正交试验方差分析(通俗易懂)
第十一章正交设计试验资料的方差分析
在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。
正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。
第一节、正交设计原理和方法
(一) 正交设计的基本概念
正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。
例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响：
A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平；
B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平；
C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。
这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。
如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。
但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。
如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。
正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。
正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。
如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。
一、正交设计的基本原理
表11-1 33试验的全面试验方案
正交设计就是从全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。图1中标有‘9 ’个试验点，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。即：
(1)A1B1C1(2)A1B2C2(3)A1B3C3
(4)A2B1C2(5)A2B2C3 (6)A2B3C1
(7)A3B1C3(8)A3B2C1(9)A3B3C2
上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C 因素的各个水平在试验中各搭配一次。
从图1中可以看到，9个试验点分布是均衡的，在立方体的每个平面上有且仅有3个试验点；每两个平面的交线上有且仅有1个试验点。
9个试验点均衡地分布于整个立方体内，有很强的代表性，能够比较全面地反映全面试验的基本情况。
二、正交表及其特性
(一) 正交表
表11-2 是L8(27)正交表，其中“L”代表正交表；L 右下角的数字“8”表示有8行，用这张正交表安排试验包含8个处理(水平组合) ；括号内的底数“2” 表示因素的水平数，括号内2的指数“7”表示有7列，用这张正交表最多可以安排7个2水平因素。
表11-2 L8(27)正交表
2水平正交表还有L4(23)、L16(215)等；
3水平正交表有L9(34)、L27(313) 、…、等。
(二) 正交表的特性
1、任一列中，不同数字出现的次数相同
例如L8(27)中不同数字只有1和2，它们各出现4次；L9(34)中不同数字有1、2和3，它们各出现3次。
2、任两列中，同一横行所组成的数字对出现的次数相同
例如L8(27)的任两列中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出现两次；L9(34)任两列中(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出现1次。即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。
用正交表安排的试验，具有均衡分散和整齐可比的特点。
均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均衡的。由图11-1可以看出，在立方体中，任一平面内都包含 3 个试验点，任两平面的交线上都包含1个试验点。
整齐可比是指每一个因素的各水平间具有可比性。
因为正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另外因素的各个水平，当比较某因素不同水平时，其它因素的效应都彼此抵消。如在A、B、C 3个因素中，A因素的3 个水平A1、A2、A3条件下各有B、C 的3 个不同水平，即：
在这9个水平组合中，A因素各水平下包括了B、C因素的3个水平，虽然搭配方式不同，但B、C皆处于同等地位，当比较A因素不同水平时，B因素不同水平的效应相互抵消，C因素不同水平的效应也相互抵消。所以A因素3个水平间具有可比性。同样，B、C因素3个水平间亦具有可比性。
(三) 正交表的类别
1、相同水平正交表各列中出现的最大数字相同的正交表称为相同水平正交表。
L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大数字为2，称为两水平正交表；
L9(34)、L27(313)等各列中最大数字为3，称为3水平正交表。
2、混合水平正交表各列中出现的最大数字不完全相同的正交表称为混合水平正交表。
L8(41×24)表中有一列最大数字为4，有4列最大数字为2。也就是说该表可以安排1个4水平因素和4个2水平因素。
L16(44×23)，L16(4×212)等都混合水平正交表。
三、正交设计方法
【例11·1】某水稻栽培试验选择了3个水稻优良品种(A)：二九矮、高二矮、窄叶青，3种密度(B)：15、20、25（万苗/666.7m2）；3种施氮量(C)：3、5、8（kg/666.7m2），试采用正交设计安排一个试验方案。
(一) 确定试验因素及其水平, 列出因素水平表
表11-3 因素水平表
(二) 选用合适的正交表
根据因素、水平及需要考察的交互作用的多少来选择合适的正交表。
选用正交表的原则是：既要能安排下试验的全部因素(包括需要考查的交互作用)，又要使部分水平组合数（处理数）尽可能地少。
一般情况下，试验因素的水平数应恰好等于正交表记号中括号内的底数；因素的个数（包括需要考查交互作用）应不大于正交表记号中括号内的指数；各因素及交互作用的自由度之和要小于所选正交表的总自由度，以便估计试验误差。
若各因素及交互作用的自由度之和等于所选正交表总自由度，则可采用有重复正交试验来估计试验误差。
此例有3个3水平因素，若不考察交互作用，则各因素自由度之和为因素个数×(水平数-1) = 3 ×(3-1) =6，小于L9(34)总自由度9-1=8，故可以选用L9(34)；
若要考察交互作用，则应选用L27(313)，此时所安排的试验方案实际上是全面试验方案。
(三) 表头设计
表头设计就是把挑选出的因素和要考察的交互作用分别排入正交表的表头适当的列上。
在不考察交互作用时，各因素可随机安排在各列上；若考察交互作用，就应按该正交表的交互作用列表安排各因素与交互作用。
此例不考察交互作用，可将品种(A)、密度(B)和施氮量(C)依次安排在L9(34)的第1、2、3列上，第4 列为空列，见表2-4。
表11-4 表头设计
L9（34）表头设计
L8(27) 表头设计
(四) 列出试验方案
把正交表中安排因素的各列(不包含欲考察的交互作用列)中的每个数字依次换成该因素的实际水平，就得到一个正交试验方案。
表11-5 正交试验方案
第二节正交试验资料的方差分析
若各号试验处理都只有一个观测值，则称之为单个观测值正交试验；
若各号试验处理都有两个或两个以上观测值，则称之为有重复观测值正交试验。
一、单个观测值正交试验资料的方差分析
对【例11-1】用L9(34)安排试验方案后，各号试验只进行一次，试验结果列于表2-6。试对其进行方差分析。
表11-6 正交试验结果计算表
T i为各因素同一水平试验指标之和，T为9个试验号的试验指标之和；
x为各因素同一水平试验指标的平均数。
该试验的9个观测值总变异由A因素、B因素、C因素及误差变异4部分组成，因而进行方差分析时平方和与自由度的分解式为：
SS T = SS A + SS B + SS C+SSe
df T= df A+ df B+ df C + dfe
用n表示试验(处理)数；a、b、c表示A、B、C因素的水平数；k a、k b、k c表示A、B、C因素的各水平重复数。本例，n=9、a=b=c=3、k a=k b=k c=3。
1、计算各项平方和与自由度
矫正数
C = T2/n = 37112/9 = 1530169.00
总平方和
SST =Σx2-C
=（340.02+422.52+…+462.52）-1530169.00
=21238.00
A因素平方和
T/k a-C
SS A=Σ2
A
=(1201.52+1291.52+1218.02)/3 -1530169.00
=1530.50
B因素平方和
T/k b-C
SS B= Σ2
B
=(1092.02+1278.52+1340.52)/3 -1530169.00
=11153.17
C因素平方和
T/k c-C
SS C=Σ2
C
=(1142.52+1245.02+1323.52)/3 -1530169.00
=5492.17
误差平方和
SS e=SS T-SS A-SS B-SS C
=21238.00-1530.5-11153.17 -5492.17
=3062.16
总自由度df T=n-1=9-1=8
A因素自由度df A=a-1=3-1=2
B因素自由度df B=b-1=3-1=2
C因素自由度df C=c-1=3-1=2
误差自由度df e= df T-df A-df B-df C
= 8-2-2-2 = 2
2、列出方差分析表，进行F检验
表11-7 方差分析表
F 检验结果表明，三个因素对产量的影响都不显著。究其原因可能是本例试验误差大且误差自由度小(仅为2)，使检验的灵敏度低，从而掩盖了考察因素的显著性。
由于各因素对增重影响都不显著，不必再进行各因素水平间的多重比较。此时，可从表11-6中选择平均数大的水平A2、B3、C3组合成最优水平组合A2B3C3。
若F检验结果3个因素对试验指标的影响显著或极显著，进行各因素水平间多重比较常采用SSR法。
本例是选用相同水平正交表L9(34)安排的试验，A、B、C因素各水平重复数相同，即k a=k b=k c=3，它们的标准误相同，即
单个观测值正交试验资料的方差分析，其误差是由“空列”来估计的。然而“空列”并不空，实际上是被未考察的交互作用所占据。
这种误差既包含试验误差，也包含交互作用，称为模型误差。
若交互作用不存在，用模型误差估计试验误差是可行的；若因素间存在交互作用，则模型误差会夸大试验误差，有可能掩盖考察因素的显著性。
试验误差应通过重复试验值来估计。所以，进行正交试验最好能有二次以上的重复。正交试验的重复，可采用完全随机或随机区组设计。
二、有重复观测值正交试验资料的方差分析
【例11·4】为了探讨花生锈病药剂防治效果的好坏，进行了药剂种类（A）、浓度（B）、剂量（C）3因素试验，各有3个水平，选用正交表L9(34)安排试验。试验重复2次，随机区组设计。正交试验方案及试验结果(产量kg/小区，小区面积133.3m2)见表11—10，对试验结果进行方差分析。
用r表示试验处理的重复数(区组数)；
n，a、b、c，k a、k b、k c的意义同上。
此例r=2；n=9，a=b=c=3，k a=k b=k c=3。
表11-10 防治花生锈病药剂种类、浓度、剂量正交试验方案及结果计算表
T i为各因素同一水平试验指标之和，T为9个试验号的试验指标之和；
x为各因素同一水平试验指标的平均数。
对于有重复、且重复采用随机区组设计的正交试验，总变异可以划分为处理间、区组间和误差变异三部分，而处理间变异可进一步划分为A因素、B因素、C因素与模型误差变异四部分。此时，平方和与自由度分解式为：
SS T=SS t+SSr+SS e2
df T = df t+ df r + df e2
而SS t=SS A+SSB+SS C+SS e1
df t= df A + df B + df C + df e1
于是
SS T= SS A+SS B+SS C+SS r+SS e1+ SS e2
df T = df A + df B + df C + df r + df e1 + df e2
其中：SS r为区组间平方和；SS e1为模型误差平方和；SS e2为试验误差平方和；SS t为处理间平方和；df r、df e1、df e2、df t 为相应自由度。
注意，对于重复采用完全随机设计的正交试验，在平方和与自由度划分式中无SS r、df r项。
1、计算各项平方和与自由度
矫正数
C =T2/ r n =549.02/（2×9）=16744.50
总平方和
SS T=Σx2-C
=28.02+35.02+…+30.02-16744.50
=246.62
区组间平方和
SS r=ΣT2r /n-C
=(273.52+275.52)/9- 16744.50
=0.22
处理间平方和
SS t= ΣT2t / r - C
=(56.52+69.82+…+59.42)/2-16744.50
=245.96
A因素平方和
SS A= ΣT2A / k a r - C
= (191.02+184.42+173.62)/(3×2) - 16744.50
=25.72
B因素平方和
SS B=ΣT2B / k b r - C
=(191.42+169.72+187.92)/(3×2) - 16744.50
=45.24
C因素平方和
SS C= ΣT2C / k c r - C
=(165.82+195.42+187.82)/(3×2) -16744.50
=78.77
模型误差平方和
SS e1= SS t– SS A– SS B - SS C
=245.96- 25.72- 45.24.- 78.77
= 96.23
试验误差平方和
SS e2=SS T– SS r - SS t
=246.62- 0.22- 245.96
= 0.44
总自由度df T=rn-1=2×9-1=17
区组自由度df r=r-1=2-1=1
处理自由度df t=n-1=9-1=8
A因素自由度df A=a-1=3-1=2
B因素自由度df B=b-1=3-1=2
C因素自由度df C=c-1=3-1=2
模型误差自由度df e1 = df t-df A-df B-df C
= 8-2-2-2= 2
试验误差自由度df e2=df T-df r-df t=17-1-8 = 8
2、列出方差分析表，进行F检验
表11-10 有重复观测值正交试验资料的方差分析表
首先检验MS e1与MS e2差异的显著性，若经F检验不显著，则可将其平方和与自由度分别合并，计算出合并的误差均方，进行F检验与多重比较，以提高分析的精度；若F检验显著，说明存在交互作用，二者不能合并，此时只能以MS e2进行F检验与多重比较。
本例MS e1 / MS e2=802.00** ，模型误差均方MS e1与试验误差均方MS e2 差异极显著，说明试验因素间交互作用极显著，只能以试验误差均方MS e2进行F检验与多重比较。
F检验结果表明，药剂种类（A）、浓度（B）、剂量（C）3 因素对花生产量都有极显著影响；区组间差异不显著。
3、多重比较
(1) 若模型误差显著，说明试验因素间存在交互作用，各因素所在列有可能出现交互作用的混杂，此时各试验因素水平间的差异已不能真正反映因素的主效，因而进行各因素水平间的多重比较无多大实际意义，但应进行试验处理间的多重比较，以寻求最处理，即最优水平组合。进行各试验处理间多重比较时选用试验误差均方MS e2。模型误差显著，还应进一步试验，以分析因素间的交互作用。
(2) 若模型误差不显著，说明试验因素间交互作用不显著，各因素所在列有可能未出现交互作用的混杂，此时各因素水平间的差异能真正反映因素的主效，因而进行各因素水平间的多重比较有实际意义，并从各因素水平间的多重比较中选出各因素的最优水平相组合，得到最优水平组合。
进行各因素水平间的多重比较时，用合并的误差均方
MSe=（SS e1+ SS e2）/（df e1+ df e2）
此时可不进行试验处理间的多重比较。
本例模型误差极显著，说明因素间存在交互作用，不必进行各因素水平间的多重比较，应进行试验处理间的多重比较，以寻求最处理，即最优水平组合。为了让读者了解多重比较的方法，下面仍对各因素水平间、各试验处理间进行多重比较。
（1）A、B、C因素各水平平均数的多重比较
表11-12 A因素各水平平均数的多重比较表(SSR法)
表11-13 B因素各水平平均数的多重比较表(SSR法)
表11-14 C因素各水平平均数的多重比较表(SSR法)
因为
由df e=8和k=2, 3, 查得SSR值并计算出LSR值列于表11-15。
表11-15 SSR值与LSR值表
多重比较结果表明：A因素各水平平均产量间、B因素各水平平均产量间、C因素各水平平均产量间差异显著或极显著。各因素的最优水平为A1、B1、C2。
注意，本例模型误差显著，试验因素间存在交互作用，不宜从各因素水平间的多重比较中选出各因素的最优水平相组合来得到最优水平组合。
（2）各试验处理平均数间的多重比较
表11-16 各试验处理平均数多重比较表(LSD法)
因为
由df e=8, 查得t0.05(8)=2.306，t0.01(8)=3.355，计算出LSD值为：
LSD0.05= t0.05(8)×
=2.306
×0.245=0.565
LSD0.01= t0.01(8)×=3.355×0.245=0.822
各试验处理间平均数多重比较结果，除第2号试验处理与第7号试验处理、第3号试验处理与第6 号试验处理平均产量差异不显著外，其余各试验处理平均产量间差异极显著或显著，最优水平组合为第 2 号试验处理A1B2C2（或第7号试验处理A3B1C3）
本例模型误差显著，试验因素间存在交互作用，应以试验处理间的多重比较寻求的最优水平组合，即第2号试验处理A1B2C2（或第7号试验处理A3B1C3）为该试验的最优水平组合。
正交试验设计及其方差分析
第三节正交试验设计及其方差分析 在工农业生产和科学实验中，为改革旧工艺，寻求最优生产条件等，经常要做许多试验，而影响这些试验结果的因素很多，我们把含有两个以上因素的试验称为多因素试验.前两节讨论的单因素试验和双因素试验均属于全面试验（即每一个因素的各种水平的相互搭配都要进行试验），多因素试验由于要考虑的因素较多，当每个因素的水平数较大时，若进行全面试验，则试验次数将会更大.因此，对于多因素试验，存在一个如何安排好试验的问题.正交试验设计是研究和处理多因素试验的一种科学方法，它利用一套现存规格化的表——正交表，来安排试验，通过少量的试验，获得满意的试验结果. 1.正交试验设计的基本方法 正交试验设计包含两个内容：（1）怎样安排试验方案；（2）如何分析试验结果.先介绍正交表. 正交表是预先编制好的一种表格.比如表9-17即为正交表L4(23),其中字母L表示正交，它的3个数字有3种不同的含义： (1) L4（23）表的结构：有4行、3列，表中出现2个反映水平的数码1，2. 列数 ↓ L4 （23） ↑↑ 行数水平数 （2）L4（23）表的用法：做4次试验，最多可安排2水平的因素3个. 最多能安排的因素数 ↓ L4 (23) ↑↑ 试验次数水平数 (3) L4（23）表的效率：3个2水平的因素.它的全面试验数为23=8次，使用正交表只需从8次试验中选出4次来做试验，效率是高的. L4 (23) ↑↑ 实际试验数理论上的试验数 正交表的特点： （1）表中任一列，不同数字出现的次数相同.如正交表L4(23)中，数字1，2在每列中均出现2次. （2）表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同.如表L4（23）中任意两列，数字1，2间的搭配是均衡的.
利用SPSS进行方差分析以及正交试验设计
利用SPSS进行方差分析以及正交试验设计方差分析是一种常见的统计方法，用于比较两个或多个组之间的差异。正交试验设计是一种实验设计方法，能够同时考虑多个因素对结果的影响。本文将利用SPSS进行方差分析和正交试验设计的步骤介绍，并讨论如何 解读分析结果。 首先，我们将介绍方差分析的步骤。方差分析的基本思想是比较组间 和组内的变异程度。假设我们有一个因变量和一个自变量，自变量有两个 或多个水平。下面是方差分析的步骤： 1.导入数据：将数据导入SPSS软件，并确保每个变量都已正确标记。 2.选择统计分析：点击SPSS菜单栏上的"分析"，然后选择"方差"， 再选择"单因素"。 3.设置因变量和自变量：在弹出的对话框中，将需要进行方差分析的 因变量拖放到因素列表框中，然后将自变量也拖放到因素列表框中。 4.点击"设定"按钮：点击"设定"按钮，设置方差分析的参数，例如是 否需要进行正态性检验、多重比较等。然后点击"确定"。 5.查看结果：SPSS将输出方差分析的结果，包括各组之间的F值、p 值等统计指标。可以根据p值判断各组之间是否存在显著差异。 接下来，我们将介绍正交试验设计的步骤。正交试验设计是一种多因 素独立变量的实验设计方法，可以在较小的实验次数内获得较高的信息量。下面是正交试验设计的步骤： 1.设计矩阵：根据研究目的和独立变量的水平，构建正交试验的设计 矩阵。
2.导入数据：将设计矩阵导入SPSS软件，并将每个变量的水平标注 为自变量。 3.选择统计分析：点击SPSS菜单栏上的"分析"，然后选择"一般线性 模型"，再选择"多元方差分析"。 4.设置因变量和自变量：在弹出的对话框中，将因变量拖放到因子列 表框中，然后将自变量也拖放到因子列表框中。 5.点击"设定"按钮：点击"设定"按钮，设置正交试验设计的参数，例 如交互作用是否显著、多重比较等。然后点击"确定"。 6.查看结果：SPSS将输出正交试验设计的结果，包括各因素的F值、p值以及交互作用等统计指标。可以根据p值判断各因素和交互作用是否 显著。 在解读方差分析和正交试验设计的结果时，需要注意以下几点： -如果p值小于设定的显著性水平（通常为0.05），则可以认为结果 是显著的，即各组之间存在差异。 -如果p值大于设定的显著性水平，结果不显著，即各组之间没有差异。 -正交试验设计的交互作用是指自变量之间的影响程度是否相等。如 果交互作用显著，说明不同自变量的影响程度不同。 总结起来，使用SPSS进行方差分析和正交试验设计的步骤包括导入 数据、设置因变量和自变量、点击设定按钮设置参数，然后查看结果并解 读统计指标。方差分析和正交试验设计在实际应用中具有广泛的应用价值，能够帮助研究者更好地理解不同组别之间的差异和变量之间的相互作用。
正交法方差分析详解
先列出一个表格 三因素，三水平 正交表为4列，9行 正交表的作用: 对于同一个因素的任一个水平,当实验组合中含有这个水平时,其他的参数取值是均匀的,没有重复.如B 因素取90这个水平时有三个组合,这三个组合为 可以看出,在B 因素取90时,A 和C 因素分别取了没有重复的三个变量，即均匀的。 这有什么好处，下面引出方差分析中一些假设 1. 实验的结果有一个期望值E 0值，这个E 0 值是所用参数可能取值得到的计算结果的期望 值，而且假设计算结果是满足正态分布的。即),(~20σE N X i 。注意：E 0 不是这9个计算结果的平均值，这9个计算结果只是所有可能结果的9个样本而已，我们就是在用着9个样本来分析总体 2. 对于单个参数而言，由于单个参数的任一水平的计算结果只受该参数影响，而不受其他 参数的影响，所以单个参数的计算结果的期望和方差都应该满足）（20,σE N ，1、2这两条实际是为方差分析服务的。 3. 至于说在正交法中单个参数的计算结果只受该参数影响，而不受其他两个参数取值的影 响，涉及了另一个假设：假设各个参数对计算结果的影响是独立的，也就是说计算结果是3个参数的作用的加和，比如说在B=30，C=64时，A 取12对计算结果的贡献是8。当B=32，C=40时，A 取12对计算结果的贡献还是8。当然，这都是理想状态，参数之间的作用肯定是有互相影响滴，这种影响叫做交互作用，而且，每次试验都有误差的，不可能互相没有影响，两次试验中A 对计算结果的贡献肯定是不相等的。 我们在试验时一般不急于考虑交互作用，且在我们这个项目中交互作用的影响比较小，查的文献中直接对交互作用闭口不提，所以就不考虑了。 这样的话不就可以列出各个参数下的计算结果的表达式了以B=90这个例子为例。 X 1=31=Y(A=80)+Y ’(A=80)+Y(B=90) +Y ’(B=90)+Y(C=5) +Y ’(C=5) X 4=53=Y(A=85)+Y ’(A=85)+Y(B=90) +Y ’(B=90)+Y(C=6) +Y ’(C=6) X 7=57=Y(A=90)+Y ’(A=90)+Y(B=90) +Y ’(B=90)+Y(C=7) +Y ’(C=7) 其中Y （A=80）是理想状态下A 取80对计算结果的贡献，Y ’(A=80)是A 取80对计算结果贡献的实验误差。其他的值也是一样道理，此不赘述。
正交试验设计中的方差分析
正交试验设计中的方差分析 正交试验设计是一种常用的实验设计方法，用于研究多个因素对试验结果的影响。在正交试验设计中，方差分析是一种常用的统计工具，用于量化各个因素对试验结果的影响程度，从而帮助我们做出科学的决策。本文将介绍正交试验设计中方差分析的基本概念、方法和应用。方差分析是通过将数据的变异分解成各个因素或误差的效应，从而量化各个因素对试验结果的影响程度。方差分析的主要目标是确定因素效应的大小和显著性，以便在实验中剔除不显著的因素，并对显著因素进行进一步研究。 在正交试验设计中，方差分析可以按照以下步骤进行： 确定试验目的：在进行方差分析前，需要明确试验的目的和研究问题。例如，研究三种因素对产品产量的影响，以便优化生产工艺。 设计正交试验：根据试验目的，选择合适的正交表，确定实验方案。正交表是正交试验设计的基础，它是一张包括所有可能组合的表格，可以列出实验中需要考虑的所有因素和水平。 收集实验数据：按照实验方案进行实验，并记录各个组合下的实验结果。
进行方差分析：利用统计软件进行方差分析，得出各个因素效应的估计值和显著性水平。 得出根据方差分析的结果，确定显著因素和非显著因素，从而得出优化方案或建议。 在正交试验设计中，方差分析的应用非常广泛。例如，在工业生产中，可以通过正交试验设计和方差分析来优化生产工艺，提高产品质量和产量。在医学研究中，可以用来研究多个药物剂量对疗效的影响，以便找到最佳治疗方案。正交试验设计和方差分析是解决多因素问题的有效工具。 正交试验设计中的方差分析是一种非常重要的统计工具，它可以帮助我们量化各个因素对试验结果的影响程度，从而找到优化方案或建议。通过方差分析的应用，我们可以更加科学地解决多因素问题，提高决策的准确性和效果。在实际应用中，需要结合实际情况和专业知识进行具体操作和解释，以充分发挥其作用和价值。 在进行科学实验或调查研究时，常常需要对不同的因素进行方差分析，以便确定哪些因素对实验结果有显著影响。为了简化分析过程和提高可靠性，可以借助正交试验方差分析程序进行分析。
正交试验方差分析
正交试验方差分析 1. 引言 正交试验是一种基于统计学原理的实验设计方法，通过对多个变量进行组合，从而解决多因素对结果的影响。方差分析是一种常用的统计方法，用于比较不同组之间的差异。正交试验方差分析是将正交试验方法与方差分析相结合，用于分析多因素对结果的影响，并确定各因素的主要影响因子。 2. 正交试验的基本原理 正交试验是一种通过设计矩阵来确定各个变量组合的方法。其基本原理是将多个因素独立地进行变化，并通过正交设计矩阵来确定各个因素的取值组合。通过选择合适的正交设计矩阵，可以降低试验的次数，提高试验效率。 3. 正交试验方差分析的步骤 正交试验方差分析主要包括以下几个步骤： 3.1 确定试验因素 首先需要确定需要进行试验的因素。这些因素可以是产品的不同设计参数、工艺的不同操作条件等。 3.2 构建正交设计矩阵 根据确定的试验因素，构建正交设计矩阵。正交设计矩阵是一种特殊的矩阵，能够保证各个因素之间的相互独立性，从而减少试验次数，提高试验效率。 3.3 进行试验并记录结果 根据正交设计矩阵确定的因素取值组合，进行实际试验并记录试验结果。试验结果可以是产品的性能指标、工艺的生产效率等。 3.4 进行方差分析 根据试验结果，进行方差分析。方差分析是一种通过比较组间差异和组内差异来确定因素对结果的影响程度的方法。 3.5 确定主要影响因子 根据方差分析的结果，确定各个因素的主要影响因子。这些主要影响因子可以作为进一步优化产品设计或工艺操作的依据。
4. 正交试验方差分析的优势 正交试验方差分析具有以下几个优势： •减少试验次数，提高试验效率。 •可以同时考虑多个因素对结果的影响，更全面地评估产品或工艺的性能。 •通过方差分析确定主要影响因子，为进一步优化设计或操作提供指导。 5. 总结 正交试验方差分析是一种将正交试验方法与方差分析相结合的统计分析方法。 通过选择合适的正交设计矩阵，可以降低试验次数，提高试验效率。正交试验方差分析可以同时考虑多个因素对结果的影响，并通过方差分析确定主要影响因子，为进一步优化设计或操作提供指导。这种方法在产品设计和工艺优化中具有重要的应用价值。
第8章正交试验设计的方差分析
第8 章正交试验设计的方差分析前面我们讨论了如何安排正交试验以及用极差分析法（即直观分析法）对试验结果进行计算分析. 极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少，便于普及推广.但这种方法不能把试验中由于试验条件的改变引起的数据波动，同试验误差引起的数据波动区分开来. 也就是说，不能区分因素各水平对应的试验结果间的差异，究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于试验误差引起的，即不知道试验的精度. 同时，对影响试验结果的各个因素的重要程度，既不能给出精确的定量估计，也不能提供一个标准，用来判断所考察的因素的作用是否显著. 为了弥补极差分析法的不足，对试验结果的分析可采用方差分析法. 8.1 正交试验方差分析的基本步骤 在第 2 章中我们已经介绍过，方差分析的基本思想是将数据的总偏差平方和（S T）分解为因素的偏差平方和（S A、S B）和误差的偏差平方和（S e）,然后将偏差平方和除以相对应的自由度（f）得到方差 （V A、V B）, 最后利用因素方差与误差方差之比（V A/V e，V B/V e），作F 检验，即可判断因素的作用是否显著. 正交试验设计的方差分析也是按这样的步骤进行的，所不同的是这是考虑的是多因素试验的方差分析，而第2章中只考虑单因素和双因素试验的方差分析. 一、计算 1. 偏差平方和与自由度的计算
方差分析的关键是偏差平方和的分解，现在以最简单的L4（23）正交表上安排的试验为例来说明（见表8-1，板书）.不考虑哪些因素安排 4 (T 八片=Kn K21) im 在哪些列上（即表头设计时），设试验结果为X i、 X2、 X3 和 X4. 总的偏差平方 和： n _ n -p 2 S T二為(X j _X)2 * 4X i2-—— i 4 i 4 n 4 T 2 ■— 2 I “TT T= 2 =(X 2 +x2 +x3 +x4)- 4 (X 1 X2 X3 X4 ) 整理后可得=3 ( x；+ x；+ X4) 4 1 (X1X2 X1X3 X1X4 X2X3x2 x4 2 X3X4) 第1列各水平偏差平方和为 S=2(K“ -x)22(K2i - X)2 =2[(号T =2[桎T植T 1 1K11T 4 16 4 16 4 1 一严T] 1X3X4)
正交试验结果的极差分析与方差分析
实验报告 实验三：正交试验结果的极差分析与方差分析 课程名称 考查学期 姓名 学号 专业 成绩 任课教师
实验三：正交试验结果的极差分析与方差分析 一、实验目标 熟练使用Excel和SPSS软件进行正交试验设计和结果分析 二、实验要求 按照1人/组的样式，所有成员都应该根据实验内容完成相应的任务。 三、仪器设备 笔记本电脑与数据分析软件Excel、SPSS。 四、实验内容 1. 正交试验数据的极差分析（Excel） 大枣的微波干燥工艺研究，试验因素选取A微波功率（W）、B干燥时间（min）、C载样量（kg/m2），以干燥大枣中总黄酮的含量为指标（越高越好），试选出最优工艺条件。 表3-1. 因素水平表 水平 试验因素 A （微波功率/W） B （干燥时间/min） C （载样量/kg/m2） 1150105 22501510 33502015 表3-2. 干燥大枣中的总黄酮含量 试验号微波功率 A 干燥时间 B 空列载样量 C 总黄酮含量1 （mg/g） 总黄酮含量2 （mg/g） 11111272.6 278.9 21222251.7 250.3
31333245.2 247.2 42123289.7 279.6 52231275.8 268.8 62312258.7 257.7 73132246.6 246.2 83213231.4 232.1 93321222.1 228.6 表3-3 干燥大枣中的总黄酮含量极差分析 试验号 列号重复试样 指标和1 2 3 4 1 2 A B C 1 1 1 1 1 272.6 278.9 551.5 2 1 2 2 2 251.7 250. 3 502 3 1 3 3 3 245.2 247.2 492.4 4 2 1 2 3 289.7 279.6 569.3 5 2 2 3 1 275.8 268.8 544.6 6 2 3 1 2 258. 7 257.7 516.4 7 3 1 3 2 246.6 246.2 492.8 8 3 2 1 3 231.4 232.1 463.5 9 3 3 2 1 222.1 228.6 450.7 K11545.9 1613.6 1531.4 1546.8 K21630.3 1510.1 1522.0 1511.2 K31407.0 1459.5 1529.8 1525.2 k1257.650 268.933 255.233 257.800 k2271.717 251.683 253.667 251.867 k3234.500 243.250 254.967 254.200 R 37.217 25.683 1.567 5.933 较优水平A2B1C1 因为指标越大越好，所以为因素A的2水平，即A2较好。其他各列的统计分析以此类推。各因素对指标影响的主次为：A>B>C，即微波功率>干燥时间>载样量。较优参数组合为A2B1C1，即微波功率取0.245kW、干燥时间10min、载样量取5kg/m2搭配起来，干燥效果最好。 2. 正交试验数据的方差分析（SPSS） 为探讨啤酒酵母的最适自溶条件，选择三因素三水平正交试验，试验指标为自溶液中蛋白质含量（％，越高越好），因素水平如表3-3，试验结果如3-4所示，
正交试验方差分析
第十一章正交设计试验资料的方差分析在实际工作中，常常需要同时考察 3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。 正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。 第一节、正交设计原理和方法 (一) 正交设计的基本概念 正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。 例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响： A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平； B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平； C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。 这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。
如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。 但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。 如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。 正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。 正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。 如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。 一、正交设计的基本原理 表11-1 33试验的全面试验方案
spss正交设计及其方差分析
正交设计及其方差分析 在日常试验中，对于只考察一个或两个因素的试验来说，由于控制的因素较少，试验设计和实施都比较的简单。但当一个试验出现超过三个因素时，试验就变得非常繁琐，全部实施起来也非常困难。当然，这些问题不只我们遇到了，统计学家们早已发现这一问题，并设计出简化试验的各种方法。本文要介绍的就是最为人所知的——正交试验法。正交试验正交试验的一般流程包括以下几个步骤：①确定研究因素；②选择指标水平；③制作成正交试验表格；④进行试验；⑤试验结果分析。 这里主要介绍第三步和第五步正交试验表格和试验结果分析。 1、正交表的设计与生成 1.1 打开spss软件，点击【数据】，选择【正交设计】，点【生成】。打开正交表设计对话框。如图1所示 图1
1.2将所有的实验因素编号及名称输入软件如图2所示 1.3 在各水平中输入【定义值】各因素水平数及对应的值，点击【继续】。将所有试验因素的水平均设定好。
1.4输出正交表如下图所示，按照正交表给出的水平组合进行相应实验。 2、方差分析 2.1按照下图整理并输入数据 2.2按照下图进行一般线性模型、单变量进行方差分析
2.3将实验指标产量输入【因变量】，实验因素选入【固定因子】 2.4 由于正交设计不是全部组合均进行实验，所以模型选择【设定】，并将因素通过【主效应】选入右边框内
2.5输出结果如下图所示 由于校正模型F值达到显著性水平，B因素主效应达到显著性水平，而A、C两个因素主效应不显著。因此B因素对实验结果其着主要影响。实验结果即采用B的最优水平即可。
备注：如果模型F值未达到显著性水平，说明实验较大可能存在交互作用，因此对主效应进行两两比较则失去意义。这是对水平组合进行两两比较，选出最优组合。而对水平组合的两两比较则需要重复的设定。其方法如下图所示
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正交试验结果的方差分析方法 计算公式和项目 试验指标的加和值= , 试验指标的平均值与表4-13一样，第j列的 (1) I j”水平所对应的试验指标的数值之和 (2) II j——“ 2”水平所对应的试验指标的数值之和 (3)…… (4) k j——同一水平出现的次数。等于试验的次数除以第j列的水平数. (5)I j/k j——“水平所对应的试验指标的平均” (6)II j/k j——“2”水平所对应的试验指标的平均值 (7)……以上各项的计算方法，与“极差法”同，见4.1.7节 (8)偏差平方和 (4-1) (9) f j ——自由度.f j 第j列的水平数－1. (10）V j ——方差. Vj =S j /f j (4-2) （11）V e ——误差列的方差。 (4-3) （12）F j ——方差之比 (4-4)
（13）查F分布数值表（见附录6），做显著性检验。显著性检验结果的具体表示方法与第3章相同。 （14）总的偏差平方和 (4-5) （15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。即 (4-6) 式中，m为正交表的列数。 若误差列由5个单列组成，则误差列的偏差平方和S e等于5个单列的偏差平方和之和,即：S e=S e1+S e2+S e3+S e4+S e5；也可用S e= S总－S’来计算，其中：S’为安排有因素或交互作用的各列的偏差平方和之和 应引出的结论。 与极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。在数理统计上，这是一个很重要的问题。显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。因为在某列对指标的影响不显著时，即使从表中的数据可以看出该列水平变化时，对应的试验指标的数值也在以某种“规律”发生变化，但那很可能是由于实验误差所致，将它作为客观规律是不可靠的。有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列与原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。 方差分析方法应用举例 例4-6为了提高猪发酵饲料的营养和猪爱吃的程度，选择了四个因素进行正交试验，其因素水平见表4-18。 表4-18例4-6的因素水平表 因素发酵温度/℃发酵时间/h 初始的PH值投曲量/ % 符号x1x2x3x4 水平 1 10 1 2 7 5 2 20 24 6 10 3 30 48 5
正交试验分析
1．正交试验设计法的基本思想 正交试验设计法，就是使用已经造好了的表格--正交表--来安排试验并进行数据分析的一种方法。它简单易行，计算表格化，使用者能够迅速掌握。下边通过一个例子来说明正交试验设计法的基本想法。 [例1]为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A)，反应时间(B)，用碱量(C)，并确定了它们的试验范围： A：80-90℃ B：90-150分钟 C：5-7％ 试验目的是搞清楚因子A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。试制定试验方案。 这里，对因子A，在试验范围内选了三个水平；因子B和C也都取三个水平：A：Al＝80℃，A2＝85℃，A3=90℃ B：Bl＝90分，B2＝120分，B3=150分 C：Cl＝5％，C2＝6%，C3＝7% 当然，在正交试验设计中，因子可以是定量的，也可以是定性的。而定量因子各水平间的距离可以相等，也可以不相等。 这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法： (Ⅰ)取三因子所有水平之间的组合，即AlBlC1，A1BlC2，A1B2C1，……，A3B3C3，共有33=27次试验。用图表示就是图1 立方体的27个节点。 这种试验法叫做全面试验法。 全面试验对各因子与指标间的关系剖析得比较清楚。但试 验次数太多。特别是当因子数目多，每个因子的水平数目也多 时。试验量大得惊人。如选六个因子，每个因子取五个水平时， 如欲做全面试验，则需56＝15625次试验，这实际上是不可能 实现的。如果应用正交实验法，只做25次试验就行了。而且在 某种意义上讲，这25次试验代表了15625次试验。 图1 全面试验法取点
正交试验方差分析(通俗易懂)
第十一章正接安排考查资料的圆好领会之阳早格格 创做 正在本质处事中，时常需要共时观察 3个或者3个以上的考查果素，若举止周到考查，则考查的规模将很大，往往果考查条件的节造而易于真施. 正接安排是安插多果素考查、觅供最劣火仄拉拢的一种下效用考查安排要领. 第一节、正接安排本理战要领 (一) 正接安排的基础观念 正接安排是利用正接表去安插多果素考查、领会考查截止的一种安排要领.它从多果素考查的局部火仄拉拢中选择部分有代表性的火仄拉拢举止考查，通过对付那部分考查截止的领会相识周到考查的情况，找出最劣火仄拉拢. 比圆，钻研氮、磷、钾肥施用量对付某小麦品种产量的效用： A果素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个火仄； B果素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个火仄； C果素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个火仄. 那是一个3果素每个果素3火仄的考查，各果素的火仄之间局部大概的拉拢有27种. 如果举止周到考查，不妨领会各果素的效力，接互效用，也可选出最劣火仄拉拢.
但是周到考查包罗的火仄拉拢数较多，处事量大，由于受考查场合、经费等节造而易于真施 . 如果考查的主要手段是觅供最劣火仄拉拢，则可利用正接安排去安插考查. 正接安排的基础个性是：用部分考查去代替周到考查，通过对付部分考查截止的领会，相识周到考查的情况. 正接考查是用部分考查去代替周到考查，它没有成能像周到考查那样对付各果素效力、接互效用一一领会；当接互效用存留时，有大概出现接互效用的混纯. 如对付于上述3果素每个果素3火仄考查，若没有思量接互效用，可利用正接表L9(34)安插，考查规划仅包罗9个火仄拉拢，便能反映考查规划包罗27个火仄拉拢的周到考查的情况，找出最佳的死产条件. 一、正接安排的基根源基本理 表11-1 33考查的周到考查规划 正接安排便是从周到考查面（火仄拉拢）中选择出有代表性的部分考查面（火仄拉拢）去举止考查.图1中标有‘9 ’个考查面，便是利用正接表L9(34)从27个考查面中选择出去的9个考查面.即： (1)A1B1C1 (2)A1B2C2 (3)A1B3C3 (4)A2B1C2 (5)A2B2C3 (6)A2B3C1 (7)A3B1C3 (8)A3B2C1 (9)A3B3C2
正交试验方差分析(通俗易懂)
第十一章正交设计试验资料的方差分析 在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。 正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。 第一节、正交设计原理和方法 (一) 正交设计的基本概念 正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。 例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响： A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平； B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平； C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。 这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。 如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。 但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。 如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。 正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。 正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。 如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。 一、正交设计的基本原理 表11-1 33试验的全面试验方案