一元三次方程求根公式推导过程

一元三次方程求根公式推导过程

一元三次方程的求根公式，即可利用一个公式求得该方程的三个根，可谓一个十分重要的数学公式。其公式的推导过程，虽繁琐，但也是有一定的规律可循的。本文将就这一推导过程，加以详述。

首先来看一元三次方程的一般形式：

$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$$

将该方程的左右两边分别平方，得到：

$$a^2x^6+2abx^5+2acx^4+b^2x^4+2bcdx^3+2acdx^2+cd^2x^2+2abdx +c^2=0$$

将上式两边同时乘以$4a^3$，得到：

$$4a^3x^6+8a^2bx^5+8a^2cx^4+4a^2b^2x^4+16a^2bcdx^3+16a^2acd x^2+4a^2cd^2x^2+8a^2abdx+4a^2c^2=0$$

将上式整理得到：

$$x^2(4a^3x^4+8a^2bx^3+8a^2cx^2+4a^2b^2x^2+16a^2bcdx+16a^2a cd)+c^2-4a^3d^2=0$$

设 $P =

4a^3x^4+8a^2bx^3+8a^2cx^2+4a^2b^2x^2+16a^2bcdx+16a^2acd$，则上式变为：

$$x^2P+c^2-4a^3d^2 = 0$$

再将上式整理得到：

$$x^2P+(frac{-b}{2a})^2-frac{1}{4a^2}(4ac-b^2)=0$$ 把上式分解因式，即有：

$$x^2+frac{-b}{2a}+frac{2ac-b^2}{4a^2P} = 0$$ 设$D = b^2-4ac$，

则上式可写为：

$$x^2+frac{-b}{2a}+frac{D}{4a^2P} = 0$$

将上式左右两边同时乘以$frac{1}{4a^2P}$，得到：

$$frac{x^2}{4a^2P}+frac{-b}{8a^3P}+frac{1}{16a^4P^2}D=0$$ 根据二次方程的求根公式，即有：

$$x=frac{-2a^2Ppmsqrt{8a^2Pb+D^2}}{4a^3P}$$

再将上式改写，即得最终的一元三次方程求根公式：

$$x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}-frac{2a^2P}{bpmsqrt{b^2-4ac }}$$

由此可见，一元三次方程求根公式，是通过繁琐的整理、变形，最终才得到的。这一公式在计算机科学、工程技术等领域，有着非常重要的应用价值。

综上所述，一元三次方程求根公式是一个重要数学公式，它的公式推导过程虽繁琐，但也有一定的规律可循。它不仅有广泛的应用价值，而且在学习数学的过程中，也有助于帮助学生们深入剖析解题的

思路，从而更好地理解数学的内涵。