基于小波变换的边缘检测技术(完整)

第一章图像边缘的定义

引言

在实际的图像处理问题中，图像的边缘作为图像的一种基本特征，被经常用于到较高层次的特征描述，图像识别。图像分割，图像增强以及图像压缩等的图像处理和分析中，从而可以对图像进行进一步的分析和理解。

由于信号的奇异点或突变点往往表现为相邻像素点处的灰度值发生了剧烈的变化，我们可以通过相邻像素灰度分布的梯度来反映这种变化。根据这一特点，人们提出了多种边缘检测算子：Roberts算子Prewitt算子Laplace算子等。

经典的边缘检测方法是构造出像素灰度级阶跃变化敏感的微分算子。这些算子毫无例外地对噪声较为敏感。由于原始图像往往含有噪声、而边缘和噪声在空间域表现为灰度有大的起落，在频域则反映为同是主频分量，这就给真正的边缘检测到来困难。于是发展了多尺度分析的边缘检测方法。小波分析与多尺度分析有着密切的联系，而且在小波变换这一统一理论框架下，可以更深刻地研究多尺度分析的边缘检测方法，Mallat S提出了一小波变换多尺度分析为基础的局部极大模方法进行边缘检测。

小波变换有良好的时频局部转化及多尺度分析能力，因此比其他的边缘检测方法更实用和准确。小波边缘检测算子的基本思想是取小波函数作为平滑函数的一阶导数或二阶导数。利用信号的小波变换的模值在信号突变点处取局部极大值或过零点的性质来提取信号的边缘点。常用的小波算子有Marr 算子Canny算子和Mallat算子等。

§1.1信号边缘特征

人类的视觉研究表明，信号知觉不是信号各部分简单的相加，而是各部分有机组成的。人类的信号识别（这里讨论二维信号即图像）具有以下几个特点：边缘与纹理背景的对比鲜明时,图像知觉比较稳定；图像在空间上比较接近的部分容易形成一个整体；在一个按一定顺序组成的图像中，如果有新的成份加入，则这些新的成份容易被看作是原来图像的继续；在视觉的初级阶段，视觉系统首先会把图像边缘与纹理背景分离出来，然后才能知觉到图像的细节，辨认出图像的轮廓，也就是说，首先识别的是图像的大轮廓；知觉的过程中并不只是被动地接受外界刺激，同时也主动地认识外界事物，复杂图像的识别需要人的先验知识作指导；图像的空间位置、方向角度影响知觉的效果。从以上这几点，可以总结出待识别的图像边缘点应具有下列特征即要素：具有较强的灰度突变，也就是与背景的对比度鲜明；边缘点之间可以形成有意义的线形关系，即相邻边缘点之间存在一种有序性；具有方向特征；在图像中的空间相对位置；边缘的类型，即边缘是脉冲型、阶跃型、斜坡型、屋脊型中哪一种。

§1.2图像边缘的定义

边缘检测是图像处理中的重要内容。而边缘是图像中最基本的特征，也是指周围像素灰度有变化的那些像素的集合。主要表现为图像局部特征的不连续性，也就是通常说的信号发生奇异变化的地方。奇异信号沿边缘走向的灰度变化剧烈，通常分为阶跃边缘和屋顶边缘两种类型。阶跃边缘在阶跃的两边的灰度值有明显的变化；屋顶边缘则位于灰度增加与减少的交界处。我们可以利用灰度的导数来刻画边缘点的变化，分别求阶跃边缘和屋顶边缘的一阶，二阶导数。如图可见，对于边缘点A，阶跃边缘的一阶导数在A点到最大值，二阶导数在A点过零点；屋顶边缘的一阶导数在A点过零点，二阶导数在A点有最大值。

第二章 传统的边缘检测算子

§2.1传统的边缘检测算子

边缘检测的实质是采用某种算法来提取出图像中对像与背景间的交界线。我们将边缘定义为图像中灰度发生急剧变化的区域边界。而灰度变化的情况可以用图像灰度分布的梯度来反映，所以我们可以用局部图像微分技术来获得边缘检测算子。以下对比较经典的边缘检测算子进行了理论分析，并做出了比较和评价。 我们记为(,)f f f x y i j x y

???=

+??图像的梯度，(,)f x y ?中包含局部灰度的变化信息。

记： (,)e x y = (2.1) 为梯度(,)f x y ?的幅度，(,)e x y 可以用做边缘检测算子。

常用的边缘检测方法有：差分边缘检测，Roberts 边缘检测算子，Sobel 边缘检测算子，Prewitt 边缘检测算子,Robinson 边缘检测算子,Lapalce 边缘检测算子等等。

§2.2 差分边缘检测方法

利用像素灰度的一阶导数算子在灰度迅速变化处得到高值来进行奇异点的检测。它在某一点的值就代表该点的“边缘强度”，可以通过对这些值设置阈值来进一步得到边缘图像。但用差分边缘检测必须使差分的方向与边缘方向垂直，这就需要对图像的不同方向都进行差分运算，增加了实际运算的繁琐性。一般为垂直边缘、水平边缘、对角线边缘检测：

图2-1 差分算法检测边缘的方向模板

§2.3 Roberts 边缘检测算子

Roberts 边缘检测算子根据任意一对互相垂直方向上的差分可以用来计算梯度的原理，采用对角线方向相邻两像素之差，即：

他们的卷积算子为：10:01x f ?????-?? 01:10y f ?????-??

有了x f ?，y f ?之后，很容易计算出Roberts 的梯度幅值(,)R i j ，适当的取门限TH ，作如下判断：(,)R i j TH >，(,)i j 为阶跃边缘点。{}(,)R i j 为边缘图像。

Roberts 算子采用对角线方向相邻两像素之差近似梯度幅值边缘检测。检测水平和垂直边缘的效果好于斜向边缘，定位精度高，对噪声敏感。

图2-2：用Roberts算子进行边缘检测的Lena图与原图像

§2.4 Sobel边缘检测算子

对数字图像{}

f i j的每一个像素，考察它上，下，左，右邻点灰度的

(,)

加权差，与之接近的邻点的权大。据此，定义Sobel算子如下：

卷积算子为：

图2-3：Sobel边缘检测算子方向模板

适当的取门限TH，作如下判断：(,),(,)

>为阶跃边缘点，为

s i j TH i j

{}

s i j边缘图像。

(,)

Sobel算子很容易在空间上实现，Sobel边缘检测器不但产生较好的边缘检测效果，而且受噪声的影响也比较小。当使用大的领域时，抗噪声特性会更好，但这样做会增加计算量，并得出的边缘也比较粗。

Sobel算子利用像素点上下，左右邻点的灰度加权算法，根据在边缘点出达到极值这一现象进行边缘的检测。Sobel算子对噪声具有平滑作用，提供较为精确的边缘方向信息，但它同时会检测出许多的伪边缘，边缘定位精度不高。当对精度要求不是很高时，是一种较为常用的方法。

图2-4：用Sobel 算子进行边缘检测的Lena 图与原图像 §2.5 Prewitt 边缘检测算子

Prewitt 算子是一种边缘样板算子。这些算子样板由理想的边缘子图像构成。依次用边缘样板去检测图像，与被检测区域为相似的样板给出最大值。用这个最大值作为算子的输出值(,)P i j ，这样就可以将边缘像素检测出来。定义Prewitt 边缘算子模板如下：

图2-5： Prewitt 边缘检测算子模板

8个算子样板对应的边缘方向如下图所示：

图2-6：样板方向

适当取门限TH，作如下判断：(,),(,)

P i j

为阶跃边缘点。(,)

P i j TH i j

为边缘图像。

图2-7：用Prewitt算子进行边缘检测的Lena图与原图

§2.6 Robinson 边缘检测算子

Robinson 边缘检测算子也是一种边缘样板算子，其算法和Prewitt边缘检测算子相似，只是8个边缘样板不同。如下所示：

图2-8：Robinson 边缘检测算子模板

§2.7 Laplace 边缘检测算子

Laplace 算子是二阶微分算子，是一个标量，属于各向同性的运算，对灰度突变敏感。在数字图像中，可以用差分来近似微分运算，(,)f i j 的Laplace 算子为

Laplace 算子的二种估算模板：

图2-9：Laplace 的两种估算模板

对阶跃边缘，二阶导数在边缘点出现零交叉，即边缘点两边二阶导函数取异号。Laplace 算子就是据此对{}(,)f i j 的每个像素取它关于x 方向和y 方向的二阶差分之和，这是一个与边缘方向无关的边缘检测算子。而对屋顶状边缘，在边缘点的二阶导数取极小值，这时对{}(,)f i j 的每个像素取它关于x 方向和y 方向的二阶差分之和的相反数。

Laplace 算子有两个缺点：其一是边缘的方向信息丢失，其二是Laplace 算子为二阶差分，双倍加强了图像中的噪声影响：优点是各向同性，即具有旋转不变性。因为在微分学中有：一个只包含偶次阶导数和取偶次幂的奇次阶导数的线形组合算子，一定是各向同性的。

Laplace 算子实际二阶微分算子，利用边缘点处二阶导函数出现零交叉

原理检测边缘。不具有方向性，对灰度突变敏感，定位精度高，不但检测出了绝大部分的边缘，同时基本上没有出现伪边缘。但他的检测也存在一些缺点，如丢失一些边缘，有一些边缘不够连续，对噪声敏感且不能获得边缘方向的功能信息。

图2-10：用Laplace算子进行边缘检测的Lena图与原图

§2.8 检测结果与结论

通过对以上介绍的几种边缘检测算子的算法公式和检测的结果可以看出，Roberts算子简单直观，但边缘检测图里存在有伪边缘；Sobel算子、Prewitt算子和Robinson的检测结果图能检测出更多的边缘，但也存在有伪边缘且检测出来的边缘线比较粗，并放大了噪声；Lapalce算子和改进的Laplace算子利用二阶差分运算来进行检测，但不可以检测出较多的边缘，而且还在很大程度上消除了伪边缘的存在，定位精度高。但受噪声的影响比较大。

第三章小波变换在图像边缘检测中的应用

§3.1 小波思想的引入

虽然边缘提取已有梯度算子、Laplace算子、Sobel算子等方法，但这些算法都没有自动变焦的思想。而事实上，由于物理和光照等原因，每幅图像中的边缘通常产生在不同的尺度范围内，形成不同类型的边缘，这些信息是未知的。另外图像中还存在有噪声，因此，根据图像特性自适应地正确检测出图像的边缘是非常困难的。可以肯定，用单一尺度的边缘算子不可能检测出所有的边缘，同时，为避免在滤除噪声是影响边缘检测的正确性，用多尺度的方法检测边缘越来越引起人们的重视。由于小波变换具有良好的时频局部化特性及多尺度分析能力，在不同尺度上具有“变焦”的功能，适合于检测突变信号。是检测突变信号强有力的工具，得到了广泛的应用。

§3.1.1小波变换在图像边缘检测中的优势

用小波变换对信号做多分辨率分析非常适合提取信号的局部特征。这是因为小波变换的尺度因子和平移因子构成了一个滑动的时间-频率窗，小尺度下的变换系数对应信号的高频分量，大尺度下的变换系数对应信号的低频分量。于是信号被分解成各个频率下的分量，这样就可以检测对应不同频率的信号局部特征。而图像中的突变信息和噪声都属于高频信号，可以利用小波变换后的高频分量进行去噪和得到边缘图像。

由于各种原因，图像常常受到随机噪声的干扰。经典的边缘检测方法由于引入了各种形式的微分运算，从而必然引起对噪声的极度敏感，在其上执行边缘检测的结果常常是把噪声当作边缘点检测出来，而真正的边缘

也由于受到噪声干扰而没有被检测出来。因而对于有噪声图像来说，一种好的边缘检测方法应具有良好的各种噪声抑制能力，同时又有完备的边缘检测保持特性。

小波变换可以提供一种很好的去噪方法。当取小波函数为平滑函数的一阶导数时，信号的小波变换的模的信号突变点出取局部极大值，边缘与噪声的区别在于，随着尺度的增加，噪声引起的小波变换的模的极大值迅速减小；而边缘的滤波模值不随尺度的变化，故小波变换可以在低信噪比的

2j 上每一个在位置上信号中检测噪声和边缘。通过计算在尺度2j和尺度1

最接近，且具有相同符号的系数最大值，我们可以找出不同尺度下小波幅度的变化，消除那些系数极值孤独随尺度减小而小波系数Mf在平均值上增加的序列。这些极值对应图像噪声奇异点，从而就得到了图像边缘的真正奇异点。

同时，边缘点具有较强的方向性。即在边缘点上，其滤波值表现为较强的模值，而在垂直边缘方向上，滤波模值较小；而噪声点在各个方向的滤波模值相似。因而，在对信号进行不同方向的滤波时，边缘点滤波模值会有较强与较弱的差异，而噪声点滤波模值不会产生过大的差异，因此可以通过构造任意方向的小波滤波器来检测出奇异信号和噪声点。对于很大一类图像来说，急剧变化点所对应的边缘在图像平面内是一些规则的曲线，沿着这些曲线，图像在一个方向是奇异的，而和该方向相垂直的方向却是平滑的。由于实际得到的值是一些离散点，为了检测出边缘，可以利用沿曲线方向梯度矢量的模变化平缓特点以及不同尺度下梯度矢量幅角的信息，将位置及幅角十分接近的模极大值点连接起来形成模极大值链，这些链构成了图像的边缘。

§3.1.2小波变换定义及特点

小波(wavelet)，即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为0的波形。它有两个特点：一是“小”，即在时域都具有紧支集或近似紧支集；尺度二是正负交替的“波动性”，也即直流分量为零。我们可以用小波和构成傅立叶分析基础的正弦波做一个比较，傅立叶分析所用的正弦波杂时间上没有限制，从负无穷到正无穷，但小波倾向于不规则也不对称。傅立叶分析是将信号分解成一系列不同频率的正弦波的叠加，同样小波分析是将信号分解成一系列小波函数的叠加，而这些小波函数都是有一个母小波函数经过平移与尺度伸缩得来的。我们知道，用不同规则的小波函数来逼近尖锐变化的信号显然要比光滑的正弦曲线要好，同样，信号局部的特性用小波函数来逼近显然要比光滑的正弦函数来逼近要好。

小波变换的定义是把某一被称为基本小波（也叫母小波）的函数()t ψ做位移τ后，再在不同尺度α下与待分析的信号()x t 做内积：

*(,)()()t WTx a x t dt

a ττψ-=?， 0a > (3.1

等效的频域表示是：

*(,)()()ja x WT a X a e d ωτωωω∞

-∞=ψ (3.2

可以这样理解上面表达式的意义：打个比喻我们用镜头观察目标()x t （即待分析信号），()t ψ代表镜头所起的作用（例如滤波或卷积）。τ相当于使镜头对于目标平行移动，a 的作用相当于镜头向目标推进或远离。由此可见小波变换有以下特点：

● 有多分辨率，也叫多尺度的特点，可以有粗及细地逐步观察信号。

● 可以看成用基本频率特性为()ψω的带通滤波器在不同尺度a 下对信号滤波。由于傅立叶变换的尺度特性可知这组滤波器具有品质因数恒定，即相对带宽（带宽与中心频率之比）恒定的特点。注意，a 越大相当频率越低。

● 适当的选择基小波，使()ψω在频域上也比较集中，就可以使在WT 在时、频域都具有表征信号局部特征的能力，因此有利于检测信号的瞬态或奇异点。

正是由于上述特性，有人把小波变换称为分析信号的数学显微镜。

如上所述，小波分析的一个重要优点就是能够分析信号的局部特征。利用小波分析可以检测出许多其他分析方法忽略的信号特性，例如，信号的趋势，信号的高阶不连续点、自相似特性。

总之，小波变换作为一种数学理论和方法在科学技术和工程界引起了越来越多的关注和重视。

§3.2连续小波变换

§3.2.1连续小波的定义及其变换

定义3 . 1 设2()()t L R ψ∈,其傅立叶变换为()ωψ满足允许条件

（Admissible Condition ，完全重构条件或恒等分辨条件）

2

()R C d ωωωψψ=<∞

? (3.3)

我们称为一个基本小波或母小波（Mother Wavelet ）。将母函数按此方式经平移和伸缩后得到函数族：

,()a b t b t a -??ψ=ψ ??? ,,0a b R a ∈≠ (3.4) 称其为一个小波序列或连续小波。其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 我们首先来看看连续小波在相空间中的局部化格式。假定ψ是双窗函数，记,1a b a

?ψ=?ψ 200()d ωωωωω±≤±≤∞=ψ? (3.5

由于正频和负频讨论类似，只对正频进行讨论。注意到

,()()

ib a b a ωωω-ψ=

ψ (3.6

因此,a b ψ的正频窗口中心为0,(0)b a a ω+??> ??

?其时窗宽,a b a ?ψ=?ψ，频窗宽,1a b a

?ψ=?ψ。由此可以看出，b 仅仅影响窗口在相平面时间轴上的位置，而a 不仅仅影响窗口在频率轴上的位置，也影响窗口的形状。当a 越小时，时宽越小，而频宽越大，且,a b ψ窗口中心向ω增大方向移动，这表明高频时连续小波的时间分辨率较高，频率分辨率较低；反之，当a 越大时，时宽越大，而频宽越小，,a b ψ窗口中心向ω减小方向移动，这表明低频时连续小波的时间分辨率较差，频率分辨率较高。这一特性正好符合

低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点，决定了小波变换在突变信号处理上的特殊地位及功能。在这个意义上，小波变换被誉为数学显微镜。对于任意函数2

()()

f t L R

∈的连续小波变换为

1/2

,

(,),()

f a b R

t b

W a b f a f t dt

a

--

??

=ψ=ψ ?

??

?

(3.7

其重构公式（逆变换）为

2

11

()(,)

t

t b

f t W a b dadb

C a a

∞∞

-∞-∞

ψ

-

??

=ψ ?

??

??

(3.8

有时为了方便起见，小波变换也常用如下定义

1

(,)*()()

f R

x t

W s x f x f t dt

s s

-

??

=ψ=ψ ?

??

?

(3.9

其中

1

()

s

x

x

s s

??

ψ=ψ ?

??

式(3.7)和式(3.9)定义形式有所不同，主要在于

1 ）伸缩系数不同。

2 ）由卷积代替了相关。

但事实上，它们之间是可以相互转换的。

由基本小波()

ω

ψ生成的小波

,

()

a b

t

ψ

2

(,)

j

A f x y在小波变换中对被分析

的信号起着信号观测窗的作用，所以()

ω

ψ还应满足一般函数的约束条件

()t dt ∞-∞ψ<∞? (3.10

故()t ψ是一个连续函数。这意味着，为了满足允许条件，()ωψ在原点必须等于零，即

(0)()0t dt ∞-∞ψ=ψ=? (3.11 小波()t ψ只有在实轴t 上取值有正有负才能保证上式的积分为零，所以应具有振荡性，也就是说是一个“波”。同时，()t ψ的定义域是具有紧支撑的，即在一个很小的区间之外，函数值为零，应是一个迅速衰减的“小”波。小波因此得名。

如果()t ψ使下式

()0k t t dt ∞-∞ψ=? 0,1k N =???- (3.12

成立，则说()t ψ为k 阶消失距小波（Vanishing th k moments ）这时()ωψ在

ω＝0 处是k 次可微的，即()(0)0k ψ=。而时就是容许条件，随着k 的增加，小波()t ψ的振荡性就越来越强烈。

连续小波变换具有以下重要性质：

1、线形性：一个信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。

2、平移不变性：若()f t 的小波变换为(,)f W a b ，则()f t τ-的小波变换为(,)f W a b τ-

3、伸缩共变性：若()f t 的小波变换为(,)f W a b ，则()f ct 的小波变换

为

(,)

f ca cb 0c > (3.13

4、自相似性：对应不同尺度参数a 和不同平移参数b 的连续小波变换之间是自相似的。

5、冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。

§3.2.2 离散小波变换

在实际运用中，特别是在计算机实现上，往往需要把上面提到的连续小波及其变换离散化。需要注意的是，这一离散化是针对连续的尺度参数a 和连续的平移参数b 的，而不是针对时间变量t 的。这一点和我们在离散傅里叶变换中熟悉的时间离散化是不同的。

在连续小波中，考虑函数：

1/2

,()a b t b t a a --??ψ=ψ ??? (3.14 这里，b R ∈。为方便起见，在离散化中，总限制a 只取正值，即a R +∈且0a ≠，ψ是容许的，这样相容性条件就变成

()

C d ωωω∞ψ-∞ψ=<∞

? (3.15

通常，把连续小波变换中尺度参数a 和平移参数b 的离散公式分别取作000,j j a a b ka b ==，这里j Z ∈，扩展步长01a ≠是固定值。为了方便起见，总假定01a >。所以对应的离散小波函数,()j k t ψ即可写作

/2

/200,00000()()j j j j j k j t ka b t a a a t kb a ---??-ψ=ψ=ψ- ??? (3.16

而离散化的小波变换系数则可表示为

*,,,()(),j k j k j k C f t t dt f ∞

-∞=ψ=ψ? (3.17

其重构公式为

,,()()

j k j k f t C C t ∞∞-∞-∞=ψ∑∑ (3.18

C 是一个与信号无关的常数。

显然，0a 和0b 决定了信号重构的精度，即网格点应尽可能地密（0a 和0b 尽可能小），才能保证一定的重构精度。如果网格点越稀疏，使用的小波函数,()j k t ψ和离散小波系数,j k C 就越少，信号重构的精确度也就会降低。

§3.3常用小波函数介绍

§3.3.1 Haar 小波

Haar 小波是在小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，同时也是最简单的一个函数。Haar 函数的定义为

101/211/21

0H x x ψ≤≤??=-≤

§3.3.2 Daubechies 小波系

Daubechies 函数是由世界著名的小波分析学者Inrid Daubechies 构造的小波函数，提供了比Haar 小波更有效的分析和综合。除了dbl(即Haar 小波)外，其它小波没有明确的表达式。但转换函数h 的平方模是很明确的。 假设1

10()N N k k k k P y C y --+==∑ 其中，1N k k C -+为二项式的系数，则有

22

20()(cos )(sin )22N m P ωωω= (3.20)

其中：

2100()N ik k k m h e ωω--==∑ 小波函数ψ和尺度函数φ的有效支撑长度为21N -，小波函数ψ的消失矩阶数为 N,且具有正交性。常用的Daubechies 小波函数有db4和db8两种小波。

§3.3.3 Morlet 小波

Morlet 函数定义为

2/2()cos5x x Ce x ψ-= (3.21) 它的尺度函数不存在，且不具有正交性。