江苏省泰州市第二中学2020-2021学年高二上学期三校联考12月第二次月考数学试题 含答案

江苏省泰州市第二中学2020至2021学年秋学期高二年级三

校联考12月第二次月考

数 学 试 卷

(2020年12月17日)

一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1. 命题“x x x ≥>?sin ,0”的否定是 ( )

A ． x x x ≤

B ．x x x <>?sin ,0

C ． x x x <>?sin ,0

D ． x x x <≤?sin ,0 2. 如果,1:,1:2

>-

A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3. 抛物线2

4

1x y =

的焦点坐标是( ) A ． )0,1(

B ．)(10，

C ．) ??081

，

D ．

????

?161,0 4. 如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于( )

A ．111

333OA OB OC ++

B ．111

234OA OB OC ++

C. 111

446OA OB OC ++

D ．111244

OA OB OC ++

5. “中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中

“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2020这2020个数中，能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则该数列共有 ( )． A ．335项 B ．336项 C ．337项 D ．338项 6. 已知向量),,6,7(),3,2,1(),3,1,2(λ=-=-=c b a 若c b a ,,三向量共面，则λ的值为( ) A ．9

B ．-9

C ．-3

D ．3

7. 正数b a ,满足,1=+b a 若不等式

m x x b

a +++≥+344

12对+∈-∈?R b a x ,]0,3[，恒成立，则实数m 的取值范围是 ( ) A. [

)3,+∞ B. (]3,-∞ C. (],6-∞ D. [)6,+∞

8． 如图，设1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与椭圆在第一象

限内的一个交点，延长2PF 与椭圆交于点Q ，若124PF QF =，则椭圆的离心率为( )

A.35

B.

2

1

C.3

3

D.

2

2

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对得2分)

9． 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来

英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远。若实数0a b >>，则下列不等式一定成立的是 ( )

A. ab a -<2

B. b a <

C. b a 11>

D. b

a ??

? ??

10. 已知等差数列{}n a 是递减数列，且满足,357a a ={}n a 的前n 项和为,n S 下列选项中正

确的是 ( ) A. 0

B. 01>a

C. 当5=n 时，n S 最大

D.0

11. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的渐近线方程为3

y x =±，

右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点，则下列结论一定成立的是 ( ) A.b =3 B.离心率为23

C.60MAN ∠=?

D.准线方程为2

3±

=x 12. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，π

,22,3DAB AB AD PD PD ∠===⊥

底面ABCD ，则下列结论正确的是 ( ) A. BD PA ⊥

B. PB 与平面ABCD 所成的角为

3

π

C. 异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为5

5

2 D. 二面角C PB A --的余弦值为7

7

2

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13. 若x 、y R ∈且满足43=-y x ，则2271

3++

y

x 的最小值是 . 14. 2020年新冠疫情爆发肆虐期间，江苏某定点医院每天因患疑似新冠肺炎而入院进行核酸

检测的人数依次构成数列{}n a ，其前n 项的和为n S 满足

82-=n n a S ，*∈N n ，则该医院在前3 天内因患疑似新

冠肺炎核酸检测就诊的总人数共 人，数列{}n a 的通项公式为

15. 过抛物线)0(22

>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于

B A ,两点，交其准线l 于点

C .若FA CF 2=，且,

8=AF 则线段AB 的长为

16. 关于x 的不等式0124)104()2(2

>-+-+-a x a x a 的解集中至多包含两个整数,则实

数a 的取值范围是

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)

已知命题p ：方程

1242

2=-++a

y a x 表示焦点在x 轴上的椭圆是真命题． (1)求实数a 的取值范围；

(2)若q ：实数x 满足0)2)((<--a x a x ，其中0>a ，q 是p 的充分不必要条件，求

实数a 的取值范围．

18. (本题满分12分)

已知双曲线C 的标准方程为22136

y x -=,12,F F 分别为双曲线C 的左、右焦点. (1)若点P 在双曲线的右支上,且12F PF ?的面积为6,求点P 的坐标；

(2)若斜率为1且经过右焦点2F 的直线l 与双曲线交于,M N 两点,求线段MN 的长度.

19．(本小题满分12分)

近几年，我国在新能源汽车领域有了长足的发展，新能源车的核心技术是动力总成，而新能源汽车的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平。某公司今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比前一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元。

(1)引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？ (2)引进该生产线几年后平均盈利最多，最多是多少万元？

20. (本小题满分12分)

设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知满足______， (1)求公比q 以及a 12+a 22+…+a n 2． (2)设数列{}n b 满足1

1(

)n n n n

a b n a -+=，n N *∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 从①,9,1361S S a ==①1,14332-=-=a S a S ①,4,32,043521-=+-=>a a a a a 这三组条件中任选一组，补充到上面问题中，并完成解答．

21．(本小题满分12分)

如图，在几何体ABCD EFGH -中，HD ⊥底面ABCD ，//HD FB ，//AB DC ，

AD DC ⊥，1AB =，2DC =，45BCD ∠=?，2HD =，1FB =，设点M 在棱DC 上，已知AM ⊥平面FBDH ．

(1)求线段DM 的长度；

(2)求直线MF 和平面AHM 所成角. (3)求二面角H AM D --的余弦值.

22．(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的焦距与短轴长相等，

且过焦点垂直于x 轴的弦长为22. (1)求椭圆C 的标准方程；

(2) 过点(2,0)M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P 为直线42x =上(不在x

轴上)的一动点.

①|A B|=410

3

,求直线AB 的方程；

①设直线P A, PB, PM 的斜率分别为123,,,k k k 试探究 : 是否存在常数,λ∈R 使得 123k k k λ+= 恒成立?若存在，求出

λ 的值 ；若不存在 ，请说明理由.

江苏省泰州市第二中学2020至2021学年秋学期高二年级三

校联考12月第二次月考

数学试卷答案

1.C

2.A

3.B

4.D

5.C

6. B

7.C

8. A

9. CD 10.ABD 11.BC 12.A C

13.20 14. 56 *

+∈=N n a n n ,22

15.12 16.]3

4

,(-∞

17. (1)2

1<<-a ； (2)

1

0≤

18. (1)

)

2,5(±P ； (2)

3

8

19. ,10,204)10(42

=+--=n n y 最大盈利为204万元

(2),7,80)196

4()(=++

-=n n

n x f 平均盈利最多，最多是24万元 20. (1)【解答】解：若选①，

，即q 3＝8，故q ＝2．

因为

是以

为首项，q 2为公比的等比数列，所以

．

若选①，S 2＝a 3﹣1(*)，S 3＝a 4﹣1(**)

令(**)式减(*)式，得a 3＝a 4﹣a 3，即a 4＝2a 3，故q ＝2． 则(*)式中，a 1+a 2＝a 3﹣1，即a 1+2a 1＝4a 1﹣1，即a 1＝1． 因为

是以

为首项，q 2为公比的等比数列，所以

．

若选①，则有a 2a 5＝a 3a 4＝﹣32，故有a 3a 4＝﹣32，a 3+a 4＝﹣4，解得a 3＝4，a 4＝﹣8，或a 3＝﹣8，a 4＝4，即q ＝﹣2或．

因为

是以

为首项，q 2为公比的等比数列，

若q ＝﹣2，a 1＝1，此时；

或

，a 1＝﹣32，不符合题设． ......................................................6分

(2)因为数列{a n }是公比为2的等比数列，

所以a n ＋1a n

＝2，因此b n ＝n ×2n －

1．

所以T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1， 则2T n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ， 两式相减得－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n

＝1－2n 1－2

－n ×2n ＝(1－n )2n －1， 所以T n ＝(n －1)2n ＋1． ......................................................12分

21．解：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，

建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，

由//AB DC ，AD DC ⊥，1AB =，2DC =，45BCD ∠=?，易知1AD =． 则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，()0,0,2H ，()1,1,1F ， (1)设()0,,0M t ，因为AM ⊥平面FBDH ，所以AM BD ⊥，

()1,,0AM t =-，()1,1,0BD =--．

10AM BD t ?=-=，解得1t =，所以线段DM 的长度为1．

(2)设()1,,n x y z =是平面HAM 的一个法向量，()1,0,2AH =-，()1,0,1MF =，

则110

0200

n AM x y x z n AH ??=-+=?????-+=?=???，可取()12,2,1n =，

],

,0[22

2

33

π=?=

直线MF 和平面AHM 所成角为.4

π

.

(3)3

1 22. (1)14

82

2=+y x

所以直线AB 的方程为).2(-±=x y