2020年江苏高考物理总复习讲义： 电场能的性质

第2节电场能的性质

(1)电场力做功与重力做功相似，均与路径无关。(√)

(2)电场中电场强度为零的地方电势一定为零。(×)

(3)沿电场线方向电场强度越来越小，电势逐渐降低。(×)

(4)A、B两点间的电势差等于将正电荷从A移到B点时静电力所做的功。(×)

(5)A、B两点的电势差是恒定的，所以U AB＝U BA。(×)

(6)电势是矢量，既有大小也有方向。(×)

(7)等差等势线越密的地方，电场线越密，电场强度越大。(√)

(8)电场中电势降低的方向，就是电场强度的方向。(×)

突破点(一)电势高低与电势能大小的判断

1．电势高低的判断

[题点全练]

线分布如图所示。A、D为电场中两点，B、C为导体表面两点。下列

说法正确的是()

A．同一带电粒子在A点受到的电场力大于在C点受到的电场力

B．同一带电粒子在A点的电势能大于在B点的电势能

C．一带正电的粒子沿着导体表面从B点移动到C点，电场力不做功

D．B点的电势低于D点的电势

解析：选C由电场线越密的地方，电场强度越大，结合题图可知A点的电场线比C

点的疏，则A点的电场强度小于C点电场强度，同一带电粒子在A点受到的电场力小于在

C点受到的电场力，故A错误。沿着电场线，电势逐渐降低，则知A点的电势比B高，根

据负电荷在电势高处电势能小，在电势低处电势能大，故带负电的粒子在A点的电势能比

在B点的小，故B错误。处于静电平衡状态的导体是等势体，其表面是等势面，则带正电

的粒子沿着导体表面从B点移动到C点，电场力不做功，故C正确。C点的电势高于D点

的电势，而B点的电势与C点的电势相等，所以B点的电势高于D点的电势，故D错误。

2．(2018·连云港期末)如图所示为静电除尘原理图，废气先经过一个机械过滤装置再进

入静电除尘区，放电极和集尘极加上高压电场，使尘埃带上负电，尘埃在电场力的作用下

向集尘极迁移并沉积，达到除尘目的，图中虚线为电场线(方向未标)。不计重力，不考虑尘

埃在迁移过程中的相互作用和电量变化，则()

A ．图中A 点电势高于

B 点电势

B ．图中A 点电场强度小于B 点电场强度

C ．尘埃在迁移过程中电势能增大

D ．尘埃在迁移过程中动能增大

解析：选D 由题中带负电的尘埃在电场力的作用下向集尘极迁移，知集尘极带正电荷，是正极，所以电场线方向由集尘极指向放电极，A 点更靠近放电极，所以图中A 点电势低于B 点电势，故A 错误；由题图可知，A 点电场线比较密，所以A 点电场强度大于B 点电场强度，故B 错误；带电尘埃所受的电场力方向与位移方向相同，做正功，所以在迁移过程中电势能减小，动能增大，故C 错误，D 正确。

3．(2019·无锡模拟)将一电荷量为＋Q 的小球放在不带电的金属

球附近，所形成的电场线分布如图所示，金属球表面的电势处处相等。

a 、

b 为电场中的两点，则( )

A ．a 点的电场强度比b 点的小

B ．a 点的电势比b 点的低

C ．将检验电荷－q 从a 点移到b 点的过程中，电场力做正功

D ．检验电荷－q 在a 点的电势能比在b 点的小

解析：选D 电场线的疏密表示场强的大小，电场线越密，场强越大。由题图知a 点的电场强度比b 点的大，故A 项错误；顺着电场线电势降低，则a 点电势高于金属球的电势，金属球表面的电势处处相等，金属球的电势高于b 点的电势，可得a 点电势高于b 点的电势，故B 项错误；a 点电势高于b 点的电势，检验电荷－q 在a 点的电势能比在b 点的小，从a 点移到b 点的过程中电势能增加，电场力做负功，故C 项错误，D 项正确。

突破点(二) 电势差与电场强度的关系

1．匀强电场中电势差与电场强度的关系

(1)U AB ＝Ed ，d 为A 、B 两点沿电场方向的距离。

(2)沿电场强度方向电势降落得最快。

(3)在匀强电场中U ＝Ed ，即在沿电场线方向上，U ∝d 。推论如下：

推论①：如图甲，C 点为线段AB 的中点，则有φC ＝φA ＋φB 2

。 推论②：如图乙，AB ∥CD ，且AB ＝CD ，则U AB ＝U CD 。

2．E ＝U d

在非匀强电场中的三点妙用 (1)判断电场强度大小：等差等势面越密，电场强度越大。

(2)判断电势差的大小及电势的高低：距离相等的两点间的电势差，E 越大，U 越大，进而判断电势的高低。

(3)利用φ -x 图像的斜率判断电场强度随位置变化的规律：k ＝ΔφΔx

＝U d ＝E x ，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向。

[典例] a 、b 、c 、d 是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点。电场线与矩形所在平面平行。已知a 点的电势为20 V ，b 点的电势为24 V ，d 点的电势为4 V ，如图所示，由此可知c 点的电势为( )

A ．4 V

B ．8 V

C ．12 V

D ．24 V

[方法规律]

(一)由题明3法

基础解法：(公式法)设ab 间沿电场方向上的距离为d ，则cd 间沿电场方向的距离也为d 。

由E ＝U d 得：E ＝φb －φa d ＝φc －φd d

解得：φc ＝8 V 。

能力解法一：(推论①)

连接对角线ac 和bd 相交于O 点，如图所示。由匀强电场的性

质可得φO ＝φa ＋φc 2＝φb ＋φd 2

，解得：φc ＝8 V 。 能力解法二：(推论②)

因为ab ＝cd 且ab ∥cd ，所以φb －φa ＝φc －φd ，解得φc ＝8 V 。

(二)3法比较

(1)公式法适用匀强电场中E 或U 的计算，过程较繁琐。

(2)推论①仅适用于匀强电场中两点连线中点的电势的计算。推论②适用于匀强电场中

能构成平行四边形的四个点之间电势的计算。

[集训冲关]

1．(2018·西安期中)如图所示，a 、b 、c 、d 是某匀强电场中的四个

点，它们正好是一个矩形的四个顶点，ab ＝cd ＝10 cm ，ad ＝bc ＝20 cm ，

电场线与矩形所在平面平行。已知a 点电势为20 V ，b 点电势为24 V ，

则( )

A ．电场强度大小一定为E ＝40 V/m

B ．c 、d 间电势差一定为4 V

C ．电场强度的方向一定由b 指向a

D ．c 点电势可能比d 点低

解析：选B 根据题设条件可知，场强方向无法确定，知道了a 、b 间电势差，但不能

根据E ＝U d

求出场强的大小，故A 、C 错误。根据匀强电场的电场线与等势线分布的特点可知，c 、d 间电势差必等于b 、a 间电势差，为4 V ，故B 正确。c 、d 间电势差为4 V ，则知c 点电势比d 点高4 V ，故D 错误。

2．(2018·无锡模拟)如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C 点是A 、

B 连线的中点。已知A 点的电势为φA ＝30 V ，B 点的电势为φB ＝－10 V ，则

C 点的电势为( )

A ．φC ＝10 V

B ．φ

C >10 V C ．φC <10 V

D ．上述选项都不正确

解析：选C 由于AC 之间的电场线比CB 之间的电场线密，相等距离之间的电势差较

大，即U AC >U CB ，所以φA －φC >φC －φB ，可得φC <φA ＋φB 2

，即φC <10 V ，选项

C 正确。

3．(2019·石家庄月考)如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为匀强电场中一

个正六边形的六个顶点。已知A 、B 、C 三点的电势分别为1 V 、6 V 、9 V ，

则下列说法正确的是( )

A ．D 点的电势为＋7 V

B ．电子在A 点的电势能比在E 点的低1 eV

C ．电子从C 点运动到F 点，电场力做功10 eV

D ．U D

E ＝8 V

解析：选A 由于BC 与AD 平行，且2BC ＝AD ，则有2(φB －φC )＝φA －φD ，解得D 点的电势为φD ＝7 V ，故A 正确；由于AB 与ED 平行，且AB ＝ED ，则有φA －φB ＝φE －φD ，解得E 点的电势为φE ＝2 V ，根据E p ＝qφ可知电子在A 点的电势能比在E 点的高1 eV ，故B 错误；由于BC 与FE 平行，且BC ＝FE ，则有φB －φC ＝φF －φE ，解得F 点的电势为

φF ＝－1 V ，根据W CF ＝qU CF ＝q (φC －φF )可知电子从C 点运动到F 点，电场力做功为－10 eV ，即克服电场力做功为10 eV ，故C 错误；U DE ＝φD －φE ＝7 V －2 V ＝5 V ，故D 错误。

突破点(三) 电场线、等势线(面)及带电粒子的运动轨迹问题

1．等势线总是和电场线垂直，已知电场线可以画出等势线，已知等势线也可以画出电场线。

2．几种典型电场的等势线(面)

3．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法 (1)从轨迹的弯曲方向判断受力方向(轨迹向合外力方向弯曲)，从而分析电场方向或电荷的正负。

(2)结合轨迹、速度方向与静电力的方向，确定静电力做功的正负，从而确定电势能、电势和电势差的变化等。

(3)根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。

[题点全练]

1．(2019·如皋调研)如图所示，虚线表示电场的一簇等势面且相邻等势面

间电势差相等。一个α粒子(带正电)以一定的初速度进入电场后，只在电场力

作用下沿实线轨迹运动，α粒子先后通过M 点和N 点。在这一过程中，电场

力做负功，由此可判断出( )

A ．α粒子在M 点受到的电场力比在N 点受到的电场力大

B ．N 点的电势低于M 点的电势

C．α粒子在N点的电势能比在M点的电势能大

D．α粒子在M点的速率小于在N点的速率

解析：选C根据电场线或等势面的疏密程度可知N点的电场强度较大，故α粒子在M点受到的电场力比在N点受到的电场力小，故A错误；由粒子的运动轨迹可知，带正电的粒子所受的电场力方向指向右下方，则电场线的方向指向右下方，根据“顺着电场线的方向电势降落”，可知N点的电势高于M点的电势，故B错误；由粒子从M运动到N，电场力对粒子做负功，电势能增加，所以α粒子在N点的电势能比在M点的电势能大，故C正确；由α粒子从M运动到N，电场力做负功，可知α粒子速度减小，所以α粒子在M 点的速率大于在N点的速率，故D错误。

2．(2018·宿迁期中)如图所示，为某示波管内的聚焦电场，实线和

虚线分别表示电场线和等势线。两电子分别从a、b两点运动到c点。a、

b两点的场强大小分别为E a和E b，电势分别为φa和φb，电场力对两电

子做功分别为W a和W b，两电子在a、b两点的电势能分别为E p a和E p b。

则()

A．E a

C．W a

解析：选B a位置的电场线较密集，故E a＞E b，选项A错误；题图中a所在等势面在b点等势面的左侧，因顺着电场线电势降低，则φa<φb，则两电子在a、b两点的电势能E p a>E p b，选项B正确，D错误；由等势面可知U ac>U bc，根据W＝qU，有W a>W b，选项C 错误。

3．[多选](2018·南京三模)如图所示，虚线a、b、c是电场中的三

个等势面，相邻等势面间的电势差相等，即U ab＝U bc，实线为一个带负

电的质点仅在电场力作用下的运动轨迹，P、Q是轨迹上的两点。下列

说法中正确的是()

A．三个等势面中，等势面a的电势最低

B．质点通过Q点时的电势能比通过P点时小

C．质点通过Q点时的加速度比通过P点时大

D．质点通过Q点时的加速度的方向一定与等势面a垂直

解析：选BD作出电场线，根据轨迹弯曲的方向和质点带负电荷可知，电场线向上，故等势面c的电势最低，故A错误；质点从Q点到P点的过程中，电场力做负功，电势能增大，质点通过Q点时的电势能比通过P点时的电势能小，故B正确；等差等势面P处密，P处电场强度大，电场力大，加速度大，故C错误；电场强度与等势面垂直，电场力与等势面垂直，质点通过Q点时的加速度的方向一定与等势面a垂直，故D正确。

突破点(四)静电场中的图像问题

(一)v -t 图像

根据v -t 图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化。

[例1] 如图甲所示，Q 1、Q 2为两个固定的点电荷，a 、b 是它们连线的延长线上的两点。现有一带正电的粒子只在电场力作用下以一定的初速度从a 点开始经b 点向远处运动，粒子经过a 、b 两点时的速度分别为v a 、v b ，其速度时间图像如图乙所示，下列说法正确的是( )

A ．粒子由a 点到b 点运动过程中加速度度逐渐增大

B ．b 点的电场强度一定为零

C ．Q 1的电量一定小于Q 2的电量

D ．粒子由a 点到b 点向远处运动的过程中，粒子的电势能先增大后减小

[解析] 速度时间图线上每一点的切线斜率表示瞬时加速度，从速度图像可见正电荷从a 到b 做加速度减小的加速运动，故A 错误；正电荷从a 到b 做加速度减小的加速运动，在b 点时粒子运动的加速度为零，则电场力为零，所以该点场强为零，故B 正确；正电荷从a 到b 做加速运动，所以a 、b 之间电场的方向向右；过b 点后正电荷做减速运动，所以

电场的方向向左，b 点场强为零，可见两点电荷在b 点对正电荷的电场力相等，根据F ＝k Qq r 2，b 到Q 1的距离大于到Q 2的距离，所以Q 1的电量大于Q 2的电量，故C 错误；正电荷从a 到b 做加速运动，电场力做正功，电势能减小；过b 点后正电荷做减速运动，电场力做负功，电势能增大，故D 错误。

[答案] B

(二)φ -x 图像

(1)电场强度的大小等于φ -x 图线的斜率大小，电场强度为零处，φ -x 图线存在极值，其切线的斜率为零。

(2)在φ -x 图像中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。

(3)在φ -x 图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用W AB ＝qU AB ，进而分析W AB 的正负，然后作出判断。

[例2] [多选](2018·盐城三模)在x 轴上有两个点电荷q 1和q 2，它们产生的电场的电势在x 轴上分布如图所示。下列说法正确的是( )

A ．q 1和q 2带有异种电荷

B ．x ＝x 2处电场强度一定为0

C ．负电荷沿x 轴从x 1移动到x 2，电势能增加

D ．正电荷沿x 轴从x 1移动到x 2，电场力做负功

[解析] 由题图可知：无穷远处电势为零，又有电势为正的地方，故存在正电荷；又有电势为负的地方，故也存在负电荷，所以，q 1和q 2带有异种电荷，故A 正确。电场强度等于图中曲线斜率，x 2处的斜率为零，故电场强度为零，故B 正确。负电荷沿x 轴从x 1移到x 2，电势减小，电势能增加，故C 正确。正电荷沿x 轴从x 1移动到x 2，电势减小，电势能减小，所以电场力做正功，故D 错误。

[答案] ABC

(三)E -x 图像

在给定了电场的E -x 图像后，可以由图线确定电场强度的变化情况，电势的变化情况，E -x 图线与x 轴所围图形“面积”表示电势差。在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。

[例3] 真空中相距为3a 的两个点电荷M 、N ，分别固定于x 轴上

x 1＝0和x 2＝3a 的两点，在两者连线上各点的电场强度随x 变化的关系

如图所示，规定无穷远处电势为零，则( )

A ．M 、N 可能为异种电荷

B ．x ＝2a 处的电势不等于零

C ．M 、N 所带电荷量的绝对值之比为2∶1

D ．将点电荷－q 从x ＝a 移动到x ＝2a 的过程中，电势能减少

[解析] 若两电荷为异种电荷，在x ＝2a 处，电场强度不可能为0，故两电荷为同种电荷，故A 错误；两电荷为同种电荷，两个电荷在x ＝2a 处的电势都不为零，所以x ＝2a 处

的电势不等于零，故B 正确；根据点电荷的电场强度公式可得：kq M (2a )2＝kq N a 2，解得：q M ∶q N ＝4∶1，故C 错误；在0到2a 区间，电场强度为正，负电荷受力向左，所以－q 从x ＝0处沿x 轴移到x ＝2a 处的过程中，电场力做负功，电势能增加，故D 错误。

[答案] B

突破点(五) 电场力做功与功能关系

[典例] 在一个水平面上建立x 轴，在过原点O 垂直于x 轴的平面的

右侧空间有一个匀强电场，场强大小E ＝6.0×105 N /C ，方向与x 轴正方向

相同。在O 处放一个电荷量q ＝－5.0×10－8 C ，质量m ＝1.0×10－

2 kg 的绝缘物块。物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.20，沿x 轴正方向给物块一个初速率v 0＝2.0 m/s ，如图所示。(g

取10 m/s 2)试求：

(1)物块向右运动的最大距离；

(2)物块最终停止的位置。

[审题指导]

第一步：抓关键点

第二步：找突破口

(1)物块向右在电场力和滑动摩擦力作用下作匀减速直线运动。

(2)要求最终停止的位置，应先根据电场力与摩擦力大小的关系判断物块停在什么位置，再利用动能定理求解。

[解析] (1)设物块向右运动的最大距离为x m ，由动能定理得－μmgx m －E |q |x m ＝0－12m v 02

可求得x m ＝0.4 m 。

(2)因Eq >μmg ，物块不可能停止在O 点右侧，设最终停在O 点左侧且离O 点为x 处。 由动能定理得E |q |x m －μmg (x m ＋x )＝0，可得x ＝0.2 m 。

[答案] (1)0.4 m (2)O 点左侧0.2 m 处

[方法规律] 处理电场中能量问题的基本方法

在解决电场中的能量问题时常用到的基本规律有动能定理、能量守恒定律，有时也会用到功能关系。

(1)应用动能定理解决问题需研究合外力的功(或总功)。

(2)应用能量守恒定律解决问题需注意电势能和其他形式能之间的转化。

(3)应用功能关系解决该类问题需明确电场力做功与电势能改变之间的对应关系。

(4)有电场力做功的过程机械能一般不守恒，但机械能与电势能的总和可以不变。

[集训冲关]

1．(2018·泰州期中)如图所示，质量均为m 的两个完全相同的小球A 、

B (可看成质点)，带等量异种电荷，通过绝缘轻弹簧相连接，置于绝缘光

滑的水平面上。当突然加一水平向右的匀强电场后，两小球A 、B 将由静

止开始运动。在以后的运动过程中，对两个小球和弹簧所组成的系统(设整个过程中不考虑两电荷之间的库仑力作用且弹簧不超过弹性限度)，以下说法正确的是( )

A ．系统的机械能守恒

B ．当两小球速度为零时，系统的机械能一定最小

C ．当小球所受的电场力与弹簧的弹力平衡时，系统动能最大

D ．因电场力始终对球A 和球B 做正功，故系统的机械能不断增加

解析：选C 因两小球带等量异种电荷，故电场力对两小球做功不为零，且都为正值，机械能增加，故系统机械能不守恒，故A 错误。两小球在电场力的作用下运动后，电场力对小球做功，小球拉动弹簧，弹簧的弹力增大，两小球先加速后减速，动能转化为弹簧势能；当两小球速度为零时，因为电场力一直做正功，此时机械能最大，故B 错误。由B 的分析可知两小球拉动弹簧，弹力增大，开始时小球做加速运动，当弹力等于电场力时速度达最大，此后开始减速，故C 正确。小球速度为零后，因弹力大于电场力，则两小球开始反向运动，电场力做负功，此时系统的机械能减小，故D 错误。

2.如图所示，带正电的A 球固定在足够大的光滑绝缘斜面上，斜面的

倾角α＝37°，其带电荷量Q ＝83

×10－5 C ；质量m ＝0.1 kg 、带电荷量q ＝＋1×10－

7 C 的B 球在离A 球L ＝0.1 m 处由静止释放，两球均可视为点电荷。已知静电力常量k ＝9×109 N·m 2/C 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取10 m/s 2。求：

(1)A 球在B 球释放处产生的电场强度的大小和方向；

(2)B 球的速度最大时两球间的距离；

(3)若B 球运动的最大速度为v ＝4 m/s ，求B 球从开始运动至达到最大速度的过程中电势能怎么变？变化量是多少？

解析：(1)A 球在B 球释放处产生的电场强度大小

E ＝k Q L 2＝9×109×83×10－5

0.12 N /C ＝2.4×107 N/C ， 方向沿斜面向上。

(2)当静电力等于重力沿斜面向下的分力时，B 球的速度最大，即：F ＝k Qq r 2＝mg sin α，解得r ＝0.2 m 。

(3)由于r ＞L ，可知两球相互远离，则B 球从开始运动至达到最大速度的过程中电场力做正功，电势能减少；

根据功能关系可知：B 球减小的电势能等于它动能和重力势能的增加量，所以B 球电势能减少了

ΔE p ＝12

m v 2＋mg (r －L )sin α 解得ΔE p ＝0.86 J 。

答案：(1)2.4×107 N/C 方向沿斜面向上 (2)0.2 m

(3)减少了0.86 J