不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解
不可约多项式的判定及应用
摘 要
多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。研究了各判定方法的等价和包含关系。此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。
关键词
不可约多项式；判定方法；应用
2. 不可约多项式的概念及性质
2.1 整除的概念
设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得
()()()()f x q x g x r x =+
成立，其中(())(())r x g x ?
定义2.1 数域P 上的多项式()g x 称为能整除()f x ，如果有数域P 上的多项式()h x 使等式
()f x =()()g x h x
成立，我们用“()g x |()f x ”表示()g x 整除()f x ，用“()g x ()f x ”表示()g x 不能整除()f x 。
定理 2.1[1] 对于数域P 上的任意两个多项式()f x ,()g x ,其中()g x 0≠,()g x |()f x 的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零。
证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。
注1: 带余除法中()g x 必须不为零。
下面介绍整除性的几个常用性质:
（1） 如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。
（2）如果()f x |()g x ,()g x |()h x ，那么()f x |()h x （整除的传递性）。
（3） ()f x |()g x ,()f x |()g x 1,2,,i r =，那么
()f x |()1122()()()()()()r r u x g x u x g x u x g x +++，
其中()i u x 是数域P 上任意多项式。[1]
2.2 本原多项式
若是一个整系数多项式()f x 的系数互素， 那么()f x 叫做一个本原多项式。
2.3 有理数域上多项式的等价
设()g x 有理数域上的一个多项式， 若()g x 的系数不全是整数，那么以()g x 系数分母的一个公倍数乘()g x 就得到一个整系数多项式()f x 。显然，多项式()g x 与()f x 在有理数域上同时可约或同时不可约。
2.4 多项式的不可约相关概念
在中学我们学过一些具体方法，把一个多项式分解为不能再分的因式的乘积，但并没有深入探讨和讨论这个问题，并没有严格地论证它们是否真的不可再分，所谓不可再分的概念，其实不是绝对的，而是相对于系数的数域而言，有例如下
把49x -进行分解，可分解为
49x -()()2233x x =+-
但这是相对于有理数域而言的，对于实数域来说还可分进一步为
()(
4293x x x x -=++ 而在复数域上，还可以再进一步分解为
()(
49x x x x x -=+
由此可见，必须明确系数域后，所谓的不可再分，才有确切的涵义。
在下面的讨论中，仍然须选定一个数域P 作为系数域，数域P 上多项环P []x 中多项式的因式分解相关的不可约定义如下
定义2.4.1 数域P 上的次数≥1的多项式()p x 称为域P 上的不可约多项式，如果它不能表示成数域P 上两个次数比()p x 的次数低的多项式的乘积。
我们要谈的多项式的不可约性问题的相关事实如下
（1）一次多项式总是不可约多项式;
（2）一个多项式是否不可约是依赖于系数域的;
（3）不可约多项式()p x 与任一多项式()f x 之间只能是有两种关系，或者()p x |()f x 或者()(),()1p x f x =，事实上，如果()(),()p x f x =()d x ，那么()d x 或者是1，或者是()(0)cp x c ≠，当()d x = ()cp x 时，就有()p x |()f x 。[1]
2.5 有理数域上不可约多项式的定义
如果()f x 是有理数域上次数大于零的多项式且不能表示成有理数域上两个次数比它低的多项式的乘积， 则()f x 称为有理数域上的不可约多项式。
3. 有理数域上不可约多项式的判定方法
3.1 Eisenstein 判别法[1]
在高等代数中，Eisenstein 判别法是最为经典和著名的，也是现行有理数
域上不可约多项式判定判定方法中最为实用的。而人们长久以来的研究衍生出了许多不同的方法。
3.1.1直接判别法[]2
定理3.1.1 设0()n n f x a x a =+???+是一个整系数多项式，其中1n ≥，设存在一
个素数p ，使得 p 不整除n a ，p 整除i a （i n <）但2p 不整除0a ，那么多项式()f x 在有理数域上不可约。
3.1.2 间接判别法
对于分圆多项式不能直接应用 Eisenstein 判别法，可以做适当的变形之后便可以应用了。在学习的过程中，面对此类问题，因为其系数较高，不能用定义法去判定。我们所学的也只有Eisenstein 判别法，但不能直接运用。考虑到多项式的等价，对多项式我们可以做适当代换x ay b =+，这样产生了 Eisenstein 判别法的间接判别法。
定理 3.1.2 有理系数多项式()f x 在有理数域上不可约的充分必要条件是: 对于任意的有理数0a ≠和b ，多项式()f ax b +在有理数域上不可约。
例1 证明4()1f x x =+在Q 上不可约。
证明: 4432(1)(1)14642f x x x x x x +=++=++++
取2p =，则p 不整除1，p 整除4,6,2，2p 不整除2
由 Eisenstein 判别法知(1)f x +在Q 上不可约，因此()f x 在Q 上不可约。
3.1.3 其他派生出的判别法
这种由Eisenstein 判别法派生出的方法与Eisenstein 判别法相类似，能够用来判定Eisenstein 判别法所不能判定的一类有理数域上的不可约多项式。
定理3.1.3 设1110
()n n n n f x a x a x a x a --=++???++是一个整系数多项式，如果存
在一个素数p ，使p 整除常数项0a 但整除其他各项系数且2p 不整除最高次数项系数，那么多项式在有理数上不可约。
例2下列多项式在有理数域上是否可约？
(1)21x +； (2) 4328122x x x -++； 63(3)1x x ++
(4)1p x px ++，p 为奇素数；4(5)41x kx ++，k 为整数.
解: (1) 令1x y =+，则有
22()(1)(1)122g y f y y y y =+=++=++
取素数p =2，由于21,2 | 2,但是222故由Eisenstein 判别法可知，()g y 在有理数上不可约，从而()f x =21x +在有理数域上也不可约。
(2) 取素数p =2,则21,2 | -8,2 | 12，但是222故由Eisenstein 判别法可知，该多项式在有理数域上也不可约。
(3) 令1x y =+，代入()f x =631x x ++,得
65432()(1)615211893g y f y y y y y y y =+=++++++
取素数p =3。由于31,3 | 6,3 | 15,3 | 21,3 | 18,3 | 9,3 | 3，但是233，故由Eisenstein 判别法可知，()g y 在有理数上不可约，从而()f x 在有理数域上也不可约。
(4) 令1x y =-,代入()f x =1p x px ++,得
()1122221()(1)p p p p p p p p p g y f y y C y C y C y C p y p ----=-=-+--++-
由于p 是素数，且|1,|i
p p p C /,(1,2,,2)i p =-，()1|+p p p C p -，2|p p /，故由Eisenstein
判别法可知，()g y 在有理数上不可约，从而()f x 在有理数域上也不可约。
（5）令1x y =+，代入()f x =441,x kx ++得
432()(1)46(44)42g y f y y y y k y k =+=++++++
取素数p =2，由于21，又2 | 4,2 | 6,2|(4k+4)，2 | (4k+2)，但22(4k+2)，故由Eisenstein 判别法可知，()g y 在有理数上不可约，从而()f x 在有理数域上也不可约。
3.2 Kronerker 判别法[]2
定理3.2.1 设[]()f x Q x ∈，这里Q 为有理数域。则在有限步下()f x 能分解成不可约多项式的乘积。 （只考虑整系数多项式的情形）
例3 证明5()1f x x =+在Q 上不可约。 证明：522
s =<取0121,,0,1a a a =-==，
则(1)0,(0)1,(1)2f f f -===
(1)0,(0)1,(1)2f f f -=== 从而(1)f -的因子是0，(0)f 的因子是1，(1)f 的因子是1，
故令(1)0,(0)1,(1)1;(1)0,(0)0,(1)2g g g g g g -===-===
应用插值多项式：
212(1)(1)(1)(0)1()0(2)(01)(01)(11)(10)2(1)(1)2(1)(0)()01(01)(01)(11)(10)x x x x g x x x x x x x g x x +-+-=+
+=--+-+-+-+-=++=++-+- 由带余除法可知，1()g x 不整除()f x ，2()g x 不整除()f x ，所以()f x 在Q 上不可约。
3.3 Perron 判别法[]3
定理 3.3.1 设12120(),0n n n n n f x x a x a x a a ----=+++???+≠是多项式，如果
12310||1||||||||n n n a a a a a --->+++???++，则()f x 在Q 上不可约。
例4 证明542()41f x x x x =+++在Q 上不可约
证明：该题不满足艾森斯坦判别法，但其为整系数多项式，满足Perron 判别法的条件，由题意可知411>+，所以据Perron 判别法可知该多项式在Q 上不可约。
3.4 Brown 判别法[]3
定理3.4.1 设()f x 是n 次整系数多项式，令
(){|(1)|,|(0)|,(1)}S f f f f -???-???
1N 表示()S f 中1的个数，p N 表示()S f 中的素数的个数，如果124p N N n +>+，则()f x 在Q 上不可约。
例5 证明32()21f x x x x =-+-在Q 上不可约
证明：(0)1,(1)1,(1)5,(2)13,(2)23,(3)47f f f f f f =-=-=-=-=-=
14,2p N N ∴≥≥故p 12843N N +≥≥+
所以多项式在Q 上不可约。
3.5 多项式无有理因式判别法[]7
定理3.5.1 设01()n n f x a a x a x =++???+是一个整系数多项式，若()f x 没有次数小于和等于r 的有理因式，并且存在素数p ，使：
（1）p 至少不整除1,,,n n n r a a a --???中的一个
（2）|,0,1,2,,1i p a i n r =???--
（3）20|p a /
那么，()f x 在有理数域上不可约。
定理3.5.2 设01()n n f x a a x a x =++???+是一个整系数多项式，若()f x 没有次数小于和等于r 的有理因式，并且存在素数p ，使：
（1）p 至少不整除01,,,r a a a ???中的一个
（2）|,1,2,i p a i r r n =++???
（3）2|n p a /
那么，()f x 在有理数域上不可约。
这种方法在应对没有不小于二次的有理因式的判定时，因为其需要计算机计算来得到，所以在此种情况下，没有克罗奈克的方法更加的简便。
3.6 模p 约化处理判定法[]8
定理 3.6.1 01()[](0,2)n n n f x a a x a x Z x a n =++???+∈≠≥，p 是素数，2101201|,|,,,,|,|n n n p a p a a a p a p a b ---???-///，其中0|n a a b p
，则()f x 在[]Q x 中不可约。 定理 3.6.2 01()[](0,2)n n n f x a a x a x Z x a n =++???+∈≠≥，p 是素数，21231|,|,,,,|,|n n p a p a a a p a p a b ???-///，其中0|n a a b p
，则()f x 在[]Q x 中不可约。 定理 3.6.3 01()[](0,2)n n n f x a a x a x Z x a n =++???+∈≠≥，p 是素数，2011101|(0),|,,,,,,,|,,|j j j n n p a j n p a a a a a p a a p a b -+<
，则()f x 在[]Q x 中不可约。
定理 3.6.4 01()[](0,3)n n n f x a a x a x Z x a n =++???+∈≠≥，p 是素数，21011230112,|,,|,,,,,,,,|,,|,i i i i i n n i i i n p a a p a a a a a a p a a p a b a b +-+++≤≤-??????--///，其中
02|n a a b p
，()f x 无理想根，则()f x 在[]Q x 中不可约。 例6 判断以下多项式在[]Q x 中是否可约:
1152991003(1)()5722(2);
(2)()720007(6);
(3)()59720085(100).
n n n n f x x x n f x x x n f x x x x n -=+-≥=++≥=+++>
解：（1）21012011|7,11|,,,,11|22,11|7n n a a a a a b --=???=--/// 其中5(22)|1011b -=-,由定理2.5.1, 1()f x 在[]Q x 中不可约. （2）2501234677|2007,7|,,,,,,,,,7|2000n a a a a a a a a a b =???-// 其中02|17
n a a b =，由定理2.5.3，2()f x 在[]Q x 中不可约. （3）991005|97,2008a a ==/，5整除其余各项系数，
205|5,5,5|97,2008n a a b b ==--//，其中02
|
15n a a b =，因为3()f x 的系数全为正数，所以3()f x 的有理根只可能为负数，设,(,)1,0,0v u v u v u
=><是3()f x 的有理根，则11|5,|5,1,5,1,5,,{1,5,}55v u v u c u --=--=--?∈--，所以3(1)1f c -均不是整式，所以无有理根，由定理2.5.4，3()f x 在[]Q x 中不可约。
4. 两类特殊不可约多项式的判定
4.1 奇次不可约多项式的判定[]9
定理4.1.1 对于整系数奇次多项式
2122212210()()n n n n f x a x a x a x a x a n N ++=++???+++∈
若存在素数p 使得
（1）122|,,,n n n p a a a ++??? （2）200|,,,n p a a a ???
（3）21|n p a +/ （4）30|p a /
那么，()f x 在有理数域上不可约。
4.2 系数为1的不可约多项式的判定[]10
定理4.2.1 已知0()(,2)n
i n i f x x n N n ==∈≥∑是系数为1的多项式。当n 为奇数时，
()n f x 在[]Q x 上可约；
当n 为偶数时，如果1n +为合数，()n f x 在[]Q x 上可约，如果1n +为素数，()n f x 在[]Q x 上不可约。
推论4.2.2 已知0()(1)(,2)n
i i n i f x x n N n ==-∈≥∑是系数在Q 的多项式 。当n 为奇数
时，()n f x 在[]Q x 上可约； 当n 为偶数时，如果1n +为合数，()n f x 在[]Q x 上可约，如果1n +为素数，()n f x 在[]Q x 上不可约。
推论4.2.3已知0()(,2,)n
ki n i f x x n N n k ==∈≥∑为正整数是系数在Q 的多项式 。当n 为
奇数时，()n f x 在[]Q x 上可约；当n 为偶数时，如果1n +为合数，()n f x 在[]Q x 上可约。
5. 不可约多项式的应用
5.1 不可约多项式在重因式中的应用[]1
定义5.1.1 不可约多项式()p x 称为多项式()f x 的k 重因式，如果()|()k p x f x ，而1()|()k p x f x +/。如果0k =，那么根本不是()f x 的因式；如果1k =，那么称为()f x 的单因素；如果1k >，那么称为()f x 的重因式。
如果()f x 的标准分解式为
1212()()()()s r r r s f x cp x p x p x =???
那么12(),,(),,()r p x p x p x ???分别是()f x 的1r 重，2r 重，???，s r 重因式。
定理 5.1.2 如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥，那么它是微商'()f x 的1k -重因式。
推论 5.1.3 如果不可约多项式()p x 是()f x 的重因式，那么()p x 是'(1)(),(),,()k f x f x f x -???的因式，但不是()()k f x 的因式。
推论 5.1.4 不可约多项式()p x 是()f x 的重因式的充分必要条件为()p x 是()f x 与'()f x 的公因式。
作为重因式的概念定义的基础，不可约多项式的应用从此可见一斑。
5.2 不可约多项式在多项式互素中的应用
定理 5.2.1 []P x 中两个多项式(),()f x g x 互素的充要条件是有[]P x 中的多项式(),()u x v x 使()()()()1u x f x v x g x +=。
定理5.2.2 如果((),())1f x g x =,且()|()()f x g x h x ,那么()|()f x h x 。
例7 证明：如果()(),()1f x g x =，()(),()1f x h x =，那么
()(),()()1f x g x h x =．
解：假设()(),()()1f x g x h x ≠，则一定存在不可约多项式
()p x ()()()0p x ?>
使得()p x |()f x 和()p x |()()g x h x
又因为()p x 不可约，则有
()p x |()g x 或()p x |()h x
这样()(),()1f x g x ≠或()(),()1f x h x ≠，与条件矛盾。所以
()(),()()1f x g x h x =．[7]
例8 设11(),,(),(),,()m n f x f x g x g x 都是多项式，而且
()()(),()11,2,,;1,2,,i j f x g x i m j n ===。
求证：()1212(),(),,(),(),,,()1m n f x f x f x g x g g x =。
解: 假设()1212(),(),,(),(),,,()1m n f x f x f x g x g g x ≠，则存在不可约多项式()p x ()()()0p x ?>，使得
12()|(),(),,()m p x f x f x f x 和12()|(),(),,()n p x g x g x g x ,
又因为()p x 不可约，故存在,i j ，使得
()|()i p x f x ,()|()j p x g x
则有
()(),()1i j
f x
g x ≠ 这与条件矛盾，故
()1212(),(),,(),(),,,()1m n f x f x f x g x g g x =．[8]
例9 证明：如果()(),()1f x g x =，那么()()(),()()1f x g x f x g x +=。
解: 假设()()(),()()1f x g x f x g x +≠，则存在不可约多项式()p x ()()()0p x ?>使得
()|()()p x f x g x 和()()|()()p x f x g x +
又因为()p x 不可约，则有
()p x |()f x 或()p x |()g x 。
不妨设()p x |()f x ，由()p x |()f x 和()()|()()p x f x g x +可得：()p x |()g x
所以，()p x |()f x ，()p x |()g x 同时成立，即：()(),()1f x g x ≠
这与条件矛盾，故有()()(),()()1f x g x f x g x +=。[11]
6. 结 论
本文通过相关资料的收集与整理，对有理数域上不可约多项式的判定方法做了整理和归纳。对一般的多项式给出了克罗内克（Kronecker）判别法、艾森斯坦(Eisenstein)判别法、Perron判别法、Brown判别法、没有有理因式的判别法、模p约化判别法(p为素数)。其中艾森斯坦(Eisenstein)判别法是最为经典实用的方法，也是现行课本中的判别法。但有其一定的局限性。对于克罗内克（Kronecker）判别法，其大多依赖于计算机，实用不大。Perron判别法和Brown 判别法为国外引进方法，我国数学学者在其有一定的研究基础。模p约化判别法(p为素数)是我国提出来的应用抽象代数知识对多项式进行模p约化处理，再研究多项式的性质而得到的有理数域上不可约多项式的判定方法。在实际应用这些方法时，应根据题意选择判别法。有理数域上不可约多项式的判定方法及分类是一个具有挑战性的课题。一直以来，不乏学者对多项式的不可约性做过深入的研究。但总的来说，暂时没有一个较为系统的介绍，其发展还不是很完善。即使现在有理数域上不可约多项式的判定已有很多种方法，但还是期待着更加简便，更加实用的方法出现，以致于能把不可约多项式进行分类。
不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解
不可约多项式的判定及应用 摘 要 多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。研究了各判定方法的等价和包含关系。此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。 关键词 不可约多项式；判定方法；应用 2. 不可约多项式的概念及性质 2.1 整除的概念 设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得 ()()()()f x q x g x r x =+ 成立，其中(())(())r x g x ?
证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。 注1: 带余除法中()g x 必须不为零。 下面介绍整除性的几个常用性质: （1） 如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。 （2）如果()f x |()g x ,()g x |()h x ，那么()f x |()h x （整除的传递性）。 （3） ()f x |()g x ,()f x |()g x 1,2,,i r =，那么 ()f x |()1122()()()()()()r r u x g x u x g x u x g x +++， 其中()i u x 是数域P 上任意多项式。[1] 2.2 本原多项式 若是一个整系数多项式()f x 的系数互素， 那么()f x 叫做一个本原多项式。 2.3 有理数域上多项式的等价 设()g x 有理数域上的一个多项式， 若()g x 的系数不全是整数，那么以()g x 系数分母的一个公倍数乘()g x 就得到一个整系数多项式()f x 。显然，多项式()g x 与()f x 在有理数域上同时可约或同时不可约。 2.4 多项式的不可约相关概念 在中学我们学过一些具体方法，把一个多项式分解为不能再分的因式的乘积，但并没有深入探讨和讨论这个问题，并没有严格地论证它们是否真的不可再分，所谓不可再分的概念，其实不是绝对的，而是相对于系数的数域而言，有例如下 把49x -进行分解，可分解为 49x -()()2233x x =+-
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多项式乘以多项式的 教案
精品好文档，推荐学习交流 一、授课教师：永德一中教师施金海 二、教学内容：课本P147多项式乘以多项式 三、教学目标： 1、知识与技能：让学生理解多项式乘以多项式的运算法 则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法 运算。 2、过程与方法：经历探索多项式与多项式相乘的运算法 则的推导过程，体会运算的。 3、情感与态度：通过推理，培养学生计算能力，发展有 条理的思考，逐步形成主动探索的习惯。 四、教学重点：多项式与多项式的乘法法则的理解及应用。 五、教学难点：多项式与多项式的乘法法则的应用。 六、教学关键：多项式的乘法应先转化为单项式与多项式而后 再应用已学过的运算法则解决。 七、教学方法：采用“情境——探索”教学方法，让学生在设的 情境中，通过操作感知多项式与多项式乘法的 内涵。 八、教学模式：用启发、诱导，探究的教学模式。 九、教具准备：幻灯片。 十、教学过程： （一）回顾与思考（出示课件） 教师：如何进行单项式与多项式相乘的运算？
精品好文档，推荐学习交流 学生：将单项式分别乘以多项式的各项，再把所得的积相加。 教师：进行单项式与多项式乘法运算时，要注意什么？ 学生：（1）不能漏乘。（即：单项式要乘遍多项式的每一项） （2）去括号时注意符号的确定。 教师：对于公式：bx ax x b a +=+)(，那么当n m x +=时， ?)(=+x b a 即：))(()(n m b a x b a ++=+等于多少？ 教师：要完成上述问题，我们先来解决以下问题： （出示课件）我们怎样来表示此绿地的总面积呢？想一想可以用几种方法表示？ 学生：图2，可得总面积为2 ))((米n m b a ++ 学生：图3，可得总面积为2 )()(米n m b n m a +++或 2米bn bm an am +++ 教师：请同学们看看这3个式子都是表示了绿地的总面积，那 么它们相等吗？ 我们可以把绿地分成4部分（出示课件），所以总面积就等 于各个部分面积相加，你们观察它分的过程：所以知道怎样计算：))((n m b a ++吗？ 学生：))((n m b a ++bn bm an am +++= 教师：你能用语言叙述多项式乘以多项式的乘法法则了吗？ 学生：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘 以另一个多项式的每一项，在把所得的积相加。
多项式乘多项式课堂练习题
多项式乘以多项式 类型一 (3m-n)(m-2n)． (x+2y)(5a+3b)． ()()5332--x x ()()y x y x 2332+- ()()y x x y 5323-- ()()y x y x 432-- ()()()()2315332---+-x x x x ()()?? ? ??----213265312x x x x ()()()()y x y x y x y x -----3222332 ()()()y x x y x y x 5624334--+- 类型二 ()()23++x x ()()56++x x ()()53--x x ()()61--x x ()()53+-x x ()()58+-x x ()()56+-x x ()()2010+-x x 总结归纳 ()()=++b x a x
三化简求值： 1. m2(m＋4)＋2m(m2－1)－3m(m2＋m－1)，其中m＝2 5 2.x(x2－4)－(x＋3)(x2－3x＋2)－2x(x－2)，其中x＝3 ． 2 3.(x-2)(x-3)+2(x+6)(x-5)-3(x2-7x+13)，再求其值，其中x= 四选择题 1．若(x＋m)(x－3)＝x2－nx－12，则m、n的值为 ( ) A．m＝4，n＝－1 B．m＝4，n＝1 C．m＝－4，n＝1 D．m＝－4，n＝－1 2．若(x－4)·(M)＝x2－x＋(N)，M为一个多项式，N为一个整数，则 ( ) A．M＝x－3，N＝12 B．M＝x－5，N＝20 C．M＝x＋3．N＝－12 D．M＝x＋5，N＝－20 3．已知(1＋x)(2x2＋ax＋1)的结果中x2项的系数为－2， 则a的值为 ( ) A．－2 B．1 C．－4 D．以上都不对 4．若M＝(a＋3)(a－4)，N＝(a＋2)(2a－5)，其中a为有理数，则M与N的大小关系为( )
三次正多项式p_不可约的充要条件(精)
第 19卷第 2期宁波大学学报(理工版 V ol.19 No.2 2006年 6月 JOURNAL OF NINGBO UNIVERSITY ( NSEE June 2006 文章编号 :1001-5132(2006 02-0193-03 三次正多项式 p -不可约的充要条件 解烈军 (宁波大学理学院 , 浙江宁波 315211 摘要:通过对所有可能正分解的详细讨论,给出了三次正多项式 p -不可约的显式充要条件, 该条件为由三次正多项式的系数构成的一个简单不等式 . 本文使用的主要工具是笛卡尔符号法则的推论和多项式完全判别系统相关结论等 . 关键字:正多项式; p -不可约;充要条件 中图分类号:O151.1 文献标识码:A 在许多生理过程中都包含所谓的“蛋白质-配位体的键合(protein-ligand binding ”过程 . 在众多的用于描述和解释这个过程的数学模型中, Wyman J [1]引入了键合多项式(binding polyno- mial这个基本工具 . 在生物化学领域,这样的一个事实是熟知的:如果某个大分子的键合多项式是 p -不可约的, 则其所有键合位点组成“联动结构” (linkage , 即配位体在一个位点的键合会加速或抑制其他位点的键合过程 . 反之,如果对应的键合多项式有正分解,则其位点可以分解成若干独立的组,不同组的位点互不影响 . 这样,一个大分子的诸键合位点是否联动的问题就归结为其键合多项式是否有正分解,即是否为 p -不可约的问题, 而键合多项式都是正多项式 . 所以,由一个正多项式的系数直接给出其 p -不可约的充要条件,就显得非常重要 . 关于这个问题,已有不少学者进行了讨论 [1-3]. 但是研究的多项式都是四次正多项式 . 显然,不能将这些结论简单地移植到三次正多项式,相对于四次,讨论三次正多
单项式乘以多项式(教案设计)
整式的乘法（二） 单项式乘以多项式（教案） 学习目标 1．在具体情景中，了解单项式乘以多项式的意义，理解单项式与多项式的乘法法则； 2．能熟练、正确地运用法则进行单项式与多项式的乘法运算. 3．经历探索乘法运算法则的过程，让学生体验从“特殊”到“一般”的分析问题的方法，感受“转化思想”、“数形结合思想”，发展观察、归纳、猜测、验证等能力. 4．初步学会从数学角度提出问题，运用所学知识解决问题，发展应用意识.通过反思,获得解决问题的经验.发展有条理的思考及语言表达能力. 学习重点：在经历法则的探究过程中，深刻理解法则从而熟练地运用法则. 学习难点：正确判断单项式与多项式相乘的积的符号. 学习过程： 一、复习回顾 1、单项式与单项式怎样相乘. 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2、单项式与单项式怎样相乘运用了哪些乘法运算律？除此之外，还有什么乘法运算律? 单项式与单项式相乘运用了乘法交换律、结合律， 一、联系生活设境激趣 问题一：1.在一次绿色环保活动中购买奖品如下表, ⑴有几种算法计算共花了多少钱？⑵各种算法之间有什么联系？ 请列式：方法1: ; 方法2： . 联系……① 2．将等式15(5.20+3.40+0.70) =15×5.20+15×3.40+15×0.70 中的数字用字母代替也可得到等式：m（a+b+c） =ma+mb+mc；……② 问题二：三家连锁店以相同的价格m (单位:元/瓶) 销售某种商品,它们在一个月内的销售量(单位:瓶) 分别是a,b,c。你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗? 方法一：先求三家连锁店的总销量，再求总收入，即 总收入（单位：元）为：m(a+b+c) 方法二：先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和，
多项式乘多项式试题精选(二)附答案
多项式乘多项式试题精选（二） 一．填空题（共13小题） 1．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的长方形，则需要C类卡片_________张． 2．（x+3）与（2x﹣m）的积中不含x的一次项，则m=_________． 3．若（x+p）（x+q）=x2+mx+24，p，q为整数，则m的值等于_________． 4．如图，已知正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼成一个长为（a+2b）、宽为（a+b）的大长方形，则需要A类卡片_________张，B类卡片_________张，C类卡片_________张． 5．计算： （﹣p）2?（﹣p）3=_________；=_________；2xy?（_________）=﹣6x2yz；（5﹣a）（6+a）=_________． 6．计算（x2﹣3x+1）（mx+8）的结果中不含x2项，则常数m的值为_________． 7．如图是三种不同类型的地砖，若现有A类4块，B类2块，C类1块，若要拼成一个正方形到还需B类地砖 _________块． 8．若（x+5）（x﹣7）=x2+mx+n，则m=_________，n=_________． 9．（x+a）（x+）的计算结果不含x项，则a的值是_________． 10．一块长m米，宽n米的地毯，长、宽各裁掉2米后，恰好能铺盖一间房间地面，问房间地面的面积是_________平方米． 11．若（x+m）（x+n）=x2﹣7x+mn，则﹣m﹣n的值为_________． 12．若（x2+mx+8）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x3和x2项，则mn的值是_________． 13．已知x、y、a都是实数，且|x|=1﹣a，y2=（1﹣a）（a﹣1﹣a2），则x+y+a3+1的值为_________．
反证法证明多项式不可约
反证法证明多项式不可约 在有理数域上，直接判别一个多项式是否不可约，是一件及其困难和复杂的事情，此时我们可以利用反证法来判别． 例 1 已知)(x p 是次数大于零的多项式，若对于任意两个多项式)(x f 和)(x g ，由)()(|)(x g x f x p 可以推出)(|)(x f x p 或)(|)(x g x p ，则)(x p 是不可约多项式． 证明 假设)(x p 可约，则必存在次数小于))((x p ?的多项式)(x f 与)(x g ，使得)()()(x g x f x p =，即)()(|)(x g x f x p ，又由已知条件，知)(|)(x f x p ，)(|)(x g x p ，但))(())((x p x f ??x f ，所以)(x f 在整数环Z 上也可约，即有整系数多项式)(1x f 与)(2x f ，使得)()()(21x f x f x f =，其中))(())((x f x f i ?
5.多项式乘以多项式练习题
5．多项式与多项式相乘 一、选择题 1.计算(2a－3b)(2a＋3b)的正确结果是() A．4a2＋9b2B．4a2－9b2C．4a2＋12ab＋9b2D．4a2－12ab＋9b2 2.若(x＋a)(x＋b)＝x2－kx＋ab，则k的值为() A．a＋b B．－a－b C．a－b D．b－a 3.计算(2x－3y)(4x2＋6xy＋9y2)的正确结果是() A．(2x－3y)2B．(2x＋3y)2C．8x3－27y3D．8x3＋27y3 4.(x2－px＋3)(x－q)的乘积中不含x2项，则() A．p＝q B．p＝±q C．p＝－q D．无法确定 5.若0＜x＜1，那么代数式(1－x)(2＋x)的值是() A．一定为正B．一定为负C．一定为非负数D．不能确定6.计算(a2＋2)(a4－2a2＋4)＋(a2－2)(a4＋2a2＋4)的正确结果是() A．2(a2＋2)B．2(a2－2)C．2a3D．2a6 7.方程(x＋4)(x－5)＝x2－20的解是() A．x＝0 B．x＝－4 C．x＝5 D．x＝40 8.若2x2＋5x＋1＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，那么a，b，c应为() A．a＝2，b＝－2，c＝－1 B．a＝2，b＝2，c＝－1 C．a＝2，b＝1，c＝－2 D．a＝2，b＝－1，c＝2 9.若6x2－19x＋15＝(ax＋b)(cx＋d)，则ac＋bd等于() A．36 B．15 C．19 D．21 10.(x＋1)(x－1)与(x4＋x2＋1)的积是() A．x6＋1 B．x6＋2x3＋1 C．x6－1 D．x6－2x3＋1 二、填空题 1.(3x－1)(4x＋5)＝_________． 2.(－4x－y)(－5x＋2y)＝__________． 3.(x＋3)(x＋4)－(x－1)(x－2)＝__________． 4.(y－1)(y－2)(y－3)＝__________． 5.(x3＋3x2＋4x－1)(x2－2x＋3)的展开式中，x4的系数是__________．
不可约多项式本源多项式
有限域第一次大作业 一、实验内容 （1）构造有限域202F . （2）找到有限域202F 上的任意元素的极小多项式； （3）找到2F 上的一个本原多项式。 二、算法设计 （1）我们知道有限域()n q F q p =的表达有三种形式：()i {} q q F ααα==，α为 ()q h x x x =-的根；()ii []()()()[],p q p F x F f x F x n f x =∈的次不可约多项式； ()iii {}0,q q F F α=U 为上的一个生成元；在这里我们主要通过找到2F 上的一个20次可约多项式来构造有限域202F ，并进行相应的运算。由于只要找到一个2F 上的不可约多项式，我们采用的算法：()a 随机生成一个20次2F 上的多项式，()b 判断多项式为不可约的，pari 代码见附录1；通过pari 我们得到了一个20次的不可约多项式()(x)f ，则[]()2(x)F x f 即为我们想要的有限域，在这有限域上可以直接进行相应的代数运算，pari 代码见附录2； （2）找到有限域202F 上的任意元素α的极小多项式()f x 的思路 第一步：通过元素α的共轭元个数来判断极小多项式()f x 的次数； 第二步：通过α的共轭元生成极小多项式()f x ； 第三步：进一步判断该元素α是否为本原元，若是，则生成的极小多项式()f x 就是2F 上的本原多项式。 pari 代码见附录3；
（3）由于上述方法（2）生成的极小多项式不一定是本原多项式，因此，我们还给出一个能找到上的本原多项式的方法，该方法也是基于随机生成多项式并判断是否为本原多项式，我们知道一个n 次不可约多项式()f x 是本原多项式的条件是其周期达到最大1n p -，由于()() 11n p f x x --，所以只要11n k p p p -=L 时，若()|f x ()11 1,,n i p p x i k -?? ?-= ???L ，则()f x 就是本原多项式，所用的算法思路如下 第一步：随机产生一个2F 上的20次多项式()f x ； 第二步：利用方法一判断该多项式()f x 是否为不可约的； 第三步：进一步判断该多项式()f x 是否为本原多项式。 pari 代码见附录4； 三、实验结果 （1）第一问产生的不可约多项式 我们选择()20191814136++1f x x x x x x x =++++作为我们的所要的不可约多项式 第一问有限域上元素的运算
不可约多项式外文文献加翻译
不可约多项式外文文献加翻译不可约多项式外文文献加翻译 = irreducible polynomial Let f (x) = fl (x)ll--fk(x)lk be the standard factorization of f(x) in the polynomial ring F[x], where fi (x) is an irreducible polynomial with leading coefficient 1 and degree ni. f (x) =f_l (x) 1???f_k (x) ~lk是f (x)在多项式环F[x]中的标准分 解 式,f_i (x)是最高系数为1、次数为n_i的不可约多项式. In this note, we suppose n is a composite, Z_n is a residue class ring mod n> r (x) WZ_n[x] and r (x) is a monic irreducible polynomial of degree k (k>0) over Z_n. 设n是一个合数,Z_n表示模n的剩余类环,r (x) EZ_n[x]是一个首一的k(>0)次不可约多项式。 From these, the cyclic Zq? code with the generator hm(x) whichis primitive basic irreducible polynomial over Zq can be mapped for nonlinearcode with big distance over Zp. 由此将Zq上的一类由本原基本不可约多项式hm(x)生成的循环码映射成Zp上具有较大距离的非线性码，其中本原基本不可约多项式hm(x)是指hm(x)在模p映射下的象hm(x)是Zp [x]中的本原多项式. As a matter of fact, the met hod starts from Z_2, and t here is an irreducible polynomial x~2+x+l over Z_2. As a generating element, which may be regarded as a Princpal Ideal (x~2+x+l). Therefore, as are know from the thory of Modern Algebra, Z_2[x]/(x~2+x+l) is a Finite Fields. 这一方法实质上是从Z_2岀发，以Z_2上的一个不可约多项式x~2+x+l 为生成元做一个主理想(x~2+x+l),然后由近世代数的理论知Z_2[x]/(x~2+x+l)是一个有限域，从而得到了GF⑷。
不可约多项式外文文献加翻译
不可约多项式外文文献加翻译
不可约多项式外文文献加翻译irreducible polynomial Let f(x) = f1(x)l1…fk(x)lk be the standard factorization of f(x) in the polynomial ring F[x], where fi(x) is an irreducible polynomial with leading coefficient 1 and degree ni. f(x)=f_1(x)~l1…f_k(x)~lk是f(x)在多项式环F[x]中的标准分解式,f_i(x)是最高系数为1、次数为n_i的不可约多项式. In this note, we suppose n is a composite, Z_n is a residue class ring mod n, r(x)∈Z_n[x] and r(x) is a monic irreducible polynomial of degree k (k>0) over Z_n. 设n是一个合数,Z_n表示模n的剩余类环,r(x)∈Z_n[x]是一个首一的k(>0)次不可约多项式。 From these, the cyclic Zq? code with the generator hm(x) whichis primitive basic irreducible polynomial over Zq can be mapped for nonlinearcode with big distance over Zp. 由此将Zq上的一类由本原基本不可约多项式hm(x)生成的循环码映射成Zp上具有较大距离的非线性码,其中本原基本不可约多项式hm(x)是指 hm(x)在模p映射下的象hm(x)是Zp[x]中的本原多项式. As a matter of fact, the method starts from Z_2, and there is an irreducible polynomial x~2+x+l over Z_2. As a generating element, which may be regarded as a Princpal Ideal (x~2+x+1). Therefore, as are know from the thory of Modern Algebra, Z_2[x]/(x~2+x+1) is a Finite Fields. 这一方法实质上是从Z_2出发,以Z_2上的一个不可约多项式 x~2+x+1为生成元做一个主理想(x~2+x+1),然后由近世代数的理论知 Z_2[x]/(x~2+x+1)是一个有限域,从而得到了GF(4)。 Irreducible Polynomial of Integral Coefficient 关于整系数不可约多项式 prime polynomial This paper directly proves that a prime polynomial has the radical solutionsover a finite field. 直接证明了有限域上的不可约多项式有根号解 “不可约多项式”译为未确定词的双语例句 We give a definition for n is Generalized Carmichael Number of order k modulo r(x) and denote this by n∈C_(k,r(x)). So we give another definition: C_k={UC_(k,r(x))|r(x) are all monic irreducible polynomials of degree k (k>0) over Z_n}. 本文引入n是k阶摸r(x)的Carmichael数的定义,全体这样的数记为集C_(k,r)(x),由此给出k阶Carmichael数集:C_k={∪C_(k,r)(x)|r(x)过
人教版初二数学上册多项式乘式项式
14. 1. 4整式的乘法 多项式乘以多项式 教学目标： 知识与技能：经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算。 过程与方法：在探索过程中，体会知识间的联系。 情感价值观：培养学生的分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯。教学重点：多项式与多项式相乘的运算法则的探索。 教学难点：灵活运用法则进行计算和化简。 教学方法:创设情境-主体探究-合作交流-应用提高。 媒体资源：多媒体投影 教学过程： 一、课前练习 师：前面我们学习了整式的乘法，快速做一做，看看你掌握的怎样？ 计算：(1) -2x2 3xy2(2) -2x(1 - x) . 2 2 4 (3)x 4x x (4)(4x x-1) 9x 生：交流答案 师：同学们看这道题怎样做？(a+b)(p+q)和我们以前所学的有何不同？生：现在是多项式乘多项式 师：那多项式乘多项式如何去计算呢？这节课我们一起来探究吧！ 二、探求新知 创设情景引入新课： 为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a米、宽p米的长方形绿地，增长了
b米，加宽了q米.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
q f- 你能用不同的方法表示此长方形的面积吗? 计算方法一：是先计算大长方形的长和宽，然后利用长乘以宽得出大长方 形的面积，即(a+b) (p+q) 计算方法二：先分别求出四个长方形的面积，再求它们的和, 2 即(ap+aq+bp+bq 米 两种计算结果表示的是同一个量， 因此(a+b) (p+q)= ap+aq+bp+bq. 引导学生把其中一个因式a b看作一个整体，再利用乘法分配律来理(p+q) 与(a+b)相乘的结果，从而导出多项式与多项式相乘的法则。 三、归纳、小结多项式乘法法则 (1)文字叙述：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个 多项式的每一项，再把所得的积相加 (2)用字母表示 法则的形成是本节课的重点之一。在学生归纳法则的过程中，结合学生讨论的情况，播放法则的形成动画，并在此过程中进行启发讲解，让学生明白两个“每一项”的含义。
多项式乘多项式练习题
整式乘法：多项式乘多项式习题（4） 一、选择题 1.计算(2a－3b)(2a＋3b)的正确结果是() A．4a2＋9b2B．4a2－9b2C．4a2＋12ab＋9b2D．4a2－12ab＋9b2 2.若(x＋a)(x＋b)＝x2－kx＋ab，则k的值为() 3.A．a＋b B．－a－b C．a－b D．b－a 4.计算(2x－3y)(4x2＋6xy＋9y2)的正确结果是() 5.A．(2x－3y)2B．(2x＋3y)2C．8x3－27y3D．8x3＋27y3 6.(x2－px＋3)(x－q)的乘积中不含x2项，则() 7.A．p＝q B．p＝±q C．p＝－q D．无法确定 8.若0＜x＜1，那么代数式(1－x)(2＋x)的值是() 9.A．一定为正B．一定为负C．一定为非负数D．不能确定 10.计算(a2＋2)(a4－2a2＋4)＋(a2－2)(a4＋2a2＋4)的正确结果是() 11.A．2(a2＋2)B．2(a2－2)C．2a3D．2a6 12.方程(x＋4)(x－5)＝x2－20的解是() 13.A．x＝0 B．x＝－4 C．x＝5 D．x＝40 14.若2x2＋5x＋1＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，那么a，b，c应为() 15.A．a＝2，b＝－2，c＝－1 B．a＝2，b＝2，c＝－1 16.C．a＝2，b＝1，c＝－2 D．a＝2，b＝－1，c＝2 17.若6x2－19x＋15＝(ax＋b)(cx＋b)，则ac＋bd等于() 18.A．36 B．15 C．19 D．21 19.(x＋1)(x－1)与(x4＋x2＋1)的积是() 20.A．x6＋1 B．x6＋2x3＋1 C．x6－1 D．x6－2x3＋1 二、填空题 1.(3x－1)(4x＋5)＝__________． 2.(－4x－y)(－5x＋2y)＝__________． 3.(x＋3)(x＋4)－(x－1)(x－2)＝__________． 4.(y－1)(y－2)(y－3)＝__________． 5.(x3＋3x2＋4x－1)(x2－2x＋3)的展开式中，x4的系数是__________．
八年级数学上册多项式乘以多项式教案
一、自主学习 1、计算： （1）（－5a2b）（－3a）（2）（2x）3(－5xy2) 2、计算： （1）（－4x2）﹒（3x+1）（2）3a（5a－2b） 二、合作探究 问题3 为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m、宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m，你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？ ①若看成一个长方形 ②若看成四个小长方形 1、上面的式子表示的同一数量，所以 bq bp aq ap q p b a+ + + = + +) )( ( 如何得到的呢？ 2、多项式与多项式相乘，先用乘，再。 三、学以致用 1、计算： （1）)2 )( 1 3(+ +x x；（2）) )( 8 (y x y x- -；（3）) )( (2 2y xy x y x+ - + 2、计算： （1）)3 )( 1 2(+ +x x（2）) 3 )( 2 (m n n m- + 生活中最珍贵的是什么，是平安。
生活中最珍贵的是什么，是平安。 （3）2)1(-a （4）)3)(3(b a b a -+ （5）)4)(12(2--x x （6）)52)(32(2-++x x x 3、计算： （1）)3)(2(++x x （2）)1)(4(+-x x (3))2)(4(-+y y (4))3)(5(--y y 由上面计算的结果找规律，观察右图，填空： (_____)(____)(_____)))((2 ++=++x q x p x 四、当堂检测 1、多项式与多项式相乘，现用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 ，再把所得的积 。 2、计算：=-?+)5()3(x x 。 3、)3)(3(+-ab ab 的计算结果是 。 4、计算：)23)(52(y x y x -+ 五、能力提升：（学有余力的同学完成） 若b x x x a x +-=+?+5)2()(2，求a ，b 的值。 六、作业： 课后反思
《多项式乘以多项式》教案.pdf
教案 【教学目标】： 知识与技能：理解并掌握多项式乘以多项式的法则. 过程与方法：经历探索多项式与多项式相乘的过程，通过导图，理解多项与多项式的结果，能够按多项式乘法步骤进行简单的多项式乘法的运算，达到熟练进行多项式的乘法运算的目的. 情感与态度：培养数学感知，体验数学在实际应用中的价值，树立良好的学习态度. 【教学重点】：多项式乘以多项式法则的形成过程以及理解和应用 【教学难点】：多项式乘以多项式法则正确使用 【教学关键】：多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘进行运算，进一步再转化为单项式的乘法，紧紧扣住这一线索. 【教具】：多媒体课件 【教学过程】： 一、情境导入 （一）回顾旧知识。 1.教师引导学生复习单项式乘以多项式运算法则.并通过练习加以巩固：（1）(- 2a)(2a 2 - 3a + 1) （2） ab ( ab2 - 2ab) （二）问题探索 式子p(a＋b)=pa＋pb中的p，可以是单项式，也可以是多项式。如果p=m＋n，那么p(a＋b)就成了(m＋n)(a＋b)，这就是今天我们所要讲的多项式与多项式相乘的问题。(由此引出课题。) 二、探索法则与应用。 问题：某地区在退耕还林期间，有一块原长m米、宽a米的长方形林区增长了n 米，加宽了b米。请你表示这块林区现在的面积。 问题：(1)如何表示扩大后的林区的面积? (2)用不同的方法表示出来后的等式为什么是相等的呢? (学生分组讨论，相互交流得出答案。) 学生得到了两种不同的表示方法,一个是(m＋n)(a＋n)平方米；另一个是(ma＋mb＋na＋nb)米平方，以上的两个结果都是正确的。问：你从计算中发现了什么？ 由于（m＋n）（a＋b）和（ma＋mb＋na＋nb）表示同一个量， 故有（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb 问：你会计算这个式子吗?你是怎样计算的? 学生讨论得：由繁化简，把m＋n看作一个整体，使之转化为单项式乘以多项式，即：[(m＋n)(a＋b)=(m＋n)a＋(m＋n)b=ma＋mb＋na＋nb。] 设计意图：这里重要的是学生能理解运算法则及其探索过程，体会分配律可以将多项式与多项式相乘转化为单项多与多项式相乘。渗透整体思想和转化思想。引导：观察这一结果的每一项与原来两个多项式各项之间的关系，能不能由原来的多项式各项之间相乘直接得到?如果能得到，又是怎样相乘得到的？(教师示
《多项式乘以多项式》教学设计
《多项式乘以多项式》教学设计 高清华教学目标： 知识与技能 1、探索多项式与多项式相乘的乘法法则。 2. 能灵活地进行整式的乘法运算。 过程与方法 1、经历探索多项式与多项式相乘的乘法法则的过程，体会乘法分配律的作用以及“整体”和“转化”的数学思想； 2、通过对乘法法则的探索，归纳与描述，发展有条理思考的能力和语言表达能力； 情感、态度与价值观 体验学习和把握数学问题的方法，树立学好数学的信心，培养学习数学的兴趣。 教学重点：多项式的乘法法则及其应用。 教学难点：探索多项式的乘法法则，灵活地进行整式的乘法运算。关键：多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘进行运算，进一步转化为单项式的乘法，紧紧扣住这一线索。 教学方法：小组合作，自主学习 教学过程： 一、课前练习 师：前面我们学习了整式的乘法，快速做一做，看看你掌握的怎样
计算：2232)1(xy x ?- )1(2)2(x x -- ()x x x +24)3( x x x 9)19 44)(4(2?-- 生：交流答案 师：同学们看这道题怎样做())()5(b n a m ++（多媒体展示）他和我们以前所学的有何不同 生：现在是多项式乘多项式 师：那多项式乘多项式如何去计算呢这节课我们一起来探究吧！ 二、 学习目标（多媒体） 师：看到这个课题你想学习哪些知识呢 生：交流 师：（多媒体呈现） 1、探究并了解多项式与多项式相乘的法则 2、熟练的运用法则进行运算 三、探求新知 问题助学一： 动手做一做：利用如下的长方形卡片拼成更大的长方形（多媒体） (学生活动)小组内展评作品，推选出最优秀的同学的作品给全班学生展示。 n
多项式乘多项式练习题
整式乘法：多项式乘多项式习题（4）、选择题 1. 计算(2a —3b)(2a+ 3b)的正确结果是() A．4a2＋9b2B．4a2－9b2C．4a2＋12ab＋9b2D．4a2－12ab＋9b2 2. 若(x+ a)(x+ b) = x2—kx+ ab,则k 的值为() 3. A．a+ b B．—a—b C．a—b D．b—a 4. 计算(2x—3y)(4x2+ 6xy+ 9y2)的正确结果是() 5. A．(2x—3y)2B．(2x+ 3y)2C．8x3—27y3D．8x3+ 27y3 6. (x2—px+ 3)(x —q)的乘积中不含x2项，则() 7. A. p = q B. p=± q C. p= —q D.无法确定 8. 若O v x v 1，那么代数式(1 —x)(2 + x)的值是() 9. A. —定为正B?—定为负 C. 一定为非负数D.不能确定 10. 计算(a2+ 2)(a4—2a2+ 4)+ (a2—2)(a4+ 2a2+ 4)的正确结果是() 11. A. 2(a2+2) B. 2(a2—2) C. 2a3D. 2a6 12. 方程(x+ 4)(x—5)= x2—20 的解是() 13. A. x= 0 B. x= —4 C. x= 5 D. x= 40 14. 若2/ + 5x+ 1 = a(x+ 1)2+ b(x+ 1) + c,那么a, b, c 应为() 15. A. a = 2, b= —2, c= —1 B. a = 2, b= 2, c= —1 16. C. a= 2, b= 1, c= —2 D. a= 2, b=—1, c=2 17. 若6/—19x+ 15= (ax+ b)(cx+ b),贝U ac+ bd 等于() 18. A. 36 B. 15 C. 19 D. 21 19. (x+ 1)(x—1)与(x4+ x2+ 1)的积是() 20. A. x6+ 1 B. x6+ 2x3+ 1 C. x6— 1 D. x6—2x3+ 1 二、填空题 1. (3x—1)(4x+ 5)= _________ . 2. (—4x—y)(—5x+ 2y)= _______ . 3. (x+ 3)(x+ 4)—(x—1)(x—2)= _______ . 4. (y —1 )(y —2)(y —3) = ____ .
不同域上的不可约多项式
论文题目
目录 1、前言................................................................................................... 错误!未定义书签。 2、因式分解定理及唯一性定理 ..................................................... 错误!未定义书签。 3、复系数多项式................................................................................. 错误!未定义书签。 4、实系数多项式................................................................................. 错误!未定义书签。 5、有理系数多项式 ............................................................................ 错误!未定义书签。 艾森斯坦（Eisenstein）判别法 .................................. 错误!未定义书签。 艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的变式..................... 错误!未定义书签。 艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的等价定理............. 错误!未定义书签。 多项式的复根与其不可约性......................................... 错误!未定义书签。 n次整系数多项式在有理数域上的不可约的又一充分性错误!未定义书签。 6、有限域上的不可约多项式.......................................................... 错误!未定义书签。 判断有限域上一元多项式是否可约进而得到分解式的方法错误!未定义书签。 q阶有限域上的不可约多项式.................................... 错误!未定义书签。致谢.......................................................................................................... 错误!未定义书签。参考文献 ................................................................................................ 错误!未定义书签。
多项式乘以多项式教学设计
《多项式乘以多项式》教学设计 朱宾琪教学目标： 知识与技能： 1、探索多项式与多项式相乘的乘法法则。 2. 能灵活地进行整式的乘法运算。 过程与方法： 1、经历探索多项式与多项式相乘的乘法法则的过程，体会乘法分配律的作用以及“整体”和“转化”的数学思想； 2、通过对乘法法则的探索，归纳与描述，发展有条理思考的能力和语言表达能力； 情感、态度与价值观 体验学习和把握数学问题的方法，树立学好数学的信心，培养学习数学的兴趣。 教学重点：多项式的乘法法则及其应用。 教学难点：探索多项式的乘法法则，灵活地进行整式的乘法运算。关键：多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘进行运算，进一步转化为单项式的乘法，紧紧扣住这一线索。 教学方法：小组合作，自主学习 教学过程： 一、课前提问 师：1、多项式与多项式相乘的法则是什么？
依据是什么？ 2、多项式与多项式相乘，结果的项数与原多项式的项数有何关系？ 3、积的每一项的符号由谁决定？ 计算： )32(3)4() 53(2)3() 35(4)2() 32(7)1(23322222xy xy y x b a a ax a ax b ab a +---- 生：交流答案 师：同学们看这道题怎样做？())()5(b n a m ++（多媒体展示）他和我们以前所学的有何不同？ 生：现在是多项式乘多项式 师：那多项式乘多项式如何去计算呢？这节课我们一起来探究吧！ 二、 学习目标（多媒体） 师：看到这个课题你想学习哪些知识呢？ 生：交流 师：（多媒体呈现） 1、探究并了解多项式与多项式相乘的法则 2、熟练的运用法则进行运算 三、探求新知 问题助学一： 文文帮爸爸把原长为m 米,宽为b 米的菜地加长了n 米，拓宽了a 米，聪明的你能迅速表示出这块菜地现在的总面积吗？ 你还能用更多的方法表示吗? (学生活动)小组内展评作品，推选出最优秀的同学的作品给全班学生展示。