感受数学之美 文档

引言

大多数的数学家会由他们的工作及一般数学里得出美学的喜悦。他们形容数学是美丽的来表示这种喜悦。有时，数学家会形容数学是一种艺术的形式，或至少是一个创造性的活动。通常拿来与音乐和诗歌相比较。数学家伯特兰·罗素说：正确地去观察数学，它不仅拥有真理，同时也是极致美丽的—一种冰冷严厉的美丽。

数学之美还在于其对生活的精确表述、对逻辑的完美演绎。可以说正是这种精确性才成就了现代社会的美好生活。

一．有趣的数学

它的最美之处莫过于在无形之中就让你思维变得敏捷．考虑事情时，不在那么偏激，那么单一．作为一个数学老师，应该让学生感受到数学是美丽的，而不单是为了考试。

让我们先来看看下面的几组算式：

第一组

1×8 + 1= 9

12×8 + 2= 98

123×8 + 3= 987

1234×8 + 4= 9876

12345×8 + 5= 98765

123456×8 + 6= 987654

1234567×8 + 7= 9876543

12345678×8 + 8= 98765432 123456789×8 + 9= 987654321 第二组

1×9 + 2= 11

12×9 + 3= 111

123×9 + 4= 1111

1234×9 + 5= 11111

12345×9 + 6= 111111

123456×9 + 7= 1111111 1234567×9 + 8= 11111111 12345678×9 + 9= 111111111 123456789×9 +10= 1111111111 第三组

9×9 + 7= 88

98×9 + 6= 888

987×9 + 5= 8888

9876×9 + 4= 88888

98765×9 + 3= 888888

987654×9 + 2= 8888888 9876543×9 + 1= 88888888 98765432×9 + 0= 888888888 第四组

1×1= 1

11×11= 121

111×111= 12321

1111×1111= 1234321

11111×11111= 123454321

111111×111111= 12345654321

1111111×1111111= 1234567654321

11111111×11111111= 123456787654321

111111111×111111111= 12345678987654321

第五组

3×4=12

33×34=1122

333×334=111222

3333×3334=11112222

33333×33334=1111122222

333333×333334=111111222222

看到以上几组奇特的算式，你觉得数学美吗？

二、数学之美

数学中的美是千姿百态、丰富多彩的,如美的形式符号、美的公式、美的曲线、美的曲面、美的证明、美的方法、美的理论等。从内容来说,数学美可分为结构美、语言美与方法美;就形式而论,数学美

可分为外在的形态美和内在的理性美。把内容和形式结合起来考察,数学美的特征主要有两个：一个是和谐性,一个是奇异性。

1.对称美

（1）对称式

交换任意两个字母原式都不会改变。

x+y ， xy ， x 3+y 3+z 3－3xyz, x 5+y 5+xy, y

x 11+，

xyz x z xyz z y xyz y x +++++. a 2(b －c)+b 2(c －a)+c 2(a －b), 2x 2y+2y 2z+2z 2x, abc c b a 1111-

++， （xy+yz+zx ）()111z

y x ++， 222222222111b a c a c b c b a -++-++-+. 例.计算：（zx yz xy ++）()111z y x ++－xyz (

)1112

22z y x ++. （2）回文式 中国的文学讲究对称，这点可以从历时百年的楹联文化中窥见一斑。而更胜一筹的对称，就是回文了。苏轼有一首著名的七律《游金山寺》，便是这方面的上乘之作：

《游金山寺》

潮随暗浪雪山倾，远浦渔舟钓月明。/桥对寺门松径小，槛当泉眼石波清。/迢迢绿树江天晓，霭霭红霞晚日晴。/遥望四边云接水，碧峰千点数鸥轻。

不难看出，把它倒转过来，仍然是一首完整的七律诗： 轻鸥数点千峰碧，水接云边四望遥。/晴日晚霞红霭霭，晓

天江树绿迢迢。/清波石眼泉当槛，小径松门寺对桥。/明月钓舟渔浦远，倾山雪浪暗随潮。

这首回文诗无论是顺读或倒读，都是情景交融、清新可读的好诗。类似的又如“香莲碧水动风凉，水动风凉夏日长。长日夏凉风动水，凉风动水碧莲香”。这些诗凭着精巧的构思，给人以奇妙的感受，每每读之，读者都会暗自叫绝。

而数学中，也不乏这样的回文现象，如：

12×12=144，441=21×21；

13×13=169，961=31×31；

102×102=10404，40401=201×201；

103×103=10609，90601=301×301；

（3）对称图形

（轴对称）

（中心对称）

（4）杨辉三角

2.符号美

用简单的符号代表特定的数学意义。

＋ － ＜ ＝ ＞ ± × ÷ ≠ ? ? ∞ ?♂ ♀ ∟ ⊥ ⌒ ? ? ≡ ≒≌ ≦ ≧ ∽ √ ∝ ∮ ∫ ? ∈? ? ? ? ? ∪ ∩ ∧ ∨ ￢ ? ? ?? ? ∑ ∏ …

3.公式美

等式两边互化可带来不同的效果。

1、22()()x y x y x y -=+-

2、222()2x y x xy y ±=±+

3、33223()33x y x x y xy y ±=±+±

4、3322()()x y x y x xy y ±=±+

5、βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±

6、βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±

7、???+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( ……

4、和谐美

一些植物的叶子有着明确的数学方程式!数学与自然二者揉合。

5、统一美

数的概念从自然数、分数、负数、无理数，扩大到复数，经历了无数次坎坷，范围不断扩大了，在数学及其他学科的作用也不断地增大。那么，人们自然想到能否再把复数的概念继续推广。

英国数学家哈密顿苦苦思索了15年，没能获得成功。后来，他“被迫作出妥协”，牺牲了复数集中的一条性质，终于发现了四元数，即形为a1+a2i+a3j+a4k（a1 ，a2i ，a3j，a4k为实数）的数，其中ｉ、ｊ、ｋ如同复数中的虚数单位。若a3 ＝a4 ＝０，则四元数a1+a2i+a3j+a4k是一般的复数。四元数的研究推动了线性代数的研究，

并在此基础上形成了线性结合代数理论。物理学家麦克斯韦利用四元数理论建立了电磁理论。

数学的发展是逐步统一的过程。统一的目的也正如希而伯特所说的：“追求更有力的工具和更简单的方法”。

爱因斯坦一生的梦想就是追求宇宙统一的理论。他用简洁的表达式E=mc2揭示了自然界中质能关系，这不能不说是一件统一的艺术品。但他还是没有完成统一的梦想。人类在不断探寻着纷繁复杂的世界，又在不断地用统一的观点认识世界，宇宙没有尽头，统一美也需要永远的追求。

6、悬念美

文学中的小说以设置悬念见长，在开头先抛出一个引人入胜的画面、出人意表的事件、叫人揪心的矛盾、令人关注的悬念、发人深省的问题，然后一步步去描写、讲述、展开、解答、思考；或者在最后留下一个无结局、无论断、无答案、无终点的结尾，让读者自己去想象、去求证、去追问、去体验。照米兰？昆德拉的说法：小说家的才智就是把一切肯定变成疑问，教读者把世界当成问题来理解。

这种现象，在数学中绝非少见。许多数学问题都是从一个看不出任何端倪的方程式开始，运用各种方法，一步步求解，最终得出一个清楚明白的结论。而数学的乐趣，在于人们抱着探求事实真相的态度，满怀好奇的求解过程和最终真相大白时的快感。这一点，和人们读悬疑小说所产生的感觉是相似的，难怪有人说，世界本身就是个未知数，而文学本身就是探索世界之谜的方程式。

7、意象美

诗与数学之间最深刻的关系莫过于数学概念或意象（imagery）与诗歌的结合。

七八个星天外，两三点雨山前。（辛弃疾）

一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花。（邵雍）一帆一桨一渔舟，一个渔翁一钓钩。一俯一仰一顿笑，一江明月一江秋。（纪晓岚）

一别之后，二地相悬，只说是三四月，又谁知五六年，七弦琴无心抚弹，八行书无信可传，九连环从中折断，十里长亭我眼望穿，百思想，千系念，万般无奈叫丫环。万语千言把郎怨，百无聊赖，十依阑干，九九重阳看孤雁，八月中秋月圆人不圆，七月半烧香点烛祭祖问苍天，六月伏天人人摇扇我心寒，五月石榴如火偏遇阵阵冷雨浇花端，四月枇杷未黄我梳妆懒，三月桃花又被风吹散！郎呀郎，巴不得二一世你为女来我为男。（卓文君）

读上面这些诗，每个人都能明显感到，诗的意境全来自那几个数词，无论是数词的单个应用，重复引用，抑或是循环使用，看似毫无感染力的数词竟也都能表现出或寂寥，或欣然，或恬淡，或伤感的思想感情。

在外国，中世纪欧洲两个最伟大的诗人——但丁（Dante，1265～1321）和乔叟（G.Chaucer，1342～1400）的作品也无不充满着数学知识。17世纪，英国著名形而上学诗人约翰？多恩（JohnDonne，1572～1631）和安德鲁？马佛尔（AndrewMarvell，1621～1678）通

过圆规、欧氏几何中的平行线之类的数学概念来类比爱情。后者的《爱的定义》尤为有趣：

像直线一样，爱也是倾斜的/它们自己能够相交在每个角度/但我们的爱确实是平行的/尽管无限，却永不相遇。爱情，向来是难以用语言表达清楚的一个名词。作者用读者都熟悉的平行线，借助数学丰富的意象，巧妙地向读者准确地传达了自己的意思。

8、自然美

刘勰《文心雕龙》以为文章之可贵，在尚自然。文章是反映生活的一面镜子，脱离生活的文学是空洞的，没有任何用处。数学也是这样。

数学存在的意义，在于理性地揭示自然界的一些现象规律，帮助人们认识自然，改造自然。可以这样说，数学是取诸生活而用诸生活的。数学最早的起源，大概来自古代人们的结绳记事，一个一个的绳扣，把数学的根和生活从一开始就牢牢地系在了一起。后来出现的记数法，是牲畜养殖或商品买卖的需要，古代的几何学产生，是为了丈量土地。中国古代的众多数学著作（如：《九章算术》）中，几乎全是对于某个具体问题的探究和推广。

在中国，数学源于生活，在外国，历代数学家也都宗法自然。阿基米德的数学成果，都用于当时的军事、建筑、工程等众多科学领域，牛顿见物象而思数学之所出，即有微积分的创作。费尔玛和尤拉对变分法的开创性发明也是由探索自然界的现象而引起的。

数学之美，还可以从更多的角度去审视，而每一侧面的美都不是孤立的，她们是相辅相成、密不可分的。她需要人们用心、用智慧深层次地去挖掘，更好地体会她的美学价值。

正因为数学美，所以她迷人；正因为她迷人，所以吸引着许多数学家终生孜孜不倦、苦心孤诣地为她而献身。数学是自然科学之中这种吸引力和亲和力最强的一门学科!真正的数学家把不懈追求当作无比欢乐，而又将欢乐当成艺术享受。雪莱有诗说：“美好事物是一种永久享受!”数学美，数学家才会乐在其中吧。世上没有什么力量，能够把一个数学家从他的“美人”身边拉拽出去。数学家可以说是世上最忠贞的情人。他或者她一辈子会许多许多次堕入爱河，但每一次都是对同一个“人”。果然，有些大数学家有了数学，就真的不再同人结婚，像牛顿，伽罗华，哈代，诺特(现代代数创始人)等。当然，有人会因此而失去了一亲香泽和肌肤的悠悠机缘，但是数学却受到了加倍的呵护而更加娇艳。

那么，到底能不能给数学装上感情通道、让数学同人们的爱情相连相通呢?

法国曾经拍过一部爱情电影，《我爱上的是正切函数》(C' est la tangente que je préfère)，讲的是一个花季少女同一个盛年男人的故事，说明他们并不是两个没有交集的集合，肯定这两个地球高级生物邂逅相遇而堕入情网的概率不为零。电影最后暗示，数学同电磁场一样，是一片美丽得动情的场!

电影的主人公，一位是聪明绝顶的高三女生，另一位是从东欧来到巴黎的男士。他们两个人的目光在公交车上不期而遇，于是爆发了爱情、也酝酿了故事。女孩子萨碧娜出生在双亲“下岗”而穷困潦倒

的家庭。可是，女孩子却是一个数学天才。她像数学上的“奇点”一样孤芳自赏，她披着数学定理的耀眼辉光高翥云端；她从不加入同学愚蠢的“发烧友”集合、混沌团“闭包”什么的。对于数学上的方程和图像萨碧娜迎刃而解，可是现实生活里的X、无解方程，加上兜不出来的拓扑图形太多太凶太乱太狠，她无法应付。萨碧娜于是高呼：数学!数学!来救救我呀!谢谢数学、谢谢那个像渐近线一般从遥远神秘的东方翩然来临的男人，萨碧娜终于从数学里找到了能量，找到了如同双曲线飞向浩淼和空旷一样飞出家庭和困境的力量……

数学美丽，还在于她像绝色佳人一样有一种"惹是生非"的挑逗美。数学研究得愈深入，就会发现更多哲学问题，艺术问题，美学问题，甚至陌生难解的人生问题，叫人争论，令人遐想，促人深思。这里有一个特别具有挑逗美的例子，美籍奥地利数学家哥德尔证明了“不完备性定理”。这定理大胆直面“严格”、“完备”、“和谐”等完美指标，斩钉截铁地说数学的形式系统都是“不完备的”，其中一定包念着无法证明的命题，既不能证明它“真”，又不能确认其“假”!定理使德国数学泰斗希尔伯特苦心经营了几十年的严格完美大厦倾倒一旦。后来，这条定理引发一场场数学的和哲学的车轮大战。哥德尔定理于是有了许多首不同唱词。其中一个说法是：任何一部VCD或DVD都有不能够放像的碟片!于是，喜好深刻的好事者又推出了一个有趣的哲学命题：人类到底能不能认识自身呢?计算机科学奠基人图灵提出的“不可计算性”的思想，也有这样强大的挑逗威力，而且又引出了计算机能不能超过人类哲学问题……

一个孤高遗世的数学定理或理论，当它在数学之外引起大海汪洋的思潮、如痴如醉的辩论的时候，人们回眸一下，难道不承认这正是数学的美吗?美人尤物的特点难道不正是“回眸一笑百媚生，六宫粉

黛无颜色”吗?能够挑拨起世界顶尖知识精英的无穷情思、澎湃心潮，不美，能够做到吗?

所以，一位德国数学家才引用伏尔泰的话这么讲：

阿基米德脑海里的绮思遐想，比荷马的要多得多哟!

Da war mehr Fantasie im Kopf Archimedes als in dem von Homers!

所以，英国大物理学家狄拉克也才说：上帝使用了美丽的数学来创造这个世界!

三、数学在生活中的应用

随着科学的发展，数学在生活中的应用越来越广，生活的数学无处不在。而概率作为数学的一个重要部分，同样也在发挥着越来越广泛的用处。

抽样调查，评估，彩票，保险等经常会遇到要计算概率的时候，举个例子在保险公司里有2500个同一年龄的人参加了人寿保险，在一年里死亡的概率为0.002，每个人一年付12元保险费，而在死亡的时候家属可以领取由保险公司支付的2000元，问保险公司盈利的概率是多少，公司获利不少于10000的概率是多少？

这样的问题咋一看很难知道保险公司是否盈利，但经过概率统计的知识一计算就可以得知公司是几乎必定盈利的

A＝{2500×12-2000X<0}＝{X>15}

由此得知P=0.999931,而盈利10000以上的概率也有0.98305，以上的结果说明了为什么保险公司那样乐于开展保险业务的原因.

除了保险，概率统计学对彩票也有有两个方面的应用。据钱江晚报报道，彩票市场越来越火爆，据了解，南京某一期电脑福利彩票有一懂概率统计的彩民一个人中1个一等奖、3个二等奖、33个三等奖，有一期彩票有9注号码中一等奖，从而引发了无数彩民自己预测号码的愿望，概率统计方面的书籍也一下子走俏。许多平时见到符号就头疼的彩民也捧起概率书兴趣盎然地啃起来。

概率书上讲的都是理论知识，一大堆数学计算公式，如何把概率书的理论运用到彩票选号中来，才是许多彩民关心的问题。实际上，概率统计学主要有两个方面的应用：一个方面是利用概率公式计算各种数字号码出现的概率值，然后选择最大概率值数字进行选号。举一个简单的例子，类似“1234567”七个数一直连续的彩票号码与非一直连续的号码出现的概率比例为：29：6724491（1：230000）左右，由于出现的概率值极低，因此一般不选这种连续号码。另一方面的应用是统计，即把以前所有中奖号码进行统计，根据统计得到的概率值来预测新的中奖号码，例如五区间选号法，就是根据统计进行选号的。南京的“专业”彩民则介绍一条选号规则———逆向选号法。从摇奖机的构造角度来说，它要保证每个数字中奖的概率都一样。虽然摇一次奖无法保证，摇100次奖也无法保证，但摇奖的次数越多，各个数字中奖的次数也必定越趋于平均。就像扔硬币，一开始就扔几次可能正反面出现的次数不一样，但随着扔的次数的增加，正反面出现的次数就会越来越接近。从这个角度考虑，在选号时就应该尽量选择前几次没中过奖的数字。这就是逆向选号法，即选择上一次或前几次没中

奖的数字.......这也说明了概率的无所不在。

但由于传统的数学教育属于知识传授型，比较注重课程各自的系统性、独立性和方法的应用，人为地割裂了数学理论和教学方法与现实世界的联系，不注意学生对数学方法产生的背景和思想的理解，使学生不善于利用所学到的数学知识、数学方法分析解决实际问题，只是生搬硬套，而真正在实际中有重要应用的值的数理统计部分往往被轻视，使得有些人在学完该课后只知道几个抽象的分布，甚至连最简单的数据处理方法都不会应用．

附：趣味数学题选

1.有一个锅可以烙2个饼，烙1个饼正面反面各要一分钟，问烙3

张饼要多长时间？

答案：3分钟，先在锅中放2张饼烙1分钟，取出一个饼，将另一生饼放入锅中，烙1分钟，取出熟饼，放入半熟饼，烙1分钟，这样烙3张饼共用3分钟。

2.数学家花拉子密的遗嘱

阿拉伯数学家花拉子密的遗嘱，当时他的妻子正怀着他们的第一胎小孩。“如果我亲爱的妻子帮我生个儿子，我的儿子将继承三分之二的遗产，我的妻子将得三分之一;如果是生女的，我的妻子将继承三分之二的遗产，我的女儿将得三分之一。”。

而不幸的是，在孩子出生前，这位数学家就去世了。之后，发生的事更困扰大家，他的妻子帮他生了一对龙凤胎, 而问题就发生在他的遗嘱内容。

如何遵照数学家的遗嘱，将遗产分给他的妻子、儿子、女儿呢?

有人回答妻子1/2，儿子1/3,女儿1/6；还有人回答妻子2/7，儿子4/7，女儿1/7。谁可以给个权威的答案？

3.有等量的白酒和红酒，先从白酒里舀一勺白酒放入红酒里，再从红酒里舀一勺放入白酒（舀出的酒是相等的），现在问：是红酒里的白酒多还是白酒里的红酒多？

答案：一样多

4.一个人做生意,8块钱买入一只鸡,9块卖出.其后10块又将这只鸡买入,11块卖出.大家说一下这个人赚了多少钱？

答案：2元

5.数学问题：老板请了一个员工这工作一星期；他付给他一根金条（长方形）当作工资。老板怕员工逃跑，所以不敢一次将金条付给员工；员工又要求要每天拿到7分之1的金条。现在要求只切两次金条就能使得员工每天能拿到相应的工资，应当如何切金条？

答案：把金条切为1/7和2/7和4/7就行了！

第一天给员工1/7，第二天给他2/7换回1/7金条；第三天给他1/7金条；第四天给他4/7金条换回2/7和1/7金条；第五天给他1/7金条；第六天给他2/7金条再换回1/7金条；第七天给他1/7金条。这样就行了！

6.三个人去住宾馆，开一间房要30元，于是三个人每人出了10元。开了一间房，后来宾馆老板说只要25元，于是就找了5元给他的伙计去退给三个客人，伙计从中贪污了2元，把剩下的3元分给了三个住宾馆的人，9×3+2=29元。还有一元到哪里去了？

7.军官要求24名士兵站成6排，每排都是5人，士兵们全犯傻了。最后一名士兵终于想出了一个好办法。他是怎样安排的？

答案：排成六边形就行了。

8.正方形失踪了

纽约市的业余魔术师保罗·柯里首先发现：一个正方形可以被切成几小块，然后重新组合成一个同样大小的正方形，但它的中间有个洞！

柯里的戏法有多种版本，但图1和图2所示的是其中最简单的一种。把一张方格纸贴在纸板上。按图1画上正方形，然后沿图示的直线切成5小块。当你照图2的样子把这些小块拼成正方形的时候，中间居然出现了一个洞！

图1的正方形是由49个小正方形组成的。图2的正方形却只有48个小正方形。哪一个小正方形没有了？它到哪里去了？

9.奇怪的数字

“会不会有这样一个六位数，用它分别去乘１、２、３、４、５、６，得出来的六位数积还是那个六位数，只是排列次序稍有不同？” （142857）

10.理发师悖论

有一个村子，村子里的理发师制定了一个规则，内容可用如下的语言复述：我只给不自己剪头发的人剪头发。聪明的罗素先生在这个看似平常的规则里嗅出了一些可以发挥他强大逻辑能力的蛛丝马迹，他的问题是，这个理发师是否应当给自己剪头发？你认为呢？

11.一位老人有三个儿子，老人去世后留下了11匹马。在遗嘱中，老人将这十一匹马的21分给老大，41分给老二，6

1分给老三，该如何分？ 12、甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是50千米。甲每小时走3米，乙每小时走2千米，甲带着一只狗，狗每小时跑5千米，这只狗同甲一起出发，碰到乙的时候它就掉头往甲这边跑，碰到甲时又往乙这边跑，碰到乙时再往甲这边跑……，直到甲、乙二人相遇为止。问这只狗一共跑了多少路？

13、趣味数学游戏（放硬币游戏）

参加人：2人，也可以有裁判1人。

用具：一张纸（方形、圆形都可以），1分硬币若干枚。

游戏规则：①2人轮流把硬币放在纸上，每人每次只放一枚；②

放在桌上的硬币不能重叠；③最后在纸上无处可放者为负。

分析与解

这个游戏对参加的两个人来说是不平等的，如果知道了游戏的奥妙，那么先放硬币的一方会稳操胜券。

游戏的奥妙是利用平面几何中的中心对称原理。先放者，首先抢占“对称中心”，即纸的中心。然后，不论对方把硬币放在什么位置，你每次都根据中心对称原理，把硬币放到对方硬币的对称位置上。这样，只要对方有地方放，你就必定有放的地方，直到你占满最后一处空白，逼得对方无处可放，你就获胜了。

14、趣味数学游戏（取火柴游戏）

甲、乙两人玩取火柴游戏。共100根火柴，游戏规定，两人轮流取走火柴，每次只能取1根或2根，谁取到最后一根谁获胜，若甲先取，有没有必胜的把握？

趣味数学题、数学游戏、数学故事多不胜数，我们可以结合相关联的知识增加数学的趣味性，使之不再枯燥。

一个好的数学老师，应该善于发现并应用数学之美，用之吸引学生，唤起学生学习数学的兴趣，让学生真正得到一个“最好的老师”。