圆切线及切线长定理
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切线长定理第24章圆切线的性质及判定
小题）一．选择题（共21D，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点?1．（2015衢州）如图，已知△ABC ，CE=4，则⊙O的半径是（）的切线交的⊙OBC于点E．若CD=5
4 3 ．C．A．DB ．
与为切点，POO的切线，A枣庄校级模拟）如图，P是⊙O外一点，PA2．（2015?是⊙，则∠C 的度数为（上一点，连接CA，CB），⊙O相交于B点，已知∠P=28°C为⊙O
28°62°31°56°A．B．C．D．
3．（2015?河西区一模）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为（）
40°50°55°60°A．B．C ．D．
4．（2015?杭州模拟）如图，在△ABC中，∠BCA=60°，∠A=45°，AC=2，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点M，N，则线段MN长度的最小值是（）
3．DCA．B．．22
经过圆心．若为切点，BC的切线，的弦，OAC是⊙OA是⊙天津）如图，2014．5（?AB 的大小等于（，则∠B=25∠°C）1 / 4
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°50°40°20°25 ．．D ．B．CAAC⊥，DEO交BC的中点于D6．（2015?临淄区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，⊙，则下列结论：，连接AD于E）DE是⊙O的切线，
正确的个数是（EDA=∠B；③OA=AC；④②①AD⊥BC；∠
4个D．个C．3 个A．1 个B．2交的延长线上，弦CD的直径，点P在BA（2015?杭州模拟）已知：如图，AB是⊙O7．、交圆与GGF⊥BC，∠P=∠D，过E作弦AB于E，连接
OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC ．则下列结论：BG两点，连接CF、F．则其中正BG弦CF的弦心距等于③OD∥GF；④①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；）确的是（
②③④①③④①②③①②④．D．C ．．AB）圆周角的度数（2永川区期末）有下列结论：?（1）平分弦的直径垂直于弦；8．（2013秋）（5）等弧所对的圆周角相等；（4）经过三点一定可以作一个圆；等于圆心角的一半；（3）垂直于半径的直线是（6三角形的外心到三边的距
离相等；
圆的切线．）其中正确的个数为（
4个3个D．2．1个B．个C．A
上任意一点，为CD交于O，Q中，对角线．（2012?武汉模拟）正方形ABCDAC、BD9 ．下列
结论：、QN于交BCN，连AN⊥，过交AQBD于MM作MNAM为圆心，以A是以；=；AQN ③SS④QN∠∠；①MA=MN②AQD=AQN△ABNQD五边形为半径的圆的切线．AB 其中正确的结论有（）2 / 4
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①②③④有①②．只有②③④D．只CA．B．只有①③④
的1cm滦平县二模）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=30°，半径为．10（2015?BAO 的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s向的速度沿由⊙P的圆心在射线OA上，且与点相切．的方向
移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD
8 4 8 4或6 D ．4或A．B．C．，于CB、CE分别切圆OBCD11．（2011?台湾）如图中，CA，分别切圆O于A，D两点，21 CD、CE的长度，下列关系何者正确（）E两点．若∠1=60°，
∠2=65°，判断AB、
B=CD=CE A ．＞CE D＞．AB=CE＞CD C．ABCD＞A．ABCE＞CD B为半圆上O为直径作半圆，P12．（2011秋?青山区校级期中）已知：如图，以定线段AB，连、CB，过点P作半圆O的切线分别交过A、两点的切线于D）任意一点（异于A、B ．下列结论：分别交CDBC 与BP于点M、N、接OCBP，过点O作OM∥
?①S=ABCD；ABCD四边形②AD=AB；③AD=ON；OD三点的圆的切线．、C、④AB为过）其
中正确的个数有（
．．3个D 4个．1 A．个B 2个C为切点，若A，BO是⊙外切于和⊙13．已知⊙OOM，ABO和⊙的外公切线，2211到，MA=4cmMB=3cm，则MAB的距离是（）
C BA ．．．．
D cm cm
cm cm
3 / 4
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14．（2014?齐齐哈尔一模）如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE
的面积（）
12 24 8 6 A．B．C．D．
15．（2011秋?武汉校级期中）如图，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边
BC、CD、DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长（）
B．等于5
C．等于．A等4 于6 D．不能确定
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初三数学.圆中三大切线定理.学生版
中考内容 中考要求 A B C 圆的有关概念 理解圆及其有关概念 会过不在同一直线上的三 点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题 圆的性质 知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系 能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题 能运用圆的性质解决有关问题 圆周角 了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角 会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题 能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题 垂径定理 会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论 能用垂径定理解决有关问题 点与圆的位置关系 了解点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念 能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题 能解决与切线有关的问题 圆与圆的位置关系 了解圆与圆的位置关系 能利用圆与圆的位置关系解决简单问题 弧长 会计算弧长 能利用弧长解决有关问题 扇形 会计算扇形面积 能利用扇形面积解决有关问题 圆锥的侧面积和全面积 会求圆锥的侧面积和全面积 能解决与圆锥有关的简单实际问题 中考内容与要求 暑期班第六讲秋季班第六讲 秋季班第八讲 圆中三大切线定理
圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。 要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。 年份2011年2012年2013年 题号20，25 8，20，25 8，20，25 分值13分17分17分 考点 圆的有关证明，计 算（圆周角定理、 切线、等腰三角形、 相似、解直角三角 形）；直线与圆的 位置关系 圆的基本性质，圆 的切线证明，圆同 相似和三角函数的 结合；直线与圆的 位置关系 圆中的动点函数图 像，圆的基本性质 (垂径定理、圆周角 定理)，圆同相似和 三角函数的结合； 直线与圆的位置关 系 中考考点分析 知识互联网 题型一：切线的性质定理
圆的切线性质定理#
圆的切线的判定与性质 【知识点精析】 1. 直线与圆有三种位置关系，其中直线与圆只有唯一的公共点，叫直线与圆相切，这个公共点叫切点。这条直线叫圆的切线。 2. 圆的切线的判定与性质： （1）判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 判定一条直线是圆的切线需要满足以下两个条件：①经过半径外端②垂直于半径 （2）圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。 注意：应用圆的切线性质时，需指出切线和切点，才可推出垂直的结论。 例如：已知如图，PO是∠APB的平分线，以O为圆心的圆与PA相切于点C。 3. 切线长定理： （1）切线长定义：从圆外一点向圆作切线，这点与切点的线段长叫切线长。 圆外一点向圆只能做两条切线，因此有两条切线长。 （2）切线长性质 从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，并且这点与圆心的连线平分两条切线所夹的角。 例如：从圆外一点引圆的两条切线，若两切线的夹角为60°，两切点的距离为12求圆半径 （3）三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆 三角形外接圆的圆心叫三角形的外心 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形的外心是三角形三边中垂线的交点 三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆 三角形内切圆的圆心叫三角形的内心 三角形的内心到三角形三边的距离相等 三角形的内心是三角形三角平分线的交点 【解题方法指导】 一切线长定理的计算 例1. 已知如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，点C在AC上，CD为⊙O直径，⊙O切AB于E，若BC=5，AC=12，求⊙O的半径 B C 2 在△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，AC=3，则内切圆半径为____________。 二等腰三角形在证明切线中的巧用 例3、如图7-53，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点切线互相垂直，垂足为D． word.
圆中三大切线定理
14 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版 围田地 漫画释义 满分晋级阶梯 圆7级 期末复习之圆中的 重要结论及应用 圆6级 期末复习之圆的综合 圆5级 圆中三大切线定理 2 圆中三大切线定理
中考内容与要求 中考考点分析 圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考 15
16 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版 查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。 要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。 年份 2011年 2012年 2013年 题号 20，25 8，20，25 8，20，25 分值 13分 17分 17分 考点 圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系 圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系 圆中的动点函数图像，圆的基本性质(垂径定理、圆周角定理)，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系 知识互联网 题型一：切线的性质定理
17 题目中已知圆的切线，可以“连半径，标直角”，然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐角三角函数解决问题。 【例1】 如图，在△ABC 中，BC AB =，以AC 为直径的⊙0与BC 边 交于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE ，交AB 于点E ，若 DE ⊥AB ．求证：BE AE 3=． 判定切线共有三种方法：定义法、距离法和定理法，其中常用的是距离法和定理法，可以总结为六字口诀，定理法是“连半径，证垂直”，距离法是“作垂直，证半径”，定理法的使用频率最高，必须熟练掌握。 【例2】 如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过O 作OE ⊥AC 于点E ，过点A 作⊙O 的切线 交OE 的延长线于点F ， 典题精练 思路导航 典题精练 思路导航 题型二：切线的判定定理 E O D C B A
直线与圆(切线三大定理)
日月桃李文化教育教案 学生： 郭曼 年级： 9 科目：数学 地点：中海 时间：2013 年 3 月 9 日 星期 日 形式：单独 老师： 王丽君 教学内容：直线与圆的位置关系（三大切线定理） 课时安排： 2 学时 【知识要点】（按点列出） 圆心角和圆周角、弦长、弧长的关系 【教学过程】：【复习、新授、训练（例题与训练中的基础、拓展、综合、链接部分必与知识点紧密联系）、小结、作业）】 知识点1、直线和圆的三种位置关系： 知识点2、切线的判定和性质： 1、 判定：（1）当圆心到直线的距离d 等于半径r 时，直线是圆的切线； （2）经过半径外端垂直于的半径的直线，是圆的切线。 2、性质：如果一条直线与圆相切，另一条满足：（1）过圆心，（2）切点，（3）垂直于半径．其中任意两个条件，则必满足第三个条件。 知识点3、弦切角定理：弦切角等于所夹弧对的圆周角。 知识点4、切线长定理：从圆外一点向圆所引的两条切线段长相等； 知识点5、圆幂定理： （1）PA ·PB=PC ·PD （2）PT 2=PA ·PB=PC ·PD 知识点6、圆与三角形： （1）1902BIC A ∠=+ ∠o ，()1 2 S a b c r =++ （2） ()1 2 r a b c =+- 注意：(1)“连半径证垂直得切线”。“作垂直证半径得切线”。 (2) 见切线要想到它垂直于过切点的半径；若过切点有垂线则必过圆心；过切点有弦，则想到弦切角定理，想到圆心角、圆周角性质，可再联想同圆或等圆弧弦弦心距等的性质应用。 （3）任意三角形有且只有一个内切圆，圆心为这个三角形内角平分线的交点。 知识点7:、圆与四边形 四边形对角互补 二、典例精讲 考点1、切线的性质和判定 例1、（1）如图，已知，△ABC 中，AB=AC ，以BC 的 中点O 为圆心的圆切AB 于D 。求证：⊙O 与AC 也相切 d
武汉第2讲 圆中的三大切线定理
第2讲圆中的三大切线定理 板块一：切线性质定理 1、直线与圆有且仅有一个交点，该直线为圆的一条切线，连接圆心和切点，R⊥切线 【引】（2013武汉四调）在⊙O中，AB为直径，PC为弦，且PA＝PC （1）如图1，求证：OP∥BC （2）如图2，DE切⊙O于点C，DE∥AB，求tan∠A的值。
【变】（求边）⊙O中，半径OA⊥OE，弦AB交OE于D，过B作⊙O的切线，交OE的延长线于C，OA=3，BC=4，则AD？ 【变】（求角）直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O 上，且∠OBA=40°，求∠ADC？ 【练】⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB为⊙O于点B，求PB的最小值？
2、切线长定理 【例】EB、ED分别切⊙O于B、D，∠E=90°，延长BO交⊙O于A，点C为⊙O 上一点，且∠CAB=15°，若DE=2，求CD？ 3、切线长定理的一些结论 【练】PA、PB切⊙O于点A、B两点，C为AB上的一点，已知∠BPA=50°，求∠ACB？
【变】△ABC中，∠C=90°，BC=5，⊙O与△ABC的三边都相切，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长是多少？ 2，求⊙O的半【变】⊙O为△ABC内切圆，若∠BAC=60°，AB +AC﹣BC=3 径？
【拓】⊙1O 和⊙2O 为Rt △ABC 内切圆，∠C=90°，AC=4，BC=3，求⊙1O 的半径？ 板块二：切线的证明与计算（※中考必考题型※） 题型一：知圆上点，连半径，证垂直（※中考主流考察方式※） 【例】已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过点C 作CD ⊥PA ，垂足为点D （1）求证：CD 为⊙O 的切线。 （2）若DC+DA=6，⊙O 的直径为10，求AB ？
中考数学专题练习圆的切线长定理(含解析)
2019 中考数学专题练习-圆的 切线长定理（含解析） 、单选题 1.如图，△ ABC是一张周长为17cm 的三角形的纸片，BC=5cm ，△O是它的内切圆，小明准备用剪刀在△O的右侧沿着与△O相切的任意一条直线MN 剪下△ AMN，则剪下的三角形的 变化 2.下列说法正确的是（） A.过任意一点总可以作圆的两条切线 C. 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等大于圆的 半径 3.如图，PA，PB 切△O于A，B 两点， CD 切△O于点E，交PA，PB 于C，D．若△O 56 周长为（ A. 12cm C. 6cm D. 随直线MN 的变化而 径为1，△ PCD的周长等于2 ，则线段AB 的长是（） ABCD 的四条边都相切,且AB=16,CD=10, 则四边形ABCD 的周长为() B. 52 C. 54 D. B. 圆的切线长就是圆的切线的长度 D. 过圆外一点所画的圆的切线长一 的半
5.如图，PA，PB，CD 与△O相切于点为A，B，E，若PA=7，则△ PCD的周长为（）
A.8 B. 18 C. 16 D. 14 7. 如图，四边形 ABCD 中，AD 平行 BC ，△ ABC=90°，AD=2 ，AB=6 ，以 AB 为直径的半 △O 切 CD 于点 E ，F 为弧 BE 上一动点， 过 F 点的直线 MN 为半 △O 的切线， MN 交 BC 于 M ， 8. 圆外切等腰梯 形的一腰长是 8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 9. 如图， △ ABC 是一张三角形的纸片， △O 是它的内切圆，点 D 是其中的一个切点，已知 AD=10cm ， 小明准备用剪刀沿着与 △O 相切的任意一条直线 MN 剪下一块三角形 （△ AMN ），则剪下的 △AMN 的周长为（ ） A. 7 D. 10 B. 14 C. 10.5 交 CD 于 N ，则 △ MCN 的周长为（ A. 9 B. 10 C. 3 D. 2 6.如图， 的周长是
三 圆的切线的性质及判定定理
三 圆的切线的性质及判定定理 学习目标: (1) 理解切线的性质定理,判定定理及两个推论,能应用定理及推论解决相关的几何问题 (2) 能归纳并正确表述由圆的切线性质定理和两个推论整合而成的定理 重点:理解圆的切线的性质及判定定理,能应用定理解决相关的几何问题 教学过程: 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .,;,;,.,称直线与圆相离直线与圆没有公共点称直线与圆相切 公共点直线与圆只有一个称直线与圆相交直线与圆有两个公共点 刻画的数共点个这是从直线与圆的公和相离三种位置关系直线与圆有相交、相切我们知道，..切时有什么性质我们先看当直线与圆相相切的情形本节专门讨论直线与圆?.,.,,112是否一定垂直呢半径与那么观察、测量图形可发现为切点的切线是圆直线如图OA l OA l A O l ⊥-.,.,,.,"",,,一定垂直与因此的切线相矛盾是圆这与相交就应与圆于是的距离小于圆的半径这就是说圆心到直线可得性质垂线段最短根据垂足为可作那么过点不垂直与假设OA l O l O l l OM OA M l OM O OA l > ⊥112-图:.,;,由此得到圆心切线的直线也一定经过 过切点且垂直于反之一定过切点圆心垂直于切线的直线 所以经过线垂直线与已知直只有一条直过一点因为经.理的逆命题来得到判定定下面通过考察性质定理由此可得是圆的切线因此共点知圆与直线只有一个公的任意性由点在圆外点因此的斜边是而是直角三角形这是因为都有的点上任取异于点在直线的公共点且与直线是圆点如图.,,.,.,,,.,112l B B OBA Rt OB OBA OA OB B A l OA l l O A ??>⊥- 11 2-图. :. ,,,1221的切线是圆求证的中点过圆的直径是圆如图例O DE AC DE D BC O O AB ⊥- 12 2-图
关于圆的切线的各种定理
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 几何语言：∵l ⊥OA，点A在⊙O上 ∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理） 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A ∴l ⊥OA（切线性质定理） 推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 几何语言：∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点 ∴PA=PB，∠APO=∠BPO（切线长定理） 证明：连结OA、OB ∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点 ∴OA⊥AP、OB⊥PB ∴∠OAP=∠OBP=90°
在△OPA和△OPB中： ∠OAP=∠OBP OP=OP OA=OB=r ∴△OPA≌△OPB（HL） ∴PA=PB，∠APO=∠BPO 弦切角概念 顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点； （2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线； （3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线。它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可（4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角．正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质． 弦切角定理 弦切角（即图中∠ACD)等于它所夹的弧(弧AC)对的圆周角等于所夹的弧的读数的一半等于1/2所夹的弧的圆心角[注，由于网上找得的图不是很完整，图中没有连结OC] 几何语言：∵∠ACD所夹的是弧AC ∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数(弦切角定理） 推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等几何语言：∵∠1所夹的是弧MN ，∠2所夹的是PQ ，弧MN =弧PQ ∴∠1=∠2 证明：作AD⊥EC ∵∠ADC=90° ∴∠ACD+∠CAD=90° ∵ED与⊙O切于点C ∴OC⊥ED
圆的切线定理及性质定
A 课题：圆的切线定理及性质定理 班级：九年级 时间： 教学目标：1、理解切线的判定定理及性质定理； 2、熟练运用切线的判定定理及性质定理解决一些实际问题。 教学重点：切线的判定定理及性质定理。 教学难点：切线的判定定理。 教学方法：采用“问题探究”的教学方法课型：新授课 教学过程： 一、复习提问： 直线和圆有哪几种位置关系？如何判断直线和圆的位置关系？ 直线和圆有三种位置关系：相交、相切、相离。 量化关系表示：设⊙O的半径为ｒ，直线ｌ到圆心Ｏ的距离为ｄ，则有 （1）ｄ＜ｒ?直线ｌ和⊙O相交； （２）ｄ＝ｒ?直线ｌ和⊙O相切； （３）ｄ＜ｒ?直线ｌ和⊙O相离． 图示如下: 二、探究新知： 本节课我们重点关注直线和圆相切这种位置关系。 1、思考：在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线 l 的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？ 因为ｄ＝ｒ?直线ｌ和⊙O相切，d就是圆心 O到直线l的距离，即垂直。并由ｄ＝ｒ可得 到l经过半径的外端点，即半径OA的A点。 因此可得到切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线。 2、讲解例题： 根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是⊙O的切线，你应如何证明？ 点评：分两步（1）说明这个点是圆上的点； （2）过这点的半径垂直于直线。 例如图直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB 是⊙O的切线。 分析：直线AB经过⊙O上的点C已经满足第 （1）点，只要再证明直线AB垂直于过点C 的半径即可。作辅助线：连接OC
C A l 2l 1 B A O O B A T 证明：连结O C ，∵OA=OB ，CA=CB ∴△OAB 是等腰在角形 OC 是底边上的中线 ∴OC ⊥AB ∴AB 是⊙O 的切线。 3、思考问题：如图，如果直线l 是⊙O 的 切线，切点为A ，那么半径OA 与直线l 是不是一定垂直呢？ 点评：由于l 是⊙O 的切线，圆心O 到l 的距离等 于半径，OA 是圆到直线l 的距离所以OA ⊥l. 由此得出圆的切线性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。 三、课堂练习：（一）判断下列命题是否正确：(1)经过半径外端的直线是圆的切线．(2)垂直于半径的直线 是圆的切线．(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。 （采取提问学生的形式进行，并要求说明理由） （二）P ９６页练习１、如图，ＡＢ是⊙O 的直径，∠ＡＢＴ＝４５o ， ＡＴ＝ＡＢ。 求证：ＡＴ是⊙O 的切线。 ２、如图，ＡＢ是⊙O 的直径，直线ｌ１、ｌ２是 ⊙O 的切线，Ａ、Ｂ是切 点，ｌ１、ｌ２有怎样的位置关系？证明你的结论。 （第１题图） （第２题图） 四、小结：本节课应掌握 1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 五、作业布置：P101—P102 习题24.2第4、5题 六、板书设计：（略） l A
圆的切线性质定理有哪些应用
圆的切线性质定理有哪些应用 圆的切线性质定理是“圆的切线垂直于过切点的半径”及其推论“经过圆心(或切点)且垂直于切线的直线必经过切点(或圆心)”. 于是，切线具有如下性质： (1) 切线与圆只有一个公共点； (2) 切线与圆心的距离等于圆的半径； (3) 切线垂直于过切点的半径； (4) 经过圆心垂直于切线的直线必过切点； (5) 经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 从上述5条性质知道：性质(1)是切线的定义；性质(2)是切线判定方法的逆定理；性质⑶、(4)、(5)是切线性质定理及其推论，其中性质(2)、(3)应用较多. 在应用切线性质定理时，如果只有切线，没有半径，要添加辅助线一一就是连接过切点 的半径，则此半径必垂直于切线. 应用切线的性质能解决几何计算与证明中的有关问题. (1) 利用切线性质计算线段的长度 例1:如图，已知：AB是O O的直径，P为延长线上的一点，PC切O O于C, CD±AB于D,又PC=4, O O的半径为3.求：OD的长. 解：连接OC ?/ PC是O O的切线， ??? OCL PC, ???△ OPC为直角三角形. ?/ PC=4 r=3 , ? OP=5 又OC=OD? OP 即卩 5 ? OD=9
9 .\OD = -. 说明：遇到切点，连半径是圆中常用添线的方法.
(2) 利用切线性质计算角的度数 例2 :如图，已知：AB是O O的直径，CD切O 0于C, AEL CD于E, BC的延长线与AE 的延 长线交于F,且AF=BF.求：/ A的度数. 解：连接OC,T CD是O 0的切线，??? OC L CD.又AF L CD,「. AF// 0C,「./ A=Z BOC而OC=OB ???/ OCB2 B,「. AF=BF A=Z B,「./ BOC K B=Z OCB B=60°,则/ A=60° (3) 利用切线性质证明角相等 例3:如图，已知：AB为O O的直径，过A作弦AC AD,并延长与过B的切线交于M N.求证：/ MCN K MDN 证明：连接BD CD. T MN是O O的切线，? AB丄MN又AB是O O的直径，ADB=90 , ???在Rt △ ABN中，BD L AN于 D. ???/ N=Z ABD=/ ACD ? C M N、D四点共圆，则/ MCN/ MDN 说明：禾U用四点共圆，也是证明两角相等的方法之一. ⑷利用切线性质证线段相等 例4:如图，已知：AB是O O直径，CC L AB CD切O O于D, AD交CO于E.求证：CD=CE
圆的切线长定理习题
11．（2007?大连）如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（） A．130°B．120°C．110°D．100° 12．（2007?越秀区一模）如图，PA、PB、DE分别切⊙O 于A、B、C点，若圆O的半径为6，OP=10，则△PDE的周长为（） A．10 B．12 C．16 D．20 13．（2005?杭州）如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（） A．50 B．52 C．54 D．56 14．（2005?北京）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B．如果OP=4，PA=2 3 ，那么∠AOB等于（） A．90°B．100°C．110°D．120° 15．（2004?云南）如图，若△ABC的三边长分 别为AB=9，BC=5，CA=6，△ABC的内切圆⊙O切AB、BC、AC于D、E、F，则AF 的长为（）
A．5 B．10 C．D．4 16．（2003?武汉）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD、CB 为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC=FE；④CE?FB=AB?CF．其 中正确的只有（） A．①②B．②③④C．①③④D．①②④ 17．（2002?南昌）如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B， OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是（） A．∠1=∠2 B．PA=PB C．AB⊥OP D．PA2=PC?PO ☆☆☆☆☆ 18．（2001?嘉兴）已知⊙O的半径是4，P是⊙O外的一点，且PO=8，从点P引 19． （2000?吉林）如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若AD∥BC， 那么∠DOC的度数为（） A．70°B．90°C．60°D．45°
2019中考数学专题练习-圆的切线长定理(含解析)
2019中考数学专题练习-圆的切线长定理（含解析） 一、单选题 1.如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的 周长为（） A. 12cm B. 7cm C. 6cm D. 随直线MN的变化而变化 2.下列说法正确的是( ) A. 过任意一点总可以作圆的两条切线 B. 圆的切线长就是圆的切线的长度 C. 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D. 过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径 3.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径 为1，△PCD的周长等于2 ，则线段AB的长是（） A. B. 3 C. 2 D. 3 4.如图,圆和四边形ABCD的四条边都相切,且AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长为( ) A. 50 B. 52 C. 54 D. 56 5.如图，PA，PB，CD与⊙O相切于点为A，B，E，若PA=7，则△PCD的周长为（） A. 7 B. 14 C. 10.5 D. 10 6.如图，PA,PB切⊙O于点A,B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA,PB于C,D两点，则△PCD的
周长是（） A.8 B.18 C.16 D.14 7.如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD 于N，则△MCN的周长为（） A. 9 B. 10 C. 3 D. 2 8.圆外切等腰梯形的一腰长是8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 9.如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm ，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（） A. 20cm B. 15cm C. 10cm D. 随直线MN的变化而变化 二、填空题 10.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于________． 11.PA、PB分别切⊙O于点A、B，若PA=3cm，那么PB=________cm． 12.如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．