高中数学竞赛初赛试题(含答案)

高中数学竞赛初赛试题

一 选择题

1. 如果集合.A B 同时满足{}1.

2.

3.4A B ={}1A B =,{}{}

1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。这里的有序集对

(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，

那么“好集对”一共有（）个

64862A B C

D ２.设函数()()lg 10

1x f x -=+,()()122x x f f --=方程的解为( ) ()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21

.log log 101A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100

到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126

的余数是( )

4.在直角ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D 为垂足.

,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}k u 的通项为

()1221,1,2,3,,

k k k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=则( ) 2008200720062008200720062008200720082007 2007200820082007 .. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-==

5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质

的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个

新的数列{}n a ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====那么

2007____________a =

192759.. 55 .. A B C D 2831 9597

783660A B C D

6.

设A B ==01+cos871-cos87 则():A B =

.. .A B C D 22

二.填空题

7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角

形一共有______________种.

8.设2007n ≥,且n

为使得n n

a =取实数值的最小正整数,则对应此n 的n a 为

9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如

6,8,10都是奇异数.那么在

27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇

异数有_____________________个.

10.平行六面体1111

ABCD A B C D -中,顶点A 出发的三条棱1,,AB AD AA 的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60那么这

个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按顺

序)分别为___________________

11.函数

()(),f x g x 的迭代的函数定义为()()()()()()()12,,f x f x f x f f x ==

()()()()()()()()()()()()()()()()()

1121,,,n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====其中n =2,3,4…

设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组

()()()()()()()()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ?=??=??=??的解为

_________________ 12.设平行四边形ABCD

中，4,2,AB AD BD ===则平行四边形A B C D

绕直线AC 旋转所得的旋转体的体积为_______________

三解答题

13.已知椭圆22412:3y x +=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A B

Γ过且与交于两点(可以重合).

1)若AOB ∠为钝角或平角(O 为原点),

4,q =试确定l 的斜

率的取值范围.

2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.

3)问题2)中,若1

4,,,q A F B ≠那么三点能否共线?请说明理由.

14. 数列{}n x 由下式确定: 112,1,2,3,,121n n n x x n x x +===+,试求

[]20072007lg lg .x k x =整数部分(

注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a 的整数部分.)

15. 设给定的锐角ABC 的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足,a y z b z x c x y p x y z ++=其中

p 为给定的正实数,试求()()()222

s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当s 取此最大值时, ,,x y z 的取值.

安徽省高中数学联赛初赛试题

一、选择题

1. 若函数()y f x =的图象绕原点顺时针旋转2π

后，与函数

()y g x =的图象重合，则（ ）

（A ）()()1g x f

x -=- （B ）()()1g x f x -=（C ）()()1g x f x -=--（D ）()()1g x f x -=-

2.平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨

迹为（ ）

（A ）椭圆 （B ）双曲线的一部分 （C ）抛物线

的一部分 （D ）矩形

3.下列4个数中与cos1cos2cos2008+++最接近的是（ ）

（A ）-2008 （B ）-1 （C ）1 （D ）2008

4.四面体的6个二面角中至多可能有（ ）个钝角。

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 5.12008写成十进制循环小数的形式10.0004986254986252008=，

其循环节的长度为( )

(A)30 (B)40(C)50（D ）60

6.设多项式()

200820080120081x a a x a x +=+++，则01208,,,a a a 中共有（ ）个是偶数。

（A ）127 （B ）1003 （C ）1005 （D ）1881

二、填空题

7.化简多项式()1n n k k

m k m n

k k m C C x x --=-=∑

8.函数(

)f x =

的值域为 9.若数列{}n a 满足()111110,,21n n n a a a

a n a a --+>=≥-，且具有最小正周期2008，则1a =

10.设非负数

122,,,a a a 的和等于1，则1223200a a a a a a a a ++++的最大值

为

11.设点A ()1,1，B 、C 在椭圆2234x

y +=上，当直线BC 的方程为 时，ABC 的面积最大。 12.平面点集(){},|1,2,,;1,2,,G i j i n j n ===，

易知2G 可被1 个三角形覆盖（即各点在某个三角形的边上），3G 可被2

个三角形覆盖，则覆盖2008

G 需要 个三角形。 三、解答题

13.将6个形状大小相同的小球（其中红色、黄色、蓝

色各2个）随机放入3个盒子中，每个盒子中恰好放

2个小球，记η为盒中小于颜色相同的盒子的个数，求

η的分布。

14.设()

11,,2n a a n ≥=≥，其中[]x 表示不超过

x 的最大整数。证明：无论1a 取何正整数时，不在数列{}n a 的素

数只有有限多个。

15.设圆1O 与圆2O 相交于A ，B 两点，圆3O 分别与圆1

O ，圆2O 外切于C ，D ，直线EF 分别与圆1O ，圆2

O 相切于E ，F ，直线CE 与直线DF 相交于G ，证明：A ，B ，G 三

点共线。

全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷

一、填空题（每小题8分，共64分）

1.函数

(4f x x x x =-的值域

是 .

2.函数y = 的图象与x

y e =的图象关于直线1x y +=对称.

3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等

于 .

4.设椭圆22

111x y t t +=+-与双曲线1xy =相切，则

t = .

5.设z 是复数，则|1||||1|z z i z -+-++的最小值等

于 .

6.设a ，b ，c 是实数，若方程320x

ax bx c +++=的三个根构成公差为1的等差数列，则a ，b ，c 应满足的充分必要

条件是 . 7.设O 是ABC ?的内心，5AB =，6AC =，7

BC =，OP xOA yOB zOC =++，0,,1x y z ≤≤，动点P 的轨迹所覆盖的平

面区域的面积等于 .

8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三

角形的概率是 .

二、解答题（共86分）

9.（20分）设数列{}n a 满足10a =，12

1n n a a -=+，2n ≥.求n

a 的通项公式.

10.（22分）求最小正整数n 使得224n

n ++可被2010整

除.

11.（22分）已知ABC ?的三边长度各不相等，D ，E ，F

分别是A ∠，B ∠，C ∠的平分线与边BC ，CA ，AB 的垂直

平分线的交点.求证：ABC ?的面积小于DEF ?的面积.

12.（22分）桌上放有n 根火柴，甲乙二人轮流从中取

走火柴.甲先取，第一次可取走至多1n -根火柴，此后

每人每次至少取走1根火柴.但是不超过对方刚才取走

火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问：当

100n =时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.

全国高中数学联赛安徽省预赛试题

一、填空题（每小题8分，共64分）

1．以X 表示集合X 的元素个数. 若有限集合C B A ,,满足

20=B A ，30=C B ，40=A C ，则C B A 的最大可

能值为.......

2．设a 是正实数. 若R

∈++++-=x a ax x a ax x x f ，222252106)(的最小值为10，则=a .......

3．已知实系数多项式d cx bx ax x x f ++++=234)(满足2)1(=f ，

4)2(=f ，6)3(=f ，

则)4()0(f f +的所有可能值集合为....... 4．设展开式2011)15(10≥+++=+n x a x a a x n n n ， . 若

),,,m ax (102011n a a a a =，则=n .......

5．在如图所示的长方体

E F G H A B C D -中，设P 是矩形EFGH 的

中心，线段AP 交平面BDE 于点Q .

若3=AB ，2=AD ，1=AE ，则=PQ .......

6．平面上一个半径r 的动圆沿边长a 的正三角形的外侧滚动，其扫过区域的面积

为.......

7．设直角坐标平面上的点),(y x 与复数i y x +一一对应.

若点B A ,分别对应复数1

,-z z （R ?z ），则直线AB 与x 轴的交点对应复数......（用z 表示）.

8．设n 是大于4的偶数. 随机选取正n 边形的4个顶

点构造四边形，得到矩形的概率为.......

二、解答题（第9—10题每题22分，第11—12题每

题21分，共86分）

9． 已知数列}{n a 满足121==a a ，4

121-++-=n n a a a （3≥n ），求n

a 的通项公式.

10．已知正整数n a a a ,,,21 都是合数，并且两两互素，求证：21111

21<+++n a a a .

第5题

11．设c bx ax x f ++=3)(（c b a ,,是实数），当10≤≤x 时，1)(0≤≤x f .

求b 的最大可能值.

12．设点)0,2()0,1()0,1(C B A ，，-，D 在双曲线122=-y x

的左支上，A D ≠，直线CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E .

求证：直线AD 与BE 的交点P 在直线2

1=x 上.

安徽高中数学竞赛初赛试题

解答

一、选择题

1.C.

2.A.

3.C.

4.A.

5.B

6.D.

1.逐个元素考虑归属的选择.

元素1必须同时属于A和B.

元素2必须至少属于A、B中之一个，但不能同时属于A和B，有2种选择：属于A但不属于B，属于B但不属于A.

同理，元素3和4也有2种选择.

但元素2，3，4不能同时不属于A ，也不能同时

不属于B .

所以4个元素满足条件的选择共有62222=-??种.

换句话说，“好集对”一共有6个. 答：C.

2.令)110

lg(+=-x y ，则0>y ，且y x 10110=+-，11010-=-y x ，)110lg(-=-y x ，

)110lg(--=y x .从而)110lg()(1--=-x x f .

令t x =2，则题设方程为 )()(1t f t f -=-，即

)110lg()110lg(--=+t t ，

故 0)]110)(110lg[(=-+t t ，1)110)(110(=-+t t ，2102=t ， 2lg 2=t ，

解得

2lg 212==t x . 从而 1)2(l g l o g )2lg 21(log 22-==x .

答：A. 3. 注意 972126??=,2,7和9两两互质. 因为 0

≡A （mod2）,

）

（）（）（）（）（005994201101001+++++++++++++++≡ A 500102101100++++≡ 2401500100÷?+≡）（6120300≡≡（mod9）,

所以

6≡A （mod18）. （1）

又因为

1103-≡，n n )1(103-≡（mod7）, 所以i i i A 3400

010)500(?-=∑=i i i ）（1)500(4000-?-≡∑=

100)101102()495496()497498()499500(+-++-+-+-≡ 6

300≡=（mod7）. (2)

由（1），（2）两式以及7和18互质，知6≡A （mod126）. 答：C.

另解：632126?=，99999963，110

9999996-=，）（）（11011066--n ， ,3,2,1=n .所

以4

104974981010310410101102101006118811941200+?++?+?+?= A +-?++-?+-?+-?=）（）（）（）（1104974981101031041101011021101006118811941200

）

（499500497498103104101102100+++++ 2

200499500101102100999999÷?+++=）（B 60060200100999999++=B

60060300999999+=B 60360999999+=C ，

其中B ，C 为整数.从而6036063+=D A 663+=E ，其中D ，E

为整数.所以A 除以63的余数为6.因为A 是偶数，所

以A 除以126的余数也为6. 答：C.

4.易见BD AD CD ?=2，即ab b a =-2）（，又已知1=-b a ，故

1=ab ，1)1(=-a a ，012=--a a ；1)1(=+b b ，012=++b b .

显然k u 是首项为k

a ，公比为a

b q -=的等比数列的前1+k 项和.故

b a b a q q a u k k k k k +--=--=+++1

11)(1)1(， 3,2,1=k .

从而

b

a b a b a b a u u k k k k k k +--++--=++++++22111)()(])()([11212++++----++=k k k k b b a a b

a

)]1()()1([111+---++=

++b b a a b a k k

])([12121b b a a b

a k k ?--?+=++ 233])([1+++=--+=k k k u

b a b a ， 3,2,1=k .

故答案为A.（易知其余答案均不成立）

另解：易见BD AD CD

?=2，即ab b a =-2）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，51414)((222=?+=+-=+ab b a b a ），5=+b a .解得

215+=

a ， 215-=

b . 显然k u 是首项为k a ，公比为a

b q -=的等比数列的前1+k 项和，故

b a b a q q a u k k k k k +--=--=+++1

11)(1)1(])251()251[(5111++--+=k k ，

,3,2,1=k .

于是数列{}k u 就是斐波那契数列

1，2，3，5，8，13，21，…，

它满足递推关系

,12k k k u u u +=++ ,3,2,1=k . 所以答

案为A.

5.{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5或11整除的项之后，把余

下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原

理，1，2，3，4，…，m 中不能被2，5或11整除的

项的个数为

??

????-??????+??????+??????+??????-??????-??????-=1101022551152m m m m m m m m x m ，

其中??a 不表示不大于a 的最大整数，即a 的整数部分.

估

值：设11010225511522007m m m m m m m m x m -+++---≈=)11

11)(511)(211(---?=m 11105421???=m m 114=，故 55194

112007≈?≈m . 又因为

??

????-??????+??????+??????+??????-??????-??????-=1105519105519225519555519115519555192551955195519x

=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2

007，

并且5519不是2，5，11的倍数，从而知55192007=a

. 答：

B.

又解：{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5 或11整除的项之后，

把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为2，5，11是质数，它们的最小公倍数为110.易见，-54，

-53，…，0，1，2，3，…，55中不能被2，5，11整

除的数为，，；，，，17139731±±±±±±，

；2119±± ；，，292723±±±，，，；，，474341393731±±±±±±535149±±±，；,共40个.（或

由欧拉公式，1，2，3，…，110中不能被2，5，11

整除的数的个数，等于1，2，3，…，110中与110

互质的数的个数，等于

4011

11511211110110=-?-?-?=?）（）（）（）（.） 显然1，2，3，…中每连续110个整数，不能被2，5，

11整除的数都有40个.所以，1，2，3，…，5500

50110=?中，不能被2，5，11整除的数有20005040=?个.大于5500

中的数不能被2，5，11整除的，是5500+1，5500+3，

5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+19，….

所以5519是第2007个不能被2，5，11整除的数，亦

即所求的55192007=a . 答：B .

6.显然 287cos 127cos 123cos 12

++++++=A

5.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos ++++=；

287cos 127cos 123cos 12

-++-+-=B

5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=.

注

意到 )1sin()1sin(1sin cos 2 --+=θθθ， )1cos()1cos(1sin sin 2 +--=θθθ,

所以

+-+-+-=?)5.4sin 5.6(sin )5.2sin 5.4(sin )5.0sin 5.2(sin 21sin 2A

)5.42sin 5.44(sin -+

22sin 5.22cos 25.0sin 5.44sin =-=，

+-+-+-=?)5.6cos 5.4(cos )5.4cos 5.2(cos )5.2cos 5.0(cos 21sin 2B

)

5.44cos 5.42(cos -+ 22sin 5.22sin 25.44cos 5.0cos =-=. 故

5.22cot )22sin 5.22sin 2(:)22sin 5.22cos 2()21sin 2(:)21sin 2(:==??=B

A

B A

12+=. 答：D. 另解：2

A

00005.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos +++++= ， 2

B

5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=， ++++=+)5.3sin 5.3(cos )5.1sin 5.1(cos 22i i B

i A

)5.43sin 5.43(cos i ++

∑=++=21

0)2sin 2(cos )5.1sin 5.1(cos k k i i

)2sin 2(cos 1)2sin 2(cos 1)5.1sin 5.1(cos 22

i i i +-+-+= )2sin 2(cos 1)44sin 44(cos 1)5.1sin 5.1(cos

i i i +-+-+=

1cos 1sin 21sin 222cos 22sin 222sin 2)5.1sin 5.1(cos 22i i i --+=

)

1sin 1)(cos 1sin 2()22sin 22)(cos 22sin 2)(5.1sin 5.1(cos i i i i i +-+-+= =)5.22sin 5.22(cos 1

sin 22sin

i +. 因为2A 和2B 是实数，所以 1sin 5.22cos 22sin 2=A ，

1sin 5.22sin 22sin 2=B ,

122

222

222145sin 45cos 15.22cos 5.22sin 25.22cos 25.22sin 5.22cos 2:2:2+=+=+=+====

B

A

B A .

答：D.

二、填空题（满分54分，每小题9分）

7.解：设△ABC 三边长

c b a ,,为整数，c b a c b a c b a ,,,,60≥≥=++成等差数列，A ∠为钝角，则必有

c a b +=2，222a c b <+. 易解得

b b b

c a b c b a 32)(60=+=++=++=，40,20=+=c a b ；222c a b -<

))((c a c a -+=，即c a c a -<-<10),(40202.因

此a a c a c a <=-++<25,2)()(50，即

26≥a .另外，29,30,260,≤<=+>++=>+a a a a a c b a a c b .易检验

),,(c b a

)11,20,29(),12,20,28(),13,20,27(),14,20,26(=都是钝角三角形.

答：4. 8.注意到22-=x ，22+=y 满足

4)22()22(22=++-=+y x ，0,>y x ，故可令θcos 2=x ，θsin 2=y ，0＜θ＜2π

.从而22c o s 42-=θ，-2

cos 422-=θ，

-θπθ2cos 43cos 1cos 2222==-=，故83π

θ=，

8

3cos )83sin 83(cos πππn i a n n =+=+ 83sin π

n i . n a 取实数，当且仅当083sin =π

n ，当且仅当k n 8=，∈k Z.满足此条件且2007≥n 的最小正整数n 为2008，此时1753cos 820083cos

2008-====ππx a a n . 答：-1.

9.易见奇异数有两类：第一类是质数的立方3

p （p 是质数）；第二类是两个不同质数的乘积21p p （2

1,p p 为不同的质数）.由定义可得

3327=是奇异数（第一类）

； 73242??=不是奇异数；

23369?=是奇异数（第二类）

； 373111?=是奇异数（第二类）

； 35125=是奇异数（第一类）；

137是质数，不是奇异数；

37343=是奇异数（第一类）；

221301900899-=-=）（130+=2931130?=-）（是奇异数（第二

类）；

）（16016013600359922+=-=-=5961160?=-）（是奇异数（第二

类）；

42119)12020)(120(120180007999233?=++-=-=-=是奇异数