采用劳斯判据看系统相对稳定性

向左平移虚轴σ，令z=s-(-σ), 即将s=z-σ代入系统特征式,得到z 的方程式，类似采用劳斯判据，即可求出距离虚轴σ以右是否有根。

例：()()()2450s 35s 10s s 10.3s 10000

s X s X 234i o +++++=

令z=s-(-1),即s=z-1, 代入系统特征式,得

()()()()0241z 501z 351z 101z 234=+-+-+-+-

即 06z 11z 6z z 234=+++

010

01114

0123z z z z z

可见，系统特征式在s=-1以右没有根。

劳斯-霍尔维茨稳定性判据

第三章控制系统的时域分析法 3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。常用的稳定性分析方法有： 1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性. 2. 根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。 3. 奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。 4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。

3-4试用劳斯判据确定具有下列特征方程是的系统稳定性

3-4试用劳斯判据确定具有下列特征方程是的系统稳定性。部根。不稳定。变化两次，系统有两实劳斯表第一列元的符合解： 2001200209 10 200920)1(01 2 323S S S S S S S -=+++ 统稳定。有有正部实根。所以系没有变化两次，系统没劳斯表第一列元的符合解：）（55.135151685810 51618820 12 3 4 234S S S S S S S S S =++++ 部根。不稳定。变化两次，系统有两实劳斯表第一列元的符合解：）（1612318165381261 310 1236301 2 3 4 52345S S S S S S S S S S S -=+++++ 3-5设单位负反馈系统的开环传递函数为 ) 12.0)(11.0()(++= S S K S G 试确定系统稳定时k 的取值范围。

1500002.03.03.002.03.03.0102.00 3.002.0)(:01 2 3 23<>--=+++=K K K K S K K S K S S K S S S S D 于是系统稳定，则有的闭环特征方程为：又开环传递函数的系统解 3-6已知系统的闭环特征方程为 0)2)(5.1)(1=++++K S S S 试由劳斯判据确定使得系统闭环特征根的实部均小于-1的最大k 值。（临界稳定）。的最大值为依题意得程为：此时系统的闭环特征方变换解：根据题意可作线性75.0K 75.000 075.05.175.05.15 .0105.05.1)1)(5.0()(1 01 23231∴<>--=+++=+++=+=-=K K K K Z K Z K Z Z K Z Z Z K Z Z Z S D S Z Z S 3-7 设单位负反馈系统的开环传递函数如下： (1) ) 12.0)(11.0(10)(++=S S G （2）()) 22)(1(450)(2++++=s s S S s S G （３）())15.0(120)(2++= S s S G (1)解：根据误差系数公式有：

劳斯判据判定稳定性

劳斯判据即Routh-Hurwitz判据一、系统稳定的必要条件判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件： 1）特征方程的各项系数都不等于零。 2）特征方程的各项系数的符号都相同。此即系统稳定的必要条件。按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。运用判据的关键在于建立表。建立表的方法请参阅相关的例题或教材。运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。在应用判据还应注意以下两种特殊的情况： 1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。于是表的计算无法继续。为了克服这一困难，可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素，然后计算表的其余各元。若上下各元符号不变，切第一列元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。此时，系统为临界稳定系统。 2．如果在表中任意一行的所有元素均为0，表的计算无法继续。此时，可以利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用多项式方程的导数的系数组成表的下一行。这样，表中的其余各元就可以计算下去。出现上述情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳

定），或存在一对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定），或是以上几种根的组合等。这些特殊的使系统不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到。三、相对稳定性的检验对于稳定的系统，运用判据还可以检验系统的相对稳定性，采用以下方法： 1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s=z-（（（为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程。 2）利用判据对新的特征方程进行稳定性判别。如新系统稳定，则说明原系统特征方程所有的根均在新虚轴之左边，（越大，系统相对稳定性越好。

劳斯判据总结

3-1 稳定性 1、稳定性的概念 2、判别系统稳定性的基本原则线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s 平面的左半平面。显然，稳定性与零点无关。当有一个根落在右半部，系统不稳定。当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。 3-2 劳斯稳定判据劳斯判据劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程： 553(0 0122110->=++???+++---a a S a S a S a S a n n n n n 检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。可见，i a ，1,2,i =是满足系统稳定的必要条件。 2）按系统的特征方程式列写劳斯表 3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a 0、

a 1、 b 1、 c 1、……的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。通常00a >，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S 的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。 ※※ 劳斯判据特殊情况 · I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。 · II ）劳斯表中出现全零行表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。这些大小相等、符号相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。例如：控制系统的特征方程为 0161620128223456=++++++s s s s s s 列劳斯表

劳斯法分析系统稳定性及不稳定性的改进方法

邢台学院物理系《自动控制理论》课程设计报告书设计题目：劳斯法分析系统的稳定性及不稳定性的改进措施专业：自动化班级：＿学生姓名: 学号: 4 指导教师： 2013年3月24日

邢台学院物理系课程设计任务书专业：自动化班级： 2013 年 3 月 24 日

摘要劳斯判据，Routh Criterion，又称为代数稳定判据。劳斯于1877年提出的稳定性判据能够判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。由此劳斯获得了亚当奖。劳斯判据，这是一种代数判据方法。它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性，由于不必求解方程，为系统的稳定性的判断带来了极大的便利。劳斯稳定判据是根据闭环特征方程式的各项系数，按一定的规则排列成所谓的劳斯表，然后根据表中第一列系数正，负符号的变化情况来判别系统的稳定性。本次课程设计以劳斯判据为例，研究控制系统的稳定性分析问题，并对结构性不稳定系统的改进措施进行分析。关键词：劳斯判据特征方程式正根稳定性劳斯表系数结构性

目录 1 劳斯稳定判据 1.1 劳斯稳定判据原理 1.2 实际例题分析 1.3 全零行与临界稳定 2 结构性不稳定系统的改进措施 2.1 改变环节的积分性质 2.2 加入比例微分环节 3 总结及体会参考文献

1 劳斯判据 1.1 劳斯判据原理劳斯判据是根据闭环特征方程式的各项系数，按一定的规则排列成所谓的劳斯表，然后根据表中第一列系统正，负号的变化情况来判断系统稳定性。根据特征方程的各项系数排列成下列劳斯表。 c c a a c c c c a a c c c c a a c c s a a a a a c a a a a a c a a a a a c s a a a s a a a s n n n n 13 4317133413 33 15132413 23 1313143 1 7061331 5 041231 3 0211325311420-=-=-=-=-=-=--- 若特征方程式的各项系数都大于零（必要条件），且劳斯表中第一列元素均为正值，则所有的特征根均位于s 左半平面，相应的系统是稳定的。否则系统为不稳定或临界稳定，实际上临界稳定也属于不稳定。劳斯表中第一列元素符号改变的次数等于该特征方程的正实部根的个数。 1.2 实际例题分析例题1：某系统的特征方程为：0100s 24s 8s )s (D 23=+++=，判断系统稳定性。解：系统的特征方程为 0100s 24s 8s )s (D 23=+++= 劳斯表： s 3 1 24 s 2 8 100 s 1 92 s 0 100 第一列同号，所以系统稳定。例题2：设闭环系统传递函数为5 4322017123)(2 34523++++++++=s s s s s s s s s G ，判定该系统是否稳定。解：系统特征方程为054322345=+++++s s s s s 劳斯表： s 5 1 1 4