勾股定理题型总结83533
勾股定理知识技能和题型归纳(一)——知识技能
一、本章知识内容归纳
1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。 (1)重视勾股定理的叙述形式:
①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积. ②直角三角形斜边长度的平方,等于两个直角边长度平方之和.
从这两种形式来看,有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。 (2)定理的作用:
①已知直角三角形的两边,求第三边。 ②证明三角形中的某些线段的平方关系。
③作长为n 的线段。(利用勾股定理探究长度为,3,2……的无理数线段的几何作图方法,并在数轴上将这些点表示出来,进一步反映了数与形的互相表示,加深对无理数概念的认识。) 2、勾股定理的逆定理
(1)勾股定理的逆定理的证明方法,通过构造一个三角形与直角三角形全等,达到证明某个角为直角的目的。
(2)逆定理的作用:判定一个三角形是否为直角三角形。
(3)勾股定理的逆定理是把数转化为形,是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述及书写格式。运用勾股定理的逆定理的步骤如下:
①首先确定最大的边(如c )
②验证2
2
b a +与2
c 是否具有相等关系:
若2
2
2
c b a =+,则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。 若2
2
2
c b a ≠+,则△ABC 不是直角三角形。
补充知识:
当222c b a >+时,则是锐角三角形;当2
22c b a <+时,则是钝角三角形。
(4)通过总结归纳,记住一些常用的勾股数。如:3,4,5;5,12,13;6,8,10;8,15,17;9,40,41;……以及这些数组的倍数组成的数组。
勾股数组的一般规律: ① 丢番图发现的:式子n m n m mn n m >+-(,2,2
2
2
2
的正整数) ② 毕达哥拉斯发现的:122,22,122
2
++++n n n n n (1>n 的整数) ③
柏拉图发现的:1,1,222
+-n n n (1>n 的整数)
3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系 (1)注意分清应用条件:
勾股定理是由直角得到三条边的关系,勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。 (2)根据课标要求,对原命题、逆命题及命题之间的关系只要求根据例子了解即可,不必专门训练.
二、本章解题技能归纳
1、直角三角形的性质与判定小结 (1)直角三角形的性质:
角的关系:直角三角形两锐角互余。
边的关系:直角三角形斜边大于直角边。直角三角形两直角边的平方和等于斜边
的平方。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
边角关系:直角三角形中,30°的角所对的直角边等于斜边的一半。 双垂图:双垂图中的线段关系。 (2)直角三角形的判定:
①有一个角是直角的三角形是直角三角形。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形。
③两边的平方和等于第三边(最长的边)的平方的三角形是直角三角形。 2、已知直角三角形的两边长,会求第三边长
设直角三角形的两直角边为a,b,斜边长为c ,由勾股定理知道:222c b a =+。变形得:222222,,b a c a c b b c a +=-=-=
,
因此已知直角三角形的任意两边,利用勾股定理可求出第三条边。
3、当直角三角形中含有30°与45°角时,已知一边,会求其它的边 (1)含有30°的直角三角形的三边的比为:1:2:3。 (2)含有45°的直角三角形的三边的比为:2:1:1。
(3)等边三角形的边长为a ,则高为
23a ,面积为
2
4
3a 。 三、阅读与思考——“希波克拉底月牙形”
(1 如左图:∠C=90°,图中有阴影的三个半
圆
的面积S1,S2,S3有什么关系? 答:
(2)如图:∠C=90°,△ABC 的面积为20,在AB 的同侧,分别以AB,BC,AC 为直
径作三个半圆,则阴影部分(即“希波克拉底月牙形”)的面积为
勾股定理知识技能和题型归纳(二)——题型
一、基础练习(要求熟练掌握)
1、在ΔABC 中,a ,b ,c 为三边长.
(1)当∠A =90°时,三边关系 . (2)当∠C =90°时,三边关系 .
(3)当2
2
2
b c a =+时, =90°.
2、如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC=a,AC=b,AB=c . (1) 已知a =5,b =12,则c = ; (2) 已知b =6,c =10, 则a = (3) 已知a =2,c =5,则b = ;
(4) 已知a =15,b=20, 则△ABC 的周长= ; (5) 已知a =2, c =2.5, 则△ABC 的面积= ; (6) 已知a : c =3:5, a + c =32, 则b = ;
(7) 已知c =10, a : b =3:4, 则a = , b = ,斜边上的高= 。 3、已知△ABC 是直角三角形,AC =3,BC =5, 求AB 的长。
4、在△ABC 中,∠C =90°,AB =20。
(1)若∠B=45°,求BC 、AC 。(2)若∠A =60°,求BC 、AC 。
5、求下列图中未知数x 、y 、z 的值:
x= ;
y= ; z = ;
b
a
二、与其它章节知识的联系
6、在△ABC 的三边 c b a ,,,且4
42222b a c b c a -=-,判断△ABC 的形状。
7、若△ABC 的三边c b a ,,满足条件c b a c b a 2624103382
22++=+++,判断 △ABC 的形状。
8、△ABC 的三边c b a ,,,满足c a b b a ,16121002
2
+=++边的长是
5
5
352-+
=-x x x 的解,求△ABC 中最大角的度数。
9、用本章学过的知识判断直线33+=x y 与33
1
+-=x y 的位置关系,说明理由。
10、在B港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前
进,乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进,2小时后,甲船到M 岛,乙船到P岛,两岛相距34海里,你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
11、为美化环境,计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一边长为10米的等腰三
角形绿地,请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
12、如图,铁路上A、B两站(视为直线上两点)相距25
千米,C、D为两个村庄(视为两个点),DA⊥AB于A,
CB⊥AB于B,DA=15 千米,CB=10千米,现要在铁路上
建设一个土特产收购站E,使得C、D两村到E的的距离
相等,则E应建在距A多少千米处?
13、在河L的同侧有两个仓库A、B相距1640米,其中A距河210米,B距河570米,现要在河岸上建一个货运码头,使得两仓库到码头的路程和最短,问:这个最短路程是多少?码头应建在何处?
三、典型数学思想、方法的训练
(一)方程思想进行计算
14、小明用一根长30厘米的绳子折成三段,围成一个三角形,他用尺子量了一下,其中一条线段的长度比较短线段长7厘米,比较长线段短1厘米,请你帮助小明判断一下,他围成的三角形是直角三角形吗?
15、已知△ABC中,∠C=90°,D、E分别为BC、AC 的中点,AD=5,BE=10
2,求AB的长.
16、有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面。这个水池的深度与这根芦苇的长度分别为多少?
17、如图所示.已知:在正方形ABCD中,∠BAC的平分线交BC于E,
作EF⊥AC于F,作FG⊥AB于G.求
2
2
FG
AB
的值.
(二)构造直角三角形
18、已知△ABC中,AB=8,AC=7,BC=6,求△ABC的面积。
19、已知△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AB-AC=2-2,求BC的长。
20、已知:如图,AB=AC=20,BC=32,
D为BC边上一点,∠DAC=90°.求BD的长.
21、(1)写出三种用“构造斜边长为7的直角三角形的方法”作长为7的线段的方案。
(2)能否通过“构造直角边长为7的直角三角形的方法”来作长为7的线段?若能,写出三角形的三边;若不能,说明理由。
D
B
(3)在(1)中,作长为7的线段,往往需要先作出其它长为无理数的线段才能求出长为7的线段,对于正整数k ,能否通过构造两边均为有理数的直角三角形求出作长为k 的线段?若能,请写出此时三角形三边之间的关系;若不能,请说明理由。
(三)勾股定理与变换
22、已知矩形ABCD 沿直线BD 折叠,使点C 落在同一平面内C '处,BC '与AD 交于点E ,AD=8,AB =4,求DE 的长。
23、(2004年荆州中考)一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种证明方法。如图,火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到'
'
'
D C AB 的位置,连结
'CC ,设c AC b BC a AB ===,,,请利用四边形''BCC D 的面积证明勾股定理。
1)()(2
3
12
2
1=+h h h h 24、△ABC 中,CD 是AB 边上的中线,AC =8,BC =6,CD =5,判断△ABC 的形状。
(四)面积法: 25、设
3
21,,h h h 表示三角形的三条高,如果 ,那么这个三角
形是什么三角形?
26、证明:直角三角形的斜边与斜边上的高的和大于两直角边之和。
27、已知:平面直角坐标系xOy 内,点A
(-),B
),C (0,-3), (1)判断ABC ?的形状并说明理由;
(2)若点D
的坐标为(4)-,求BCD ?中CD 边上的高h 的值.
D A 28.如图,已知直线13
3
+-
=x y 与x 轴、y 轴分别 交于点A 、B ,以线段AB 为直角边在第一象限内 作等腰Rt ΔABC , ∠BAC =90O ,且P (1,a )为坐标系中 的一个动点.
(1)求ΔABC 的面积ABC S ?;
(2)证明不论a 取任何实数,ΔBOP 的面积是一个常数; (3)要使得ΔABC 和ΔABP 的面积相等,求实数a 的值.
(五)代数计算证明几何问题:
29、求证:直角三角形中两直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍.
30、如图△ABC 中,∠C =90°,M 是CB 的中点,MD ⊥AB 于D ,
请说明三条线段AD 、BD 、AC 总能构成一个直角三角形。
F
E
B A 31、正方形ABCD 的边长为4,E 为AB 中点,AF =AD 4
1
,求证:CE ⊥EF .
32、(1)已知:如图,CD ⊥AB ,OA >OB , 求证:①2
2
2
2
BC AD BD AC +=+;
②2
2
2
2
AC BC AD BD -=-.
(2)运用(1)的结论可以证明下列命题: 已知:如图,设M 是△ABC 内部任意一点, MD ⊥AB 于G ,ME ⊥BC 于K ,MF ⊥CA 于H , BD=BE ,CE=CF ,求证:AD=AF ;
A
B
O C
(六)图形的割、补与拼图
33、已知:如图,四边形ABCD 中,AB =3,BC =4, CD =5,AD =52,∠B =90°,求四边形ABCD 的面积。
34、一块四边形的草地ABCD ,其中∠A =60°,
∠B =∠D =90°,AB =20m,CD =10m,求这块草地的面积.
35、有十字形,它由五个全等的正方形组成,如图所示,你能把它切成三块,拼成一个长是宽的2倍的长方形吗?(先计算,再拼图)
备用图:
36、现有一张长为6.5,宽为2的纸片,请你将它分割成6块,再合并成一个正方形,要求先画出分割线,再拼成正方形并证明你的方法的正确性。
第34题图 第33题图
B
(七)运动、开放与探究
37、在△ABC 中,设,,,c BA b AC a BC ===当∠C =90°时,根据勾股定理有
222c b a =+;若△ABC 不是直角三角形,请你类比勾股定理,试猜想22b a +
与2
c 的关系,并证明你的结论。
38、如图,M 是Rt △ABC 斜边AB 的中点, P 、Q 分别在AC 、BC 上,PM ⊥MQ ,
判断PQ AP BQ 、与的数量关系并证明你的结论.
39、△ABC 中,AB=AC =4,点P 在BC 边上运动,猜想2
AP PB PC +?的值是否随点P 位置的变化而变化,并证明你的猜想.
40、已知:矩形ABCD .(四个角是直角)
① P为矩形内一点(如图a ),求证: 2
2
2
2
PD PB PC PA +=+;
② 探索P 运动到AD 边上(如图b )、矩形ABCD 外(如图c )时,结论是否仍然成立.
41、探索勾股数的规律:
观察下列各组数:(3,4,5)(5,12,13)(7,24,25)(9,40,41)……,
可发现:2223151714,12,24222---===K
,请你写出第k 个数
组: .
P
P P
四、格点问题(中考出现的较热门的新题型)
42.(2007金华中考)如图,在由24个边长都为1的小正三角形的网格中,点P 是正六边形的一个顶点,以点P 为直角顶点作格点直角三角形(即顶点均在格点上的
直角三角形),请你写出所有可能的直角三角形斜边的长 .
备用图
43.
备用图:
勾股定理常见题型
专题一:勾股定理与面积 知识点精讲: 类型一“勾股树”及其拓展类型求面积 典型例题: 1.如图(16),大正方形的面积可以表示为,又可以表示为,由此可得等量关系______________________,整理后可得:___________. 2.图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为( ) 3.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形.如图,每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6,则大正方形与小正方形的面积差是() A.9 B.36 C.27 D.34 4.如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为2,则S1+S2+S3=________. 5.如图,所有三角形都是直角三角形,所有四边形都是正方形,已知S1=4,S2=9,S3=8,S4=10,则S=() A.25 B.31 C.32 D.40 6.如图,已知在Rt ABC △中,? = ∠90 ACB,4 AB=,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为1S,2S, 则 12 S S +的值等于________ 7.如图,已知直角△ABC的两直角边分别为6,8,分别以其三边为直径作半圆,则图中阴影部分的面积是________.8.如图所示为一种“羊头”形图案,其作法是:从正方形①开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②和②,…,依此类推,若正方形①的面积为64,则正方形⑤的面积为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 a a a a b b b b c c c c 图(16) 8 6 C B A
勾股定理题型归纳
勾股定理复习小结 一、 二. 1、 勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用有:(1)已知直角三角形的两边求第三边 (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形 (1) 先确定最大边(如c ) (2) 验证2 c 与2 2b a +是否具有相等关系 (3) 若2 c =22b a +,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形;若2c ≠2 2b a + 则△ABC 不是直角三角形。 3、 勾股数 满足2 2 b a +=2 c 的三个正整数,称为勾股数 如(1)3,4,5; (2)5,12,13; (3)6,8,10;(4)8,15,17 (5)7,24,25 (6)9, 40, 41 勾股定理培优经典题型归纳 题型一:利用勾股定理解决实际问题 训练1、有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开? 训练2、如图,公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇,点A 处有一所中学,AP=160米,点A 到公路MN 的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响 的时间为多少?
题型二、与勾股定理有关的图形问题 训练3.如图,直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ,点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2,则正方形的边长是____ _____. 题型三、关于翻折问题 训练4、如图,折叠矩形纸片ABCD ,先折出折痕(对角线)BD ,再折叠,使AD 落在对角线BD 上,得折痕DG ,若AB = 2,BC = 1,求AG. 训练5、如图,把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,点B 落在点E 处,EC 与AD 相交于点F.若AB=4,BC=6,求△FAC 的周长和面积. 训练6、如图,将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上F 点处,已知cm CE 6=,cm AB 16=, 求BF 的长. G A B F E D C B A
勾股定理知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类 一.知识归纳 1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是: ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=,化简可证. 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++,所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边 在ABC ?中,90C ∠=? ,则c ,b = ,a ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形; c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
最新勾股定理知识点与常见题型总结(1)
《勾股定理分类练习》 题型一:直接考查勾股定理:直角三角形中,若a, b 分别为直角边,c 为斜边,那么直角三 角形三边的关系为 a 2 +b 2 =c 2 注意:直角三角形中,最长的边为斜边,较短的两边为直角边 1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积,则图中A 字母所代表的正方形面积是 2、 如图4,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的 边长为7cm,则正方形A ,B ,C ,D 的面积之和为___________cm 2。 3、在Rt △ABC 中,斜边AB 2 =3,则AB 2+BC 2+AC 2的值是______ “知二求一”的题,可以直接利用勾股定理! 4、在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长 5、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( ) A .25 B .14 C .7 D .7或25 1、已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 2、已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为 3、已知△ABC ,∠A=90 °, ∠B=30°,AB=5,求AC,BC 的值. 题型三:勾股定理的逆定理: 1、以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( ) A .2,3,4 B .10,8,4 C .7,25,24 D .7,15,12 2、分别有下列几组数据:①6、8、10 ②12、1 3、5 ③ 17、8 、15 ④ 4、11、9其中能构成直角三形的有: ( ) A、4组 B、3组 C、2组 D、1组 3、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A. 钝角三角形; B. 锐角三角形; C. 直角三角形; D. 等腰三角形 4、请写出“对顶角相等”和“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的逆命题 题型四、与直角三角形面积相关
《勾股定理》典型例题
《勾股定理》典型例题 例1 在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗? 它的意思是说:如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位,那么它的斜边的长一定是5个长度单位,而且3、4、5这三个数有这样的关系:32+42=52. (1)请你动动脑筋,能否验证这个事实呢?该如何考虑呢? (2)请你观察下列图形,直角三角形ABC 的两条直角边的长分别为AC =7,BC =4,请你研究这个直角三角形的斜边AB 的长的平方是否等于42+72? 解: (1)边长的平方即以此边长为边的正方 形的面积,故可通过面积验证.分别以这个直 角三角形的三边为边向外做正方形,如右 图:AC =4,BC =3, S 正方形ABED =S 正方形FCGH -4S Rt △ABC =(3+4)2-4×2 1×3×4=72-24=25 即AB 2=25,又AC =4,BC =3, AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2 (2)如图(图见题干中图)
S 正方形ABED =S 正方形KLCJ -4S Rt △ABC =(4+7)2-4×2 1×4×7=121-56=65=42+72 例2 下图甲是任意一个直角三角形ABC ,它的两条直角边的边长分别为a 、b ,斜边长为c .如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC 全等的三角形,放在边长为a +b 的正方形内. ①图乙和图丙中(1)(2)(3)是否为正方形?为什么? ②图中(1)(2)(3)的面积分别是多少? ③图中(1)(2)的面积之和是多少? ④图中(1)(2)的面积之和与正方形(3)的面积有什么关系?为什么? 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗? 解: ①图乙、图丙中(1)(2)(3)都是正方形.易得(1)是以a 为边长的正方形, (2)是以b 为边长的正方形,(3)的四条边长都是c ,且每个角都是直角,所以(3)是以c 为边长的正方形. ②图中(1)的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2. ③图中(1)(2)面积之和为a 2+b 2. ④图中(1)(2)面积之和等于(3)的面积. 因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形,它们面积相等,(1)(2)的面