北师大版初二数学《一次函数》优秀教案

一次函数

知识点：函数的概念

定义：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一．．的值与之对应，我们就说x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是x 的函数． 例1：求下列函数中自变量x 的取值范围： (1)2

1

+=

x y ； (2)2-=x y ． 例2：圆柱底面半径为5cm ，则圆柱的体积V （cm 3）与圆柱的高h （cm ）之间的函数关系式为，它是函数．

知识点：一次函数的概念

定义：一次函数：若两个变量x 、y 间的关系可以表示成（k 、b 为常数，k ≠0）形式，则称y 是x 的一次函数（x 是自变量，y 是因变量）．特别地，当b ＝0时，称y 是x 的____________．正比例函数是一次函数的特殊情况．

例1：有下列函数：①y ＝－x －2；②y ＝－2

x ；③y ＝－x 2＋（x +1）(x －2)；④y ＝－2，

其中不是一次函数的是．（填序号）

例2：要使y ＝（m －2）x n －

1＋n 是关于x 的一次函数，则m 、n 应满足______________．

例3：已知y =(k －1)2

k x 是正比例函数，则k =． 【变式练习】

1、若函数y = (k ＋1)x ＋k 2－1是正比例函数，则k 的值为（ ）

A ．0

B ．1

C ．±1

D ．－1

2、若23y x b =+-是正比例函数，则b 的值是（） A . 0 B .

23C . 23-D . 3

2

- 3.下列关于x 的函数中，是一次函数的是（）

22221A.3(1) B.y=x+x

1

C.y=

-x D.y=(x+3)-x x

y x =-

考点：正比例函数的图象和性质

例1 已知正比例函数y = kx ( k ≠0 ) 的图象过第二、四象限，则（ ）

A ．y 随x 的增大而减小

B ．y 随x 的增大而增大

C ．当x <0时，y 随x 的增大而增大，当x >0时，y 随x 的增大而减小

D ．不论x 如何变化，y 不变 例2 已知3

2)12(--=m x m y 是正比例函数，且y 随x 的增大而减小，则m 的值为_______.

【变式练习】

1、正比例函数(35)y m x =+，当m 时，y 随x 的增大而增大.

2、函数y = (k －1)x ，y 随x 增大而减小，则k 的范围是 ( ) A .0k C .1≤k D .1

考点：一次函数的图象和性质

总结：一次函数的图象

一次函数y =kx +b 的图象是经过点(0，b )，（－

k

b

，0）的一条直线 正比例函数y =kx 的图象是经过原点（0，0）的一条直线，如下表所示．

例1：已知函数y =(m －3)x －3

2

，当m________时，y 随x 的增大而增大；当m _________时，y 随x 的增大而减小．

例2：已知正比例函数y =(3k －1)x ，y 随着x 的增大而增大，则k 的取值范围是（） A ．k <0 B ．k >0 C ．k <

13D ．k >13

例3：如图，表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m n ，为常数，且mn 0≠）图象的是（ ）

【变式练习】

1、两个一次函数y 1= mx ＋n ，y 2= nx ＋m ，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（）

2、已知函数22

1

+-

=x y ，当11≤<-x 时，y 的取值范围是（） A .2325≤<-y B .2523<

523≤

3、若关于x 的函数1

(1)m y n x

-=+是一次函数，则m =，n .

4、若m < 0，n > 0，则一次函数y= mx + n 的图象不经过（） A .第一象限B . 第二象限C .第三象限D .第四象限

考点：直线的平移:

例1：在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象．

y ＝2x 与y ＝2x ＋3

观察y ＝2x 与y ＝2x ＋3两条直线，它们有什么样的位置关系? 请回答：两条直线11

y b kx +=与22b kx y +=平行，那么1k ____2k ，1b ____2b

直线的平移:左“+”右“－”，上“+”下“－”

点的平移同样按照“左‘+’右‘－’，上‘+’下‘－’”．平移几个单位就加上或者减去几． 例2：直线y ＝－2x 与直线y ＝－2x －4的位置关系是__________．

函数y ＝－2x －4图象可以由函数y ＝－2x 的图象向______平移_____个单位得到． 【变式练习】

1、下列说法是否正确，为什么?

（1）直线y = 3x ＋1与y =－3x ＋1平行；

b kx y +=向左（右）平移p 个单位

b p x k y +±=)(

b kx y += p b kx y ±+=

向上（下）平移p 个单位

Ｏ x

y

x

y Ｏ

x

y

Ｏ

x

y

Ｏ ＡＢC ． D ．

（2）直线212+

=x y 与2

1

2-=x y 重合； （3）直线y =－x －3与y =－x 平行； （4）直线12

1

+=

x y 与15.0+=x y 相交. 2、将直线y ＝3x 向下平移5个单位，得到直线；将直线y ＝－x －5向上平移5个单位，得到直线.

考点：用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设，二代，三解，四代入：

（1）设一次函数表达式为y =kx +b ；

（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）； （3）求出k 与b 的值；

（4）将k 、b 的值带入y =kx +b ，得到函数表达式．

例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（－1，－3）求此一次函数的关系式． 解：设一次函数的关系式为y ＝kx +b （k ≠0），

由题意可知，???+-=-+=,3,21b k b k 解???

????

-==.

35,3

4b k ∴此函数的关系式为y =3534-x ．

例1：已知正比例函数的图象如下图如示，则正比例函数的解读式为多少?

例2：已知弹簧的长度y （厘M ）在一定的限度内是所挂物质量x （千克）的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘M ，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘M ，求这个一次函数的关系式

例3：一次函数y ＝3x ＋b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24，求b .

例4. 若一次函数y =kx +b 的图象经过（0，1）和（－1，3）两点，则此函数的解读式为_____________. 例5、若正比例函数y = kx 的图象经过点（1，2），则此函数的解读式为_____________. 例6. 直线y ＝2x ＋8与x 轴和y 轴的交点的坐标分别是_______、_______. 例7、已知一次函数的图象经过A (－2，－3)，B (1，3)两点.

(1)求这个一次函数的解读式；

(2)试判断点P (－1，1)是否在这个一次函数的图象上； (3)求此函数与x 轴、y 轴围成的三角形的面积. 【变式练习】

1. 油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量Q （升）与流

出时间t (分钟）的函数关系是（）

A ．Q ＝0.2t

B ．Q ＝20－0.2t

C ．t =0.2Q

D ．t =20—0.2Q

2. 若正比例函数的图象经过（－l ，5）那么这个函数的表达式为__________，y 的值随x 的减小而____________

3. 若一次函数y =kx －3经过点(3，0)，则k =，该图象还经过点( 0，）和（，－2）

4. 一某市市内出租车行程在 4km 以内（含 4km ）收起步费 8元，行驶超过4km 时，每超过1 km ，加收1．80元，当行程超出4km 时收费y 元与所行里程x (km ）之间的函数关系式．

5. 小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与卖瓜的千克数之间的关系如图l －6－3所示，那么小李赚了（） A ．32元B ．36元C ．38元D ．44元

6. 直线y =4

3 x ＋4与x 轴交于A ，与y 轴交于B ， O 为原点，则△A O B 的面积

为（）

A ．12

B ．24

C ．6

D ．10

7.一次函数的图象如图l －6－42所示，那么这个一次函数的表达式是（） A ．y ＝－2x ＋2 B ．y ＝－2x －2 C ．y ＝ 2x ＋2 D ．y ＝2x －2

考点：一次函数的应用

例1. 如果每盒圆珠笔有12支，售价6元，那么圆珠笔的售价y （元）与圆珠笔的支数x (支）之间的关系式是（）

A ．y = 1

2 xB ．y =2xC ．y =6xD ．y =12x

例2. 幸福村办工厂，今年前五个月生产某种产品的总量C （件）关于时间t （月）的函数图象如图l －6－43所示，则该工厂对这种产品来说（）

A ．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月每月生产总量逐月减小

B ．l 月至3月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平

C ．l 月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产

D ．l 月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产

例3. 在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x (h )时，汽车与甲地的距离为y (km )，y 与x 的函数关系如图所示．根据图像信息，解答下列

问题：

(1)这辆汽车的往、返速度是否相同? 请说明理由； (2)求返程中y 与x 之间的函数表达式； (3)求这辆汽车从甲地出发4h 时与甲地的距离． 【变式练习】

1、一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300M ．小军先走了一段路程，爸爸才开始出发．图l －6－44中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程S(M ）与登山所用的时间t

（分）的关系（从爸爸开始登山时计时）．根据图象，下列说法错误的是（） A ．爸爸登山时，小军已走了50M B ．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面 C ．小军比爸爸晚到山顶

D ．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟后登山的速度比小军快

2. 某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发. 该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费. 月用电量x (度)与相应电费y (元)之间的函数图像如图所示.

⑴月用电量为100度时，应交电费元； ⑵当x ≥100时，求y 与x 之间的函数关系式； ⑶月用电量为260度时，应交电费多少元? 基础练习

1. 下列函数是一次函数的是．

①y =2x ；②y =3+4x ；③y =0.5；④y =ax （a ≠0的常数）；⑤xy =3；⑥2x +3y －1=0； 2. 若函数y =(m －2)x +5是一次函数，则m 满足的条件是____________． 3．已知y 与x －1成正比例，且x =2时，y ＝7．

（1）写出y 与x 之间的函数关系：_________；（2）y 与x 之间是_________函数关系

4．已知一次函数y ＝kx ＋5的图象经过点（－1，2），则k ＝_______，图象不经过_______象限． 6.如果直线y =kx +b 经过一、二、四象限，那么有（）

A ．k ＞0，b ＞0

B ．k ＞0，b ＜0

C ．k < 0，b ＜0

D ．k ＜0，b ＞0 7. 已知函数：①y =－x ，②y =7－3x ，③y =3x －1，④y =3x 2，⑤y = x 3 ，⑥y = 3

x 中，正比例函数有（）

A ．①⑤

B ．①④

C ．①③

D ．③⑥

8．（1）当m =时，y =()

()m x m x m +-+-112

2

是一次函数．

（2）我国是一个水资源缺乏的国家，大家要节约用水．据统计，拧不紧的水龙头每秒钟会滴下2滴

水，每滴水约0.05毫升．李丽同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当李丽同学离开x 小时后水龙头滴了y 毫升水．则y 与x 之间的函数关系式是．

（4）设圆的面积为s ，半径为R ，那么下列说法正确的是（） A ．S 是R 的一次函数B ．S 是R 的正比例函数

C ．S 是2

R 的正比例函数D ．以上说法都不正确

9．已知一次函数y =(m ＋2)x ＋m －m －4的图象经过点（0，2），则m 的值是( )

A ．2

B ．－2

C ．－2或3

D ．3

10．直线y =－x +2与x 轴的交点坐标是，与y 轴的交点坐标是．

直线y =－x －1与x 轴的交点坐标是，与y 轴的交点坐标是． 直线y =4x －2与x 轴的交点坐标是，与y 轴的交点坐标是．

直线y =

23

2

-x 与x 轴的交点坐标是，与y 轴的交点坐标是． 12.在下列四个函数中，y 的值随x 值的增大而减小的是（ ）

Ａ．2y x =Ｂ．36y x =-Ｃ．25y x =-+Ｄ．37y x =+ 13、直线52

1,321--=+-

=x y x y 和x y 21-=的位置关系是，

直线1

32y x =-+可以看作是直线x y 2

1

-=向平移个单位得到的．

14.将直线y ＝－2x ＋3向下平移5个单位，得到直线．

15.直线y ＝kx －4平行于直线y ＝－2x ，则直线4y kx =-的解读式为；

16．电话每台月租费28元，市区内电话（三分钟以内）每次0.20元，若某台电话每次通话均不超过3分钟，则每月应缴费y （元）与市内电话通话次数x 之间的函数关系式是（）

A ．y ＝28x ＋0.20

B ．y ＝0.20x ＋28x

C ．y ＝0.20x ＋28

D ．y ＝28－0.20x

17．某人购进一批苹果到集市上零售，已知卖出的苹果x （千克）与销售的金额y 元的关系如下表：

x （千克） 1 2 3 4 5 … y （元）

2+0.1

4+0.2

6+0.3

8+0.4

10+0.5

…

（1）写出y 与x 的函数关系式：___________；

（2）该商贩要想使销售的金额达到250元，至少需要卖出多少千克的苹果?

18．如图2－4，某游客为爬上3千M 的山顶看日出，先用1小时爬了2千M ，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t （小时）与山高h （千M ）间的函数关系用图象表示是（） 19．一次函数32

1

+-

=x y 的图象与y 轴的交点坐标是_________，

与x 轴的交点坐标是_________．一般的，一次函数y ＝kx ＋b 与y 轴的交点坐标是__________，与x 轴的交点坐标是__________． 20．依据给定的条件，求一次函数的解读式．

（1）已知一次函数的图象如图4－5所示，求此一次函数的解读式，并判断点（6，5）是否在此

函数图象上．

图4－5 （2）已知一次函数y＝2x＋b的图象与y轴的交点到x轴的距离是4，求其函数解读式．21．依据给定的条件，求一次函数解读式：y＝ax＋7经过一次函数y＝4－3x和y＝2x－1的交点．=+的图象与轴交点的纵坐标为5-，且当x=1时，y=2，则此函数的解读式。

22、已知函数y kx b y

23.已知y－1与x成正比例，且x＝2时，y＝5，写出y与x之间的函数关系式。

24．如图3－4，居室窗户的高90cm，活动窗拉开的最大距离是80cm．如果活动窗拉开xcm时，窗户的通风面积是ycm2．

（1）试确定这个函数的解读式并指出自变量x的取值范围；

（2）画出这个函数的图象．

图3－4

25．某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表：

砝码的质量(x克) 0 50 100 150 200 250 300 400 500

指针位置(y厘M) 2 3 4 5 6 7 7.5 7.5 7.5 （1）求出y与x的函数关系式；

（2）y关于x的函数图象是（）

图6－5

26．气温随着高度的增加而下降，下降的一般规律是从地面到高空11km处，每升高1km，气温下降6℃．高于11km时，气温几乎不再变化，设地面的气温为38℃，高空中xkm的气温为y℃．当0≤x≤11时，求y与x之间的关系式．

x

y

O

3

2y x a =+

1y kx b =+

第2题图 图(1) 2

O

5 x

A

B C

P D

图(2)

第9题图

27．我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，某市制定了每月用水4吨以内（包括4吨）和用水4吨以上两种收费标准（收费标准：每吨水的价格），某用户每月应交水费y （元）是用水量x （吨）的函数，其函数图象如图6－6所示． （1）观察图象，求出函数在不同范围内的解读式； （2）说出自来水公司在这两个用水范围内的收费标准； （3）若某用户该月交水费12.8元，求该户用了多少吨水．

图6－6

提高练习

1．一次函数的图象过点A （5，3）且平行于直线y =3x －

2

1

，则这个函数的解读式为________. 2. 一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论：

①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中，正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

3．已知一次函数图象经过点（2，3），且与y 轴交点的纵坐标为4，则这个函数的表达式是____． 4、一束光线从y 轴上点A （0，1）出发，经过x 轴上点C 反射后经过点B （3，3），则光线从A 点到B 点经过的路线长是；直线BC 的解读式为． 5.若ab ＞0，bc <0，则直线y =－a b x －c

b 不通过（）

A .第一象限

B .第一象限

C .第三象限

D .第四象限

6.已知一次函数y = 32 x +m 和y = －1

2 x +n 的图象都经过点A （－2，0）且与y 轴分别交于B 、C 两点，

那么△ABC 的面积是（）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

7．已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是( )

9. 如图(1)，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD 运动至 点D 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函 数图象如图(2)所示，则△BCD 的面积是( ) A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

第7题图

1 2 3 4 1 2

y

s O 1 2 3 4 1 2 y

s O s

1 2 3 4 1 2 y

s

O 1 2 3 4 1

2 y

O A . B . C . D .

Q P R

M N (图1)

(图2)

4 9

y

x

O

10. 如图，在中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程s (M)与时间t (秒)之间的函数关系的图象分别为折线OABC 和线段OD ，下列说法正确的是( ) A ．乙比甲先到终点

B ．乙测试的速度随时间增加而增大

C ．比赛到29.4秒时，两人出发后第一次相遇

D ．比赛全程甲测试速度始终比乙测试速度快

11. 小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达 点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示． 下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保 持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是( ) A ．12分钟B ．15分钟C ．25分钟D ．27分钟

12、如右图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD 的边上有一动点P 沿

A B C D A →→→→运动一周，则P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数

关系用图象表示大致是( )

13、如图1，在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，MNR △的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则当9x =时，点R 应运动到()

A ．N 处

B ．P 处

C ．Q 处

D ．M 处 14.求函数32

3

-=

x y 与x 轴、y 轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积. 15、已知两直线y 1=2x －3，y 2=6－x （1）在同一坐标系中作出它们的图象．（2）求它们的交点A 的坐标．（3）根据图象指出x 为何值时，y 1＞y 2；x 为何值时，y 1＜y 2．（4）求这两条直线与x 轴所围成的△ABC 的面积．

16、已知一次函数y =kx +b 的图像经过点A (0，2)和点B (－a ，3)且点B 在正比例函数y =－3x 的图像上.(1) 求a 的值；(2) 求一次函数的解读式.

17. 如图，直线l 1、l 2相交于点A ，l 1与x 轴的交点坐标为(－1，0)，l 2与y 轴的交点坐标为(0，－2)，

结合图象解答下列问题：

(1)求出直线l2表示的一次函数表达式；

(2)当x为何值时，l1、l2表示的两个一次函数的函数值都大于0?

18.已知直线y=x＋2与直线y= 2

3x＋2交于C点，直线y= －x+2与x轴交点为A，直线y=

2

3x+2

与x轴交点为B．求△ABC的面积．

19．有一长方形AOBC纸片放在如图3-3所示的坐标系中，且长方形的两边的比为OA：AC＝2：1.

（1）求直线OC的解读式；

（2）求出x＝－5时，函数y的值；

（3）求出y＝－5时，自变量x的值；

（4）画这个函数的图象；

（5）根据图象回答，当x从2减小到－3时，y的值是如何变化的?

图3－3

20．如图5－1，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数．下表是测得的指距与身高的数据：

指距d(cm) 20 22

身高h(cm) 160 178 （1）求出h与d之间的函数关系式（不要求写出自变量d的取值范围）；

（2）某人身高为196cm，一般情况下他的指距应是多少?

图5－1

21．某造纸厂污水处理的剩余污水随着时间的增加而减少，剩余污水量V（万M3）与污水处理时间t（天）的关系如图5－2所示，

（1）由图象求出剩余污水量V（万M3）与污水处理时间t（天）之间的函数解读式；

（2）污水处理连续10天，剩余污水还有多少万立方M?

（3）按照图中的规律，若想将全部污水处理干净，需要连续处理污水多少天?

（4）平均一天可处理污水多少万立方M?

图5－2