初二全等三角形分类证明题
八年级全等三角形分类证明题
一．SAS
1、 如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD=CD 。求证：△ABD ≌△ACD 。
2.如图（2）：AC ∥EF ，AC=EF ，AE=BD 。 求证：△ABC ≌△EDF 。
3.如图（3）：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。
4.如图（4）：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE 。求证：（1）∠B=∠C ，
（2）BD=CE
5.如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE 。求证：AC ⊥CE
6.如图（6）：CG=CF ，BC=DC ，AB=ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上。 求证：（1）AF=EG ，（2）BF ∥DG 。
7、如图（7）：AC ⊥BC ，BM 平分∠ABC 且交AC 于点M 、N 是AB 的中
点且BN=BC 。 求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2）∠A=∠CBM 。
8、如图（13）△ABC ≌△EDC 。求证：BE=AD 。
9.如图（14）在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AE 是BC 的中线，过点C 作CF ⊥AE 于F ，过B 作BD ⊥CB 交CF 的延长线于点D 。 （1）求证：AE=CD ，（2）若BD=5㎝，求AC 的长。 （图1）D
C
B A
F
E D C
B A F
E （图3）D
C B
A E
（图4）D C
B A
E
D B A
G F
E
（图6）D C
B
A N
M
（图7）
C
B
A
E
（图13）D C B A
F
E
（图14）
D
C
B
A
10.如图15△ABC 中，AB=2AC ，∠BAC=90°，延长BA 到D ，使AD=1
2
AB ，
延长AC 到E ，使CE=AC 。求证：△ABC ≌△AED 。
11、如图（16）AD ∥BC ，AD=BC ，AE=CF 。求证：（1）DE=BF ，（2）AB ∥CD 。
12、如图：在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AD=BD ，CD=DE ，E 是AD 上一点，连结BE 并延长交AC 于点F 。求证：（1）BE=AC ，（2）BF ⊥AC 。
13.如图25：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG 。 求证：（1）AD=AG ，（2）AD 与AG 的位置关系如何。
图25
14、如图20；AB=AC ，BF=CF ，BE=CD 。求证：∠B=∠C 。
图20 二．SSS
1.如图：AB=DC ，BE=CF ，AF=DE 。求证：△ABE ≌△DCF 。
2.如图21：AC=DF ，AD=BE ，BC=EF 。求证：∠C=∠F 。
图21
三．ASA
1.如图（8）：A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，AC=DB ，BE ∥CF ，AE ∥DF 。
求证：△ABE ≌△DCF 。
2.如图（9）AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。求证：AM 是△ABC 的中线。
F E （图8）D C B A M
F E
（图9）C
B
A
E D
C
B A F （图16）
E
D
C
B A F
（图17）
E
D
C
B
A
F
（图19）
E
D
C
B
A C F E
B D A G
H F E D
C
B A
F E
D
C
B A
初二数学全等三角形证明经典例题.docx
初二数学全等三角形证明经典例题 1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD A A 1 2 1 2 A F B E C D B C E D CFD B 第 1题图第 2题图第 3题图 2、已知： BC=DE，∠ B=∠E，∠ C=∠D，F 是 CD中点，求证：∠ 1=∠2 3、已知：∠ 1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证： EF=AC A B C D 第 4题图第 5题图第 6题图 4、已知： AD平分∠ BAC，AC=AB+BD，求证：∠ B=2∠C 5、已知： AC平分∠ BAD，CE⊥AB，∠ B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 6、已知： AB=4，AC=2， D 是 BC中点， AD是整数，求 AD 7、已知： AD平分∠ BAC，AC=AB+BD，求证：∠ B=2∠C A A D B D C B C 第 7题图第 8题图第 9题图 8、如图，四边形 ABCD中， AB∥DC， BE、CE分别平分∠ ABC、∠ BCD，且点 E 在 AD上。求证： BC=AB+DC。 9、已知： AB=CD，∠ A=∠D，求证：∠ B=∠C C D A D C P F B A B E 第 10题图第 11题图第 12题图 10、 P 是∠ BAC平分线 AD上一点， AC>AB，求证： PC-PB 12、已知， E 是 AB 中点， AF=BD ，BD=5，AC=7，求 DC P C A E D E O D A B B C 第 13题图 第 14题图 第 15题图 第 16题图 13、如图，在△ ABC 中， BD DC ，∠ ∠ ，求证： AD ⊥BC ． = 1= 2 、．如图， OM 平分∠ POQ ，MA ⊥ OP MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足， AB 交 OM 于点 N ． 14 , 求证：∠ OAB ∠OBA = 15、如图，已知 AD BC PAB CBA E CE 的连线交 AP D ∥ ，∠ 的平分线与∠ 的平分线相交于 ， 于 ．求 证： AD+BC=AB ． 16．已知：如图， DC ∥AB ，且 DC=AE ，E 为 AB 的中点， （1）求证：△ AED ≌△ EBC ． （2）在不添辅助线的情况下， 除△ EBC 外，请再写出两个与△ AED 的面积相等的三角形．（直 接写出结果，不要求证明） ： 17．如图，△ ABC 中，∠ BAC 度， AB AC ， BD 是∠ ABC 的平分线， BD 的延长线垂直于过 C 点 =90 = 的直线于 E ，直线 CE 交 BA 的延长线于 F ． BD CE ． 求证： =2 F A A D E F C A E F D B D C B C M B A B E C 第 17题图 第 18题图 第 19题图 第 20题图 18、如图： DF=CE ，AD=BC ，∠ D=∠ C 。求证：△ AED ≌△ BFC 。 19、如图： AE 、BC 交于点 M ，F 点在 AM 上， BE ∥CF ， BE=CF 。求证： AM 是△ ABC 的中线。 20、如图：在△ ABC 中， BA=BC ， D 是 AC 的中点。求证： BD ⊥ AC 。 21、 AB=AC ，DB=DC ，F 是 AD 的延长线上的一点。求证： BF=CF A A B D F B C E F C D D E A C F B 第 21题图 第 22题图 第 23题图 第 24题图 第 25题图 22、如图： AB=CD ，AE=DF ， CE=FB 。求证： AF=DE 。 23、 . 公园里有一条“ Z ”字形道路 ABCD ，如图所示，其中 AB ∥CD ，在 AB ，CD ， BC 三段路旁各 有一只小石凳 E ，F ，M ，且 BE ＝CF ，M 在 BC 的中点，试说明三只石凳 E ，F ， M 恰好在一条直线 上. 24．已知：点 A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ ABE ≌△ CDF ． 25. 已知：如图所示， AB ＝AD ， BC ＝DC ，E 、F 分别是 DC 、 BC 的中点，求证： AE ＝AF 。 2 全等三角形（一）SSS 【知识要点】 1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质： （1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等 3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形 （1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于”如DEF ABC? ?与全等，记作ABC ?≌DEF ? （2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等． （3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． （4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”． 如图，在ABC ?和DEF ?中 ? ? ? ? ? = = = DF AC EF BC DE AB ABC ? ∴≌DEF ? 【典型例题】 例1．如图，ABC ?≌ADC ?，点B与点D是对应点， ? = ∠26 BAC，且? = ∠20 B，1 = ?ABC S，求 A C D D C A D∠ ∠ ∠, ,的度数及ACD ?的面积． 例2．如图，ABC ?≌DEF ?，cm CE cm BC A5 , 9 , 50= = ? = ∠，求EDF ∠的度数及CF的长． A D 例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠ 例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证： （1）ABC ?≌DEF ? （2）AB//DE ，BC//EF 七年级数学下册《全等三角形》专题练习 1、已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C（做AB=AE交AC于E点） 6、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE（做AD=AF交AB于F点） 8. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求 证：BC=AB+DC。 C D B A 9、已知：AB 知：如图所示，AB ＝ AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。 35．在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. A B C D D C B A F E P E D C B A D C B A M F E C B A F E D C B A F D C B F E D C B A D B C A F E 46. 如图, AB=12, CA⊥AB于A, DB⊥AB于B, 且AC=4m, P点从B向A运动, 每分钟走1m, Q 点从B向D运动, 每分钟走2m,P、Q两点同时出发, 运动几分钟后△CAP≌△PQB 试说明理由. 47、如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E. (图1) (图2) (图3) (1)试说明: BD=DE+CE. (2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD 人教版八年级上册第十二章全等三角形证明精编40题 1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 3已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 D A B A D B C 4已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 5已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 6已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 7已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD C D B B A C D F 2 1 E A 8. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 9.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C A D B C 10已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 11 .p 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 13已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 14．如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． F A E D C B 全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分 线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ， 连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ， ?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． 3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。 ． A B C D E P D A C B M N 5、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ） 2 1P F M D B A C E 6、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ． （1） 若BD 平分∠ABC ，求证CE=1 2 BD ； （2） 若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围； 若不变，求出它的度数，并说明理由。 8、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ， 求证：AC=AE+CD ． 二、中点型 由中点应产生以下联想： E D C B A 全等三角形证明经典题(含答案) 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADCBD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即 4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 4. 5. 证明：连接BF 和EF ∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三 角形BEF 中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF 。 ∵∠ABC=∠AED 。∴∠ABE=∠AEB 。∴AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴三角形ABF 和三角形AEF 全等。∴∠BAF=∠ EAF(∠1=∠2)。 6. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC A D B C 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又EF ∥AB ∴∠EFD ＝∠1∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG 又EF ＝CG ∴EF ＝AC 7. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C 证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E ∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E ∴∠ABC ＝2∠C 8. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF ∵CE ⊥AB ∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° ∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF ∴∠B ＝∠CFE ∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC ∵AC ＝AC ∴△ADC ≌△AFC （SAS ） ∴AD ＝AF ∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 9. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 在BC 上截取BF=AB ，连接EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE ≌⊿FBE （SAS ） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o ∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCECE 平分∠BCDCE=CE ∴⊿DCE ≌⊿FCE （AAS ）∴CD=CF ∴BC=BF+CF=AB+CD 10. 已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C AB ‖ED ，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度， ∵∠EAB=∠BDE ， B A C D F 2 1 E D C B A F E A 全等三角形证明经典50题.doc 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 1. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 2. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 B C D F A D B C B C 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 8.已知：AB知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C A D B C B A C D F 2 1 E C D B D C B A F E A B C D A 10. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB 15．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交 AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 16．（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B 17．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若 AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF （2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立若成立请给予证明；若不成立请说明理由． P E D C B A D C B A 八年级数学全等三角形证 明题 Prepared on 21 November 2021 第十三章全等三角形测试卷 （测试时间：90分钟总分：100分） 班级姓名得分 一、选择题（本大题共10题；每小题2分，共20分） 1．对于△ABC 与△DEF ，已知∠A =∠D ，∠B =∠E ，则下列条件①AB=DE ；② AC=DF ；③BC=DF ；④AB=EF 中，能判定它们全等的有（） A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④ 2．下列说法正确的是() A ．面积相等的两个三角形全等 B ．周长相等的两个三角形全等 C ．三个角对应相等的两个三角形全等 D ．能够完全重合的两个三角形全等 3．下列数据能确定形状和大小的是（） A ．A B =4，B C =5，∠C =60°B ．AB =6，∠C =60°，∠B =70° C ．AB =4，BC =5，CA =10 D ．∠C =60°，∠B =70°，∠A =50° 4．在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，AB =DE ，添加下列哪一个条件，依然不能证 明△ABC ≌△DEF () A ．AC =DF B ．B C =EF C ．∠B=∠E D ．∠C=∠F 5．OP 是∠AOB 的平分线，则下列说法正确的是（） A ．射线OP 上的点与OA ，O B 上任意一点的距离相等 B ．射线OP 上的点与边OA ，OB 的距离相等 C ．射线OP 上的点与OA 上各点的距离相等 D ．射线OP 上的点与OB 上各点的距离相等 6．如图，∠1=∠2，∠E=∠A ，EC=DA ，则△ABD ≌△EBC 时，运用的判定定理是（） A ．SSS B ．ASA C ．AAS D ．SAS 7．如图，若线段AB ，CD 交于点O ，且AB 、CD 互相平分，则下列结论错误的是 （） A ．AD=BC B ．∠C=∠D C ．A D ∥BC D ．OB=OC 8．如图，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，AB =CD ，AE =CF ， 则图中全等三角形共有() A ．1对 B ．2对 C ．3对 （第8题） A D C B E F O A D C B （第7题） A C E D （第6题） 2 1 全等三角形证明经典50题(含答案) 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP ,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP 为矩形 A D B C ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角） B A C D F 2 1 E 全等三角形证明经典题 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB = 3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 4. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 5. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB = A D B C C D B B A C D F 2 1 E A 6. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 7. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 8. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 一：如果abc=1,求证 11++a ab +11++b bc +11 ++c ac =1 二：已知a 1+b 1= )(29b a +，则a b +b a 等于多少？ B B A C D F 2 1 E C D B A 9. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 13. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 14.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C 14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 1、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE 2、已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 3、如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 4．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ． 求证：∠OAB =∠OBA 5．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线 交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． P E D C B A F A E D C B 6．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ， 若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF （2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立 请给予证明；若不成立请说明理由． 7．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积 相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 8．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线 垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ． O E D C B A F E D C B A 【第1部分全等基础知识归纳、?小结】 1、全等三?角形的定义：能够完全重合的两个三?角形叫全等三?角形。两个全等三?角形中， 互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的 ?角叫对应?角。 概念深?入理理解： （1）形状?一样，?大?小也?一样的两个三?角形称为全等三?角形。（外观?长的像） （2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三?角形称为全等三?角形。（位置变化） 2、 全等三?角形的表示?方法：若△ABC 和△A ′B ′C ′是全等的，记作“△ABC ≌△A ′B ′C ′”其中，“≌”读作“全等于”。记两个三?角形全等时，通常把表示对应顶点的字?母写在对应的位置上。 3、全等三?角形的性质： 全等是?工具、?手段，最终是为了了得到边等或?角等，从?而解决某些问题。 （1）全等三?角形的对应?角相等、对应边相等。 （2）全等三?角形的对应边上的?高，中线，?角平分线对应相等。 （3）全等三?角形周?长，?面积相等。 4、寻找对应元素的?方法 （1）根据对应顶点找 如果两个三?角形全等，那么，以对应顶点为顶点的?角是对应?角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三?角形全等时，对应顶点的字?母都写在对应的位置上，因此，由全等三?角形的记法便便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找全等三?角形对应?角所对的边是对应边，两个对应?角所夹的边是对应边； 图3 图1图2 （3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三?角形各种不不同位置关系的观察和分析，可以看出其中?一个是由另?一个经过下列列各种运动?而形成的；运动?一般有3种：平移、对称、旋转； 5、全等三?角形的判定：（深?入理理解） ①边边边（SSS）②边?角边（SAS）③?角边?角（ASA）④?角?角边（AAS） ⑤斜边，直?角边（HL） 注意：（容易易出错） （1）在判定两个三?角形全等时，?至少有?一边对应相等（边定全等）； （2）不不能证明两个三?角形全等的是，㈠三个?角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中?一?角对应相等，即SSA。 全等三?角形是研究两个封闭图形之间的基本?工具，同时也是移动图形位置的?工具。在平?面?几何知识应?用中，若证明线段相等或?角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三?角形的知识。 6、常?见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯） 如：⑴过点A作BC的平?行行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂?足为D ⑶延?长AB?至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点 同?一条辅助线，可以说法不不?一样，那么得到的条件、证明的?方法也不不同。 全等三角形的判定班级：姓名： 1．已知AD是⊿ABC的中线，BE⊥AD，CF⊥AD，求证BE=CF。2．已知AC=BD，AE=CF，BE=DF，求证AE∥CF 3．已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，求证AB∥CD 4．已知在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，求证AB∥CD 5．已知∠BAC=∠DAE，∠1=∠2，BD=CE，求证⊿ABD≌⊿ACE. 6．已知CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，求证AF=CE 7．已知BE=CF，AB=CD，∠B=∠C，求证AF=DE A B C D F E C D E F D C F E A B A D E B C 1 2 A D C E F B A D 8．已知AD =CB ， ∠A =∠C ，AE =CF ，求证EB ∥DF 9．已知M 是AB 的中点，∠1=∠2，MC =MD ，求证∠C =∠D 。 10．已知，AE =DF ，BF =CE ，AE ∥DF ，求证AB =CD 。 11．已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证AC =AD 12．已知∠E =∠F ，∠1=∠2，AB =CD ，求证AE =DF 13．已知ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，BD =EF ，求证BM =ME 。 14．在⊿ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD =BD ，求证⊿BHD ≌⊿ACD 。 A C D B 1 2 3 4 A B C D E F 1 2 A E H A C M E F B D B A D F E C M A B C D 1 2 D C F E A B 15．已知∠A =∠D ，AC ∥FD ，AC =FD ，求证AB ∥DE 。 16．已知AC =AB ，AE =AD ， ∠1=∠2，求证∠3=∠4。 17．已知EF ∥BC ，AF =CD ，AB ⊥BC ，DE ⊥EF ，求证⊿ABC ≌⊿DEF 。 18．已知AD =AE ，∠B =∠C ，求证AC =AB 。 19．已知AD ⊥BC ，BD =CD ，求证AB =AC 20．已知∠1=∠2，BC =AD ，求证⊿ABC ≌⊿BAD 。 A B C E F D A B C E D F A D E B C A B C D A D E B C 1 2 3 4 全等三角形题型归类及解析 全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ， 连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ， ?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． 3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5， AC=8，求DC 的长。 A B C D E P D A C B M N 二、中点型 由中点应产生以下联想： 1、想到中线，倍长中线 2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形 3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线 4、三角形的中位线 2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =； （2）求证：1 2 CE BF = D A E F C H G B 3、如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关 系，并证明你的结论。 4、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的 八年级全等三角形分类证明题 一．SAS 1、 如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD=CD 。求证：△ABD ≌△ACD 。 2.如图（2）：AC ∥EF ，AC=EF ，AE=BD 。 求证：△ABC ≌△EDF 。 3.如图（3）：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 4.如图（4）：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE 。求证：（1）∠B=∠C ， （2）BD=CE 5.如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE 。求证：AC ⊥CE 6.如图（6）：CG=CF ，BC=DC ，AB=ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上。 求证：（1）AF=EG ，（2）BF ∥DG 。 7、如图（7）：AC ⊥BC ，BM 平分∠ABC 且交AC 于点M 、N 是AB 的中 点且BN=BC 。 求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2）∠A=∠CBM 。 8、如图（13）△ABC ≌△EDC 。求证：BE=AD 。 9.如图（14）在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AE 是BC 的中线，过点C 作CF ⊥AE 于F ，过B 作BD ⊥CB 交CF 的延长线于点D 。 （1）求证：AE=CD ，（2）若BD=5㎝，求AC 的长。 （图1）D C B A F E D C B A F E （图3）D C B A E （图4）D C B A E D B A G F E （图6）D C B A N M （图7） C B A E （图13）D C B A F E （图14） D C B A 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 的长. 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：BC=ED ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠ 2 证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 A D B C 3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角） ∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又，EF ∥AB ∴，∠EFD ＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2 ∴△AGC 为等腰三角形， AC ＝CG 又 EF ＝CG ∴EF ＝AC 4. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C 证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E B A C D F 2 1 E A 全等三角形的证明 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 专题1、常见辅助线的做法 典型例题 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： 全等三角形证明经典试题50道 1. （已知：如图，E,F 在AC 上，AD ∥CB 且AD =CB ，∠D ＝∠B . 求证：AE =CF . 【答案】∵AD ∥CB ∴∠A=∠C 又∵AD=CB ，∠D=∠B ∴△ADF ≌△CBE ∴AF=CE ∴AF+EF=CE+EF 即AE=CF 2. 已知：如图，∠ABC =∠DCB ，BD 、C A 分别是∠ABC 、∠DCB 的平分线．求证：AB =DC 证明：在△ABC 与△DCB 中 (ABC DCB ACB DBC BC BC ∠=∠?? ∠=∠??=? 已知）（公共边）（∵AC 平分∠BCD ，BD 平分∠ABC ） ∴△ABC ≌△DCB ∴AB =DC 3. 如图，点D ，E 分别在AC ，AB 上． (1) 已知，BD=CE，CD=BE，求证：AB=AC； (2) 分别将“BD=CE”记为①，“CD=BE”记为②，“AB=AC”记为③．添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③以①为结论构成命题2．命题1是命题2的命题，命题2是命题．（选择“真”或“假”填入空格）． 【答案】 (1) 连结BC，∵ BD=CE，CD=BE，BC=CB． ∴△DBC≌△ECB （SSS） ∴∠DBC =∠ECB ∴ AB=AC (2) 逆，假； 4. 如图，在□ABCD中，分别延长BA，DC到点E，使得AE=AB，CH=CD，连接EH，分别交AD，BC于点F,G。求证：△AEF≌△CHG. 【答案】证明：∵□ABCD ∴ AB=CD,∠BAD=∠BCD AB∥CD ∴∠EAF=∠HCG ∠E=∠H ∵ AE=AB，CH=CD ∴ AE=CH 1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 2.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证： 1 2 CD AB = 3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2 4.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC 5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C 6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 7.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 8.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证： 1 2 CD AB = 9.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2 10.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证： EF=AC A D B C B B A C D F 2 1 E C D B A A D B C 11.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C 12.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD 上。求证：BC=AB+DC。 13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C 14.已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C 15.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB 全等三角形证明条件归类 初学三角形全等证明，根据已知条件找到证明全等的三个条件是难点。如何才能找到证明全等证明的三个条件呢？从三角形全等证明的四种证明方法（边角边、角边角、角角边、边边边）来看：已知两边对应相等，第三个条件可以找已知两边的夹角对应相等，或找第三边对应相等；如果告诉了两个角对应相等，第三个条件找两个角的夹边对应相等，或是已知的两个角中的某个角的对应边相等；已知一边和一角对应相等，第三个条件可能是对应相等角的另一边对应相等，或是另一角对应相等。分析以上这些情况，找第三个条件分两种情况：一是再找一组对应边相等，二是再找一组对应角相等。对应边相等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况： 一是公共边是第三个条件 例1：如图，在ABD ABC ??与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ?≌ABD ? 证明：△ABD 和△BAC 中： ∵ BD=AC BC=AD AB=BA(公共边) ∴ ABC ?≌ABD ?（SSS ） 二是相等对应边+公共边的和对应相等是第三个条件 例1：如图2，已知AC=DF, ∠A=∠D,AE=BD, 求证：ΔABC ≌ΔDEF 证明：∵AE=BD ∴ AE+EB=BD+EB （即AB=DE ） 在△ABC 和△DEF 中 ∵AC=DF ∠A=∠D AB=DE ∴ΔABC ≌ΔDEF （SAS ） 例2如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。 ∵CE=FB ∴CE+EF=EF+FB （即CF=BE ） ∵AB=DC AE=DF CF=BE ∴△ABE ≌△CDF （SSS ） ∴AF=DE 三是相等对应边-公共边的差对应相等是第三个条件 例1：如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 证明：∵DF=CE ， ∴DF-EF=CE-EF ，即DE=CF ， 在△AED 和△BFC 中， ∵ AD=BC ， ∠D=∠C ，DE=CF B F D 第F E D C B A F E D C B A全等三角形证明判定方法分类总结
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