平面解析几何初步一轮复习-(有答案)
第四章 平面解析几何初步 第1课时 直线的方程
1．倾斜角:对于一条与x 轴相交的直线,把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________．
斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k ＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．
2．过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式 ．若x 1＝x 2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°． 3．名称 方程 适用范围 斜截式 点斜式 两点式 截距式 一般式
例1. 已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2
3．④
当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点． 解：(1) －1 ⑵ 2或－2
1
⑶
31或－2 ⑷－23
⑸ 4
1
变式训练1.（1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150° （2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ）
A ．－3，4
B ．2，－3
C ．4，－3
D ．4，3
（3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ）
A ．7
B ．－
77 C ．77
D ．－7 （4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ．
解：（1）D ．提示：直线的斜率即倾斜角的正切值是－3
． （2）C ．提示：用斜率计算公式
12
12
y y x x --． （3）A ．提示：两直线的斜率互为相反数．
（4）2y ＋3x ＋1=0．提示：用直线方程的两点式或点斜式
典型例题 基础过关
例2. 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）. 求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 证明 方法一 ∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5）， ∴k AB =
1313-+=2,k BC =3
43
5--=2，∴k AB =k BC ，
∴A 、B 、C 三点共线.
方法二 ∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5）， ∴|AB|=25，|BC|=5，|AC|=35，
∴|AB|+|BC|=|AC|，即A 、B 、C 三点共线. 方法三 ∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5）， ∴AB =（2，4），BC =（1，2），∴AB =2BC . 又∵AB 与BC 有公共点B ，∴A 、B 、C 三点共线.
变式训练2. 设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.
证明 ∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB =k AC ，
∴c
a c a
b a b a --=--3
333，化简得a 2+ab+b 2=a 2+ac+c 2，
∴b 2-c 2+ab-ac=0，（b-c ）（a+b+c ）=0， ∵a 、b 、c 互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0. 例3. 已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1). 试求：
2
3
++x y 的最大值与最小值. 解： 由
2
3
++x y 的几何意义可知，它表示经过定点P （-2，-3）与曲线段AB 上任一点（x,y)的直线的斜率k,如图可知：k PA ≤k≤k PB , 由已知可得：A （1，1），B （-1，5）， ∴3
4≤k≤8， 故
23++x y 的最大值为8，最小值为3
4
. 变式训练3. 若实数x,y 满足等式(x-2)2+y 2=3，那么x
y
的最大值为 （ ） A.2
1
B.
3
3 C.
2
3
D.3
答案D
例4. 已知定点P(6, 4)与直线l 1:y ＝4x ，过点P 的直线l 与l 1交于第一象限的Q 点，与x 轴正半轴交于点M ．求使△OQM 面积最小的直线l 的方程． 解：Q 点在l 1: y ＝4x 上，可设Q(x 0，4x 0)，则PQ 的方程为：6
6
44400--=--x x x y 令y ＝0，得：x ＝
1500-x x (x 0>1)，∴ M(1
500-x x
，0)
∴ S △OQM ＝2
1·
1500-x x ·4x 0＝10·1
02
0-x x ＝10·[(x 0－1)＋1
1
0-x ＋2]≥40 当且仅当x 0－1＝1
1
0-x 即x 0＝2取等号，∴Q(2，8) PQ 的方程为：
6
26
484--=--x y ，∴x ＋y －10＝0
变式训练4.直线l 过点M(2，1)，且分别交x 轴y 轴的正半轴于点A 、B ，O 为坐标原点． (1)当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程； (2)当MB MA ?取最小值时，求直线l 的方程． 解：设l ：y －1＝k(x －2)(k ＜0) 则A(2－
k 1
，0)，B(0，1－2k) ①由S ＝2
1(1－2k)(2－
k 1)＝21(4－4k －k
1) ≥
2
1
???
?
????-?-+)1()4(24k k ＝4
当且仅当－4k ＝－
k 1，即k ＝－2
1
时等号成立 ∴△AOB 的面积最小值为4
此时l 的方程是x ＋2y －4＝0 ②∵|MA|·|MB|＝224411
k k
+?+ ＝
||)1(22k k +＝2??
?
???-+-)()1(k k ≥4 当且仅当－k ＝－
k
1
即k ＝－1时等号成立 此时l 的方程为x ＋y －3＝0
（本题也可以先设截距式方程求解）
1．直线方程是表述直线上任意一点M 的坐标x 与y 之间的关系式，由斜率公式可导出直线方程的五种形式．这五种形式各有特点又相互联系，解题时具体选取哪一种形式，要根据直线的特点而定．
2．待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一，用此方法求直线方程，要注意所设方程的适用范围．如：点斜式、斜截式中首先要存在斜率，截距式中横纵截距存在且不为0，两点式的横纵坐标不能相同等（变形后除处）．
3．在解析几何中,设点而不求,往往是简化计算量的一个重要方法.
4．在运用待定数法设出直线的斜率时，就是一种默认斜率存在，若有不存在的情况时，就会出现解题漏洞，此时就要补救：较好的方法是看图，数形结合来找差距.
第2课时 直线与直线的位置关系
（一）平面内两条直线的位置关系有三种________．
1．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定
2．当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系． （二）点到直线的距离、直线与直线的距离
1．P(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0 的距离为______________．
2．直线l 1∥l 2，且其方程分别为：l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0 l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则l 1与l 2的距离为 ．
（三）两条直线的交角公式
若直线l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，则 1．直线l 1到l 2的角θ满足 ．
2．直线l 1与l 2所成的角(简称夹角)θ满足 ．
（四）两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数．
（五）五种常用的直线系方程.
① 过两直线l 1和l 2交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不含l 2). ② 与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m (m≠b). ③ 过定点(x 0, y 0)的直线系方程为y －y 0＝k(x －x 0)及x ＝x 0.
④ 与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程设为Ax ＋By ＋m ＝0 (m≠C). ⑤ 与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程设为Bx －Ay ＋C 1＝0 (AB≠0). 例1. 已知直线l 1:ax+2y+6=0和直线l 2:x+(a-1)y+a 2-1=0, （1）试判断l 1与l 2是否平行； （2）l 1⊥l 2时，求a 的值.
解（1）方法一 当a=1时，l 1:x+2y+6=0, l 2:x=0,l 1不平行于l 2; 当a=0时，l 1:y=-3,
l 2:x-y-1=0,l 1不平行于l 2; 当a≠1且a≠0时，两直线可化为 l 1:y=-x a 2
-3,l 2:y=
x a
-11
-(a+1),
l 1∥l 2???
???+-≠--=-)1(3112a a a
，解得a=-1, 综上可知，a=-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行.
方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0，得a （a-1）-1×2=0， 由A 1C 2-A 2C 1≠0，得a(a 2-1)-1×6≠0,
∴l 1∥l 2??????≠?--=?--0
61)1(021)1(2
a a a a
???
???≠-=--6)1(0222a a a a ?a=-1,
故当a=-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. （2）方法一 当a=1时，l 1:x+2y+6=0,l 2:x=0, l 1与l 2不垂直，故a=1不成立.
当a≠1时，l 1:y=-2
a
x-3, l 2:y=
x a
-11
-(a+1), 由
???
??-2a ·
a
-11=-1?a=32.
方法二 由A 1A 2+B 1B 2=0，得a+2(a-1)=0?a=3
2.
变式训练1.若直线l 1：ax+4y-20=0，l 2：x+ay-b=0，当a 、b 满足什么条件时，直线l 1与l 2分别
相交？平行？垂直？重合？
解：当a=0时，直线l 1斜率为0，l 2斜率不存在，两直线显然垂直。
当a≠0时，分别将两直线均化为斜截式方程为：l 1：y= － a 4x+5，l 2：y= － 1a x+ b
a 。
（1）当－ a 4 ≠ － 1
a
，即a≠±2时，两直线相交。
（2）当－ a 4 = － 1a 且5≠ b
a 时，即a=2且b≠10或a= －2且b≠－10时，两直线平行。
（3）由于方程(－ a 4)(－ 1
a
)= －1无解，故仅当a=0时，两直线垂直。
（4）当－ a 4 =－ 1a 且5= b
a 时，即a=2且b=10或a= －2且b=－10时，两直线重合
例2. 已知直线l 经过两条直线l 1：x ＋2y ＝0与l 2：3x －4y －10＝0的交点，且与直线l 3：5x －2y ＋3＝0的夹角为4
π，求直线l 的方程．
解：由??
?=--=+0
104302y x y x 解得l 1和l 2的交点坐标为(2，－1)，因为直线l 3的斜率为k 3＝25
，l 与l 3
的夹角为
4
π
，所以直线l 的斜率存在. 设所求直线l 的方程为y ＋1＝k(x －2)．
则
tan
4π＝3
31kk k k +-＝
k
k 2
5125
+-＝1 ?
k ＝7
3或k ＝－3
7，故所求直线l 的方程为y ＋1＝－3
7(x －2)或y ＋1＝7
3(x －2)即7x ＋3y ＋
11＝0或3x －7y －13＝0
变式训练2. 某人在一山坡P 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l ，且点P 在直线l 上，l 与水平地面的夹角为α,tan α=2
1
.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC 最大（不计此人的身高）？
解 如图所示，建立平面直角坐标系，
则A （200，0），B （0，220），C （0，300）. 直线l 的方程为y=(x-200)tan α,则y=2
200
-x .
设点P 的坐标为（x,y ），则P （x, 2
200
-x ）(x ＞200).
由经过两点的直线的斜率公式
k PC =x
x x x 2800300
2200
-=--,
k PB =x
x x x 2640220
2200
-=
--.
由直线PC 到直线PB 的角的公式得
tan ∠BPC=
x
x x x x k k k k PC
PB PC
PB 2640·
280012160
·1--+=+- =
288
64016064
64016028864-?+=
?+-2
x
x x x x (x ＞200).
要使tan ∠BPC 达到最大，只需x+x
640
160?-288达到最小，由均值不等式
x+
x
640
160?-288≥2640160?-288,
当且仅当x=
x
640
160?时上式取得等号.
故当x=320时，tan ∠BPC 最大. 这时，点P 的纵坐标y 为y=
2
200
320-=60.
由此实际问题知0＜∠BPC ＜
2
π
,所以tan ∠BPC 最大时，∠BPC 最大.故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC 最大.
例3. 直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若A 、B 坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C 的坐标并判断△ABC 的形状．
解：因为直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线，所以CA 、CB 所在直线关于y ＝2x 对称，而A(－4, 2)关于直线y ＝2x 对称点A 1必在CB 边所在直线上 设A 1(x 1，y 1)则
?????
?
?-?=+-=?---2422
212)4(2
1111x y x y 得?
?
?-==24
11y x 即A 1(4, －2)
由A 1(4, －2)，B(3, 1)求得CB 边所在直线的方程为：3x ＋y －10＝0 又由??
?=-+=0
1032y x x
y
解得C(2, 4)
又可求得：k BC ＝－3，k AC ＝3
1
∴k BC ·k AC ＝－1，即△ABC 是直角三角形
变式训练3.三条直线l 1：x+y+a=0，l 2：x+ay+1=0，l 3：ax+y+1=0能构成三角形，求实数a 的取值范围。
解：a ∈R 且a≠±1，a≠-2（提示：因三条直线能构成三角形，故三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行且三线不共点。
（1）若l 1、l 2、l 3相交于同一点，则l 1与l 2的交点（-a-1，1）在直线l 3上，于是a(-a-1)+1+1=0，此时a=1或a= -2。
（2）若l 1∥l 2，则-1 = - 1
a ，a=1。
（3）若l 1∥l 3，则-1 = - a ，a=1。 （4）若l 2∥l 3，则- 1
a
= -a ，a= ±1。）
例4. 设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l ：3x －4y ＋4＝0上找一点p ，使PB PA +为最小，并求出这个最小值．
解：设点A 关于直线l 的对称点A'的坐标为(a ，b)，则由AA′⊥l 和AA′被l 平分，
则???
????=++?--?-=?+-0425423314
3
35b a a b 解之得a ＝3，b ＝－3，∴A′＝(3，－3)．∴(|PA|＋|PB|)min ＝|A′B|＝513
∵k A′B ＝
3
23
15-+＝－18 ∴A′B 的方程为y ＋3＝－18(x －3) 解方程组??
?--=+=+-)
3(1830443x y y x 得P(38
，3)
变式训练4：已知过点A （1，1）且斜率为－m(m>0)的直线l 与x 、y 轴分别交于P 、Q 两点，
过P 、Q 作直线2x ＋y ＝0的垂线，垂足分别为R 、S ，求四边形PRSQ 的面积的最小值． 解：设l 的方程为y －1＝－m(x －1)， 则P （1＋
m
1
，0），Q （0，1＋m ） 从则直线PR ：x －2y －
m
m 1
+＝0； 直线QS ：x －2y ＋2(m ＋1)＝0 又PR ∥QS ∴ | RS |＝
5
|1122|m m +
++＝5
123m m ++
又| PR |＝
5
2
2m +
，| QS |＝51+m
而四边形PRSQ 为直角梯形， ∴ S PRSQ ＝2
1×(51522+++
m m )×5
1
23m m +
+
＝5
1
(m ＋
m 1＋49)2－801≥51(2＋4
9
)2－801
＝3.6
∴ 四边形PRSQ 的面积的最小值为3.6．
1．处理两直线位置关系的有关问题时，要注意其满足的条件．如两直线垂直时，有两直线斜率都存在和斜率为O 与斜率不存在的两种直线垂直．
2．注意数形结合，依据条件画出图形，充分利用平面图形的性质和图形的直观性，有助于问题的解决．
3．利用直线系方程可少走弯路，使一些问题得到简捷的解法．
4．解决对称问题中，若是成中心点对称的，关键是运用中点公式，而对于轴对称问题，一般是转化为求对称点，其关键抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上，如例4
第3课时 线性规划
1．二元一次不等式表示的平面区域．
⑴ 一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界线，不等式Ax ＋By ＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界线．
⑵ 对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x 、y)使得Ax ＋By ＋C 的值符号相同．因此，如果直线Ax ＋By ＋C ＝0一侧的点使Ax ＋By ＋C>0，另一侧的点就使Ax ＋By ＋C<0，所以判定不等式Ax ＋By ＋C>0(或Ax ＋By ＋C<0)所表示的平面区域时，只要在直线Ax ＋By ＋C ＝0的一侧任意取一点(x 0，y 0)，将它的坐标代入不等式，如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域． ⑶ 由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
2．线性规划 ⑴ 基本概念 ① 设出所求的未知数；② 列出约束条件(即不等式组)；③ 建立目标函数；④ 作出可行域和目标函数的等值线；⑤ 运用图解法即平行移动目标函数等值线，求出最优解．（有些实际问题应注意其整解性） 例1. 若△ABC 的三个顶点为A(3，－1)，B(－1，1)，C(1，3)，写出△ABC 区域（含边界）表示的二元一次不等式组．
解：由两点式得AB 、BC 、CA 直线的方程并化简得AB ：x ＋2y －1＝0，BC ：x －y ＋2＝0，CA ：2x ＋y －5＝0
结合区域图易得不等式组为??
???≤-+≥+-≥-+052020
12y x y x y x
变式训练1： △ABC 的三个顶点为A(2，4)、B(－1，2)、C(1，0)，则△ABC 的内部(含边界)可用二元一次不等式组表示为 ．
??
?
??≥-+≤--≥+-010440832y x y x y x
例2. 已知x 、y 满足约束条件 ??
??
?≥+
+≤-+≤--010401170
2357y x y x y x 分别求： ⑴
z ＝2x ＋y
⑵ z ＝4x －3y
⑶ z ＝
x 2+y 2的最大值、最小值？
解：其中A(4，1)， B(－1，－6)， C(－3，2)
(1) 作与直线2x ＋y ＝0平行的直线l 1：2x ＋y ＝t ，则当l 1经过点A 时，t 取最大，l 1经过点B 时，t 取最小．
∴z max ＝9 z min ＝－13
(2) 作与直线4x －3y ＝0平行的直线l 2：4x －3y ＝t ，则当l 2过点C 时，t 最小，l 2过点B 时，t 最大．
∴z max ＝14 z min ＝－18
(3) 由z ＝x 2＋y 2，则z 表示点(x ，y)到(0，0)的距离，结合不等式组表示的区域．知点B 到原点的距离最大，当(x ，y)为原点时距离为0．∴z max ＝37 z min ＝0 变式训练2：给出平面区域如下图所示，目标函数t ＝ax －y ，
(1) 若在区域上有无穷多个点(x ，y)可使目标函数t 取得最小值，求此时a 的值． (2) 若当且仅当x ＝3
2，y ＝5
4时，目标函数t 取得最小值，求实数a 的取值范围？
解：(1)由t ＝ax －y 得y ＝ax －t 要使t 取得最小时的(x ，y)有无穷多个， 则y ＝ax －t 与AC 重合．
∴a ＝k AC ＝13
20
54--＝－512
(2)由K AC < a< K BC 得－
512< a<－10
3. 例3. 某木器厂生产圆桌子和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种72立方米，第二种有56
立方米，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需用第一种木料0.18立方米，第二种木料0.08立方米，可获利润6元，生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，第二种0.28立方米，可获利10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少才能使所获利润最多？
解：设圆桌和衣柜的生产件数分别为x 、y ，所获利润为z ，则：
?????
?
?≥≥≤+≤+0
056
28.008.07209.018.0y x y x y x 即 ???
????
≥≥≤+≤+0
01400728002y x y x y x
则z ＝6x ＋10y 作出可行域如图． 由?
?
?=+=+140072800
2y x y x
x )
得 ?
?
?==100350
y x 即M(350，100)
由图可知，当直线l ：6x ＋10y ＝0平移到经过点M(350，100)时，z ＝6x ＋10y 最大，即当x ＝350，y ＝100时，，z ＝6x ＋10y 最大．
变式训练3：某厂要生产甲种产品45个，乙种产品55个，可用原料为A 、B 两种规格的金属板，每张面积分别为2m 2和3m 2，用A 种可造甲种产品3个和乙种产品5个，用B 种可造甲、乙两种产品各6个．问A 、B 两种产品各取多少块可保证完成任务，且使总的用料(面积)最小． 解：设A 种取x 块，B 种取y 块，总用料为z m 2，则
??
?≥+≥+55
6545
63y x y x z ＝2x ＋3y (x 、y ∈N) 可行域如图：
最优解为A(5，5)，x ＝5，y
min ，即A 、B 两种各取5块时可保证完成任务，且总的用料
(面积)最省为25m 2．
例4. 预算用2000元购买单价为50元桌子和20元的椅子，希望桌子的总数尽可能的多，但解：椅子的总数不能少于桌子的总数，但不多于桌子数的1.5倍，问桌椅各买多少才合适？ 设桌椅分别买x 、y 张，由题意得：
?????
??
??≤+≤≤≥≥2000
20505.100y x x
y y
x y x 由 ???=+=20002050y x y x 解得：??????
?
==7200
7200y x ∴ 点A(7200，7200) 由???=+=200020505.1y x x y 解得??
??
?==27525y x ∴ 点B(25，
2
75
) 满足以上不等式组表示的区域是以A 、B 、O 为顶点的△AOB 及内部设x ＋y ＝z ，即y ＝－x ＋z ；当直线过点B 时，即x ＝25，y ＝
2
75
，z 最大．∵ y ∈z ，∴y ＝37 ∴买桌子25张，椅子37张是最优选择．
变式训练4：A 1、A 2两煤矿分别有煤8万吨和18万吨，需通过外运能力分别为20万吨和16万吨的B 1、B 2两车站外运，用汽车将煤运到车站，A 1的煤运到B 1、B 2的运费分别为3元/吨和5元/吨，A 2的煤运到B 1、B 2的运费分别为7元/吨和8元/吨，问如何设计调运方案可使总运费最少？
解：设A 1运到B 1 x 万吨，A 2运到B 1 y 万吨，总运费为z 万元，则A 1运到B 2(8－x)万吨，A 2运到B 2(18－y)万吨，z ＝3x ＋5(8－x)＋7y ＋8(18－y) ＝184－2x －y ，x 、y 满足
?????
?
?≤≤≤≤≤-+-≤+18
08016
)18()8(20y x y x y x 可行域如图阴影部分．
当x ＝8时，y ＝12时，z min ＝156
即A 1的8万吨煤全运到B 1，A 2运到12万吨运到B 1，剩余6万吨运到B 2，这时总运费最少为156万元．
1．二元一次不等式或不等式组表示的平面区域：① 直线确定边界；② 特殊点确定区域． 2．线性规划实际上是“数形结合”的数学思想的体现，是一种求最值的方法． 3．把实际问题抽象转化为数学问题是本节的重难点，求解关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．而在考虑约束条件时，除数学概念的条件约束外，还要深入其境、考虑实际意义的约束．
4．解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图尽可能精确，图上操作尽可能规范。但最优点不易辨别时，要逐一检查
小结归纳
第4课时 曲线与方程
、
1．直接法求轨迹的一般步骤：建系设标，列式表标，化简作答（除杂）．
2．求曲线轨迹方程，常用的方法有：直接法、定义法、代入法（相关点法、转移法）、参数法、交轨法等．
例1. 如图所示，过点P （2，4）作互相垂直的直线l 1、l 2.若l 1交x 轴于A ，l 2交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程. 解 ：设点M 的坐标为（x,y ）, ∵M 是线段AB 的中点， ∴A 点的坐标为（2x,0），B 点的坐标为（0，2y ）. ∴PA =（2x-2，-4），PB =（-2，2y-4）.
由已知PA ·PB =0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0， 即x+2y-5=0.
∴线段AB 中点M 的轨迹方程为x+2y-5=0.
变式训练1：已知两点M （-2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN ||MP |+
MN ·
NP =0，求动点P （x ，y ）的轨迹方程. 解 由题意：MN =（4，0），MP =（x+2,y ）,
NP =（x-2,y ）,
∵|MN ||MP |+MN ·
NP =0， ∴2
2
04+·2
2
)2(y x +++（x-2）·4+y·0=0，
两边平方，化简得y 2=-8x.
例2. 在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ??
? ??-0,2
a
,C ??
?
??0,2
a 且满足条件sinC-sinB=2
1sinA,
则动点A 的轨迹方程是
（ ） A.2
2
22151616a y a x -=1 (y≠0)
B.22
2231616a
x a y -=1 (x≠0)
C.2
2
22151616a y a x -=1（y≠0）的左支
D.22
2231616a
y a x -=1（y≠0)的右支
答案D
变式训练2：已知圆C 1：(x+3)2+y 2=1和圆C 2：（x-3）2+y 2=9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.
解 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B ，根据两圆外切的充要条件，
典型例题 基础过关
得
|MC 1|-|AC 1|=|MA|， |MC 2|-|BC 2|=|MB|. 因为|MA|=|MB|，
所以|MC 2|-|MC 1|=|BC 2|-|AC 1|=3-1=2.
这表明动点M 到两定点C 2，C 1的距离之差是常数2.
根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支（点M 到C 2的距离大，到C 1的距离小），这里a=1,c=3,则b 2=8,设点M 的坐标为（x,y ）,其轨迹方程为x 2-8
2
y =1 (x≤-1). 例3. 如图所示，已知P （4，0）是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点， 且满足∠APB=90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 解 设AB 的中点为R ，坐标为（x 1，y 1），Q 点坐标为（x ，y ）， 则在Rt △ABP 中， |AR|=|PR|，
又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理有
Rt △OAR 中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（2
1
2
1
y x +）.
又|AR|=|PR|=2
1
2
1
)4(y x +-，
所以有（x 1-4）2+2
1
y =36-（2
1
2
1
y x +）. 即2
1
2
1
y x +-4x 1-10=0.
因为R 为PQ 的中点， 所以x 1=
24
+x ，y 1=2
0+y .
代入方程2
1
2
1
y x +-4x 1-10=0，得
42242
2
-??
?
??+??? ??+y x ·24+x -10=0.
整理得x 2+y 2=56.
这就是Q 点的轨迹方程.
变式训练3：设F （1，0），M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN =2MP ，PM ⊥PF ，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程. 解 设M （x 0，0），P （0，y 0），N （x ，y ）， 由MN =2MP 得（x-x 0，y ）=2（-x 0，y 0），
∴,22000???=-=-y y x x x 即.2100??
?
??=-=y
y x x ∵PM ⊥PF ,PM =(x 0,-y 0), PF =(1,-y 0),
∴(x 0,-y 0)·（1，-y 0）=0,∴x 0+20
y =0.
∴-x+4
2
y =0,即y 2=4x.故所求的点N 的轨迹方程是y 2=4x.
小结归纳
1．直接法求轨迹方程关键在于利用已知条件，找出动点满足的等量关系，这个等量关系有的可直接利用已知条件，有的需要转化后才能用．
2．回归定义是解决圆锥曲线轨迹问题的有效途径．
3．所求动点依赖于已知曲线上的动点的运动而运动，常用代入法求轨迹．
第5课时 圆的方程
1． 圆心为C(a 、b)，半径为r 的圆的标准方程为_________________．
2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D 2＋E 2－4F>0)，圆心为 ，半径r ＝ ．
3．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的方程的充要条件是 ．
4．圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的参数方程为_________．x 2＋y 2＝r 2的参数方程为________________．
5．过两圆的公共点的圆系方程：设⊙C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，⊙C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则经过两圆公共点的圆系方程为 ．
例1. 根据下列条件，求圆的方程．
(1) 经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上． (2) 经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长为6． 解：(1)∵AB 的中垂线方程为3x ＋2y －15＝0 由??
?=++=-+0910301523y x y x 解得 ?
??-==37
y x
∴圆心为C(7，－3)，半径r ＝65
故所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65
(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 将P 、Q 两点坐标代入得
?
?
?-=+-=--②F E D ①
F E D 1032042 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0
由弦长|x 1－x 2|＝6得D 2－4F ＝36 ③
解①②③可得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0 变式训练1：求过点A （2，－3），B （－2，－5），且圆心在直线x －2y －3=0上的圆的方程． 由A （2，－3），B （－2，－5），得直线AB 的斜率为k AB =
－5－(－3)－2－2
= 1
2 ,
线段AB 的中点为（0，－4），线段AB 的中垂线方程为y ＋4=－2x,即y ＋2x ＋4=0,
解方程组240230x y x y ++=??--=?得1
2x y =-??=-?
∴圆心为（－1，－2），根据两点间的距离公式，得半径r=(2+1)2＋(－3＋2)2 =10
所求圆的方程为（x ＋1)2＋(y ＋2)2=10
例2. 已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径. 解 方法一 将x=3-2y,
典型例题 基础过关
代入方程x 2+y 2+x-6y+m=0, 得5y 2-20y+12+m=0.
设P （x 1,y 1）,Q(x 2,y 2),则y 1、y 2满足条件： y 1+y 2=4,y 1y 2=
.5
12m
+ ∵OP ⊥OQ,∴x 1x 2+y 1y 2=0. 而x 1=3-2y 1,x 2=3-2y 2. ∴x 1x 2=9-6(y 1+y 2)+4y 1y 2.
∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为???
??-32
1，
,半径r=2
5.
方法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ， ∵O 1M ⊥PQ ，∴21=M
O k .
∴O 1M 的方程为:y-3=2??
? ?
?
+21x ,
即：y=2x+4. 由方程组.
324
2??
?=-++=y x x y
解得M 的坐标为（-1，2）.
则以PQ 为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r 2.
∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上. ∴（0+1）2+（0-2）2=r 2，即r 2=5,MQ 2=r 2. 在Rt △O 1MQ 中，O 1Q 2=O 1M 2+MQ 2.
∴+??? ??+-2
121(3-2)2
+5=
44)6(12m --+
∴m=3.∴半径为2
5,圆心为??
?
??-3,21.
方法三 设过P 、Q 的圆系方程为 x 2+y 2+x-6y+m+λ(x+2y-3)=0.
由OP ⊥OQ 知，点O （0，0）在圆上. ∴m-3λ=0，即m=3λ. ∴圆的方程可化为
x 2+y 2+x-6y+3λ+λx+2λy-3λ=0 即x 2+(1+λ)x+y 2+2(λ-3)y=0. ∴圆心M ??
?
??-+-2)3(221λλ，，又圆在PQ 上.
∴-2
1λ
++2（3-λ）-3=0， ∴λ=1，∴m=3.
∴圆心为??
?
??-3,21，半径为2
5.
变式训练2：已知圆C ：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m ∈R ). （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交；
（2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.
（1）证明 直线l 可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,
即不论m 取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点. 两方程联立，解得交点为（3，1）， 又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25, ∴点（3，1）在圆内部，
∴不论m 为何实数，直线l 与圆恒相交.
（2）解 从（1）的结论和直线l 过定点M （3，1）且与过此点的圆C 的半径垂直时，l 被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得
|AB|=22
2
CM r -=.54]）21（）13（
[2522
2
=-+-- 此时，k t =-
CM
k 1,从而k t =-3
1121
--=2.
∴l 的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.
例3. 知点P （x ，y ）是圆(x+2)2+y 2=1上任意一点.
（1）求P 点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值； （2）求x-2y 的最大值和最小值； （3）求
1
2
--x y 的最大值和最小值.
解 （1）圆心C （-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为 d=
5
64
312
04)2(32
2
=
++?+-?.
∴P 点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为 d+r=5
6+1=
5
11，最小值为d-r=56-1=51.
（2）设t=x-2y,
则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y 2=1有公共点. ∴
2
2
2
12+--t ≤1.∴-5-2≤t≤5-2，
∴t max =5-2，t min =-2-5.
（3）设k=
1
2
--x y ，
则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y 2=1有公共点， ∴
1
232
++-k k ≤1.∴
433-≤k≤4
3
3+,
∴k max =
433+，k min =4
33-.
变式训练3：已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x+1=0. （1）求y-x 的最大值和最小值； （2）求x 2+y 2的最大值和最小值.
解 （1）y-x 可看作是直线y=x+b 在y 轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，纵截距b 取得
最大值或最小值，此时
,32
02=+-b
，解得b=-2±6.
所以y-x 的最大值为-2+6，最小值为-2-6.
（2）x 2+y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.
又圆心到原点的距离为2
2
）00（）02（-+
-=2， 所以x 2+y 2的最大值是（2+3）2=7+43， x 2
+y 2
的最小值是（2-3）2
=7-43.
例4. 设圆满足：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在
满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l ：x －2y=0的距离最小的圆的方程。
解法一设圆的圆心为P （a,b),半径为r ，则点P 到x 轴y 轴的距离分别为∣b ∣、∣a ∣。 由题设条件知圆P 截x 轴所得的劣弧所对的圆心角为90°，圆P 截x 轴所得的弦长为 2 r ，故r 2=2b 2．
又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有r 2=a 2＋1,从而得2b 2=a 2＋1． 点P 到直线x －2y=0的距离为25
a b -∴5d 2=(a －2b)2=a 2＋4b 2－4ab= 2a 2＋2b 2－4ab ＋1=2(a －b)2＋1≥1 当且仅当a=b 时取等号，此时，5d 2=1, d 取得最小值．
由a=b 及2b 2=a 2＋1得11
11
a a
b b ==-????==-??或，进而得r 2=2 所求圆的方程为（x －1)2＋(y －1)2=2或（x ＋1)2＋(y ＋1)2=2 解法二同解法一，得25
a b -a －2b= ±5 d
a 2=4
b 2±4 5 bd ＋5d 2,将a 2=2b 2－1代入整理得2b 2±4 5 bd ＋5d 2＋1=0 （※） 把（※）看成关于b 的二次方程，由于方程有实数根，故△≥0即 8（5d 2－1)≥0, 5d 2≥1可见5d 2有最小值1，从而d 有最小值
5
5
，将其代入（※）式得2b 2±4b ＋2=0, b= ±1, r 2=2b 2=2, a 2=2b 2－1=1, a= ±1 由∣a －2b ∣=1知a 、b 同号
故所求圆的方程为（x －1)2＋(y －1)2=2或（x ＋1)2＋(y ＋1)2=2
变式训练4：如图，图O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2＝4，过动点P 分别作圆O 1和圆O 2的切线PM 、PN(M 、N 为切点)，使得PM ＝2PN ，试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．
解：以O 1、O 2的中点为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴， 建立平面直角坐标系，则O 1(－2, 0)、O 2(2, 0)．如图：
由PM ＝2PN 得PM 2＝2PN 2
∴ PO 12－1＝2(PO 22－1)，设P(x ，y) ∴ (x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]
即(x －6)2＋y 2＝33为所求点P 的轨迹方程．
1．本节主要复习了圆的轨迹方程，要明确：必须具备三个独立条件，才能确定一个圆的方程． 2．求圆的方程时一般用待定系数法：若已知条件与圆心、半径有关，可先由已知条件求出圆的半径，用标准方程求解；
若条件涉及过几点，往往可考虑用一般方程；
若所求的圆过两已知圆的交点，则一般用圆系方程．
3．求圆方程时,若能运用几何性质,如垂径定理等往往能简化计算． 4．运用圆的参数方程求距离的最值往往较方便．
5．点与圆的位置关系可通过点的坐标代入圆的方程或点与圆心之间的距离与半径的大小比较来确定.
(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总
第8章 第1节 一、选择题 1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A. 2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A [解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A. (理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1 [答案] A [解析] y′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ， 因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2) D ．(2，－2) [答案] D [解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则
????? x －12－y ＋12－1＝0 y －1x ＋1＝－1，解之得????? x ＝2y ＝－2， 特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称 点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B . 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[－1,0] D ．[－2,0] [答案] D [解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题， ∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1kOD ≥－2，且k<0， 又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0. 5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞) C.??? ?－∞，43∪(10，＋∞) D.??? ?43，10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43 平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角α的范围0 0180α≤< （2 ）经过两点 的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。特别地，当直线 12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线 一般式 A ， B ， C 为系数 无限制，可表示任何位置的直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是 ，两条直线的 交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解 就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点 间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线 间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 直线的参数方程 〖例1〗已知直线的斜率k=-cos α (α∈R ).求直线的倾斜角β的取值范围。 思路解析：cos α的范围→斜率k 的范围→tan β的范围→倾斜角β的取值范围。 平面解析几何解题思路探究 台山培英中学 梁达辉 在平面解析几何学习中，许多同学感觉到对所学的基本概念已经理解，基本公式已经熟练，但解题时却力不从心，无从入手。究其原因：一是在学习中没有注意总结归纳基本题型及其解法；二是对老师归纳过的一些解法未能内化；三是缺乏对解题策略的探究。下面结合平面解析几何直线部分的内容介绍一些基本题型及其解决法。 1、关于求点P 分有几或段P 1P 2 所成的比例的问题 基本思路是：先定符号，再求数值。解题时一般要根据已知条件画出线段P 1P 2，在P 1P 2所在直线在打到分点P 的位置，并确定入的正负性，再根据P 1、P 、P 2之间的长度关系或坐标关系计算出的值，例如：已知A 、B 、C 三点共线，点C 分AB 的比为-3，求点B 分AC 所成的比。 解:（图略）设点B 分AC 所成的比为λ 点C 分AB 所成的比为点C 在AB 的延长线上 B 在线段AC 上 λ＞0 AC=-3CB |AC|=3|CB| |AB|=2|BC| AB=λBC |AB|=|λ||BC| |∵λ＞0 ∴λ=2 2、关于判断线证明平面内三点共线问题 一般方法有： （1）用分点坐标公式：λ= =只要根据三点坐标 分别求出和的值，相等则共线，否则不共线 （2）用两点间距离公式：由三点坐标计真算每两点间的距离，若最大的距离等于另两个较小距离之和，则这三点共线，否则不共线。 （3）用斜率公式：分别计真其中一点与另两点连线的斜率，若两斜率相等或两斜率都不存在，则这三点共线，否则不共线。 （4）用直线的方程：求出经过其中两点的直线方程，再判断另一点的坐标是否满足该直线方程，若满足，则这三点共线，若不满足，则这三点不共线。 3、求一点P（X o ，Y o ）关于一直线AX+By+C=O的对称点问题 （1）若直线为特殊直线Y=X，Y=-X，X轴，Y轴时，则对称点的坐标分别 为（Y 0，X O ），（-Y O ，-X O ）、（X O ，-Y O ）、（-X O ，Y O ）。 （2）当直线AX+BY+C=O一般直线时，可设对称点的坐标为：P1（X1 Y1），建立方程组 · =-1 A + +C=0 平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ; 平面解析几何初步测试题 一、选择题:(包括12个小题，每题5分,共60分) １．已知直线l 过（１,2),（１，3),则直线l 的斜率（) A. 等于0 B ． 等于1 C ． 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是( ） Ａ．1 B ．-1 C ．０ D.７ 3. 已知A （x 1，y 1)、Ｂ（ｘ2,y 2）两点的连线平行y 轴,则｜ＡB ｜=（ ) Ａ、｜x 1－x 2|B 、|y 1-y 2|Ｃ、 x 2-ｘ1D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >，且0bc <,直线0ax by c ++=不通过( ) A.第三象限Ｂ.第一象限 Ｃ．第四象限Ｄ．第二象限 5. 经过两点（3,９）、（-1，1）的直线在ｘ轴上的截距为（) A.23- B ．32- C ．32 D ．２ 6.直线2x －y=７与直线３ｘ+2ｙ-7＝0的交点是（ ） A (3,-１) B (－１，3) C (-3，-1) D (３,１) 7．满足下列条件的1l 与2l ,其中12l l //的是（ ） (1)1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，; （２)1l 经过点(33)P ，,(53)Q -，,2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点; (３)1l 经过点(10)M -，，(52)N --，,2l 经过点(43)R -，，(05)S ，． A.(1)（2)B ．(２)(３) Ｃ.(1)(3)D.(１）(２）（3) ８．已知直线01:1=++ay x l 与直线22 1:2+=x y l 垂直,则a 的值是( ) Ａ 2 B －２ Ｃ．21 D ．2 1- ９. 下列直线中,与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1y x =- 高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(21121 2=≠--= k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1 =+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式： B C x B A y - - =，即，直线的斜率： B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直 线一般不重合． 2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》 复习试卷及答案解析 一、选择题 1．已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A ．长轴长为12 B ．焦距为34 C ．短轴长为14 D ．离心率为 32 答案 D 解析 由椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得 x 2116＋y 214 ＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34 ， 长轴2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴2b ＝12， 离心率e ＝c a ＝32 .故选D. 2．双曲线x 23－y 2 9 ＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±13x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33 x 答案 C 解析 因为x 23－y 2 9 ＝1， 所以a ＝3，b ＝3，渐近线方程为y ＝±b a x ， 即为y ＝±3x ，故选C. 3．已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R )与抛物线x 2＝8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±3x C ．y ＝±13 x D ．y ＝±33x 答案 A 解析 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)， ∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13 ， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A. 4．(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和直线l ：x 4＋y 3 ＝1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，则椭圆C 的离心率为( ) A.45 B.35 C.34 D.15 答案 A 解析 直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以b c ＝34 ， 又b 2＋c 2＝a 2?????34c 2＋c 2＝a 2?2516c 2＝a 2， 所以e ＝c a ＝45 ，故选A. 5．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2 b 2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．[2，＋∞) C ．(1，3] D ．[3，＋∞) 答案 A 解析 双曲线x 2－y 2 b 2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即 2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A. 6．(2019·河北武邑中学调研)已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k 等于( ) A.13 B.23 C.23 D.223 答案 D 解析 由????? y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得 k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， Δ＝(4k 2－8)2－16k 4>0，又k >0，解得0 1. 以点A （-5,4）为圆心，且与x 轴的相切的圆标准方程是（ ） A.16)4()5(22=-++y x B.16)4()5(22=++-y x C. 25)4()5(22=-+-y x D. 25)4()5(22=+--y x 2.与椭圆 133 492 2 =+ y x 有公共焦点且离心率为3 4= e 的双曲线的标准方程为（ ） A. 1972 2 =- y x B. 19252 2 =- y x C. 179 2 2 =- y x D. 125 9 2 2 =- y x 3.当方程 15 8 2 2 =-+ -k y k x 表示焦点在y 轴上的双曲线时，k 的值是（ ） A.k<5 B.5 2019年高考数学平面解析几何的复习方法 总结 在高中数学知识体系中，平面解析几何是其中很大的一块，涉及到直线及其方程、线性规划、圆及其方程、椭圆及其方程、抛物线及其方程、双曲线及其方程以及曲线与方程的关系及其图像等具体的知识点。在高考的考查中，又可以将上述的7个知识点进行综合考查，更是增加了考查的难度。要想学好这部分知识，在高考总不丢分，以下几点是很关键的。 突破第一点，夯实基础知识。 对于基础知识，不仅一个知识点都要熟稔于心，还要有能力将这些零散的知识点串联起来。只有这样，才能形成属于自己的知识框架，才能更从容的应对考试。 (一)对于直线及其方程部分，首先我们要从总体上把握住两突破点：①明确基本的概念。在直线部分，最主要的概念就是直线的斜率、倾斜角以及斜率和倾斜角之间的关系。倾斜角α的取值范围是突破[0，π)，当倾斜角不等于90°的时候，斜率k=tanα;当倾斜角=90°的时候，斜率不存在。②直线的方程有不同的形式，同学们应该从不同的角度去归类总结。角度一：以直线的斜率是否存在进行归类，可以将直线的方程分为两类。角度二：从倾斜角α分别在[0，π/2)、α=π/2和(π/2，π)的范围内，认识直线的特点。以此为基础突破，将直线方程的五种不同的形式套入其中。直线方程的不同形式突破需要满足的条件以及局限性是不同的，我们也要加以总结。 (二)对于线性规划部分，首先我们要看得懂线性规划方程组所表示的区域。在这里我们可以采用原点法，如果满足条件，那么区域包含原点;如果原点带入不满足条件，那么代表的区域不包含原点。 (三)对于圆及其方程，我们要熟记圆的标准方程和一般方程分别代表的含义。对于圆部分的学习，我们要拓展初中学过的一切与圆有关的知识，包括三角形的内切圆、外切圆、圆周角、圆心角等概念以及点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、圆的内切正多边形的特征等。只有这样，才能更加完整的掌握与圆有关的所有的知识。 (四)对于椭圆、抛物线、双曲线，我们要分别从其两个定义出发，明白焦点的来源、准线方程以及相关的焦距、顶点、突破离心率、通径的概念。每种圆锥曲线存在焦点在X轴和Y轴上的情况，要分别进行掌握。 突破第二点，学习基本解题思想。 对于平面几何部分的学习，最基本的解题思想就是数形结合，还包括函数思想、方程思想、转化思想等。要想掌握数形结合这种思想方法，首先同学们心中要有坐标轴，要掌握好学过的各种平面几何的概念。其次，要掌握解决不同问题的方法。对于不同的题型，同学们要掌握不同的解题方法，并将这种解题方法及其例题记录在笔记本上。对于向量方法，最长用的地方就解决与斜率有关的问题;对于“设而不求”的方法，最常用到的地方就是两种不同的平面几何图形相交的情况下求弦长的问题;设点法，最长用到的地方就是两种曲线相切以及求最值得问题等。同学们要分门别类的进行总结，才能达到事半功倍的效 直线测试题 一．选择题（每小题5分共40分） 1. 下列四个命题中的真命题是（ ） A.经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示； B.经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程 （y －y 1）·（x 2－x 1）=（x －x 1）（y 2－y 1）表示； C.不经过原点的直线都可以用方程 1=+b y a x 表示； D.经过定点A （0， b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示。 【答案】B 【解析】A 中过点P 0（x 0，y 0）与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y －y 0=k （x －x 0）表示，因为其斜率k 不存在；C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b （b ≠0）或x =a （a ≠0）不能用方程b y a x +=1表示；D 中过A （0， b ）的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示. 评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 2. 图1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ） A.k 1＜k 2＜k 3 B.k 3＜k 1＜k 2 C.k 3＜k 2＜k 1 D.k 1＜k 3＜k 2 【答案】D 【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2、α3 均为锐角， 且α2＞α3，所以k 2＞k 3＞0，因此k 2＞k 3＞k 1，故应选D. 3. 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是（ ） A. A 1A 2＋B 1B 2＝0 B.A 1A 2－B 1B 2＝0 C.12121-=B B A A D.2 121A A B B =1 【答案】A 【解析】法一：当两直线的斜率都存在时，－ 11B A ·（2 2B A -）＝－1，A 1A 2＋B 1B 2＝0. 当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，???==???==0 001221B A B A 或， 平面解析几何 一．直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线 重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α ,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式： )(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式： 1 21 121x x x x y y y y --= -- ( 12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和 y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式： 1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ） ． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式： 0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为 00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111: l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111 =++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121 //C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，2 212212 1)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离： A B x x AB -=． 线段2 1P P 的中点是),(00y x M ，则??? ???? +=+=22 2 10210y y y x x x ． 第四章 平面解析几何初步 第1课时 直线的方程 1．倾斜角:对于一条与x 轴相交的直线,把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________． 斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k ＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在． 2．过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式 ．若x 1＝x 2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°． 3．名称 方程 适用范围 斜截式 点斜式 两点式 截距式 一般式 例1. 已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2 3．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点． 解：(1) －1 ⑵ 2或－2 1 ⑶ 31或－2 ⑷－23 ⑸ 4 1 变式训练1.（1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° （2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ） A ．－3，4 B ．2，－3 C ．4，－3 D ．4，3 （3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ） A ．7 B ．－ 77 C ．77 D ．－7 （4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ． 解：（1）D ．提示：直线的斜率即倾斜角的正切值是－3 ． （2）C ．提示：用斜率计算公式 12 12 y y x x --． （3）A ．提示：两直线的斜率互为相反数． （4）2y ＋3x ＋1=0．提示：用直线方程的两点式或点斜式 典型例题 基础过关 平面解析几何初步测试题 一、选择题：（包括12个小题，每题5分，共60分） 1．已知直线l 过（1，2），（1，3），则直线l 的斜率（ ） A. 等于0 B. 等于1 C. 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．7 3. 已知A （x 1,y 1）、B （x 2，y 2）两点的连线平行y 轴，则|AB|=（ ） A 、|x 1-x 2| B 、|y 1-y 2| C 、 x 2-x 1 D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >，且0bc <，直线0ax by c ++=不通过（ ） Ａ．第三象限 Ｂ．第一象限 Ｃ．第四象限 Ｄ．第二象限 5. 经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．23 - B ．32- C ．32 D ．2 6．直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7．满足下列条件的1l 与2l ，其中12l l //的是（ ） （１）1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，； （２）1l 经过点(33)P ，，(53)Q -，，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点； （３）1l 经过点(10)M -，，(52)N --，，2l 经过点(43)R -，，(05)S ，． Ａ．（１）（２） Ｂ．（２）（３） Ｃ．（１）（３） Ｄ．（１）（２）（３） 8.已知直线01:1=++ay x l 与直线221 :2+=x y l 垂直，则a 的值是（ ） A 2 B －2 C ．21 D ．21 - 9. 下列直线中，与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1 y x =- 平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角α的范围000180α≤< （2）经过两点的直线的斜率公式 是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。特别地， 当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率 之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线 一般式A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是，两条 直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条 直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平 行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用 公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知 112233 (,),(,),(,), A x y B x y C x y若 123AB AC x x x k k === 或，则有A、B、C三点共 线。 注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 高考数学：平面解析几何知识点 1．数量积表示两个向量的夹角 【知识点的知识】 我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ＝．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了． 【典型例题分析】 例：复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°． 解：＝＝＝＝＝cos60°+i sin60°． ∴复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°． 故答案为：60°． 点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，﹣1）的夹角． 【考点点评】 这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握． 2．直线的一般式方程与直线的性质 【直线的一般式方程】 直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0． 【知识点的知识】 1、两条直线平行与垂直的判定 对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有： （1）l1∥l2?k1＝k2；（2）l1⊥l2?k1?k2＝﹣1． 2、直线的一般式方程： （1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0） 化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线． （2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C ＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0． （3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： ①l1⊥l2?A1A2+B1B2＝0； ②l1∥l2?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0； ③l1与l2重合?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0； ④l1与l2相交?A1B2﹣A2B1≠0． 如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2?；l1与l2重合?；l1与l2相交?． 3．圆的标准方程 【知识点的认识】 1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径． 2．圆的标准方程： （x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）， 其中圆心C（a，b），半径为r． 特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为： x2+y2＝r2． 其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 【解题思路点拨】 已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下： （1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2； （2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组； （3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可． 1．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切； (2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程． 2．设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜 率为 2 2 ，求椭圆的方程． 3．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q， 证明：AQ⊥BQ . 4．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝20 3 ，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离心率为 2 2 ，若圆与椭圆相交于A、B， 且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程． 5．已知m 是非零实数，抛物线)0(2:2 >=p px y C 的焦点F 在直线2 :02 m l x my --=上. （I ）若m=2，求抛物线C 的方程 （II ）设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，F AA 1?，F BB 1?的重心分别为G,H. 求证：对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外。 6． (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB | ＝8，动点P 满足AP u u u r ＝35 PB u u u r ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一 点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值． 7．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系． 平面解析几何知识点总结 直线方程 1．直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 和x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0°，180°)． 2．直线的斜率 (1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π 2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率 通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α. (2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1 . (3) 直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系 每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下： 3．直线方程的五种形式 4． 说明：k 1＝k 2，且b 1≠b 2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合． 5．利用一般式方程系数判断平行与垂直 设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， l 1∥l 2?A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0. l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝0. 6．三种距离公式 (1)两点间距离公式 点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离：|AB |＝ (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)点到直线的距离公式 点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝ |Ax 0＋By 0＋C | A 2＋ B 2 . 说明：求解点到直线的距离时，直线方程要化为一般式． (3)两平行线间距离公式 两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0 (C 1≠C 2)间的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2 . 说明：求解两平行线间距离公式时，两直线x ，y 前系数要化为相同． 圆的方程 1．圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径． 2. 圆的标准方程 (1) 以(a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． (2) 特殊的，以(0，0)为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2． 3. 圆的一般方程 方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为????x ＋D 22 ＋????y ＋E 22 ＝D 2＋E 2 －4F 4 . (1) 当 D 2＋ E 2－4 F >0 时，方程表示以????－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2 为半径的圆； (2) 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点????－D 2 ，－E 2；平面解析几何 经典题(含答案)
平面解析几何解题思路探究
高中数学平面解析几何知识点总结
平面解析几何初步测试题
高中平面解析几何知识点总结
《平面解析几何》复习试卷及答案解析
平面解析几何基础练习
高考数学平面解析几何的复习方法总结
平面解析几何直线练习题含答案
高中数学平面解析几何知识点梳理
平面解析几何初步一轮复习-(有答案)
平面解析几何初步测试题
平面解析几何-经典题(含答案)
高考数学：平面解析几何知识点
平面解析几何测试题带答案
平面解析几何知识点总结