圆锥曲线题型总结归纳
直线和圆锥曲线常考题型
运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22
x x y y
x ++=
=，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，
则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
=342，则
x 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题
题型七：弦或弦长为定值问题 题型八：角度问题 问题九：四点共线问题
问题十：范围问题（本质是函数问题）
问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆） 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22
:14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围
解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22
:14x y C m +=过动点
0±（，，则
1例题2一点 设直线由2
y y =⎧⎨
=⎩即20k <由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。则线段AB 的中点为22211
(,22k k k
--
。 线段的垂直平分线方程为：
221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则2
11(,0)22
E k -
ABE ∆为正三角形，∴211
(
,0)22
E k -到直线AB 的距离d AB 。
AB
=2
2
1
k
k
=+
d=
2
1
k
+=k=±满足②式此时05
3
x=。
题型三：动弦过定点的问题
例题3、已知椭圆C：
22
2
2
1(0)
x y
a b
a b
+=>>
且在x
（I
（II）
异于点
解：（I
2
2
4
x
y
+
（II2)
x+，
由
2
y
x
=
⎧
⎨
⎩
根，1
2x
∴-=的坐标为
2
1
28
(
k
-
同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为22
22
22
(,
1414
k k
++
12
(2),(2)
p p
y k t y k t
=+=-12
12
2
k k
k k t
-
∴=-
+
，直线MN的方程为：121
121
y y y y
x x x x
--
=
--
，
∴令y=0，得2112
12
x y x y
x
y y
-
=
-
，将点M、N的坐标代入，化简后得：4
x
t
=
又2
t>，∴
4
02
t
<<椭圆的焦点为0)
4
t
∴=
3
t=
故当t =
时，MN 过椭圆的焦点。 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆
E ：22
221x y a b
+= (0)a b >>上的三点，其中点
A 是
椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC
解：(I) 2BC AC =，且OC AC
∴=0AC
BC =∴∠又 A (23,0)
A (2
3,0)
是椭圆的右顶点，
(II)
∴y -
2(13)0
k +3x =是方程的一个根，229183
313P
k k x k --∴=+即2
P x =同理可得：2
Q x = ))P Q P Q y y kx k kx k -=-++＝()P Q k x x +- 22P Q x x -=13P Q PQ
P Q y y k x x -==- 则直线PQ 的斜率为定值1
3
。 题型五：共线向量问题
例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22
194
x y +=于P 、Q 两点，且DP DQ l =uuu r uuu r ,求实数
l
的取值范围。
解：设
P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),Q DP DQ l =uuu r uuu r
\
(x 1,y 1-3)=l (x 2,y 2-3)即121
23(3)x x y y l l ì=ïïíï=+-ïïî 判别式法、韦达定理法、配凑法 设直线PQ 的方程为：3,0y kx k =+≠，由22
3
y kx =+⎧⎨
消y 整理后，得 P 1212()x x x x + ② 的距离为3。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2
3
，求△AOB 面积的最大值。
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c
，依题意c a
a ⎧=⎪⎨⎪=⎩
1b ∴=，∴所求椭圆方程为2
213
x y +=。 （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。（1）当AB x ⊥
轴时，AB 。（2）当AB 与x 轴不垂直时，
设直线AB 的方程为y kx m =+
，得2
23
(1)4
m k =+。
= （p>0）（Ⅰ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求
出
l
的
方
程
；
若
不
存
在
，
说
明
理
由
。
（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为N （0,-p ）,可设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2），直线AB
的方程为y=kx+p,与x 2
=2py 联立得⎨⎧=22py x 消去y 得x 2-2pkx-2p 2=0.由韦达定理得
x 1+x 2＝∴径的圆
则
O 'O '＝∴令2
p
y =
， 即抛物线的通径所在的直线. 解法2：
（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得 ＝.21222+⋅+k k p
又由点到直线的距离公式得2
12k
p d +=
.
从而，,22122122
12
1222
22+=+⋅
+⋅+⋅=⋅⋅=∆k p k p k k p AB d S ABN
（Ⅱ）假设满足条件的直线t 存在，其方程为y=a ，则以AC 为直径的圆的方程为
,0))(())(0(11=-----y y p y x x x 将直线方程y=a 代入得
设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P （x 2,y 2）,Q （x 4,y 4）,则有 2
p
y =. 满足：
PM +P 的坐
标.
解：((Ⅱ)1cos PN =
-cos 2.PM PN MPN PM PN =- ① 因为不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形PMN
中，4,MN =由余弦定理有
2
2
2
2cos .MN PM PN PM PN MPN =+- ② 将①代入②，得 2
2
242(2).PM PN PM PN =+--
故点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2
213x y -=上.
由(Ⅰ)知，点P 的坐标又满足22
195
x y +=，所以
由方程组2
222
5945,3 3.
x y x y ⎧+=⎪⎨
+=⎪⎩
解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即P
点坐标为. 问题九：四点共线问题
例题9、设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
过点M
，且着焦点为1(F
（Ⅰ（ⅡQ ，满足AP QB AQ PB =，证明：点解 (1)由题意：
,,,AP PB AQ QB 均不为零，记AP AQ PB
QB
=,则λB ，Q 四点共线，从而AQ QB λ=
11λ=- 121λ+12
1λ
+从而
222
12
2
41x x x λλ-=-，（1）
222
12
2
1y y y λλ-=-，（2）
又点A 、B 在椭圆C 上，即
（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424s y += 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上
方法二
设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，,,,PA PB AQ QB 均不为零。 且
PA PB AQ
QB
=
又 ,,,P A Q B 四点共线，可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±,于是
1141,11x y
x y λλλλ--=
=
-- （1） 41x y
λλ++ （2）
24,=整理得
设1F 、中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围。
解：（Ⅰ）解法一：易知2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(),P x y ，则 因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1
解法二：易知2,1,a b c ===())12,F F ，设(),P x y ，则
(
(2
2
2
2221
1232x y x y x y ⎡⎤=+++-+-=+-⎢
⎥⎣⎦
（以下同解法一） （Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，
联立22
2
1
4
y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：22
14304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ ∴121243,11k x x x x +=-
⋅=
∴OA OB x x ⋅=()4x x ++284k -=++=设椭圆E: 22
221x y a b
+=（a,b>0）过M （2） ，,1)两点，O 为坐标原点，
（I ）求椭圆E 的方程；
（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E: 22
221x y a b
+=（a,b>0）过M （2
） ，
,1)两点,
所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得2211811
4
a b ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩所以2
284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22
184
x y +=
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交
点A,B,且OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y k x m =+解方程组22
1
x y y kx m
+==+⎧⎪⎨⎪得2x
1x ⎧
⎪⎪⎨⎪⎪⎩
,
1y y 使
O 以2
k 因
为为r =y 与椭圆22
184
x y +=的两个交点为或(满足OA OB ⊥,综上, 存在圆心在原点的圆228
3
x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥.
因为
122
2
122
4
12
28
12
km
x x
k
m
x x
k
⎧
+=-
⎪⎪+
⎨
-
⎪=
⎪+
⎩
,
所以
222 222
1212122222
4288(84) ()()4()4
1212(12)
km m k m
x x x x x x
k k k
--+ -=+-=--⨯=
+++
, ==,
①当k
因为4k
.
②当k
③当此时
||
AB
综上,
圆锥曲线大题题型分类归纳大全
圆锥曲线大题题型归纳梳理 圆锥曲线中的求轨迹方程问题 解题技巧 求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的高频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。 【例1.】已知平面上两定点),,(),,(2020N M -点P 满足MN MP =•求点P 的轨迹方程。 【例2.】已知点P 在椭圆14 22 =+y x 上运动，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足,PQ PM 3 1 =求动点M 的轨迹方程。 【例3.】已知圆),,(,)(:023622 2 B y x A =++点P 是圆A 上的动点，线段PB 的中垂线交 PA 于点Q ，求动点Q 的轨迹方程。 【例4.】过点),(10的直线l 与椭圆14 2 2 =+y x 相交于B A ,两点，求AB 中点M 的轨迹方程。 巩固提升 1. 在平面直角坐标系xOy 中，点()(),,,,4010B A 若直线02++-m y x 上存在点P ,使得 ,PB PA 2 1 = 则实数m 的取值范围为_________________.
2. 已知()Q P ,,24-为圆42 2 =+y x O :上任意一点，线段PQ 的中点为,M 则OM 的取值 范围为________________. 3. 抛物线x y C 42 :的焦点为,F 点A 在抛物线上运动，点P 满足,FA AP 2-=则动点P 的轨迹方程为_____________________. 4. 已知定圆,)(:10042 2 =++y x M 定点),,(40F 动圆P 过定点F 且与定圆M 内切，则动圆圆心P 的轨迹方程为____________________. 5. 已知定直线,:2-=x l 定圆,)(:442 2 =+-y x A 动圆H 与直线l 相切，与定圆A 外切，则动圆圆心H 的轨迹方程为____________________ 6. 直线033=+-+t y tx l :与抛物线x y 42=的斜率为1的平行弦的中点轨迹有公共点，则实数t 的取值范围为_________________. 7. 抛物线y x 42 =的焦点为,F 过点),(10-M 作直线l 交抛物线于B A ,两点，以BF AF ,为邻边作平行四边形,FARB 求顶点R 的轨迹方程。 8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 与椭圆112 242 2=+y x C : 相交于B A ,两点，O 为坐标原点。 （1）若直线l 的方程为,062=-+y x 求OB OA •的值； （2）若,12-=•OB OA 求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
圆锥曲线经典题型总结(含答案)
圆锥曲线整理 1．圆锥曲线的定义： (1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d . 圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时 要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1 （0a b >>）。 % （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。 （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。 2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 双曲线：由x 2 ,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222 c a b =+。 | 3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2 b 2＝λ(λ≠0)，渐近线方程为y ＝±b a x 的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．要求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)的渐近线，只需令λ＝0即可． 4．直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系． 解决直线与圆锥曲线问题的通法 (1)设方程及点的坐标． (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程． (3)应用韦达定理及判别式． (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． — 5．若直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且直线P 1P 2的斜率为k ， 则弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2|y 1－y 2|(k ≠0)．|x 1－x 2|，|y 1－y 2|的求法， 通常使用根与系数的关系，需要作下列变形：|x 1－x 2|＝x 1＋x 2 2－4x 1x 2，|y 1 －y 2|＝ y 1＋y 2 2－4y 1y 2. 6．与圆锥曲线的弦的中点有关的问题 (1)通法．联立方程利用根与系数的关系 (2)“点差法”．点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率． 点差法的步骤： ①将两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标代入曲线的方程． ②作差消去常数项后分解因式得到关于x 1＋x 2，x 1－x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2的关系式．
(完整版)圆锥曲线常见题型及答案
圆锥曲线常见题型归纳 一、基础题 涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意： （1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况； （3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中 222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=； 例题： （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ） A ．421=+PF PF B ．6 21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122 2 2 1 =+PF PF （答：C ）； （2） 方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支） （3）已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2） （4）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11 (3,) (,2)22 ---）； （5）双曲线的离心率等于25 ，且与椭圆14 922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2 214x y -=）； （6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为 _______（答：226x y -=） 二、定义题 对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理； 圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±； ③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为 2a ，短轴长为2b ； ④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 例：（1）若椭圆1522=+m y x 的离心率510 = e ，则m 的值是__（答：3或325）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答： p e c b a ,,,,
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】 圆锥曲线的七种常见题型 题型一：定义的应用 圆锥曲线的定义包括椭圆、双曲线和抛物线。在定义的应 用中，可以寻找符合条件的等量关系，进行等价转换和数形结合。适用条件需要注意。 例1：动圆M与圆C1：(x+1)+y=36内切，与圆C2：(x- 1)+y=4外切，求圆心M的轨迹方程。 例2：方程表示的曲线是什么？ 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断 在判断圆锥曲线焦点位置时，需要将方程化成标准方程， 然后判断。对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐 标轴上，一次项的符号决定开口方向。
例1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是什么？ 例2：当k为何值时，方程是椭圆或双曲线？ 题型三：圆锥曲线焦点三角形问题 在圆锥曲线中，可以利用定义和正弦、余弦定理求解焦点三角形问题。PF，PF2=n，m+n，m-n，mn，m+n四者的关系在圆锥曲线中有应用。 例1：椭圆上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求△F1PF2的面积。 例2：已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求该双曲线的标准方程。 题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法
在圆锥曲线中，可以利用a、b、c三者的相等或不等关系式，求解离心率和渐近线的值、最值或范围。在解题时需要注重数形结合思想和不等式解法。 例1：已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边 作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线 的离心率是多少？ 例2：双曲线的两个焦点为F1、F2，渐近线的斜率为±1/2，求双曲线的标准方程。 题型五：圆锥曲线的参数方程 在圆锥曲线的参数方程中，需要注意参数的取值范围，可以通过消元或代数运算求解。 例1：求椭圆x^2/4+y^2/9=1的参数方程。 例2：求双曲线x^2/9-y^2/4=1的参数方程。 题型六：圆锥曲线的对称性
(完整版)圆锥曲线大题题型归纳,推荐文档
精心整理 圆锥曲线大题题型归纳 基本方法： 1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、p 等等； 2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注 4． 5． 1．2．3无关； 45“转化”的经验； 6．大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题 例1、 已知F 1，F 2为椭圆2100x +2 64 y =1的两个焦点，P 在椭圆上，且∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为多少？ 点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。 变式1、已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且 12F PF ∠=120︒，求12F PF ∆的面积。
变式2、已知F 1，F 2为椭圆22 2 1100x y b +=(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点． （1）求|PF 1|?|PF 2|的最大值； （2）若∠F 1PF 2=60°且△F 1PF 2的面积为643 3 ，求b 的值 题型二过定点、定值问题 例2．（淄博市2017届高三3月模拟考试）已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>经过点3(1,)，离心 率为 3 ，点A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点1122(,),(,)P x y Q x y . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）当0AP AQ •=u u u r u u u r 时，求OPQ ∆面积的最大值； （Ⅲ）若直线l 的斜率为2，求证：OPQ ∆的外接圆恒过一个异于点A 的定点. 处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。 例3、（聊城市2017届高三高考模拟（一））已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，一个 顶点在抛物线24x y =的准线上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设O 为坐标原点，,M N 为椭圆上的两个不同的动点，直线,OM ON 的斜率分别为1k 和2k ，是否存在常数p ，当12k k p =时MON ∆的面积为定值？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由. 变式1、已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的焦距为1223,A A ，点为椭圆的左右顶点，点M 为椭圆 上不同于12,A A 的任意一点，且满足121 4 A M A M k k ⋅=-． (I)求椭圆C 的方程： (2)已知直线l 与椭圆C 相交于P ，Q(非顶点)两点，且有11A P A Q ⊥． (i)直线l 是否恒过一定点?若过，求出该定点；若不过，请说明理由． (ii)求2PA Q ∆面积S 的最大值． 点评：证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明
圆锥曲线大题题型归纳
圆锥曲线大题题型归纳 基本方法： 1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、p 等等； 2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的 根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4． 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率 公式一个共五个等式； 5． 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、 坐标问题； 基本思想： 1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关； 4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题 例1、 已知F 1，F 2为椭圆2100x +2 64 y =1的两个焦点，P 在椭圆上，且∠F 1 PF 2=60°，则△F 1 PF 2的面积为多少？ 点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。 变式1、 已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且 12F PF ∠=120?，求12F PF ?的面积。 例2．（淄博市2017届高三3月模拟考试）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点(1,2，离心率为2，
高中数学：圆锥曲线七个经典题型整理，概念、公式、例题
高中数学：圆锥曲线七个经典题型整理，概念、公式、例题 圆锥曲线中常见题型总结 1、直线与圆锥曲线位置关系 这类问题主要采用分析判别式，有 △＞0，直线与圆锥曲线相交； △=0，直线与圆锥曲线相切； △＜0，直线与圆锥曲线相离． 若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。 2、圆锥曲线与向量结合问题 这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。 3、圆锥曲线弦长问题 弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则： 4、定点、定值问题 （1）定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点，再证明结
论，即可简化运算； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 5、最值、参数范围问题 这类常见的解法有两种：几何法和代数法． （1）若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法； （2）若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法． 在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： （1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； （3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用基本不等式求出参数的取值范围； （5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 6、轨迹问题 轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法和参数法。 定义法： （1）判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义； （2）设标准方程，求方程中的基本量 （3）求轨迹方程 相关点法： （1）分析题目：与动点M（x，y）相关的点P（x0，y0）在已知曲线上； （2）寻求关系式，x0=f（x，y），y0=g（x，y）； （3）将x0，y0代入已知曲线方程； （4）整理关于x，y的关系式得到M的轨迹方程。 参数法求轨迹的一般步骤：
圆锥曲线基本题型总结
圆锥曲线基本题型总 结 Revised on November 25, 2020
圆锥曲线基本题型总结： 提纲： 一、定义的应用： 1、定义法求标准方程： 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题： 3、焦点三角形问题： 二、圆锥曲线的标准方程： 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程） 3、各种圆锥曲线系的应用： 三、圆锥曲线的性质： 1、已知方程求性质： 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题： 四、直线与圆锥曲线的关系： 1、位置关系的判定： 2、弦长公式的应用： 3、弦的中点问题： 4、韦达定理的应用： 一、定义的应用： 1.定义法求标准方程： （1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是() A．椭圆B．直线 C．圆D．线段【注：2a>|F1 F2|是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】 2.设B－4,0)，C4,0)，且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为) ＋y2 9＝1 y≠0) ＋ x2 9＝1 y≠0)
＋y2 16＝1 y≠0) ＋ x2 9＝1 y≠0) 【注：检验去点】 3.已知A0，－5)、B0,5)，|P A|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线【注：2a<|F1 F2|是双曲线，2a=|F1 F2|是射线，注意一支与两支的判断】 4.已知两定点F1－3,0)，F23,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是) A.||PF1|－|PF2||＝5 B.||PF1|－|PF2||＝6 C.||PF1|－|PF2||＝7 D.||PF1|－|PF2||＝0 【注：2a<|F1 F2|是双曲线】 5.平面内有两个定点F1－5,0)和F25,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是) －y2 9＝1x≤－4) － y2 16＝1x≤－3) －y2 9＝1x≥4) － y2 16＝1x≥3) 【注：双曲线的一支】 6.如图，P为圆B：x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A坐标为2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程. 7.已知点A(0，3)和圆O1：x2＋(y＋3)2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程． （2）涉及圆的相切问题中的圆锥曲线： 8.已知圆A：x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B3，0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程. 已知动圆M过定点B－4,0)，且和定圆x－4)2＋y2＝16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为) －y2 12＝1 x>0) － y2 12＝1 x<0) －y2 12＝1 － x2 12＝1 【注：由题目判断是双曲线的一支还是两支】 9.若动圆P过点N－2,0)，且与另一圆M：x－2)2＋y2＝8相外切，求动圆P的圆心的轨迹方程. 【注：双曲线的一支，注意与上题区分】
高考圆锥曲线题型归类总结
高考圆锥曲线的七种题型 题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义： （1）椭圆 （2）椭圆 （3）椭圆 2、定义的应用 （1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题 例1、动圆M 与圆C 1:(x+1)2 +y 2 =36内切,与圆C 2:(x-1)2 +y 2 =4外切,求圆心M 的轨迹方程。 例2、方程表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 例1、已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 例2、k 为何值时,方程 1592 2=---k y k x 的曲线： (1)是椭圆; (2)是双曲线.
题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、椭圆焦点三角形面积2 tan 2 α b S = ；双曲线焦点三角形面积2 cot 2 α b S = 2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解 3、2 2 ,,,n m mn n m n m +-+四者的关系在圆锥曲线中的应用； 典型例题 例1、椭圆x a y b a b 222210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角∠F P F 12= α，求证：△F 1PF 2的面积为b 2 2 tan α。 例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 ， ．求该双曲线的标准方程 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值； 2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围； 3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题 例1、已知1F 、2F 是双曲线122 22=-b y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正 三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C. 2 1 3+ D. 13+
圆锥曲线解答题12大题型解题套路归纳
【高考数学中最具震撼力的一个解答题！】注：【求解完第一问以后，】圆锥曲线题10大题型：（1）弦长问题（2）中点问题（3）垂直问题（4）斜率问题（5）对称问题（6）向量问题（7）切线问题（8）面积问题（9）最值问题（10）焦点三角形问题。中的2-----4类；分门别类按套路求解； 1.（总与三个问题有关）：（1）———————；（2）——————————；（3）—————————； 2.圆锥曲线题，直线代入圆锥曲线的：---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————； 3.-------------------；---------------------------------------------；————————————；—————————；——————————；—————————————————；———————————；——————————————； 的弦长问题；（2）中点弦长问题（3）焦点弦长问题；→（1）圆的弦长问题：（2法）首选方法：垂径定理+勾股定理：图示：--------------------------------；公式为：-------------------------；其中求“点线距”的方法：———————；次选：弦长公式；→（2）中点弦长问题：（2 法）首选方法：“点差法”（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；副产品：两直线永远不可能垂直！原因：___________；【两直线夹角的求法：（夹角公式）___________；】双曲线（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；抛物线：形式一：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；形式2：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；附：“点差法”步骤：椭圆：“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式：（公式一）-------------------；（公式二）---------------------；附：“点差法”步骤：抛物线；形
圆锥曲线常考七大题型汇总，一文全学透！
圆锥曲线常考七大题型汇总，一文全学透！ 都说数学中的圆锥曲线高考难题排名第二名，大部分同学抱怨无从下手，计算能力跟不上，算错一次没有勇气从头再来，今天小浙老师教大家如何学好！ 1、牢记核心知识点 核心的知识点是基础，好多同学在做圆锥曲线题时，特别是小题，比如椭圆，双曲线离心率公式和范围记不清，焦点分别在x轴，y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清，在做题时自然做不对。 2、计算能力与速度 计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些，计算能力是可以通过多做题来提升的。后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程，然后得到判别式，两根之和，两根之积的整式。 当然也要掌握一些解题的小技巧，加快运算速度。 3、思维套路 拿到圆锥曲线的题，很多同学说无从下手，从表面感觉很难。老师建议：山重水复疑无路，没事你就算两步。大部分的圆锥曲线大题，都有共同的三部曲：一设二联立三韦达定理。 一设：设直线与圆锥曲线的两个交点，坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线方程为y=kx+b。 二联立：通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。 三韦达定理：得到二次方程后立马得出判别式，两根之和，两根之积。 走完三部曲之后，在看题目给出了什么条件，要求什么。例如涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．总结起来：找值列等量关系，找范围列不等关系，通常结合判别式，基本不等式求解。 4、题型总结
圆锥曲线中常见题型总结 1、直线与圆锥曲线位置关系 这类问题主要采用分析判别式，有 △＞0，直线与圆锥曲线相交； △=0，直线与圆锥曲线相切； △＜0，直线与圆锥曲线相离． 若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。 2、圆锥曲线与向量结合问题 这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。 3、圆锥曲线弦长问题 弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则： 4、定点、定值问题 （1）定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点，再证明结论，即可简化运算； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 5、最值、参数范围问题 这类常见的解法有两种：几何法和代数法． （1）若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法； （2）若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法． 在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：
圆锥曲线常见七大题型
圆锥曲线常见七大题型 （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为（X1,Y1),(X2,Y2) ，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的情况讨论），消去四个参数。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 （4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 对于<1>可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于<2>首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。 最值问题的处理思路： 1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围； 2、数形结合，用化曲为直的转化思想； 3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值； 4、借助均值不等式求最值。 （5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 （6）存在两点关于直线对称问题
圆锥曲线题型归纳(经典附含答案解析)
椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义: 1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙:P 的轨迹是以A 、B 为焦 点的椭圆,则命题甲是命题乙的 < B > A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知1F 、2F 是两个定点,且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是〔 D A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动 点Q 的轨迹是< B > A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 4. 椭圆 19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2,N 为1MF 的中点,O 是椭圆的中心,则ON 的值是 4 。 5. 选做：F 1是椭圆15 92 2=+y x 的左焦点,P 在椭圆上运动,定点A 〔1,1,求||||1PF PA +的最小值。 解：26||2||2||||||221-=-≥-+=+AF a PF a PA PF PA (二) 标准方程求参数范围 1. 试讨论k 的取值范围,使方程1352 2=-+-k y k x 表示圆,椭圆,双曲线。 〔略 2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 102 2=+>>< C > A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 若方程1cos sin 2 2 =+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆,α所在的象限是〔 A A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 方程2 31y x -=所表示的曲线是 椭圆的右半部分 . 5. 已知方程22 2 =+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 k>1 (三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程： 〔1两个焦点的坐标分别为〔0,5和〔0,－5,椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； 〔2长轴是短轴的2倍,且过点〔2,－6； 〔3已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程. 2. 简单几何性质 1． 求下列椭圆的标准方程〔1 32,8= =e c ； 〔2过〔3,0点,离心率为 36 = e 。 〔3椭圆的对称轴为坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆的最近距离是3。 〔4椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到椭圆中心的距离为3,则椭圆的标准方程为 〔5已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为354和3 52,过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。
圆锥曲线解答题十大题型 【完整版】
圆锥曲线解答题十大题型 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点的问题 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：向量问题 题型六：面积问题 题型七：弦或弦长为定值、最值问题 题型八：直线问题 题型九：对称问题 题型十、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆） 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系（简单题型未总结） 题型二：弦的垂直平分线问题 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2 (1) y k x y x =+⎧⎨ =⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+=① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104 k <<② 由韦达定理，得：212221 ,k x x k -+=-121x x =。则线段 AB 的中点为22211 (,)22k k k -- 。 线段的垂直平分线方程为： 22 1112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k = -，则2 11 (,0)22 E k - ABE ∆为正三角形，∴211( ,0)22 E k -到直线AB 的距离d 为 。 AB =2 2 1k k = +d =2 1k += 解得k =053 x =。 【涉及到弦的垂直平分线问题】 这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者．．．．韦达定理．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
圆锥曲线题型归纳(经典含答案)
1 椭圆题型总结 (简单) 一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义: 1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的 椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ D ） A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动点 Q 的轨迹是( B ) A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 4. 椭圆 19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 4 。 5. 选做：F 1是椭圆15 92 2=+y x 的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （1，1），求||||1PF PA +的最小值。 解：26||2||2||||||221-=-≥-+=+AF a PF a PA PF PA 7. (1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =P 、F 三点共线时，距离和最小。 （2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 最小。 解：（1）（2，2） 连PF ，当A 、P 、F 三点共线时，PF AP PH AP +=+最小，此时y=22(x-1),代入y 2=4x 得P(2,22)，（注：另一交点为( 2,2 1 -)，它为直线AF 与抛物线的另一交点，舍去） （2）（ 1,4 1 ） 过Q 作QR ⊥l 交于R ，当B 、Q 、R 三点共线时，QR BQ QF BQ +=+最小，此时Q 点的纵坐标为1，代入y 2=4x 得x= 41，∴Q(1,4 1)