高等数学微分方程试题
第十二章 微分方程
§12-1 微分方程的基本概念
一、判断题
1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。 ( )
2.y=(y '')3是二阶微分方程。 ( )
3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( )
4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ）
5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ） 二、填空题 1.
微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。 2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y x=0=0,
y '
x=0=1的曲线是 。
三、选择题
1．下列方程中 是常微分方程
（A ）、x 2
+y 2
=a 2
(B)、 y+0)(arctan =x
e dx d (C)、22x a ??+22y
a ??=0 （D ）
、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中 是二阶微分方程
（A ）（y ''）+x 2y '
+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx
3.微分方程2
2dx
y d +w 2
y=0的通解是 其中c.c 1.c 2均为任意常数 （A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 4. C 是任意常数，则微分方程y '=3
23y 的一个特解是
（A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。
1．2
2
C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x
e C e
C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数）
五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
12-2可分离变量的微分方程
一、求下列微分方程的通解
1．sec2.tacydx+sec2ytanxdy=0
2．(x+xy2)dx-(x2y+y)dy=0
3．(e x+y-e x)dx+(e x+y-e y)dy=0
4．y'=cos(x-y).(提示令.x-y=z)
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解
π
1．cosydx+(1+e-x)sinydy=0. y x=0=
4
2.1.1sec 2
32
-==+=
πx y xdx dy y
x
三 、设f(x)=x+?
x 0
f(u)du,f(x)是可微函数，求f(x)
四、求一曲线的方程，曲线通过点（0.1）,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。
五、船从初速v 0=6米/秒而开始运动，5秒后速度减至一半。已知阻力与速度成正比，试求船速随时间变化的规律。
12-3 齐次方程
一、求下列齐次方程的通解 1 y x '-xsin
0=x y 2 (x+ycos )x y dx-xcos x
y
dy=0
二 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解 1．xy
ax
dy =x 2+y 2
y x=e =2e
2.x 2dy+(xy-y 2)dx=0y
x=1=1
三、求方程：（x+y+1）dx=(x-y+1)dy 的通解
四、设有连结点O(0，0)和A （1，1）一段向上凸的曲线孤A O ?对于A O ?
上任一点 P （x ，y ）,曲线孤与P O ?直线段OP -
所围图形的面积为x 2，求曲线孤A O ?
的方程。
12.4 一阶线性微分方程
一、求下列微分方程的通解
1.x y '+y=xe x
2.y '+ytanx=sin2x
3.y '+x
x
y x sin 1=
4.y e y x y dx dy 3+=
二、求下列微分方程满足初始条件的特解 1．y 'cosy+siny =x y
4
0π=
=x 2.(2x+1)e y y '
2e y =4 y
00
==x
三、已知f(π),曲线积分b
a ?[]
dy x f dx x
y
x f x )()(sin +-与路径无关，求函数f(x).
四、质量为M 0克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒m 克的速率减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速度与时间的关系。
五、 求下列伯努利方程的通解
1．y ′+x y x
=1
2y 5 2. xy ′+y-y 2lnx=0
12-4全微分方程
一、求下列方程通解
1．[cos(x+y2)+3y]dx+[2ycos(x+y2)+3x]dy=0
2.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=0
3.e y dx+(xe y-2y)dy=0
二、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解
1 ydx-xdy+y2xdx=0
2 y(2xy+e x)dx-e x dy=0
三、[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy=0为全微分方程，其中函数f(x)连续可微，f(0)=0,试求函数f(x)，并求该方程的通解。
一、求下列各微分方程的通解
1．y ''=xsinx 2. y ''-y '=x
3.y y ''+(y ')2=y '
4. y ''(1+e x )+y '=0
二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解 1．2y ''=sin2y y
2
π=
=x y '
10
==x
2. x y ''-y 'ln y '+y 'lnx=0 y
21
==x y '
21
e x ==
三、函数f(x)在x>0内二阶导函数连续且f(1)=2，以及f '(x)-0)
()(21=-?dt t
t f x x f x ,求f(x).
四、一物体质量为m,以初速度V o 从一斜面上滑下，若斜面的倾角为α，摩擦系数为u,试求物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。
一、选择题
1．下列方程中 为线性微分方程 （A ）（y '）+x y '=x (B)y x y y =-'2 (C) x e y x
y x y =+'-
''22
2 (D)y xy y y cos 3=-'-'' 2.已知函数y 1=2
21x
x e +
，y 1=2
21x
x e
-
，y 3=e (x-
2
)1x 则
（A ）仅y 1与y 2线性相关 （B ）仅y 2与y 3线性相关 （C ）仅y 1与y 3线性相关 （D ）它们两两线性相关
3．若y 1和y 2是二阶齐次线性方程，y ''+p(x)y '+4(x)y=0两个特解，c 1c 2为任意常数，则y=c 1y 1+c 2y 2
(A)一定是该方程的通解 （B ）是该方程的特解 （C ）是该方程的解 （D ）不一定是方程的解 4．下列函数中哪组是线性无关的
（A ）lnx, lnx 2 (B)1， lnx (C)x, ln2x (D)ln x , lnx 2 二、证明：下列函数是微分方程的通解
1y=c 1x 2+c 2x 2lnx(c 1 c 2是任意常数)是方程x 2y '
'-3x y '+4y=0的通解
2y=c 1e -x +c 2e
x e x
+2
(c 1c 2是任意常数)是方程2x e y y 2='+'''的通解
三、设y 1(x)y 2(x)是某个二阶线齐次线性微分方程的三个解，且y 1(x)y 2(x).y 3(x).线性无关， 证明：微分方程的通解为：)()1()()(3212211x y c c x y c x y c y --++=
四、试求以y=1(1c x
e x +c 2e -x
)+2x e (c 1,c 2是任意常数)为通解的二阶线性微分方程。
12-9 二阶常系数齐次线性微分方程
一、选择题
1以y 1=cosx,y 2=sinx 为特解的方程是
（A ）0=-''y y (B)0=+''y y (C)0='+''y y (D)0='-''y y 2．微分方程20=-'+''y y y 的通解是 （A ）x
x
e
c e c y 221--=（B ）2
21x x
e c e
c y -=-（C ）2
21x x
e
c e c y -
-= (D)x x
e c e
c y 221+=-
3．常微分方程0)(2121=+'++''y y y λλλλ，（其中21,λλ是不等的系数），在初始条件y 1x=0=00
='
=x y 特解是
（A ）y=0 (B)y=x x
e c e
c 2121λλ+ (C)221x y λλ= （D ）221)(x y λλ+=
4．x
e y 2=是微分方程06=+'+''y y p y 的一个特解，则此方程的通解是 （A ）x x
e c e c y 3221-+= （B ）x e xc c y 221)(+=
（C ）x x
e c e
c y 3221+= （D ）)3cos 3sin (212x c x c e y x +=
5．x
x
e
c e c y -+=21是微分方程 的通解
（A ）0=+''y y （B ）0=-''y y （C ）0='+''y y （D ）0='-''y y
二、求下列微分方程的通解
1．05='-''y y 2．044=+'-''y y y
3．04=+'+''y y y 4．065=+'-''y y y
5．01036=+'+''-'''y y y y 5. 02)
4(=''+'''-y y y
三、求下列微分方程满足初始条件的特解 1．0102=+'+''y y y 10
==x y 20
1==x y
2．032=-+x dt
dx
dt x d 00
==t x 10
='
=t x
四、一质量为m 的质点由静止（t=0,v=0）开始滑入液体，下滑时液体阻力的大小与下沉速度的大
小成正比（比例系数为k ），求此质点的运动规律。
12-10 二阶常数非齐次线性微分方程
一、选择题
1微分方程，形式为的特解*
2y x y y ='-'' (A)ax (B)ax+b (C)ax 2 (D)bx ax +2
2.微分方程形式为的特解*
1
y e y y x +=-'' （A ）b ae x + （B ）b axe x + （C ）bx ae x + （D ）bx axe x
+ 3．微分方程x
xe u y 22='-''的特解y *形式为 （A ）x
e b ax x 2)(+ （B ）x
e
b ax 2)(+ （C ）x
xe
2 （D ）x
e c bx ax 22)(++
4．微分方程x y y 2cos 4=+''的特解y *形式为
（A ）acos2x (B)axcos2x (C) x(acos2x+bsin2x) (D)acos2x+bsin2x 5. 微分方程x x y y 2
sin =-''的特解形式为y*=
（A ）（ax+b ）sin 2x (B)(ax+b)sin 2x+(cx+d)cos 2x
（C ）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x （D ）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x+ex+f 6. 微分方程x e y y y x 5sin 54+=-'-''-的特解形式为
（A ）x b ae
x
5sin +- (B)x c x b ae x 5sin 5cos ++- （C ）x b axe
x
5sin +- （D ）x c x b axe x 5sin 5cos ++-
二、求下列各方程的通解
1．x
xe y y y =+'+''2 2．x y y y sin 67=+'-''
3．x e y y y x sin 52=+'-'' 4．x x y y cos +=+''
三、求微分方程x y y cos 9=+''满足02
2
='
==
=
ππx x y y 的特解
四、已知二阶常系数微分方程)2(+=+'+''x y y y γβα有特解x x e y x 612
*--+=，求
γβα,,的值，并求该方程的通解
五、k 为常数。试求x
e y k y k y =+'-''2
2的通解。
六、设?
?-+
=x
x
dt t f x dt t f x x f 0
)()(sin )(，其中f(x)为连续的数，求f(x)。
七、一链长18cm ，挂在光滑的圆钉上，一边垂下8cm ，另一边垂下10cm ，问整个链子滑过钉子需要多少时间？
第十二章自测题一
一、 填空题
1．已知曲线y=y(x)过点（0，2
1 ）且其上任一点（x,y ）处的切线斜率为xln(1+x 2)，则f(x)=
2．以()12
2
=++y c x 为通解的微分方程是 （其中为任意常数）
3。微分方程ydx+(c 2-4x)dy=0的通解为 4．微分方程ax x y y =++'ln 的通解为 ]
5．已知某四阶线性齐次方程有四个线性无关的解e -x ,e x ,sinx,cosx,则该微分方程为 二、选择题
１．已知函数y=f(x)在任意点x 处的增量?y=α++?2
1x x
y 且当?x →o 时，α是比?x 更高
阶的无穷小量，y(o)=π，则y(1)等于
（A ）2π （B ）π （C ）4
πe （D ）4
ππe 2 y=y(x)是微分方程0sin =-'-''x
e
y y 的解，且0)(0='x f ，则f(x)在
（A ） x ０的某个邻域内单调增加 （B ）x ０的某个邻域内单调减少 （C ）x ０处的取极小值 （D ）x ０处取极大值
3．一曲线通过点m(4.3),且该曲线上任意一点p 处的切线在y 轴上的截距等于原点到p 的距离，则此曲线方程为
（A ）252
2
=+y x （B ）1022x y +=（C ）25)9()9(2
2=+-+y x （D ）16
42x y -=
4．下列方程中可利用y p '=,y p ''='降为p 的一阶微分方程的是 （Ａ）0)(2
=-'+''x y x y （Ｂ）02
=+'+''y y y y （C ）02
2
=-'+''x y y y y (D) 0=+'+''x y y y 三、求解下列微分方程 1.求ydx+(x 2y-x)dy=0，满足11
==x y 的特解，
2.求x
e y y +='+''11
的通解
四、求x x y y sin +='+''的通解。
五、已知x
x
e xe y 21+=，x
x
e xe y -+=2，x
x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分
方程的三个解，求此微分方程。
六、已知函数f(x)可微 ，且对任意实数x,y 满足：f(x+y)=)()(x f e y f e y
x
+,求此函数f(x).
七、火车沿水平直线轨道运动，设火车质量为m,机车牵引力为F,阻力为a+bv,其中a,b 为常数，v 为火车的速度，若已知火车的初速度与初位移均为零，求火车的运动规律s=s(t).
第十二章自测题二
一、单项选择题
１．设y=)(x f 是方程042=+'-''y y y 的解，若,0)(0>x f 则)(x f 在0x 点 （A ）取得极大值； （B ）取得极小值；（C ）某邻域内单调递增；（D ）某邻域内单调递减； ２．函数x
e
y 23=是方程04=-''y y 的
（A ）通解；（B ）特解；（C ）解，但既非通解也非特解（D ）以上都不对 ３．微分方程x y y 2
cos 52='+''的特解应具有形式（其中，a,b,c 为常数）
（A ）);sin cos (2
2
x b x a x + （B ）x c x b ax 2sin 2cos ++ （C ）a+bcos2x; (D) ax 2+bcos2x+csin2x 4.微分方程x
xe y y y 396=+'+''特解应具有形式
（A ）（Ax+Bx ）e 3x (B)x(Ax+B)e 3x （C ）x 2(Ax+B)e 3x （D ）Ax 3e 3x
5.设一动点以等加速度a 作直线运动，且其初速度为v 0,初始位移为s 0，则此质点规律是 （A ）s=v 0+s 0; (B)002
2
1s t v at s ++=
(C);020s t v s += (D)002s t v at s ++= 6 函数f(x)满足关系式=+?=)(,21)2
()(20x f n dt t f x f x
则
（A ）1n2·e x ; （B ）1n2·e 2x ; （C ）e x +ln2; （D ） e 2x +ln2. 二、填空题
1.微分方程02=-'+''y y y 的通解y=
2.以221==λλ为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是
3.以x e x e e x
x
x
cos ,sin ,为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是 4.微分方程==-'y y y 通解32 三、判断下列方程的类型并求其解 １．求的特解满足20)23(0
5
==+-=x y dy y x ydx
２．求(xe y +1)dx+(
y e x y
+22
1)dy=0的通解 四、求微分方程的x
xe y y y 265=+'-''的通解
五、已知函)(x f y =的图形经过原点和点M （1，2），且满足微分方程，012
2='-+
''y y
y 求
).(x f
六、设二阶常数线性微分方程x
e y y a y γβ=+'+''的一个特解为,)1(2x x
e x e y ++=试确
定常数,,,γβα并求该方程的通解
七、设函数)(x f 连续可微，,1)1(=f 且对任意闭曲线C 都有,0)(43
=+?
dy x xf ydx x C
求).(x f
高等数学第七章微分方程习题
第七章 微分方程与差分方程 习题7－1（A ） 1． 说出下列微分方程的阶数： ;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x .0)32()67()3(=++-dy y x dx y x 2． 下列函数是否为该微分方程的解： x e x y y y y 2; 02)1(==+'-'' )(2; 0)()2(2为任意常数C x x C y xdy dx y x -==++ ),(cos sin ; 0) 3(212122 2为任意常数C C ax C ax C y y a dx y d +==+ )(ln ; 02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+ 3． 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数： ;5, )1(0 22==-=x y C y x ;1,0,)()2(0 221=' =+===x x x y y e x C C y . 0,1, )(sin )3(21='=-===ππx x y y C x C y 4． 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程： 点横坐标的平方。 处的切线的斜率等于该曲线在点),()1(y x 轴平分。被，且线段轴的交点为处的法线与曲线上点y PQ Q x y x P ),()2( 习题7－1（B ） 1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程： ; 1)()1(22=+-y C x . )2(21x x e C e C xy -+= 2．用微分方程表示下列物理问题： 平方成反比。温度的成正比，与的变化率与气压对于温度某种气体的气压P T P )1( 。 速度成反比（比例系数同时阻力与， 成正比（比例系数与时间用在它上面的一个力的质点作直线运动，作一质量为)))2(11k k t m 习题7－2（A ） 1．求下列微分方程的通解： ;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ; )()3(2y y a y x y '+='-'
高数公式大全(全)
高数公式大全 1.基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+=-+±=++=+-==+= -=----11ln 21)1ln(1ln(:2 :2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x
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第十二章 微分方程 §12-1 微分方程的基本概念 一、判断题 1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。 ( ) 2.y=(y '')3是二阶微分方程。 ( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ） 二、填空题 1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。 2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y x=0=0, y ' x=0=1的曲线是 。 三、选择题 1．下列方程中 是常微分方程 （A ）、x 2+y 2=a 2 (B)、 y+0)(arctan =x e dx d (C)、22x a ??+22y a ??=0 （D ） 、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中 是二阶微分方程 （A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx 3.微分方程2 2dx y d +w 2 y=0的通解是 其中c.c 1.c 2均为任意常数 （A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 4. C 是任意常数，则微分方程y '=3 23y 的一个特解是 （A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 1．2 2 C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x e C e C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数） 五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
高等数学 微分方程
第十二章 微分方程 § 1 微分方程的基本概念 1、由方程x 2-xy+y 2=C 所确定的函数是方程（ ）的解。 A. (x-2y)y '=2-xy '=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy 2、曲线族y=Cx+C 2 (C 为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） 4.微分方程y '=y x 21-写成以 y 为自变量，x 为函数的形式为（ ） A.y x 21dx dy -= B.y x 21dy dx -= '=2x-y D. y '=2x-y §2 可分离变量的微分方程 1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ） A.可分离变量的微分方程 一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成 ) y ,x (P ) y ,x (Q dy dx -= 2、方程xy '-ylny=0的通解为（ ） A y=e x B. y=Ce x cx D.y=e x +C 3、方程满足初始条件：y '=e 2x-y , y|x=0=0的特解为（ ） A. e y =e 2x +1 2 1 e ln x 2+= C. y=lne 2x +1-ln2 D. e y =21e 2x +C 4、已知y=y(x)在任一点x 处的增量α+?+=?x x 1y y 2 ，且当?x →0时，α是?x 高阶无穷小，y(0)=π,则y(1)=( ) A. 2π B. π C. 4 e π 4e ππ 5、求特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=4 π 解：分离变量为tanydy=tanxdx ，即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC ，cosy=ccosx 代入初始条件：y|x=0= 4π 得：2 2C =特解为：2cosy=cosx 6、求微分方程()2 y x cos y x 2 1cos dx dy +=-+满足y(0)=π的特解。
高等数学微分方程试题及答案.docx
第九章常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （ 1）方程形式：dy P x Q y Q y0通解 dy P x dx C dx Q y （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （ 2）方程形式：M1x N1 y dx M 2x N 2y dy0 通解M 1x dx N 2 y dy C M 2 x 0, N 1 y 0 M 2x N 1y 2．变量可分离方程的推广形式 dy f y （ 1）齐次方程 x dx 令y u ，则 dy u x du f u f du dx c ln | x | c x dx dx u u x 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 dy P x y0 它也是变量可分离方程，通解y Ce P x dx ，（c为任意常数）dx 2．一阶线性非齐次方程 精品文档令 z y1把原方程化为dz1P x z 1Q x 再按照一阶线性 dx 非齐次方程求解。 dy1可化为 dx P y x Q y y x 以为自变量，．方程： P y x dy dx Q y 为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程 方程类型解法及解的表达式 通解 y n C 2 x n 2C n 1 x C n y n f f x dx C1 x n 1 x n次 令 y p ，则 y p ，原方程 y f x, y f x, p ——一阶方程，设其解为p g x, C1 p， 即y g x, C1，则原方程的通解为y g x, C1dx C2。 令 y p ，把p看作y的函数，则 y dp dp dy p dp dx dy dx dy y f 把 y， y 的表达式代入原方程，得 dp1 f y, p—一阶方程， y, y dy p dy dx P x y Q x用常数变易法可求出通解公式设其解为 p g y, C 1 , 即 dy g y, C1，则原方程的通解为 dx 令 y C x e P x dx代入方程求出 C x 则得ye P x dx Q x e P x dx dx C 3．伯努利方程 dy Q x y0,1 P x y dx dy x C2。 g y, C1
高等数学第九章微分方程试题及答案
第九章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意 常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程
高等数学微分方程练习题
(一)微分方程的基本概念 微分方程:含未知函数的导数或微分的方程,称为微分方程、 微分方程的阶:微分方程所含未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数、 1、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确 2、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确 一阶线性微分方程:未知函数及其导数都就是一次的微分方程d ()() d y P x y Q x x +=称为一阶 线性微分方程、 微分方程的解:如果一个函数代入微分方程后,方程两边恒等,则称此函数为微分方程的解、通解:如果微分方程的解中所含独立任意常数C的个数等于微分方程的阶数,则此解称为微分方程的通解、 特解:在通解中根据附加条件确定任意常数C的值而得到的解,称为特解、 1、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 2、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 3、就是微分方程的通解. A、正确 B、不正确 4、微分方程的通解就是( ). A、 B、 C、 D、
(二)变量可分离的微分方程:()()dy f x g y dx = 一阶变量可分离的微分方程的解法就是: (1)分离变量:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =;(2)两边积分:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =?? 左边对y 积分,右边对x 积分,即可得微分方程通解、 1、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 2、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 3、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 4、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 5、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 6、微分方程的通解( ). A 、 B 、 C 、 D 、 7、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 8、 x y dy e dx -=就是可分离变量的微分方程. A 、正确 B 、不正确
高数 第七章题库 微分方程
第十二章 微分方程答案 一、 选择题 1．下列不是全微分方程的是 C 1 A.2()(2)0x y dx x y dy ++-= B.2 (3)(4)0y x dx y x dy ---= C.3 2 2 2 3(23)2(2)0x xy dx x y y dy +++= D.2 2 2(1)0x x x ye dx e dy -+= 2. 若3y 是二阶非齐次线性方程(1):()()()y P x y Q x f x '''++=的一个特解，12,y y 是对应的 齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（123,,c c c 为任意常数） C 2 A.1122c y c y +是(2)的通解 B. 113c y y +是(1)的解 C. 112233c y c y c y ++是(1)的通解 D. 23y y +是(1)的解 3．下列是方程xdx ydy += 的积分因子的是 D 2 A.2 2x y + B. 221x y + 4．方程32 2321x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 5．已知方程'()0y p x y +=的一个特解cos 2y x =，则该方程满足初始特解(0)2y =的特解为（ C ）. 2 (A) cos 22y x =+ (B) cos 21y x =+ (C) 2cos 2y x = (D) 2cos y x = 6．方程32232 1x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 7．设线性无关的函数123,,y y y 都是微分方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的解，则该方程的通解为 （ D ）. 2 (A) 11223y c y c y y =++ (B) 1122123()y c y c y c c y =+-+ (C) 1122123(1)y c y c y c c y =+--- (D) 1122123(1)y c y c y c c y =++-- 8．设方程''2'3()y y y f x --=有特解*y ，则其通解为（ B ）. 1
高等数学微分方程练习题
(一)微分方程的基本概念 微分方含未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程 微分方程的阶：微分方程所含未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数 1. 」 不是一阶微分方程. A.正确 B.不正确 A.正确 B.不正确 一阶线性微分方程：未知函数及其导数都是一次的微分方程 矽? P(x)y 二Q(x)称为一阶线 dx 性微分方程. A.正确 B. 不正确 A.正确 B.不正确 A.正确 B. 不正确 2. (il 2x3“ 血 不是一阶微分方程. 微分方程的解：如果一个函数代入微分方程后, 通解：如果微分方程的解中所含独立任意常数 微分方程的通解. 特解：在通解中根据附加条件确定任意常数 方程两边恒等，则称此函数为微分方程的解 C 的个数等于微分方程的阶数，则此解称为 的值而得到的解，称为特解 1. : 屯》0 是微分方程血 的 2. . 空+宀0 '是微分方程」 的解. 3. y = x+C 是微分方程血 的通解. ^-2r = 0 4.微分方程」 的通解是( )? A j 二 Gin? x B y = Ccos2x C. v = Ce'*" D 1 =Ce*
（二）变量可分离的微分方程：巴=f（x）g（y） dx 一阶变量可分离的微分方程的解法是： （1）分离变量：gi（y） dy = f2（X）dx ；（2）两边积分：gi（y） dy = f2（X）dx g2（y）f i（x）L g2（y）L f i（x）左边对y积分，右边对x积分，即可得微分方程通解. 1. 微分方程-二的通解是（）. B.血）二丁”+C c. D. In v=e'+C 2. 微分方程的通解是（）? A.= C B.cox-血y二C c. = f D.sin x-cos y = C dr y —L-——— 3. 微分方程的通解是（）. de A. - - B. .- C. .- D.. 4. 微分方程】「二-'的通解是（）? A.「丨- B. 1 「- C. 1 「- D.--- 5. 微分方程■的通解是（）. A.「厂 B.「厂 C. 「 D. -J/'' 亍一2（x+l）二0 6. 微分方程上的通解.一（）. A.C（X + 】） B.C（X + 1）：c. （丫+厅+C D 7. 微分方程.-小一的通解是（） x+lnx+v+lni=C B x-lnx+ v-ln r = C A x+lnx-T+ln v = C D x-lnx-v+ln v-C C 8. dy =e^^是可分离变量的微分方程. dx A.正确 B. 不正确
高等数学第七章微分方程试题及答案
第七章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
《高数(同济六版)》第七章 微分方程--参考答案
第七章 微分方程—练习题参考答案 一、填空题 1. 三阶； 2. 023=+'-''y y y ； 3. 1-=' x y y ； 4. x e 22ln ? ； 5. x x e c e c 221-+； 6. 错误 、错误、错误、正确. 二、选择题 1-5:ACDCB; 6-8: CCB; 三、计算与应用题 1、（1）解：变量分离得， 1 1 2 2 -= +x xdx y ydy ， 两边积分得， c x y ln 2 1)1ln(2 1)1ln(2 12 2 +-=+， 从而方程通解为 )1(122-=+x c y . （2）解：整理得， x y x y dx dy ln =，可见该方程是齐次方程， 令 u x y =，即xu y =，则dx du x u dx dy +=，代入方程得，u u dx du x u ln =+， 变量分离得， x dx u u du = -) 1(ln ，积分得，c x u ln ln )1ln(ln +=-， 所以原方程的通解为cx x y =-1ln ，或写为1 +=cx xe y . （3）解：整理得，x e y x y =+ '1，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为 )(1)(1)(1 1 c e xe x c dx xe x c dx e e e y x x x dx x x dx x +-= +=+??=??- . （4）解：整理得， x y x x dx dy 1ln 1= +，这是一阶线性方程，利用公式得通解为 )2 ln (ln 1)ln (ln 1)1(2 ln 1 ln 1 c x x c dx x x x c dx e x e y dx x x dx x x +=+=+??=??- ， 代入初始条件1==e x y 得2 1= c ，从而所求特解为)ln 1(ln 2 1x x y + = . （5）解：将方程两边逐次积分得，12 arctan 11c x dx x y +=+= '? ， 212 1)1ln(2 1arctan )(arctan c x c x x x dx c x y +++-=+= ? ，
《高等数学II》第6章常微分方程练习题
第六章 常微分方程与差分方程 一、单项选择题 1．微分方程0)'()''(3)'''(5423=++-x y y y 阶数是 （ ） A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶 2．微分方程222y x dx dy x +=是 （ ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程 3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是 （ ） A.0'2)'(2=+-x yy y x B.0'2=-+x yy xy C.0'2=+y x xy D.0)()67(=++-dy y x dx y x 4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是 （ ） A.x x x y +=ln B.Cx x x y +=ln C.x x x y +=ln 2 D.Cx x x y +=ln 2 5．微分方程y y x 2='的通解为 （ ） A ．2x y = B ． c x y +=2 C ． 2cx y = D ．0=y 6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ ） A.x y = B. c x y += C.cx y = D.0=y 7．微分方程y xy xy -='是 （ ） A 可分离变量方程 B 齐次方程 C 一阶齐次线性方程 D.一阶非齐次线性方程 8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是 （ ） A 一阶微分方程 B 二阶微分方程 C 可分离变量的微分方程 D 一阶线性微分方程 9．微分方程0)()(=++-++dy e e dx e e y y x x y x 为 （ ） A 齐次方程 B 一阶线性齐次方程 C 一阶线性非齐次方程 D 可分离变量的微分方程 10．下列方程中是可分离变量的微分方程的是（ ） A x x y x y cos )(tan '2-+= B 0ln '=--y y y xe y x C dx dy xy dx dy x y =+22 D 0)cos 1(cos sin ln '=-+y x y y x xy 11．微分方程02=+'-''y y y 的一个特解是 （ ） A x e x y 2= B x e y = C x e x y 3= D x e y -=
高等数学微分方程练习题
高等数学微分方程练习 题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
（一）微分方程的基本概念 微分方程：含未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程. 微分方程的阶：微分方程所含未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数. 1.不是一阶微分方程． A.正确 B.不正确 2.不是一阶微分方程． A.正确 B.不正确 一阶线性微分方程：未知函数及其导数都是一次的微分方程d ()() d y P x y Q x x += 称为一阶线性微分方程. 微分方程的解：如果一个函数代入微分方程后，方程两边恒等，则称此函数为微分方程的解. 通解：如果微分方程的解中所含独立任意常数C的个数等于微分方程的阶数，则此解称为微分方程的通解. 特解：在通解中根据附加条件确定任意常数C的值而得到的解，称为特解. 1.是微分方程的解． A.正确 B.不正确 2.是微分方程的解． A.正确 B.不正确 3.是微分方程的通解． A.正确 B.不正确
4.微分方程 的通解是（ ）． A. B. C. D. （二）变量可分离的微分方程：()()dy f x g y dx = 一阶变量可分离的微分方程的解法是： （1）分离变量：1221()()()() g y f x dy dx g y f x =；（2）两边积分：1221()()()()g y f x dy dx g y f x =?? 左边对y 积分，右边对x 积分，即可得微分方程通解. 1.微分方程 的通解是（ ）． A. B. C. D. 2.微分方程 的通解是（ ）． A. B. C. D. 3.微分方程的通解是（ ）． A. B. C. D. 4.微分方程的通解是（ ）．
高等数学微分方程试题汇编
第十二章微分方程 §2-1 微分方程的基本概念 一、 判断题 1. y=ce 2x （c 的任意常数）是y ' =2x 的特解。 （ ） 2. y=（ y ）3是二阶微分方程。 （ ） 3. 微分方程的通解包含了所有特解。 （ ） 4. 若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ） 5. 微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ） 二、 填空题 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 _______________ 。 2. 函数y=3sinx-4cosx ___________ 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1 +c 2x)e 2x 中满足 y x=o =O, y" x=o =1的曲线是 _________________ 。 三、选择题 1. _________________ 下列方程中 是常微分方程 _2 _2 2 2 2 d arctan x 3 '3 2 2 (A )、x+y =a (B)、 y+——(e ) = 0 (C)、—2 +— =0 ( D )、y =x +y dx ex cy 2. _______________ 下列方程中 是二阶微分方程 2 y 2 i-2 2 3 2 (A ) ( y ) +x +x =0 (B) ( y ) +3x y=x (C) y +3 y +y=0 (D) y -y =sinx (A ) y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c i coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 2 4. C 是任意常数，则微分方程 y =3y 3的一个特解是 ______________ 3 3 3 3 (A ) y-=(x+2) (B)y=x +1 (C) y=(x+c) (D)y=c(x+1) 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 2 2 2x 3x 1. y =Cx C (其中C 为任意常数) 2.y =C i e C 2e (其中C-C ?为任意常数) 五、质量为 m 的物体自液面上方高为 h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻 力与运 3.微分方程 穿+w2y =0的通解是 ______ 中c.c i.c 2均为任意常数
微积分微分方程练习题及答案
一、 选择题: 1、 一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P y +=' 的通解是( ). (A)?+??=-])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P ； (B)???=-dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(； (C)?+??=-])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P ； (D)? =-dx x P ce y )(. 2、方程y y x y x ++='22是( ). (A)齐次方程； (B)一阶线性方程； (C)伯努利方程； (D)可分离变量方程 . 3、2)1(,022==+y x dx y dy 的特解是( ). (A)222=+y x ； (B)933=+y x ； (C)133=+y x ； (D)13 333=+y x . 4、方程 x y sin ='''的通解是( ). (A) 322121cos C x C x C x y +++=； (B)32212 1sin C x C x C x y +++=； (C)1cos C x y +=； (D)x y 2sin 2=. 5、方程0='+ '''y y 的通解是( ). (A)1cos sin C x x y +-=； (B)321cos sin C x C x C y +-=； (C)1cos sin C x x y ++=； (D)1sin C x y -=.
6、若1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个特解,则 2211y C y C y +=(其中21,C C 为任意常数)( ) (A)是该方程的通解； (B)是该方程的解； (C)是该方程的特解； (D)不一定是该方程的解. 7、求方程0)(2='-'y y y 的通解时,可令( ). (A)P y P y '=''='则,； (B) dy dP P y P y =''='则,； (C)dx dP P y P y =''='则,； (D)dy dP P y P y '=''='则,. 8、已知方程02=-'+''y y x y x 的一个特解为x y =,于是方程的通解为( ). (A)221x C x C y +=； (B)x C x C y 121+=； (C)x e C x C y 21+=； (D)x e C x C y -+=21. 9、已知方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的一个特1y 解为, 则另一个与它线性无关的特解为( ). (A) ??=- dx e y y y dx x P )(21 121； (B) ??=dx e y y y dx x P )(21 121 ； (C) ??=-dx e y y y dx x P )(1 121； (D) ??=dx e y y y dx x P )(1 121. 10、方程x e y y y x 2cos 23=+'-''的一个特解形式是 ( ). (A) x e A y x 2cos 1=； (B) x xe B x xe A y x x 2sin 2cos 11+=； (C) x e B x e A y x x 2sin 2cos 11+=； (D) x e x B x e x A y x x 2sin 2cos 2121+=.
高数一试题库
南京工业大学继续教育学院南京高等职业技术学校函授站 《高等数学一》课程复习题库 一． 选择题 1. 0sin 3lim x x x →=（ ） A.0 B. 1 3 C.1 D.3 2. 0sin lim 22x ax x →=，则a =（ ） A.2 B. 12 C.4 D. 1 4 3. 0sin 5sin 3lim x x x x →-?? ??? =（ ） A.0 B. 1 2 C.1 D.2 4. 极限0tan 3lim x x x →等于（ ） A 0 B 3 C 7 D 5 5.设()2,0 ,0x x x f x a x ?+<=?≥?，且()f x 在0x =处连续，则a =（ ） A.0 B. 1- C.1 D.2 6. 设()21,1 0,1ax x f x x ?+<=?≥?，且()f x 在1x =处连续，则a =（ ） A.1 B. 1- C.-2 D. 2 7. 设()2 1,02,0,0x x f x a x x x ???在0x =处连续，则a =（ ） A.1 B. 1- C.0 D. 12 8．设2cos y x =，则y '=（ ） A. 2sin x B. 2sin x - C. 22sin x x - D. 22sin x x
9. 设21y x -=+，则y '= （ ） A.32x - B.12x -- C.32x -- D.121x --+ 10．设5sin y x x -=+则y '=（ ） A ．65cos x x --+ B 45cos x x --+ C.45cos x x --- D.65cos x x --- 11. 设5 1 y x = ，则dy =（ ） A.45x - .B.45x dx -- C. 45x dx D.45x dx - 12. 设1cos 2,y x =-则dy =（ ） A ．sin 2xdx B sin 2xdx - C.2sin 2xdx D.2sin 2xdx - 13. 设() 2ln 1,y x =+则dy =（ ） A ． 21dx x + B 21dx x -+ C.221xdx x + D.2 21xdx x -+ 14. ()1 lim 1x x x →-=（ ） A. e B. 1e - C. 1e -- D. e - 15．()x x x 21 21lim +→ =（ ） A 0 B ∞ C e D 2e 16. 0 1lim 1x x x →?? += ??? （ ） A. e B. 1e - C.0 D. 1 17.226 lim 2 x x x x →+--=（ ）
高等数学微分方程试题及答案
第九章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意 常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程
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专业班级学号姓名成绩时间174 第十二章微分方程 §12-1 微分方程的基本概念 一、判断题 1.y=ce 2 x (c 的任意常数 )是y =2x 的特解。( ) 2.y=( y ) 3是二阶微分方程。( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。（） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。（） 二、填空题 1. 微分方程 .(7x-6y)dx+dy=0 的阶数是。 2. 函数 y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线 y=(c 1 +c 2 x)e 2 x 中满足 y x=0=0, y x=0=1的曲线是。 三、选择题 1．下列方程中是常微分方程 （ A ）、 x2+y 2=a2 d (e arctan x ) 0 (C)、 2 a 2 a =0 （ D）、y =x 2+y 2 (B) 、 y+ 2 + 2 dx x y 2.下列方程中是二阶微分方程 （ A ）（y）+x 2 y +x 2=0(B) ( y ) 2+3x 2y=x 3 (C) y +3 y +y=0 (D) y -y2=sinx d 2 y 2 1. 2 3.微分方程 dx2 +w y=0 的通解是其中 c.c c 均为任意常数 （ A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 2 4. C 是任意常数，则微分方程y = 3y3 的一个特解是 （ A ）y-=(x+2) 3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c) 3 (D)y=c(x+1) 3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 1．y Cx2 C 2 （其中 C 为任意常数） 2. y C1e2 x C 2e3x （其中 C1 ,C2 为任意常数） 五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与 运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
高等数学基本公式整理(微分方程部分)
微分方程的相关概念： 即得齐次方程通解。 ，代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成 齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。 得：的形式，解法： 为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程 或 一阶微分方程：u x y u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x y y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=∴=++====+====+='??)()(),(),()()()()()()(0 ),(),(),(???一阶线性微分方程： )1,0()()(2))((0)(,0)()()(1)()()(≠=+?+? =≠? ===+?--n y x Q y x P dx dy e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx dy n dx x P dx x P dx x P ，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程： 全微分方程： 通解。 应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即： 中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y u y x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=??=??=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),( 二阶微分方程： 时为非齐次 时为齐次，0)(0)()()()(22≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 2 122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数； 式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤： 为常数； ，其中?'''=++?=+'+''式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r
高等数学微分方程练习题
（一）微分方程的基本概念 微分方程：含未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程. 微分方程的阶：微分方程所含未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数. 1.不是一阶微分方程． A.正确 B.不正确 2.不是一阶微分方程． A.正确 B.不正确 一阶线性微分方程：未知函数及其导数都是一次的微分方程d ()() d y P x y Q x x +=称为一阶线 性微分方程. 微分方程的解：如果一个函数代入微分方程后，方程两边恒等，则称此函数为微分方程的解. 通解：如果微分方程的解中所含独立任意常数C的个数等于微分方程的阶数，则此解称为微分方程的通解. 特解：在通解中根据附加条件确定任意常数C的值而得到的解，称为特解. 1.是微分方程的解． A.正确 B.不正确 2.是微分方程的解． A.正确 B.不正确 3.是微分方程的通解． A.正确 B.不正确 4.微分方程的通解是（）． A. B. C. D.
（二）变量可分离的微分方程：()()dy f x g y dx = 一阶变量可分离的微分方程的解法是： （1）分离变量：1221()()()()g y f x dy dx g y f x =；（2）两边积分：1221()()()() g y f x dy dx g y f x =?? 左边对y 积分，右边对x 积分，即可得微分方程通解. 1.微分方程 的通解是（ ）． A. B. C. D. 2.微分方程 的通解是（ ）． A. B. C. D. 3.微分方程的通解是（ ）． A. B. C. D. 4.微分方程 的通解是（ ）． A. B. C. D. 5.微分方程 的通解是（ ）． A. B. C. D. 6.微分方程的通解（ ）． A. B. C. D. 7.微分方程 的通解是（ ）． A. B. C. D. 8. x y dy e dx -=是可分离变量的微分方程． A.正确 B.不正确