2015年广州二模理科数学试卷与答案(完整)

数学（理科）试题A 第 1 页 共 16 页

试卷类型：A

2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学（理科）

2015.4

本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：

1.

答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上． 2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．

5. 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

参考公式：球的表面积公式24S R =π，其中R 是球的半径．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“若2x =，则2320x x -+=”的逆否命题是 ( )

A ．若2x ≠，则2320x x -+≠

B ．若2320x x -+=，则2x =

C ．若2

320x x -+≠，则2x ≠ D ．若2x ≠，则2320x x -+=

2．已知0a

b >>，则下列不等关系式中正确的是 ( )

A ．sin sin a b >

B ．22log log a b <

C ．1

12

2

a b < D ．1133a b

????

< ? ?

????

3．已知函数

(

)40,1,

0,

x f x x x x ?≥?=???-

??则

()2f f =???? ( )

A ．

1

4

B ．

12

C ．2

D ．4

4．函数

()sin y A x ω?=+()0,0,0A ω?>><<π的图象的一部分如图

1所示，则此

函数的解析式为 ( )

图1

数学（理科）试题A 第 2 页 共 16 页

A ．

3sin y x π

π??=+ ?44?? B ．3sin y x π3π??=+ ?44??

C ．

3sin y x π

π??=+ ?2

4??

D ．

3sin y x π

3π??=+ ?2

4??

5．已知函数()223f x x x =-++，

若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为 ( ) A ．

425

B ．12

C ．2

3 D ．1

6．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只

蚂蚁沿圆锥的侧面从点

A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 ( )

A

B

C

．3

D

．2

7．已知两定点

()1,0A -，()1,0B ，若直线l 上存在点M

，使得

3MA MB +=，则称直线l 为“M

型直线”．给

出下列直线：①2x =；②3y x =+；③21y x =--；④1y =；⑤23y x =+．其中是“M

型直线”的条数

为 ( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

8．设(),P

x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量()

(

)

5

1,2x =-a ，()1,2y x =

-b ，且//a b .数列{}n a 是公

差不为0的等差数列，且

()()()12936f a f a f a ++???+=，则129a a a ++???+= ( )

A.0

B.9

C.18

D.36

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．已知i 为虚数单位，复数1i

1i

z

-=

+，则z = ． 10．执行如图3所示的程序框图，则输出的z 的值是 ．

11．已知

()sin 6f x x π?

?=+ ???，若3cos 5α=02απ??<< ???，则

12f απ?

?+= ??

? ．

A

V

C

B

图2

数学（理科）试题A 第 3 页 共 16 页

12．5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有_________种（用

数字作答）． 13．在边长为1的正方形

ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C 为起点，其余顶

点为终点的向量分别为

1c ，2

c ，

3c ．若m 为()()

i j s t +?+a a c c 的最小值，其中

{}{},1,2,3i j ?，

{}{},1,2,3s t ?，则m = ．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）

如图4，在平行四边形

ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，

AE 与BC 的延长线交于点F

，且

AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，

垂足为G ，若1DG

=，则AF

的长为 ．

15．（坐标系与参数方程选做题）

在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,

12x t y t

=-??

=-?（t 为参数）和2

4,2x t y t =??=?（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知△

ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =．

1) 求cos A 的值；

2) 若△

ABC

的面积为ABC 外接圆半径的大小．

17．（本小题满分12分）

某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了n 份，统计结果如下面的图表所示．

1) 分别求出a ，b ，c ，n 的值；

2) 从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记

X

为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．

18．（本小题满分14分）如图5，已知六棱柱

111111ABCDEF A BC D E F -的侧棱垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，

M ，N 分别

B

A

C

D

F

G

图4

数学（理科）试题A 第 4 页 共 16 页

是棱

AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==．

1) 证明：M ，N ，1E ，D 四点共面； 2) 求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值．

19．（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是

公差为1的等差数列．

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（2）求证：

2

2

2

12

13

11

1111

6

n PP PP PP ++

++

<

． 20．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点

()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()

2

244x y -+=．

（1）求圆C 的方程；

（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB

的取值范围．

21．（本小题满分14分）已知函数

()ln f x a x =-

11

x x -+，()e x

g x =（其中e 为自然对数的底数）． 1) 若函数()f x 在区间()0,1内是增函数，求实数a 的取值范围；

2) 当0b

>时，函数()g x 的图象C 上有两点(),e b

P b ，(),e b Q b --，过点P ，Q 作图象C 的切线分别记为1l ，

2l ，设1l 与2l 的交点为()00,M x y ，证明00x >．

C 1

A

B

A 1

B 1

D 1

C

D

M N

E

F

E 1

F 1

图5

2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考

查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，

可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．

二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选

做题，考生只能选做一题．

16．（本小题满分12分） 解：（1）因为::7:5:3a b c

=，

所以可设7a

k =，5b k =，3c k =()0k >，…………………………………………………………2分

由余弦定理得，

222cos 2b c a A bc +-=()()()2

2

2

537253k k k k k +-=

??…………………………………………………………3分 1

2

=-．………………………………………………………………………………………………4分

（2）由（1）知，1cos 2

A =

-

， 因为

A 是△ABC 的内角，

所以sin A =

6分

由（1）知5b k =，3c k =，

因为△

ABC

的面积为

，所以1

sin 2

bc A =8分

即

15322

k k ???=

解得k =10分

由正弦定理

2sin a R A =

，即72sin k R A ==，…………………………………………………11分 解得14R =．

所以△ABC 外接圆半径的大小为14．…………………………………………………………………12分

17．（本小题满分12分） 解：（1）根据频率直方分布图，得

()0.0100.0250.035101c +++?=，

解得0.03c

=．……………………………………………………………………………………………1分

第3组人数为105.05=÷，所以1001.010=÷=n

．…………………………………………………2分

第1组人数为1000.3535?=，所以28350.8b =÷=．……………………………………………3分

第4组人数为2525.0100=?，所以250.410a

=?=．……………………………………………4分

（2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5:101:2=，

所以第3，4组应依次抽取2人，4人.…………………………………………………………………5分 依题意X 的取值为0，1，2．……………………………………………………………………………6分

()0224

26C C 20C 5P X ===，…………………………………………………………………………………7分

()1124

26C C 81C 15P X ===，………………………………………………………………………………8分

()202426C C 1

2C 15

P X ===，………………………………………………………………………………9分

所以X 的分布列为：

所以281012515153

EX

=?+?+?=． ………………………………………………………………12分

………………………………………10分

18．（本小题满分14分）

第（1）问用几何法，第（2）问用向量法： （1）证明：连接

1A B ，11B D ，BD ，11A E ，

在四边形

1111A B D E 中，11

11A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，

所以

11A E BD 且11=A E BD ， 所以四边形11A BDE 是平行四边形．

所以11A B

E D ．………………………………2分

在△

1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==，

所以

1

AM AN

AB AA =，

所以1MN BA ．…………………………………………………………………………………………4分 所以1MN

DE ．

所以M ，N ，1E ，D 四点共面．………………………………………………………………………6分 （2）解：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线

分别为x 轴，

y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，

则()

B

，9,02C ?

????

，()0,3,0D ，

()10,0,3E

，()M ，…………………………8分

则3,02BC

??

= ? ???

，()10,3,3DE =-，

()

2,0

DM =-

设(),,x y z =

n 是平面1MNE D 的法向量，

则10,

0.DE DM ?=??=??n n 即330,20.

y z y -+=???-=?? 取

y =2x =，z =

所以=

n 是平面1

MNE D 的一个法向量．………………………………………………12分

设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ，

C 1

A

B

A 1

B 1

D 1

C

D

M

N

E

F

E 1

F 1

则sin BC BC

θ

=

n n

116

=

=

．

故直线BC 与平面1MNE D ．………………………………………………14分

第（1）（2）问均用向量法：

（1）证明：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE

所在的直线

分别为x 轴，

y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，

则()

B ，9,02

C ?

????

，(

)0,3,0D ，

()10,0,3E ，()M ，()N ，……………2分

所以()10,3,3DE =-，()0,1,1MN =-． ………………3分 因为13DE MN =，且MN 与1DE 不重合， 所以1

DE MN ．…………………………………………

5分

所以M ，N ，1E ，D

（2）解：由（1）知3,02BC

??= ? ???

，()10,3,3DE =-，()2,0DM =-．………………10分

（特别说明：由于给分板（1）6分（2）8分，相当于把（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分）

设(),,x y z =

n 是平面1MNE D 的法向量，

则10,

0.DE DM ?=??=??n n 即330,20.

y z y -+=???-=?? 取

y =2x =，z =

所以=

n 是平面1

MNE D 的一个法向量．………………………………………………12分

设直线1BC 与平面1MNE D 所成的角为θ， 则sin BC BC

θ

=

n n

=

=

故直线BC 与平面1MNE D ．………………………………………………14分

第（1）（2）问均用几何法： （1）证明：连接

1A B ，11B D ，BD ，11A E ，

在四边形

1111A B D E 中，11

11A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，

所以

11A E BD 且11=A E BD ， 所以四边形11A BDE 是平行四边形．

所以11A B

E D ．………………………………2分

在△

1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==，

所以

1

AM AN

AB AA =，

所以1MN BA

．…………………………………………………………………………………………4分 所以1MN

DE ．

所以M ，N ，1E ，D 四点共面．………………………………………………………………………6分

（2）连接

AD ，因为BC

AD ，

所以直线

AD 与平面1MNE D 所成的角即为直线BC 与平面1MNE D 所成的角．…………………7分

连接DN ，设点A 到平面DMN 的距离为h ，直线AD 与平面1MNE D 所成的角为θ

，

则sin h

AD

θ

=

．……………………………………………………………………………………………8分 因为A DMN

D AMN V V --=，即11

33

DMN AMN S h S DB ????=??．…………………………………………9分

在边长为3的正六边形ABCDEF 中，DB =6DA =，

在△

ADM 中，6DA =，

1AM =，60

DAM ∠=，

由余弦定理可得，DM =

在Rt △DAN 中，6DA =，1AN =，所以DN =

在Rt △

AMN 中，1AM =，1AN =，所以MN =

在△DMN 中，DM =DN =MN =

C 1

A B

A 1

B 1

D 1

C

D

M

N

E

F

E 1

F 1

由余弦定理可得，cos DMN ∠=

，所以sin DMN ∠=．

所以1sin 2DMN S MN DM DMN ?=???∠=

．…………………………………………………11分 又1

2

AMN

S ?=，……………………………………………………………………………………………12分

所以AMN DMN S DB h S ???=

=

．…………………………………………………………………………13分

所以sin 116

h AD θ

=

=

故直线BC 与平面1MNE D

．………………………………………………14分

19．（本小题满分14分） （1）解：因为()1

11,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1，

所以1

0a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分

因为数列{}n a 是公差为1的等差数列， 所以1n

a n =-．……………………………………………………………………………………………4分 因为点(),n n n P a

b 在直线l ：31y x =+上，

所以31n

n b a =+32n =-．

所以数列

{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分

（2）证明：因为()1

0,1P ，()1,32n P n n --，所以()1,31n P n n ++．

所以()2

2

2211

310n PP n n n +=+=．………………………………………………………………………7分 所以

2

2

2

12

13

11

111n PP PP PP ++

++

22

2111

11012n ??

=

+++

???

．……………………………………8分 因为

()()22

21144112141212121214

n n n n n n n ??<===- ?--+-+??-，……………………………10分 所以，当2n

≥时，

2

2

2

1213

11111n PP PP PP ++

++

111

111210352121n n ??

??<

+-++

- ???-+????

……………………………………………………………11分

15110321n ??

=

- ?+??

………………………………………………………………………………………12分

16<

． 又当1n

=时，

2

12111

106PP =<．………………………………………………………………………13分 所以

2

22

12

13

1+1

1111

6

n PP PP PP ++

+

<

．……………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分）

解：（1）方法一：设圆C 的方程为：

()

2

22x a y r -+=()0r >，………………………………………1分

因为圆C 过点

()0,0和()1,1-，

所以()22

222

,11.a r a r ?=??--+=??………………………………………………………………………………3分 解得1a =-，1r =．

所以圆C 的方程为()

2

211x y ++=．…………………………………………………………………4分

方法二：设()0,0O

，()1,1A -，

依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分 因为直线l 的方程为

11

22

y x -

=+，即1y x =+，……………………………………………………2分 所以圆心C 的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分

所以圆C 的方程为

()

2

211x y ++=．…………………………………………………………………4分

（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为

()00,x y ，

则()

2

20044x y -+=，

即

()2

200440y x =--≥，

解得026x ≤

≤．…………………………………………………………………………………………5分

由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，

则点

A 的坐标为()0100,y k x -，

同理可得点B 的坐标为()0200,y k x -，

所以

120AB k k x =-，

因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1

k ，2k 1=，

即1k ，2k 是方程

()()2

220

000022110x

x k y x k y +-++-=的两根，………………………………7分

即()00122

002

01220021,21.2y x k k x x y k k x x ?++=?+?

?-?=?+?

所以

120AB k k x =-

x =9分 因为()

2

20044y x =--，

所以

AB =10分

设

()()

002

056

2x f x x -=+，

则

()()

003

0522

2x f x x -+'=

+．………………………………………………………………………………11分

由026x ≤

≤，可知()0f x 在222,5??

????上是增函数，在22,65?? ???上是减函数，……………………12分

所以()0max 2225

564

f

x f ??==?? ?????，

()()(){}min

0131

min 2,6min ,484

f x f f ??===????????，

所以

AB

的取值范围为4?

．…………………………………………………………………14分

方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，

则()

2

20044x y -+=，

即

()2

200440y x =--≥，

解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分

设点

()0,A a ，()0,B b ，

则直线PA ：

00

y a

y a x x --=

，即()0000y a x x y ax --+=， 因为直线PA 与圆C

1=，

化简得

()2000220x a y a x +--=． ①

同理得

()2000220x b y b x +--=， ②

由①②知a ，b 为方程()2

000220x x y x x +--=的两根，…………………………………………7分

即00002,2.

2y a b x x ab x ?

+=?+??-?=?+?

所以

AB a b =-=

=

=

9分

因为()

2

20044y x =--，

所以

AB =10分

=11分

令01

2

t

x =

+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．

所以

AB =

=，………………………………………12分

当5

32t

=

时，max

4AB =， 当1

4

t =时，min

AB =

所以

AB

的取值范围为?

．…………………………………………………………………14分

21．（本小题满分14分） （1）解法一：因为函数

()ln f x a x =-

1

1

x x -+在区间()0,1内是增函数， 所以

()()

2201a f x x x '=

-≥+()01x <<．……………………………………………………………1分 即()

2

120a

x x +-≥()01x <<，

即()

2

21x

a x ≥

+……………………………………………………………………………………………2分

2

12x x =

++()01x <<，

因为21

1

22x x <++在()0,1x ∈内恒成立，

所以1

2a ≥．

故实数a 的取值范围为

1,2??+∞????

．……………………………………………………………………4分 解法二：因为函数

()ln f x a x =-

1

1

x x -+在区间()0,1内是增函数， 所以

()()

2201a f x x x '-+≥=

()01x <<．……………………………………………………………1分 即()

2

120a

x x +-≥()01x <<，

即()2

210ax a x a +-+≥()01x <<，…………………………………………………………………2分

设()()221g x ax a x a =+-+，

当0a =时，得20x -≥，此时不合题意．

当0a

<时，需满足()()00,10,g g ≥???≥??即()0,210,a a a a ≥?

??+-+≥?

?解得12a ≥，此时不合题意．

当0a >时，需满足()22

2140a a --≤????或()()00,10,10,g g a a ??≥?≥??-?-

?

?≥?≥??-?->?

解得1

2a ≥或1a >， 所以12

a

≥

． 综上所述，实数a 的取值范围为1,2??+∞????

．……………………………………………………………4分 （2）证明：因为函数()e x g

x =，所以()e x g x '=．

过点(),e b

P

b ，(),e b

Q b --作曲线C 的切线方程为：

1l ：()e e b b y x b =-+，

2l ：()e e b b y x b --=++，

因为1l 与2l 的交点为()00,M

x y ，

由()()e e ,e e ,

b b

b b

y x b y x b --?=-+??=++?? ………………………………………………………………………………6分

消去

y ，解得()()

()

0e +e e e e

e

b b b b b

b

b x -----=

-． ①…………………………………………7分

下面给出判定00x >的两种方法：

方法一：设e b

t =，………………………………………………………………………………………8分

因为0b

>，所以1t >，且ln b t =．

所以()()2

202+1ln 11

t t t x t --=

-．…………………………………………………………………………9分

设()()()22+1ln 1h

t t t t =--()1t >，

则()12ln h t t t t t

'=-+()1t >．………………………………………………………………………10分

令()1

2ln u

t t t t t

=-+()1t >， 则()2

12ln 1u t t t '=+-

．

当1t

>时，ln 0t >，2110t -

>，所以()

2

1

2ln 10u t t t '=+->，………………………………11分 所以函数()u t 在()1,+∞上是增函数，

所以()()10u t u >=，即()0h t '>，…………………………………………………………………12分 所以函数()h t 在()1,+∞上是增函数，

所以()()10h t h >=．…………………………………………………………………………………13分

因为当1t >时，210t ->，

所以()()2

20

2

+1ln 101t t t x t --=

>-．…………………………………………………………………14分 方法二：由①得0x ()221+e 11e

b b

b --=

--．

设2e

b

t -=，…………………………………………………………………………………………………8分 因为0b

>，所以01t <<，且ln 2t b =-．

于是21ln b

t

-=

，……………………………………………………………………………………………9分

所以()0

1+221ln 1ln 1b t b t x b t t t t +??=

+=+ ?--??

．…………………………………………………………10分 由（1）知当12a

=

时，()1ln 2f x x =-1

1

x x -+在区间()0,1上是增函数，…………………………11分 所以

()ln 2t f t =

-()1101

t f t -<=+， 即

ln 2t <11

t t -+． …………………………………………………………………………………………12分 即210ln 1t t t ++>-，………………………………………………………………………………………13分 已知0b >，

所以0210ln 1t x b t t +??=+> ?-??

．…………………………………………………………………………14分