852 曲面的切平面与法线讲解
8.5.2曲面的切平面与法线
过曲面Σ上一点M，在曲面Σ上的曲线
有无数多条，每一条曲线点M处都有一条
切线，在下面的讨论中将会发现，在一定
的条件下，这些切线位于同一平面，我们
称这个平面为曲面Σ在点M处的切平面。
设曲面Σ的方程为F(x，y，z)=0，M(x0，
y0，z0)是曲面上一点，函数F(x，y，z)在
点M处有连续的偏导数，且三个偏导数不
全为零，另设曲线Γ是过点M且在曲面Σ
上的任意一条曲线，它的方程为
t=t0是点M0所对应的参数
，
不全为零。
由于曲线Γ在曲面Σ上，于是曲线Γ上
任意一
点的坐标满足曲面Σ的
方程，即有恒等式
图8-22
又由于函数F(x，y，z)在点M处有连续的偏导数，函
数
在t=t0处可导，所以复合函
数在t=t0
处可导，且全导数为
恒等式=0两边在t0处对t求全导数，有
上式说明向量
与向量
垂直。向量是曲线Γ在点M处的切向量，故曲线Γ在点M处
的切线与向量垂直，由曲线Γ的任意性知，所有过点M，且在曲
面Σ上的曲线在M处的切线都与向量垂直，也就是这些切线都在
以向量为法向量，并通过点M的平面上。所以，曲面Σ在点M处的切平面方程为
过点M(x0，y0，z0)且垂直于该点处的切平面的直线称为曲面Σ在点M处的法线，显然，切平面的法向量就是法线的方向向量，所以曲面Σ在点M处的法线方程为
如果曲面Σ的方程为z=f(x，y),则只需设
那么曲面Σ的方程就可化成F(x，y，z)=0的形式，而且
,
此时曲面Σ在点M0(x0，y0，z0)处的切平面方程为
法线方程为
例1：求曲面在点M(3，1，1)处的切平面方程和法线方程。
解：
例2：求圆锥面在点M(1，0，1)处的切平面方程和法线方程。
解：
例3：在椭圆抛物面上求一点，使它的切平面与平
面平行，并求该点的切平面及法线方程。
解：
曲面的切平面和法线方程
曲面的切平面与法线方程 设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且 ，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ。设其方程为，且对应于点；不全为零。由于曲线Γ在Σ上，则有 及。该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。记为。 基本方法： 1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为 . 法线方程为 . 2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为
. 过X0的法线方程为 . 注：方法2实际上是方法1中取的情形. 3、若曲面∑由参数方程 x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v) 给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为 和 三、答疑解惑 问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？ 注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线. Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0); Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v). 它们在点X0处的切向量分别为
曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程 令狐采学 设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且 ，过点任意引一条位于曲面Σ 上的曲线Γ。设其方程为，且对应于点； 不全为零。由于曲线Γ在Σ上，则有 及。该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。记为 。 基本方法： 1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为
. 法线方程为 . 2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为 . 过X0的法线方程为 . 注：方法2实际上是方法1中取的情形. 3、若曲面∑由参数方程 x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v) 给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为 和
三、答疑解惑 问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？ 注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线. Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0); Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v). 它们在点X0处的切向量分别为 当时，得∑在点X0处的法向量为 则∑在点X0处的法向量为 . 四、典型例题 例1 求椭球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1, 1）处的切平面方程与法线方程.
空间曲线的切线与空间曲面的切平面
§14-6 空间曲线的切线与空间曲面的切平面 一、空间曲线的切线和法平面 概念:曲线在某点切线及法平面. 光滑曲线. 推导:已知:曲线Γ(光滑):?? ???===)()()(t z z t y y t x x βα≤≤t ),,(000z y x P 0t t = 取),,(000z z y y x x Q ?+?+?+ 则割线 z z z y y y x x x ?-=?-=?-000 切线: ) ()()(0'00'00'0t z z z t y y y t x x x -=-=- 曲线Γ在P 处的切线向量:{}ρ)(),(),('''t z t y t x T =→ 法平面: 0))(())(())((00'00'0'=-+-+-z z t z y y t y x x t x 例1:求曲线 t x 2=, 23-=t y , 22t t z -=在点(1)1=t (2))0,6,4(M 处的切 线及法平面方程. (1) )1,1,2(1-?=P t {}{}0,3,222,3,212=-==→ t P t t T 切线: 013122-=+=-z y x 即?????=-+=-0 13122z y x (严格表示) (2) 2)0,6,4(=?t M {}{}{}1,6,122,12,222,3,222-=-=-==→t m t t T 切线: 1 6614-=-=-z y x 法平面:0)6(6)4(=--+-z y x 即0406=--+z y x 例2:求曲线Γ???=++=++0 6222z y x z y x 在点)1,2,1(-M 处切线及法平面方程. 解: Γ的常数方程?????===)()(x z z x y y x x {} ) (),(,1''x z x y T =→
第二章第三节曲面的切平面和法线计算例题
第二章 曲面的表示与曲面论 第三节 曲面的 切平面和法线、 光滑曲面 1、 平面曲线的切线与法线 设平面曲线的方程为 0),(=y x F , ),(0 y x P 是其上一定点。在该点的切线斜率为 ) ,() ,()(00000y x F y x F x y y x ''- ='. 从而曲线过点),(000y x P 的 切线方程为 ) () ,() ,(000000x x y x F y x F y y y x -''-=-, 即0 (,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y ''-+-= ，(1) 法线方程为 (,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y ''---=，(2)
例1、 求笛卡尔叶形线09)(23 3 =-+xy y x 在点)1,2(处的切线与法线. 解 xy y x y x F 9)(2),(3 3 -+=, y x F x 962 -=',x y F y 962 -='. 12)1,2(,15)1,2(-='='y x F F , 得到 切线方程 0)1(4)2(5=---y x ,即645=-y x ; 法线方程 0)1(5)2(4=-+-y x ,即1354=+y x .如图(1)所示. 图(1)
2、 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线L 的方程为 )(),(),(t z z t y y t x x ===,βα≤≤t . 定点L z y x P ∈),,(0 , )(),(),(0 t z z t y y t x x ===, 动点 L z z y y x x P z y x P ∈?+?+?+=),,(),,(0 . 动割线P P 0 的方程为 t z z z t y y y t x x x ??-=??-=??-0 00, 当0→?t 时,动点P 沿曲线无限接近定点0P , 达到动割线P P 0 的极限位 置l : 0 ()()() x x y y z z x t y t z t ---==''' ，(3) 称之为曲线L 在点0 P 的切线. 其方向向量为 0 {(),(),()}x t y t z t τ'''= 。
曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程 设上中曲面Σ的方程为F (X , y , Z) = 0 ,函数F (X , y , Z)在曲面Σ上点'一J∣.?.'一'.∣处可微， W t) = 且1加卽龛丿，过点血任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ°设其 ?=Λ(∕) y=y?) 方程为A邛,且对应于点不全为零。由于曲线Γ在Σ上，则有 ? g(x吨)+卩(血吨)+叭(?F(?) 及朮LF 。该方程表示了曲面上任意一条过点「厂的曲线在该点的切线都与向量WO) 垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个 平面就称为曲面Σ在点：处的切平面.点.称为切点.向量二心 2 -l称为曲面Σ在点-处的一个法向量。记为G。 基本方法： 1、设点l l- ■' ■" 1■■在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, Z)在点一∣处存在连续偏导数，且三个偏导数 不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为 F：g )(r-r,>+ 兀厲XJ-Λ)÷Eg(H-^) = D 法线方程为 ? _ y~y ti_ X(Jf O)=X^) = 2、设点''■' ' l?' ' ■'在曲面Z = f (x, y)上，且Z = f (x, y)在点M o (χo, y o)处存在连续偏导数，则该 曲面在点Al?, "-" - -■处的切平面方程为 -f E j Ja-心)-力(心小Xy-几)2-齢MD
X = x(u, V) , y = y(u, V) , Z = z(u, V) 给出，∑上的点禺臨片九与UV平面上的点(U o , V0)对应，而X(U , V) , y(u , V) , Z(U , V)在( u o , v o)处 可微.曲面∑在点X o处的切平面方程及法线方程分别为 三、答疑解惑 问题：曲面∑的参数方程为X = X(U , V) , y = y(u , V) , Z = Z(U , V)，∑±的点：'I- ■ -,'ι■ ?与u , V平面上的点(U o , VO)对应，怎样确定∑在点X o处的法向量？ 注释：设X(U , V) , y(U , V) , Z(U , V)在(U o , VO)处可微，考虑在∑上过点X o的两条曲线. Γ i: X = X(U , V o) , y = y(U , V o) , Z = Z(U , V o); Γ 2 : X = X(U o , V) , y = y(U o , V) , Z = Z(UO, V). 它们在点X o处的切向量分别为 ξ=C?冲"?(?, ?(?,?)) E■(兀(知岭h H(M e Mh 久(％%)) 过X o的法线方程为 注：方法2实际上是方法 1 中取..'l--λ.'<-的情形 3、若曲面∑由参数方程
3曲面的切平面与法线
曲面的切平面与法线
设有光滑曲面0 ),,(:=Σz y x F 通过其上定点),,(000z y x M 任意引一条光滑曲线],[),(),(),(:βα∈===Γt t z z t y y t x x )(),(),(000t z t y t x ′′′对应点M , 0t t =则Γ在M 的切向量为：)} (),(),({000t z t y t x T ′′′= 切线方程 ()()() 00 0000t z z z t y y y t x x x ′?= ′?=′?Γ T M 设且不全为0，
证明:由于∑上过点M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. 此平面称为∑在该点的切平面.下面证明： )(),(),(:t z z t y y t x x ===Γ在∑上.故 ))(),(),((=t z t y t x F 两边在0t t =处求导,得 ()()()()()()0 ,,,,,,000000000000=′+′+′t z z y x F t y z y x F t x z y x F z y x 令： )},(),(),({000t z t y t x T ′′′= ()()()} ,,,,,,,,{000000000z y x F z y x F z y x F n z y x = 有：n T ⊥
曲面∑在点M 的法向量()()()} ,,,,,,,,{000000000z y x F z y x F z y x F n z y x = ()()()()()()0 ,,,,,,000000000000=?+?+?z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x 过M 点且垂直于切平面的称为曲面∑在点M 的法线.法线方程： ()()() 0000 00000000,,,,,,z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x ?= ?=?切平面方程：
852 曲面的切平面与法线讲解
8.5.2曲面的切平面与法线 过曲面Σ上一点M，在曲面Σ上的曲线 有无数多条，每一条曲线点M处都有一条 切线，在下面的讨论中将会发现，在一定 的条件下，这些切线位于同一平面，我们 称这个平面为曲面Σ在点M处的切平面。 设曲面Σ的方程为F(x，y，z)=0，M(x0， y0，z0)是曲面上一点，函数F(x，y，z)在 点M处有连续的偏导数，且三个偏导数不 全为零，另设曲线Γ是过点M且在曲面Σ 上的任意一条曲线，它的方程为 t=t0是点M0所对应的参数 ， 不全为零。 由于曲线Γ在曲面Σ上，于是曲线Γ上 任意一 点的坐标满足曲面Σ的 方程，即有恒等式 图8-22 又由于函数F(x，y，z)在点M处有连续的偏导数，函 数 在t=t0处可导，所以复合函 数在t=t0 处可导，且全导数为
恒等式=0两边在t0处对t求全导数，有 上式说明向量 与向量 垂直。向量是曲线Γ在点M处的切向量，故曲线Γ在点M处 的切线与向量垂直，由曲线Γ的任意性知，所有过点M，且在曲 面Σ上的曲线在M处的切线都与向量垂直，也就是这些切线都在 以向量为法向量，并通过点M的平面上。所以，曲面Σ在点M处的切平面方程为 过点M(x0，y0，z0)且垂直于该点处的切平面的直线称为曲面Σ在点M处的法线，显然，切平面的法向量就是法线的方向向量，所以曲面Σ在点M处的法线方程为 如果曲面Σ的方程为z=f(x，y),则只需设 那么曲面Σ的方程就可化成F(x，y，z)=0的形式，而且 , 此时曲面Σ在点M0(x0，y0，z0)处的切平面方程为
法线方程为 例1：求曲面在点M(3，1，1)处的切平面方程和法线方程。 解： 例2：求圆锥面在点M(1，0，1)处的切平面方程和法线方程。 解： 例3：在椭圆抛物面上求一点，使它的切平面与平 面平行，并求该点的切平面及法线方程。 解：
曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程 设*「中曲面工的方程为F（x ,z) = 0，函数F ( x , y , Z）在曲面工上点益-氐丹，环） Wo）= 处可微，且酬（血）前（血）萌（血） # o ，过点」任意引一条位于曲面工上的曲线 r。设其方程为 X ■戎\ * y = XO mW），且f ■冷对应于点-'■ 不全为零。由于曲线『在工 上，则有＜ -「及□化（孟）确,）+匚僦）HG+胃（兀玄如 。该方程表示 了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上, 这个平面就称为曲面工在点■'处的切平面.点1 .称为切点.向量」丁 J _1称为曲面工在点］.处 的一个法向量。记为厂： 基本方法: 1、设点?-1'■?"在曲面F（x, y, z）=0上，而F（x, y, z）在点‘丨处存在连续偏导数，且三个偏 导数不同时为零，则曲面F（x, y, z）=0在点丄1处的切平面方程为 忙（局）（“忌）4 兀（EXF -刃）+ ￡（兀-x,）-o 法线方程为 尺％，厂￡3■厂￡（兀） 2、设点f-' 1' -1'■-在曲面z = f （x, y）上，且z = f （x, y）在点M（x。，y。）处存在连续偏导数, 则该曲面在点上处的切平面方程为
过X的法线方程为 -工外片)-工知片)】 注：方法2实际上是方法1中取■'■ ■1■ ' '■'- ■■' I的情形. 3、若曲面刀由参数方程 x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v) 给出，刀上的点''''■'-与uv平面上的点(LP, v。)对应，而x(u , v) , y( u , v) , z( u , v)在(u。, v o)处可微.曲面刀在点X)处的切平面方程及法线方程分别为 三、答疑解惑 问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y( u , v) , z = z( u , v)，刀上的点'：_i 1与u , v平面上的点(u o, v o)对应，怎样确定刀在点X)处的法向量? 注释: :设x( u ,v),y(u , v),z(u ,v)在(s, v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线 『1: x = x(u ,v o),y = y(u ,v o),z = z( u , v o)； 『2：x = x(u o,v),y = y(u o ,v),z = z( u o , v). 它们在点X。处的切向量分别为 \=a：糾冲,y：(埠咻￡(知耳)) E ■(兀(如岭竄和4心知比))
空间曲线的切线与空间曲面的切平面
第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面 一、空间曲线的切线与法平面 设空间的曲线C 由参数方程的形式给出：?? ? ??===)()()(t z z t y y t x x ，),(βα∈t ． 设),(,10βα∈t t ，)(),(),((000t z t y t x A 、))(),(),((111t z t y t x B 为曲线上两点，B A ，的连线AB 称为曲线C 的割线，当A B →时，若AB 趋于一条直线，则此直线称为曲线C 在点A 的切线． 如果)()()(t z z t y y t x x ===，，对于t 的导数都连续且不全为零（即空间的曲线C 为光滑曲线），则曲线在点A 切线是存在的．因为割线的方程为 ) ()() ()()()()()()(010010010t z t z t z z t y t y t y y t x t x t x x --=--=-- 也可以写为 010********)()() ()()()()()()(t t t z t z t z z t t t y t y t y y t t t x t x t x x ---=---=--- 当A B →时，0t t →，割线的方向向量的极限为{})(),(),(000t z t y t x '''，此即为切线的方向向量，所以切线方程为 ) () ()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='-． 过点)(),(),((000t z t y t x A 且与切线垂直的平面称为空间的曲线C 在点 )(),(),((000t z t y t x A 的法平面，法平面方程为 ))(())(())((00'00'00'=-+-+-z z t z y y t y x x t x 如果空间的曲线C 由方程为 )(),(x z z x y y == 且)(),(0' 0'x z x y 存在，则曲线在点)(),(,(000x z x y x A 的切线是 ) () ()()(100000x z x z z x y x y y x x '-= '-=- 法平面方程为
曲面的切平面和法线计算例题
第二章 曲面的表示与曲面论 第三节 曲面的 切平面和法线、 光滑曲面 1、 平面曲线的切线与法线 设平面曲线的方程为 0),(=y x F , ),(0 y x P 是其上一定点。在该点的切线斜率为 ) ,() ,()(00000y x F y x F x y y x ''- ='. 从而曲线过点),(000y x P 的 切线方程为 ) () ,() ,(000000x x y x F y x F y y y x -''-=-, 即0 (,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y ''-+-= ，(1) 法线方程为 (,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y ''---=，
(2) 例1、 求笛卡尔叶形线09)(23 3 =-+xy y x 在点)1,2(处的切线与法线. 解 xy y x y x F 9)(2),(3 3 -+=, y x F x 962 -=',x y F y 962 -='. 12)1,2(,15)1,2(-='='y x F F , 得到 切线方程 0)1(4)2(5=---y x ,即645=-y x ; 法线方程 0)1(5)2(4=-+-y x ,即1354=+y x .如图(1)所示.
图(1)
2、 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线L 的方程为 )(),(),(t z z t y y t x x ===,βα≤≤t . 定点L z y x P ∈),,(0 , )(),(),(0 t z z t y y t x x ===, 动点 L z z y y x x P z y x P ∈?+?+?+=),,(),,(0 . 动割线P P 0 的方程为 t z z z t y y y t x x x ??-=??-=??-0 00, 当0→?t 时,动点P 沿曲线无限接近定点0P , 达到动割线P P 0 的极限位 置l : 0 ()()() x x y y z z x t y t z t ---==''' ，(3) 称之为曲线L 在点0 P 的切线. 其方向向量为
曲面的切平面与法线方程讲课讲稿
曲面的切平面与法线 方程
曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ。设其方程为，且对应于点；不全为零。由于曲线Γ在Σ上，则有及。该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点 处的一个法向量。记为。 基本方法： 1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为 . 法线方程为 . 2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为
. 过X0的法线方程为 . 注：方法2实际上是方法1中取的情形. 3、若曲面∑由参数方程 x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v) 给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为 和 三、答疑解惑 问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？ 注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线. Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0); Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v). 它们在点X0处的切向量分别为
曲面的切平面和法线方程
曲面的切平面与法线方程 设二中曲面工的方程为F (x , y , z ) = 0，函数F (x , y , z )在曲面工上点_ 1 . . ■ 一处可微，且 x=瑚Q ￡=胡，且f 叫对应于点肌；疋(订)』(讥*(耐)不全为零。由于曲线I 在工上，则有 任意一条过点‘‘-的曲线在该点的切线都与向量 一」'-L| -垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平 面就称为曲面工在点 ' -处的切平面.点］称为切点.向量'■ '-1--称为曲面工在点’-处的一个法向 量。记为顶丽 化gF, QO) 基本方法: 1、设点? ljl ' L 在曲面F (x , y , z )=0上，而F (x , y , z )在点「■'处存在连续偏导数，且三个偏导数 不同时为零，则曲面 F (x , y , z )=0在点’「处的切平面方程为 法线方程为 L % _ F_ 片 _ ￡_矶 ￡(兀厂叮兀厂外匕) 2、设点在曲面z = f (x , y )上,且z = f (x , y )在点M o (x o , y o )处存在连续偏导数，则该 曲面在点?处的切平面方程为 过X o 的法线方程为 齐_ 爲 ______ _g~g? -￡(心片)-刀仇」)1 注：方法2实际上是方法1中取 埶兀”巧■”/(“)?0 ［加(血)朗(血)鹽他))n (滋 如 龛丿 ,过点-任意引一条位于曲面工上的曲线 r 设其方程为 该方程表示了曲面上
的情形. 3、若曲面刀由参数方程 x = X(u, v), y = y(u, v) , z = z(u, v) 给岀，刀上的点「「..'与uv 平面上的点(u o , v o)对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微.曲面刀在点X o处的切平面方程及法线方程分别为 三、答疑解惑 问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v),E上的点1与u , v平面上的点(u o , v o)对应，怎样确定刀在点X o处的法向量？ 注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线. r ：x = x(u , v o) , y = y(u , v o) , z = z(u , v o); ir：x = x(u o, v) , y = y(u o , v) , z = z(u o , v). 它们在点X o处的切向量分别为
曲面的切平面与法线方程
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的 曲线Γ。设其方程为，且对应于点；不全为零。由于曲线Γ在Σ上，则有及 。该方程表示了曲面上任意一条过点 的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。记为。 基本方法： 1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为 .
法线方程为 . 2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为 . 过X0的法线方程为 . 注：方法2实际上是方法1中取的情形. 3、若曲面∑由参数方程 x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v) 给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为 和 三、答疑解惑
问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v 平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？ 注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线. Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0); Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v). 它们在点X0处的切向量分别为 当时，得∑在点X0处的法向量为 则∑在点X0处的法向量为 . 四、典型例题 例1 求椭球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1, 1）处的切平面方程与法线方程. 解设F(x, y, z) = x2+2y2+3z2－6，由于在全平面上处处连续，在（1, 1, 1）处，椭球面在点(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). 则所求切平面方程为 ， 即x + 2y + 3z = 6.
曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程 处可微，且z)在曲面Σ上点(x , y , , 设中曲面Σ的方程为F (xy , z) = 0，函数F Γ。设其方程为任意引一条位于曲面Σ上的曲线，过点 Γ则有由于曲线不全为零。在Σ上，，且对应于点； 的曲线在该点的切。该方程表示了曲面上任意一条过点及 点线都与向量处的切平面垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点. 称
处的一个法向量。记为。称为曲面Σ在点. 为切点向量 基本方法： 且三个偏导数不同时为零，, ()=0, 在曲面F(x1、设点y, z上，而Fx, yz)在点处存在连续偏导数， 处的切平面方程为x(, 在点zy, )=0F则曲面 . 法线方程为 . 处存在连续偏导数，则该曲面在点(= 上，且yxf z 在曲面、2设点= (, )z f x) x () y, 在点M, y 0 00 处的切平面方程为 . 的法线方程为过 X0． . .的情形2实际上是方法1中取注：方法 若曲面∑由参数方程3、) vz(u, y(u, v) , z = x = x(u, v) , y = 曲面∑在v）处可微. , v)在（u, ) , x(u , v) , y(u , vz(u, 给出，∑上的点与uv平面上的点（uv）对应，而0 0 0 0处的切平面方程及法线方程分别为X点0和三、答疑解惑
）v平面上的点（u, vu = z( , v)，∑上的点与u , uu 问题：曲面∑的参数方程为x = x(, v) , y = y( , v) , z00 处的法向量？对应，怎样确定∑在点X0.的两条曲线）处可微，考虑在∑上过点, v) 在（u, vXux注释：设(u , v) , y( , v) , z(u000 Γ);z(uv , v) , u , vy = y(u , ) , z = (：x = x0001Γ). , ) , z = z(uv , yvux ：= x( , ) , y = (uv0200处的切向量分别为它们在点X0 处的法向量为当时，得∑在点X0 处的法向量为X则∑在点0 . 四、典型例题 222.）处的切平面方程与法线方程1, 1, 1在（= 6z+3y+2x求椭球面1 例 222）处在全平面上处处连续，在（1, 1, 1－) = x6+2y，由于+3z, 解设F(xy, z 则所求切平面方程为(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). ，椭球面在点 ，= 6.z + 2即x y + 3 ，所求法线方程为 . 即 .的切平面方程y 例2求曲面平行于z = 2x+2 .，因此. 解设切点为曲面