2019-2020年海淀区高一上册期末数学试题(有答案)

北京市海淀区高一（上）期末数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（4分）已知集合A={1，3，5}，B={|（﹣1）（﹣3）=0}，则A∩B=（）

A．ΦB．{1} C．{3} D．{1，3}

2．（4分）=（）

A．B． C． D．

3．（4分）若幂函数y=f（）的图象经过点（﹣2，4），则在定义域内（）

A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值

4．（4分）下列函数为奇函数的是（）

A．y=2 B．y=sin，∈[0，2π]

C．y=3 D．y=lg||

5．（4分）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（）

A．B．C．与共线D．=

6．（4分）函数f（）的图象如图所示，为了得到y=2sin函数的图象，可以把函数f（）的图象（）

A．每个点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再向左平移个单位

B．每个点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位

C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变）

D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变）

7．（4分）已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）

＜0，实数

0满足f（

）=0，那么下列不等式中，一定成立的是（）

A．

0＜a B．

＞a C．

＜c D．

＞c

8．（4分）如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）

A．无最大值，但有最小值 B．既有最大值，又有最小值

C．有最大值，但无最小值 D．既无最大值，又无最小值

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）

9．（4分）已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标．

10．（4分）已知角θ的终边经过点（3，﹣4），则cosθ=．

11．（4分）已知向量，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则= ．

12．（4分）函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是．

13．（4分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未包装垃圾还将以此增长率增长，从年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）14．（4分）函数f（）=sinω在区间上是增函数，则下列结论正确的是（将所有符合题意的序号填在横线上）

①函数f（）=sinω在区间上是增函数；

②满足条件的正整数ω的最大值为3；

③．

三、解答题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15．（10分）已知向量=（sin，1），=（1，），f（）=．

（Ⅰ）若关于的方程f（）=1有解，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若且α∈（0，π），求tanα．

16．（12分）已知二次函数f（）=2+b+c满足f（1）=f（3）=﹣3．

（Ⅰ）求b，c的值；

（Ⅱ）若函数g（）是奇函数，当≥0时，g（）=f（），

（ⅰ）直接写出g（）的单调递减区间：；

（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．

17．（12分）某同学用“五点法”画函数f（）=Asin（ω+φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数f（）的解析式为f（）= （直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（）的单调递增区间；

（Ⅲ）求函数f（）在区间上的最大值和最小值．

18．（10分）定义：若函数f（）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意∈R，f（+T）=f （）+T恒成立，则称f（）为线周期函数，T为f（）的线周期．

，③y=，（其中表示不超过的最大整数），是线周期函数的（Ⅰ）下列函数，①y=2，②y=log

2

是（直接填写序号）；

（Ⅱ）若g（）为线周期函数，其线周期为 T，求证：函数G（）=g（）﹣为线周期函数；（Ⅲ）若φ（）=sin+为线周期函数，求的值．

北京市海淀区高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（4分）已知集合A={1，3，5}，B={|（﹣1）（﹣3）=0}，则A∩B=（）

A．ΦB．{1} C．{3} D．{1，3}

【解答】解：∵B={|（﹣1）（﹣3）=0}={1，3}，

∴A∩B={1，3}，

故选：D

2．（4分）=（）

A．B． C． D．

【解答】解：=﹣sin=﹣．

故选：A．

3．（4分）若幂函数y=f（）的图象经过点（﹣2，4），则在定义域内（）

A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值

【解答】解：设幂函数f（）=α，

由f（﹣2）=4，得（﹣2）α=4=（﹣2）2，

在α=2，

即f（）=2，

则在定义域内有最小值0，

故选：C．

4．（4分）下列函数为奇函数的是（）

A．y=2 B．y=sin，∈[0，2π]

C．y=3 D．y=lg||

【解答】解：y=2为指数函数，没有奇偶性；

y=sin，∈[0，2π]，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；

y=3定义域为R，f（﹣）=﹣f（），为奇函数；

y=lg||的定义域为{|≠0}，且f（﹣）=f（），为偶函数．

故选：C．

5．（4分）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（）

A．B．C．与共线D．=

【解答】解：设BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三点共线，

则CD═AB=，AC=EC=2m，

∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，

∴，，故A、B、C成立；

故选：D

6．（4分）函数f（）的图象如图所示，为了得到y=2sin函数的图象，可以把函数f（）的图象（）

A．每个点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再向左平移个单位

B．每个点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位

C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变）

D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变）

【解答】解：根据函数f（）的图象，设f（）=Asin（ω+φ），

可得A=2，=﹣，∴ω=2．

再根据五点法作图可得2×+φ=0，∴φ=﹣，f（）=2sin（2﹣），

故可以把函数f（）的图象先向左平移个单位，得到y=2sin（2+﹣）=2sin2的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），即可得到y=2sin函数的图象，

故选：C．

7．（4分）已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）

＜0，实数

0满足f（

）=0，那么下列不等式中，一定成立的是（）

A．

0＜a B．

＞a C．

＜c D．

＞c

【解答】解：∵f（）=log

2

﹣（）在（0，+∞）上是增函数，0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，

∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；

即：f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0；

由于实数

是函数y=f（）的一个零点，

当f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）时，a＜

＜b，

当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，

＞a，

故选：B．

8．（4分）如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）

A．无最大值，但有最小值 B．既有最大值，又有最小值

C．有最大值，但无最小值 D．既无最大值，又无最小值

【解答】解：设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，

则D（﹣1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）

=2+=（﹣2cosθ，﹣2sinθ）+（﹣1﹣cosθ，2﹣sinθ）

=（﹣1﹣3cosθ，﹣3sinθ）

∴==

∵cosθ∈（﹣1，1），∴∈（4，16）

故选：D

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）

9．（4分）已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标（2，4）．

【解答】解：向量=（1，2），

与共线的非零向量的坐标纵坐标为横坐标2倍，例如（2，4）．

故答案为：（2，4）．

10．（4分）已知角θ的终边经过点（3，﹣4），则cosθ=．

【解答】解：∵角θ的终边经过点（3，﹣4），

∴=3，y=﹣4，r=5，

则cosθ==．

故答案为：．

11．（4分）已知向量，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则= 3 ．

【解答】解：由题意可知：=（3，0），=（1，1），

则=3×1+1×0=3．

故答案为：3．

12．（4分）函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是[1，+∞）．

【解答】解：函数（t＞0）的图象如图：

函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，

所以t≥1．

故答案为：[1，+∞）．

13．（4分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未包装垃圾还将以此增长率增长，从2021 年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）【解答】解：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y=400×（1+50%）n=400×（）n，

由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，

∴4000=400×（）n，

∴（）n=10，

两边取对数可得n（lg3﹣lg2）=1，

∴n（0.4771﹣0.3010）=1，

解得0.176n=1，

解得n≈6，

∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，

故答案为：2021．

14．（4分）函数f（）=sinω在区间上是增函数，则下列结论正确的是①②③（将所有符合题意的序号填在横线上）

①函数f（）=sinω在区间上是增函数；

②满足条件的正整数ω的最大值为3；

③．

【解答】解：函数f（）=sinω在区间上是增函数，

由f（﹣）=sin（﹣ω）=﹣si nω=﹣f（），

可得f（）为奇函数，

则①函数f（）=sinω在区间上是增函数，正确；

由ω≤，可得?≤3，即有满足条件的正整数ω的最大值为3，

故②正确；

由于+==2×，

由题意可得对称轴≥，即有f（）≤f（），

故③正确．

故答案为：①②③．

三、解答题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15．（10分）已知向量=（sin，1），=（1，），f（）=．

（Ⅰ）若关于的方程f（）=1有解，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若且α∈（0，π），求tanα．

【解答】解：（Ⅰ）∵向量a=（sin，1），b=（1，），f（）=，

∴f（）==sin+．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）

关于的方程f（）=1有解，即关于的方程sin=1﹣有解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）

∵sin∈[﹣1，1]，

∴当1﹣∈[﹣1，1]时，方程有解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

则实数的取值范围为[0，2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）

（Ⅱ）因为，所以，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

当时，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

当时，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

16．（12分）已知二次函数f（）=2+b+c满足f（1）=f（3）=﹣3．

（Ⅰ）求b，c的值；

（Ⅱ）若函数g（）是奇函数，当≥0时，g（）=f（），

（ⅰ）直接写出g（）的单调递减区间：[﹣2，2] ；

（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）二次函数f（）=2+b+c满足f（1）=f（3）=﹣3，

∴

解的b=﹣4；c=0．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（）=2﹣4，

∵函数g（）是奇函数，

∴g（﹣）=﹣g（），

假设＜0，则﹣＞0，

则g（﹣）=f（﹣）=2+4，

∴g（）=﹣2﹣4，

∴g（）=，

（i）g（）的单调减区间为[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．

（ⅱ）若g（a）＞a，则或

解得a＞5或﹣5＜a＜0．

综上，a的取值范围为a＞5或﹣5＜a＜0．

17．（12分）某同学用“五点法”画函数f（）=Asin（ω+φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数f（）的解析式为f（）= f（）=2sin（2+）（直接写出结果即可）；

（Ⅱ）求函数f（）的单调递增区间；

（Ⅲ）求函数f（）在区间上的最大值和最小值．

【解答】解：（Ⅰ）把表格填完整：

根据表格可得=﹣，∴ω=2．

再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，故函数的解析式为：．（Ⅱ）令2π﹣≤2+≤2π+，求得π﹣≤≤π+，可得函数f（）的单调递增区间为，∈．

（Ⅲ）因为，所以，故有．

所以，当即时，f（）在区间上的最小值为﹣2．

当即=0时，f（）在区间上的最大值为1．

18．（10分）定义：若函数f（）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意∈R，f（+T）=f （）+T恒成立，则称f（）为线周期函数，T为f（）的线周期．

（Ⅰ）下列函数，①y=2，②y=log

，③y=，（其中表示不超过的最大整数），是线周期函数的

2

是③（直接填写序号）；

（Ⅱ）若g（）为线周期函数，其线周期为 T，求证：函数G（）=g（）﹣为线周期函数；（Ⅲ）若φ（）=sin+为线周期函数，求的值．

【解答】解：（Ⅰ）对于①f（+T）=2+T=22T=f（）2T，故不是线周期函数

（+T）≠f（）+T，故不是线周期函数

对于②f（+T）=log

2

对于③f（+T）=[+T]=+T=f（）+T，故是线周期函数

故答案为：③

（Ⅱ）证明：∵g（）为线周期函数，其线周期为T，

∴存在非零常数T，对任意∈R，g（+T）=g（）+T恒成立．

∵G（）=g（）﹣，

∴G（+T）=g（+T）﹣（+T）=g（）+T﹣（+T）=g（）﹣=G（）．

∴G（）=g（）﹣为周期函数．

（Ⅲ）∵φ（）=sin+为线周期函数，

∴存在非零常数T，对任意∈R，sin（+T）+（+T）=sin++T．

∴sin（+T）+T=sin+T．

令=0，得sinT+T=T；

令=π，得﹣sinT+T=T；

①②两式相加，得2T=2T．

∵T≠0，

∴=1

检验：

当=1时，φ（）=sin+．

存在非零常数2π，对任意∈R，φ（+2π）=sin（+2π）++2π=sin++2π=φ（）+2π，∴φ（）=sin+为线周期函数．

综上，=1．