 432

3+-x x 33123+-+x x 44432

3++--x x x x )1)(1(3)1)(1(2-+-+-+x x x x x )44()43(2++--x x x x )331)(1(2+-+-+x x x x )1(4)4)(1(++-+x x x x

=

= =

（2）

解：原式=

= = =

)44)(1(2+-+x x x )44)(1(2+-+x x x 2

)2)(1(-+x x 2

)2)(1(-+x x 3369-++x x x )1()1()1(3

6

9

-+-+-x x x )1()1)(1()1)(1(3

3

3

3

6

3

-++-+++-x x x x x x )111)(1(3

3

6

3

+++++-x x x x )32)(1)(1(3

6

2

++++-x x x x x