平面解析几何初步 整理

第七章 平面解析几何初步

§7.1直线和圆的方程 §7.1直线和圆的方程

一、知识导学

1．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )

之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以

A 为起点，

B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是????

??

?++=++=λ

λλλ11212

1y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是???

????

+=+=22

2121y y y x x x .

5．两条直线的夹角。当两直线的斜率1k ,2k 都存在且1k ·2k ≠ -1时，tan θ=

2

11

21k k k k +-，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与

“夹角”公式的区别. （5）直线系方程

③ 过定点（x 1,y 1）的直线系方程是： A(x -x 1)+B(y -y 1)=0 (A,B 不全为0) ④ 过直线l 1、l 2交点的直线系方程：（A 1x +B 1y +C 1）+λ( A 2x +B 2y +C 2）=0 (λ?R ） 注：该直线系不含l 2. （6）几个常用结论和方法

①弦长的求解：弦心距d 、圆半径r 、弦长l ,则：222()2

l d r +=（根据垂弦定理和勾股定理）

②圆的切线方程的求法

过圆上的点的圆的切线方程

..圆x 2+y 2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则此点的切线方程为x 0x+y 0y=r 2(课本命题)．

..圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r 2(课本命题的推广)．

..以（x 0,y 0）为切点的圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的切线方程：分别以

x o x,y o y,

00,

22

x x y y ++替换圆方程中的x 2,y 2

,x,y. 过圆外一点M （x o ,y o ），作圆(x-a)2+(y-b)2=r 2的切线，可设切线方程为点斜

式：

y-y o =k(x-x o )，利用圆心到直线的距离等于半径或与圆的方程联立用判别式法求k 。

注意： 由圆外一点向圆引切线，应当有两条切线。但，可能只算出一个 k 值，那么，另一条斜率不存在，即过（x 0,y 0）垂直于x 轴的直线x=x 0.

③两圆相交时的公共弦方程、两圆外切时的内公切线、两圆内切时的外公切线：两圆方程作差，消去二次项所得的直线方程即为所求。

二、疑难知识导析 1．直线与圆的位置关系的判定方法.

（1）方法一 直线：0=++C By Ax ；圆：022=++++F Ey Dx y x .

???=++++=++0

02

2F Ey Dx y x C By Ax ?

?→?消元

一元二次方程ac b 42

-=??→?△判别式

??

??

??相离△相切△相交

△000（2）方法二 直线: 0=++C By Ax ；圆：222)()(r b y a x =-+-，圆心（a ，b ）到

直线的距离为d=

2

2

|

|B

A C Bb Aa +++?→???

????相交相切

相离r d r d r d 2．两圆的位置关系的判定方法.

设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1，r 2，|O 1O 2|为圆心距，则两圆位置关系如下：|O 1O 2|>r 1+r 2?两圆外离；|O 1O 2|=r 1+r 2?两圆外切；

| r 1-r 2|<|O 1O 2|

四、典型习题导练

1．直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 （ ）

A.π6

B.π4

C.π3

D.π2

2.已知直线x=a(a ＞0)和圆(x-1)2

+y 2

=4相切 ，那么a 的值是

( )

A.5

B.4

C.3

D.2 3. 如果实数x 、y 满足等式(x-2)2

+y 2＝３，则

x

y

的最大值为： .

4.设正方形ABCD （A 、B 、C 、D 顺时针排列）的外接圆方程为x 2+y 2

-6x+a=0（a<9），C 、D 点所在直线l 的斜率为

3

1. （1）求外接圆圆心M 点的坐标及正方形对角线AC 、BD 的斜率；

（2）如果在x 轴上方的A 、B 两点在一条以原点为顶点，以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程；

（3）如果ABCD 的外接圆半径为25，在x 轴上方的A 、B 两点在一条以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程.

5.如图，已知圆C ：（x+4）2+y 2

=4。圆D 的圆心D 在y 轴上且与圆C 外切。圆 D 与y 轴交于A 、B 两点，点P 为(-3，0).

（1）若点D 坐标为（0，3），求∠APB 的正切值；

（2）当点D 在y 轴上运动时，求∠APB 的正切值的最大值；

（3）在x 轴上是否存在定点Q ，当圆D 在y 轴上运动时，∠AQB 是定值？如果存在，求出点Q 坐标；如果不存在，说明理由

.

（三）高频考点及考题类型

1、直线以倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划（老）等有关的问题，其中要重视“对称问题”及”线性规划问题”的解答。

2、与圆位置有关的问题，一是研究方程组；二是充分利用平面几何知识。重在后者。

二、高考真题回放

（一）直线

1 、(2008四川文、理) 直线3y x =绕原点逆时针旋转0

90，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A )

（Ａ）1133y x =-

+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）1

13

y x =+ 【解】∵直线3y x =绕原点逆时针旋转0

90的直线为13

y x =-，从而淘汰（Ｃ），（D ）

又∵将13y x =-向右平移１个单位得()113y x =--，即11

33

y x =-+ 故选A ；

【点评】此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；

【突破】熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；

2、 (2008江苏) 如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角

形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确

求得直线OE 的方程为01111=?

??

? ??-+??? ??-y a p x c b ，请你完成直线OF 的方程： (

11c b - )011=???

? ??-+y a p x 。 【解】画草图，由对称性可猜想填11c b -．事实上，由截距式可得直线AB ：1x y

b a

+=，直线CP ：1x y c p += ，两式相减得11110x y b c p a ??

??-+-= ? ?????

，显然直线AB 与CP 的交点

F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．【答案】11

c b

-

【点评】本小题考查直线方程的求法． 【突破】注意观察出对称性。

（二）圆

1、(2008上海文、理)如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半

轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足： 不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ D

A ．A

B ︵ B ． B

C ︵ C ．C

D ︵ D ． DA ︵

【解】由题意可知Q 点一定是圆上的一段弧且纵坐标较大横坐标较小， 故知是上半圆的左半弧。

【点评】此题是一个情景创设题，考查学生的应变能力。 【突破】Q 点的纵坐标较大，横坐标较小。

2、(2008天津文)已知圆C 的圆心与点(21)

P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为

22(1)18x y ++=

【解】利用圆的标准方程待定系数易得结果。

【点评】此题虽小但考查到了对称、直线与圆相交、圆的方程等知识。 【突破】利用对称求出圆心坐标，利用直角三角形解出半径。

（三） 直线与圆的位置关系

1、 (2008海南、宁夏文)已知m ∈R ，直线l ：2(1)4mx m y m -+=和圆C ：

2284160x y x y +-++=。

（1）求直线l 斜率的取值范围；

（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？

【解】（Ⅰ）直线l 的方程可化为22

411

m m

y x m m =-++， 直线l 的斜率21

m

k m =+， 因为2

1(1)2

m m +≤

，

所以2

1

12

m k m =

+≤，当且仅当1m =时等号成立． 所以，斜率k 的取值范围是1122??

-????

，．

（Ⅱ）不能．

由（Ⅰ）知l 的方程为

(4)y k x =-，其中1

2

k ≤．

圆C 的圆心为(42)C -，，半径2r =． 圆心C 到直线l 的距离

d =

． 由1

2k ≤，得1d >，即2r d >．从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23

π

．

所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为1

2

的两段弧．

【点评】此题考查了直线方程，函数求值域，直线与圆的位置关系。难度不大但很好的综合了以上知识点。

【突破】注意把直线方程中的

21

m

m +换成k 使表达简单，减小运算量。 三、典型模拟

1.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）

直线)(0442)1(:R m m y x m l ∈=--++恒过定点C ，圆C 是以点C 为圆心，以4为半径的圆。

（1）求圆C 的方程；

（2）设圆M 的方程为M y x 过圆,1)sin 7()cos 74(22=-+--θθ上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点为E 、F ，求?的最大值和最小值。 【解析】（1）16)4(22=+-y x ，

（2）设,2a ECF =∠则

16cos 322cos 162cos ||||2-==?=?αααCF CE CF CE

在中PCE Rt ?，.|

|4

||cos PC PC r ==

α 由圆的几何性质得,1||||1||+≤≤-MC PC MC

,8||6≤≤∴PC 32cos 21≤≤∴

α，由此可得9

168-≤?≤- ?的最大值为－,9

16

最小值为－8

【点评】向量与解析几何结合是高考命题的重要趋势，本题难度不大。但是如果不能将“向量语言”准确转化为“函数语言”，或在解题中不细心都可能会出现错误。切记：“细节决定成败” 四、考点预测 1。命题预测

直线与圆是最基本的图形，是解析几何的基本内容，也是高考必考查的内容，试题多为选择和填空题，难度适中，属基本要求，但偶有与圆有关问题的解答题，其解答难度则可能较大。试题常在直线的图象、求直线方程，直线 的平行与垂直的位置关系，求圆面积的方程与有关圆的轨迹问题上作重点考查。同时有关对称问题也是高考的热点问题，其中直线与圆的位置关系与对称问题出现频率较高。而随着平面向量的出现，向量与直线或圆的综合问题则是一直高考的新热点。 2、应试对策

（1）重视对教材中知识交汇点的复习。将解析几何与导数知识结合，利用导数求曲线的切线方程，建模后求参数的取值范围；将解析几何与向量结合，向量起“表达”或“工具”作用。所有这些都是高考命题的重点，因此对这类知识及问题要重视它的建模与解模的思想与方法，重视这些题型的训练。

（2）注重基础，掌握基本知识、基本方法、基本技能、基本内容。要多训练一些选择、填空题型。求直线、圆、圆锥曲线的方程，动点的轨迹，参数的范围以及对称问题等是高考考试中的重点题型，要熟练掌握求轨迹方程的方法与步骤，要熟练掌握求参数的范围的常用方法，考前要对这些重要内容与重要方法，进行一定量的适应性训练，使之成为技能，成为常法，考时才能得心应手。

（3）熟练掌握坐标法的思想。要注意学习如何借助于坐标系，用代数的方法来研究几何问题，体会这种数形结合的思想的应用；要会寻找点与坐标的对应关系、曲线与方程的对应关系，把几何问题转化为代数问题。这儿顺便提一下：有关圆的问题，解答时一定要充分利用圆的几何性质，如圆与直线相切、相交的性质，圆与圆的位置关系，这样可以大大减少运算量，并使过程得以简化。