应用统计与随机过程实验报告 (1)

实验一 相关正态分布离散随机过程的产生

一、实验目的

以正态随机过程为例，掌握离散时间随机过程的仿真方法，理解正态分布随机过程与均匀分布随机过程之间的相互关系，理解随机过程的相关函数等数值特征;培养计算机编程能力。 二、实验要求

1) 利用计算机语言的[0,1]区间均匀分布随机数产生函数生成两个

相互独立的序列

{U1(n)|n=1,2,…}，{U2(n)|n=1,2,…}

2) 生成均值为m=0，根方差σ=1的白色正态分布序列 {e(n)|n=1,2,…，}

[][]

m n u n u n +=)(2cos )(ln 2-)(e 21πσ

3) 假设离散随机过程x(n)服从均值为x m =0、根方差为2x =σ、相关

函数为||2)(r k x x k ασ= )6.0(=α 功率谱函数为

∑∞

-∞

=----=-=k jw

jw x x x e e jwk k r w P )1)(1()1()exp()()(22ααασ 1

2

11)(---=z

z G x αασ 随机过程x(n)的生成方法为

)(1)1()(x 2n e n x n x ασα-+-= (n=1,2,…) 给定初始条件x(0)=0 4) 采用集合统计的方法计算

∑==

1000001

'

)(100000

1

n x n x m

∑==1000001

2

'

)(1000001n x n x σ ∑-=+-=k

n x k n x n x k r 1000001

'

)()(1000001

)4,3,2,1(=k 验证计算出来的统计参数与理论值是否一致，差异大小。 5) 采用计算机程序计算正态分布的区间积分

00001.0]2

2)

00001.0(ex p[2

21]22ex p[221200000

1

2

2

2

02

2

⨯⨯⨯-

⨯=

⨯-⨯=∑

⎰

=i i ds s P ππ

根据已生成的序列x(n)，在个数据中，分别计算（-∞， -2），[-2，0]，(0，2]，[2，∞)区间上数据出现的比例P1，P2，P3，P4。比较P1，P2，P3，P4与理想值（0.5-P ）,P,P,（0.5-P ）的一致性。 三、实验代码及结果

1. 利用计算机语言的[0,1]区间均匀分布随机数产生函数生成两个

相互独立的序列

{U1(n)|n=1,2,…}，{U2(n)|n=1,2,…} 代码：

u1=rand(1,); u2=rand(1,); subplot(1,2,1); hist(u1); subplot(1,2,2); hist(u2);

分析:利用随机函数产生了两个随机序列,区间为[0,1]。hist 函数默认将区间划分为10等份。

2. 生成均值为m=0，根方差σ=1的白色正态分布序列 {e(n)|n=1,2,…，}

[][]

m n u n u n +=)(2cos )(ln 2-)(e 21πσ 代码：

clc;

u1=rand(1,); u2=rand(1,);

e=sqrt(-2*log(u1)).*cos(2*pi*u2); hist(e,100);

3. 假设离散随机过程x(n)服从均值为x m =0、根方差为2x =σ、相关

函数为||2)(r k x x k ασ= )6.0(=α 功率谱函数为

∑∞

-∞

=----=-=k jw

jw x x x e e jwk k r w P )1)(1()

1()exp()()(22ααασ 1

2

11)(---=z z G x αασ

随机过程x(n)的生成方法为

)(1)1()(x 2n e n x n x ασα-+-= (n=1,2,…)

给定初始条件x(0)=0 代码：

clc;

u1=rand(1,); u2=rand(1,);

en=sqrt(-2*log(u1)).*cos(2*pi*u2); a=0.6;

x(1)=2*sqrt(1-a*a)*en(1); for n=1:-1;

x(n+1)=a*x(n)+2*sqrt(1-a*a).*e(n+1); end

hist(x,100);

实验结果：

分析：生成服从均值为x m =0、根方差为2x =σ、相关函数为||2)(r k x x k ασ=

)6.0(=α 的离散随机过程x(n)。

4. 采用集合统计的方法计算

∑==

1000001

'

)(100000

1

n x n x m

∑==1000001

2

'

)(1000001n x n x σ ∑-=+-=k

n x k n x n x k r 1000001

'

)()(1000001

)4,3,2,1(=k 验证计算出来的统计参数与理论值是否一致，差异大小。 代码：

u1=rand(1,); u2=rand(1,);

en=sqrt(-2*log(u1)).*cos(2*pi*u2); a=0.6;

x(1)=2*sqrt(1-a*a)*en(1); for n=1:-1;

x(n+1)=a*x(n)+2*sqrt(1-a*a).*en(n+1); end sum=0; for i=1:-1 sum=sum+x(i); end mx=sum/ for i=1:-1

sum=sum+x(i)*x(i); end

ax=sqrt(sum/) for k=1:4 sum=0; for j=1:-k

sum=sum+x(j)*x(j+k); end

r(k)=sum/(-k); end r

输出结果：

5. 采用计算机程序计算正态分布的区间积分

00001

.0]22)

00001.0(ex p[2

21]22ex p[221200000

1

2

2

2

02

2

⨯⨯⨯-

⨯=

⨯-⨯=∑

⎰

=i i ds s P ππ

根据已生成的序列x(n)，在个数据中，分别计算（-∞，-2），[-2，0]，(0，2]，[2，∞)区间上数据出现的比例P1，P2，P3，P4。比较P1，P2，P3，P4与理想值（0.5-P ）,P,P,（0.5-P ）的一致性。 代码：

num1=0;num2=0;num3=0;num4=0; for i=1:1: if (x(i)<-2) num1=num1+1;

else if (x(i)>=-2)&(x(i)<=0) num2=num2+1;

else if (x(i)>0)&(x(i)<=2) num3=num3+1;

else

num4=num4+1;

end

end

end

end

disp('实验值为')

p1=num1/

p2=num2/

p3=num3/

p4=num4/

p2=0;

for i=1:

p2=p2+1/(sqrt(2*pi)*2)*exp(-(i*0.00001)*(i*0.00001)/(2*2*2))*0.00001; end

p3=p2;

p1=(1-2*p2)/2;

p4=p1;

disp('理想值为')

p1,p2,p3,p4

输出结果：

分析：通过将积分运算转化为小区间内的值的相加，可以得到p1,p2,p3,p4的实验值，与理想值进行对比相差不大。