高三数学学业水平考试试题 文

揭阳市2010—2011学年度高中三年级学业水平考试数学试题(文科)

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时l20分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔在答题卷的选择题答题区上将对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答题卷的整洁,考试结束后，将试卷和答题卷一并交回． 参考公式：锥体的体积公式1

3

V Sh =

,其中S 表示底面积，h 表示高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合{}0A x x =≥，{0,1,2}B =，则

A. A B ?≠

B. B A ?≠

C. A B B =

D. A B =?

2．已知复数z 满足(1)2i z -=，则z 为

A. 1i +

B. 1i -

C. 1i -+

D. 1i -- 3．已知幂函数()y f x =的图象过点1

1(,)28

--，则2log (4)f 的值为

A. 3

B. 4

C. 6

D. －6

4．若(,3),(,2)

a x

b x ==-，则“x =

a b ⊥”的

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件 5．如果等差数列{}n a 中，35712a a a ++=，那么129a a a ++

+的值为

A. 18

B. 27

C. 36

D. 54 6．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A.若l m ⊥，m α?，则l α⊥ B.若l α⊥，l m //，则m α⊥ C.若l α//，m α?，则l m // D.若l α//，m α//，则l m //

7．已知11

tan ,tan()43

ααβ=

-=则tan β=. A. 711 B. 117- C. 113- D. 113

8．已知双曲线

221412

x y -=上一点M 的横坐标是3，则点M 到双曲线左焦点的距离是

A.4

B.1)

C. 1)

D.8

9．在ABC ?中,若1c =，a =23

A π

∠=，则b 为.

俯视图

左视图

主

视图

A.1

B.2

10．已知(){},|8,0,0,x y x y x y Ω=+≤≥≥(){},|2,0,30A x y x y x y =≤≥-≥，若向区

域Ω上随机投1个点P ，则点P 落入区域A 的概率为 A.

14 B. 716 C. 34 D. 316

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）

11．命题P ：“2

,12x R x x ?∈+<”的否定P ?为： 、P ?

的真假为 .

12．如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数S= .

第

13

题

图

第12题图

13. 四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如上图所示,根据

图中的信息，在四棱锥P ABCD -的任两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线对数为 ．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14. (坐标系与参数方程选做题) 已知曲线C 的参数方程为

1cos ,

sin .

x y θθ=+??

=?（θ为参数），则曲线C 上的点到直线220x y -+=的距离的最大值为 .

15．(几何证明选讲选做题) 已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A

引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为22，

3AB =，

则切线AD 的长为 ．

三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本题满分12分）

已知函数()cos f x x x ππ=+, x R ∈. (1)求函数()f x 的最小正周期和值域；

2

413145

2[185,190)

[180,185)

[175,180)[170,175)[165,170)[160,165)频数

身高（cm ）

身高（cm ）

频数

[150,155)[165,170)[170,175)[175,180)

[155,160)[160,165)1712631

频率

F E

乙D

B

A

(2)求函数()f x 的单调增区间． 17．（本题满分12分）

如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,A C ∠=∠=

105ADC ∠=,AB BD =,现将四边形ABCD 沿

BD 折起， 使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱

AC 、AD 的中点.

（1）求证：DC ⊥平面ABC ；

（2）设CD a =，求三棱锥A －BFE 的体积.

18. （本题满分14分）

为了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表如下表1、表2.

表1:男

生身高

频数分

布表

表2：:女生身高频数分布表

（1）求该校男生的人数并完成下面频

图乙

率分布直方图；

（2）估计该校学生身高在165180cm 的概率；

（3）从样本中身高在180

190cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185

190cm

之间的概率。 19．（本题满分14分）

已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>倍，1F ，2F 是它的左，右焦

点．

（1）若P C ∈，且210PF PF ?=，

12||||4PF PF ?=，求1F 、2F 的坐标； （2）在（1）的条件下，过动点Q 作以2F 为圆心、以1为半径的圆的切线QM （M 是切点），

且使1QF =

，求动点Q 的轨迹方程．

20.（本题满分14分）

已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S 且13

1,()2

n n S S n N *+=+∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1

{

}n

a 的前n 项和为n T ,求满足不等式3n n T S >的n 值. 21．（本题满分14分）

已知函数()ln f x ax x =-.(a 为常数) （1）当1a =时，求函数()f x 的最值； （2）求函数()f x 在[1,)+∞上的最值；

（3）试证明对任意的n N *

∈都有1

ln(1)1n

n

+<．

揭阳市2010—2011学年度高中三年级学业水平考试

数学试题(文科)参考答案及评分说明

一. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主

要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和

难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四. 只给整数分数．

一．选择题：BACBC BCDAD

解析：2．22(1)112

i z i i +===+-，选A. 3．由幂函数()y f x =的图象过点11(,)28--得3

111()()3282

n n -=-=-?=，则目

322log (4)log 46f ==,故选C.

5．由35712a a a ++=得553124a a =?=，129a a a +++=1959()

9362

a a a +==，选

C.

7．tan tan[()]βααβ=--11tan tan()1

4311tan tan()13112

ααβααβ-

--===-+-+，选C.

8．依题意可求得点M

的坐标为(3,，左焦点1(4,0)F -,根据对称性

只需求点到1(4,0)F -的距离,由两点的距离公式易得所求的距离为8，选D.

9．由余弦定理得：2

2

2

2cos a b c bc A =+-2

20b b ?+-=1b ?=，选A.

10．由右图易得，满足条件A 的区域面积()6S A =,满足条件Ω的区域面积

()32S Ω=,故所求的概率63

3216

P =

=,故选D. 二．填空题：11. 2

,12x R x x ?∈+≥、真；12．45

；13.4；14.

15. 15.

12．根据框图所体现的算法可知此算法为求和：

1111012233445S =+

+++????111111114

11223344555

=-+-+-+-=-= 13．有PA 与BC;PA 与DB;PA 与CD;PB 与AD;PD 与AB;PC 与DB 共6对互相垂直异面直线.

F E

乙

D

B

A

14．将曲线C 的参数方程为1cos ,sin .

x y θθ=+??

=

化为直角坐标方程得22

(1)1x y -+=，易得所求最

5

15+=

. 15．解析：依题意，BC =，∴AC =5，2AD

=.AB AC =15，∴AD =15

三．解答题：

16．解：（1

）∵()cos f x x x ππ=+=1

cos )2

x x ππ+ =2sin()6

x π

π+

------------------------------------------------------------------------3分

∴函数()f x 的最小正周期22T π

π

==--------------------------------------------------------4分

又∵x R ∈ ∴1sin()16

x π

π-≤+≤，

∴22sin()26

x π

π-≤+

≤---------------------------------------------------------------------------6分

∴函数()f x 的值域为{|22}y y -≤≤.----------------------------------------------------------7分 （2）由22262k x k π

ππ

πππ-

≤+

≤+，k Z ∈----------------------------------------------------9分

得21

2233

k x k -≤≤+，k Z ∈----------------------------------------------------------------11分

∴函数()f x 的单调增区间为21

[2,2]()33

k k k Z -+∈------------------------------------12分

17．解：（1）证明：在图甲中∵AB BD =且45A ∠= ∴45ADB ∠= ,90ABC ∠=

即AB BD ⊥----------------------------------------------------------------------------------------2分 在图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ， 且平面ABD

平面BDC ＝BD

∴AB ⊥底面BDC ，∴AB ⊥CD .------------------------------------------4分 又90DCB ∠=，∴DC ⊥BC ,且AB

BC B =

∴DC ⊥平面ABC . -----------------------------------------------------6分 （2）解法1：∵E 、F 分别为AC 、AD 的中点

∴EF//CD ，又由（1）知，DC ⊥平面ABC ，

∴EF ⊥平面ABC ，--------------------------------------------------------7分

∴

1

3

A BFE F AE

B AEB V V S FE --?==?-------------------------8

分

在图甲中，∵105ADC ∠

=, ∴60BDC ∠=,30DBC ∠= 由CD a =得2,BD a BC == ,11

22

EF CD a ==--------------------------10

分

男生样本频率分布直方图

频率/cm

6

54

5

6

3

456

2

3456

6

543

21

∴211

222

ABC S AB BC a ?=

?=?=

∴22AEB S a ?=

∴2

3

1132212A BFE V a a a -=?

?=-------------------------------------------12分

18．解（1）样本中男生人数为40 ，由分层抽样比例为10%可得全校男生人数为400.----2分

频率分布直方图如右图示：--------------------------------------------------6分

（2）由表1、表2知，样本中身高在165

180cm 的学生人数为：5+14+13+6+3+1=42，样本

容量为70 ，所以样本中学生身高在165

180cm

的频

率

423705

=

=f -------------------------------------

------------------8分

故由f 估计该校学生身高在165180cm

的概率3

5

=

p .----------------------------9分

（3）样本中身高在180185cm 之间的男生有4人， 设其编号为①②③④ 样本中身高在185190cm 之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥ 从上述6人中任取2人的树状图为：

--12分

故从样本中身高在180190cm 之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1

人身高在185

190cm 之间的可能结果数为9，因此，所求概率93

155

p =

=.---------------14分

[或从上述6人中任取2人的所有可能的情况为、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、 （2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6） 共15种，其中至少有1人身高在185~190cm 之间的可能结果有9种，故所求概率93

155

p ==]

19．解：（1

）依题意知a =-----------------①----------------------------------------------------------1分 ∵021=?PF PF ∴12PF PF ⊥， ∴()2

2

2

22212

248PF PF c (a b )b +==-=---------3

分

又P C ∈，由椭圆定义可知122PF PF a +=，()

2

2212884PF PF b a +=+=------②-----5

分

由①②得2262a ,b ==?2c =． ∴()120F -，

、()220F ，---------------------------------------7分 （2

）由已知1QF =，即22

12QF QM =------9分

∵QM 是

2F 的切线 ∴222||||1QM QF =-

∴(

)

2

2

1221QF QF =-------------------------------------------11分 设(,)Q x y ，则()()2

2

2

2

2221x y x y ??++=-+-??

即()2

2634x y -+=（或2

2

1220x y x +-+=）------------------------------------------------13分

综上所述，所求动点Q 的轨迹方程为：()2

2634x y -+=-------------------------------------14分 20．解：（1）解法1：由13

12

n n S S +=+得 当2n ≥时13

12

n n S S -=+ ∴113()2n n n n S S S S +--=

- 即13

2

n n a a += ∴132n n a a +=------------------4分

又11a =，得2112312S a a a =+=+ ∴23

2

a = ∴2132a a =----------------------------6分

∴数列{}n a 是首项为1，公比为3

2

的等比数列

∴1

3()2

n n a -=--------------------------------------------------------------7分

解法2：由1312n n S S +=+得13

2(2)2

n n S S ++=+--------------------------------3分

即1

2322n n S S ++=+ ∴数列{2}n S +是首项为123S +=,公比为3

2

的等比数列----4分

∴1

323()2

n n S -+=? 即1

33()

22

n n S -=?----------------------------------5分

当2n ≥时

∴1n n n a S S -=-＝12333()2[3()2]22n n --?--?-＝1

3()2

n ----------------------6分

显然当1n =时上式也成立 ∴1

3()

2

n n a -=.----------------------------------------------------------7分

（2）∵z 数列{}n a 是首项为1，公比为

3

2

的等比数列， ∴数列1{}n a 是首项为1，公比为2

3的等比数列，------------------------------8分

∴21()233[1()]2313n

n n T -=

=--

，---------------------------------------------9分 又∵3

2()22

n

n S =?-

∴不等式3n n T S > 即239[1()]2()232

n n

->?------------------------------10分

令2()3n m =并整理得2

91120m m -+<，解得219m <<---------------------11分

即22()193n <<，将1,2,3n =代入都符合，又42162()3819

=< 且函数2()3x y =在R 上为减函数，故当4n ≥时都有22

()39

n <-----------------13分

∴满足不等式3n n T S >的n 值为：1，2，3.----------------------------------14分

21．解：（1）当1a =时，函数()f x =ln x x -，(0,)x ∈+∞

∵1

'()1f x x

=-

，令'()0f x =得1x =---------------------------------------2分 ∵当(0,1)x ∈时，'()0f x < ∴函数()f x 在(0,1)上为减函数

∵当(1,)x ∈+∞时'()0f x > ∴函数()f x 在(1,)+∞上为增函数

∴当1x =时，函数()f x 有最小值，()(1)1f x f ==最小值----------------------------------4分 （2）∵1'()f x a x

=-

若0a ≤，则对任意的[1,)x ∈+∞都有'()0f x <，∴函数()f x 在[1,)+∞上为减函数 ∴函数()f x 在[1,)+∞上有最大值，没有最小值，()(1)f x f a ==最大值；------------6分

若0a >，令'()0f x =得1x a

=

当01a <<时，11a >，当1(1,)x a ∈时'()0f x <，函数()f x 在1

(1,)a

上为减函数

当1(,)x a ∈+∞时'()0f x > ∴函数()f x 在1(,)a +∞上为增函数

∴当1x a =时，函数()f x 有最小值，11

()()1ln f x f a a

==-最小值-----------------------8分

当1a ≥时，1

1a

≤在[1,)+∞恒有'()0f x ≥

∴函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，函数()f x 在[1,)+∞有最小值，()(1)f x f a ==最小值.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------9分 综上得：当0a ≤时，函数()f x 在[1,)+∞上有最大值，()f x a =最大值； 当01a <<时，函数()f x 有最小值，1()1ln f x a

=-最小值； 当1a ≥时，函数()f x 在[1,)+∞有最小值，()f x a =最小值

．-----------------------------------10分

(3)证法1：由（1）知函数()f x =ln x x -在(0,)+∞上有最小值1

即对任意的(0,)x ∈+∞都有ln 1x x -≥，即1ln x x -≥，---------------------------------------12分 当且仅当1x =时“＝”成立

∵n N *

∈ ∴

1

0n n +>且

1

1n n

+≠

∴11111ln ln n n n n n n n +++->?>111ln(1)1ln(1)n n n n

?>+?>+

∴对任意的n N *∈都有1ln(1)1n

n

+<．---------------------------------------------------------------14分

证法2：要证明对任意的n N *

∈都有1ln(1)1n n +<，只须证明11ln(1)n n

+<，-----------11分

设函数()ln(1)g x x x =+-，(1,)x ∈-+∞

∵1'()111x

g x x x

=-=-

++，令'()0g x =得0x =-------------------------------12分 ∵当(1,0)x ∈-时'()0g x <，当(0,)x ∈+∞时'()0g x >

∴函数()g x 在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增 ∴当0x =时，函数()g x 取得最小值，()(0)0g x g ==最小值

即对任意的(1,)x ∈-+∞，都有ln(1)x x +≥，当且仅当0x =时“＝”成立

∵n N *

∈ ∴

1

0n > ∴1111ln(1)ln(1)1ln(1)1n

n n n n n +>?+>?+>

即对任意的n N *

∈都有1ln(1)1n n

+<．--------------------------------------------------------------14分