常微分方程选择题及答案.doc

湖北师范学院优质课程

《常微分方程》

试题库及试题解答

课程负责人：李必文

数学系

2005年 3月 18日

选择题（每小题 4 分）

1、下列方程中为常微分方程的是（）

(A) x2 - 2x 1 0 (B) y' xy2

(C) u 2u 2u (D) y x2 c (c为常数）

t x2 y2

2、下列微分方程是线性的是（）

(A)y ' x2 y2 (B) y" y2 e x (C) y" x2 0 (D) y'- y xy 2

3、方程y " 3y ' 2 y x2e-2 x特解的形状为( )

(A) y1 ax2ey-2 x (B) y1 (ax2 bx c)e-2 x

(C) y1 x2 ( ax2 bx c)e-2 x (D) y1 x2 (ax2 bx c)e-2x

4、下列函数组在定义域内线性无关的是（）

(A)4, x (B)x,2 x, x2 (C)5,cos 2 x,sin 2 x (D) 1,2, x, x 2

5、微分方程xdy - ydx y2 e y dy 的通解是( )

(A) x y(c - e y ) (B) x y(e y c) (C) y x(e x c)

(D) y x(c - e y )

6、下列方程中为常微分方程的是（）

(A) t2 dt xdx 0 (B) sin x 1

(C) y x 1 c (c 为常数）

2u 2u (D)

2

y2

x

7、下列微分方程是线性的是（）

(A)y' 1 y2(B)dy1

(C)y '2by cx(D)

dx 1 xy

y ' xy40

8、方程y "- 2 y ' 2y e x (x cos x 2sin x) 特解的形状为( )

(A) y1 e x[( Ax B)cos x C sin x] (B) y1 e x [ Ax cos x C sin x]

(C) y1 e x[( Ax B) cosx ( Cx D ) sin x]

(D) y1 xe x[( Ax B) cos x (Cx D ) sin x]

9、下列函数组在定义域内线性无关的是（）

(A) 1, x, x3(B)2x2 , x, x2

(C) 1,sin2x,cos2 x(D)5,sin 2 (x 1),cos2 (x1)

10、微分方程ydx - xdy y2exdx 的通解是( )

(A) y x(e x c) (B) x y( e x c) (C) x y(c - e x)

(D)

y

( x - ) x e c

11、下列方程中为常微分方程的是（）

(A) x2 y2 -1 0 (B) y ' x2

y

(C) 2

u 2 u 2u (D) x y2 c (c为常数）

2

x2 y2

12、下列微分方程是线性的是（）

2

(C)y =y3 +sin x (D)y +y=y2cos x

(A)(B) y +6 y =1

13、方程y+y=2sin x特解的形状为( )

(A) y 1

x( A cos x B sin x)

(B)

(C)

(D)

14、下列函数组在定义域内线性无关的是（

）

(A) 0,1, t (B)

e t ， 2e t ,e -t

(C) (D)

15、微分方程 ydx-xdy=x 2e x dx 的通解是 ( )

(A) y=x(c+e x ) (B) x=y(c+e x )

(C)

x=y(c-e x )

(D)

y=x(c-e x )

16、下列方程中为常微分方程的是（

）

(A) x 2

+y 2

-z 2=0

(B) y ce x

u

u (D)

y=c cost+c sint (c ,c 为常数）

(C)

1

2

t

x

1

2

17、下列微分方程是线性的是（ ）

3

2

y +(1/3) y

(A) x (t ) -x=f(t) (B) y +y=cos x (C) x + y = y

(D)

=y 4

-x cos x 特解的形状为 (

)

18、方程 y -2 y +3y =e

(A) y 1 Acosx B sin x (B) y 1 Ae x (C) y 1

e x ( Acos x B sin x)

(D)

y 1 Axe x cosx

19、下列函数组在定义域内线性无关的是（

）

(A)

e t ,e 2t ,e 3t

(B)

0,t ,t 2

(C) 1 sin 2

(

t 1),cos( 2 2)

(D) 4-t,2t-3,6t+8

， t

20、微分方程 xdx-ydy=y 2e y dy 的通解是 ( )

(A) x=y(e

y

+ c) (B) x=y(c-e

y

) (C) y=x(e

x

+c) (D) y=x(c-e y )

21、下列方程中为常微分方程的是（ ）

(A)

3

1

(B)

y ce x

u u (D)

x + =0

(C)

x

t

y 2y'

e x

22、下列微分方程是线性的是（

）

(A) y

+y 2=1+x

(B)

y' 2 +y=cosx

(C)

y

- 2y=2x

2

(D)

xdx+ydy=0

23、方程 y

y 9 y 16

e 3x

)

6 '

特解的形状为 (

(A) y 1 Ae 3x

(B) y 1 Ax 2 e 3x

(C)

y 1 Axe 3x

(D)

y 1 e 3x ( A sin 3x B cos3x)

24、下列函数组在定义域内线性无关的是（

）

xx

2 e x

2

2

(C) 1,2, x

2

0,e 5x

4 x 2

(A) e , xe , x (B)2,cosx, cos x (D)

x, e x

25、微分方程 ydx-xdy=2x 2e x dx 的通解是 ( )

(A) y=x(c-2e x )

(B) x=y(c+2e x ) (C)

x=y(c-2e x )

(D)

y=x(c+2e x )

26、微分方程

dy

y tg y

的通解为（

）

dx

x x

(A)

1

cx

(B) sin

y

=x +c

(C) sin

y

=c x

(D) sin

x

=c x

y

x

x

y

sin

x

27、微分方程 2y y =( y ) 2

的通解（）

(A) ( x-c ) 2

(B)

c 1( x -1) 2+c 2( x +1) 2 (C) c 1+( x -c 2) 2

(D) c

1(

x -c 2) 2

28、微分方程 xdy-ydx=y 2e y dy 的通解为（）

(A) y=x(e x +c)

(B)

x=y(e y +c)

(C) y

=x(c-e x )

(D)

x=y(c-e y )

29、微分方程

y -2 y -3 y =0 的通解 y

为（）

(A)

c 1 c 2 x 3 (B)

c 1 x c 2

(C)c 1e x

c 2 e 3x (D)c 1e x

c 2 e 3 x

x

x 3

30、微分方程 y ''-3

y '+2 y =2x -2 e x 的特解 y *的形式是（）

(A) (ax+b)e x (B) (ax+b)xe x

(C)

(ax+b)+ce x (D) (ax+b)+cxe x

31、通过坐标原点且与微分方程

dy 1 的一切积分曲线均正交的曲线方程是

( )

x

dx

(A)

e y

x 1

(B) e y

x 1 0

(C) e y

x 1

(D)

2 y x 2

2x

32、设 y(x) 满足微分方程 ( cos 2

x)y1+y=tgx 且当 x=

/4 时 y=0，则当 x =0 时 y =(

)

(A) /4 (B) - /4 (C) -1

(D) 1

33 、 已 知 y=y(x) 的 图 形 上 点 M(0,1) 处 的 切 线 斜 率 k=0 ， 且 y(x) 满 足 微 分 方 程

y

1 ( y')

2 ，则 y(x)= ( )

(A)

sin x

(B)

cosx

(C)

34、微分方程

y -2 y -3 y =0 的通解是 y =( )

(A)

x 3 x 3 (B) c 1 x

c 2

x 3

c 1 e x c 2 e 3x

2

d y

则 y

(1 c 1 c 2 ) y 1 ( x) c 1 y 2 (x) c 2 y 3 ( x)

(A) 是所给微分方程的通解 (B)

(C) 是所给微分方程的特解

shx

(D)

chx

(C)

c 1 e x c 2 e 3 x

(D)

a(x) dy b( x) y

f ( x) 的特解，

dx

不是所给微分方程的通解

(D) 可能是所给微分方程的通解

也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解

36、设 y(x) 满足

y sinx=yLny ，且 y (

/2)= e ，则 y ( /4)= （ ）

(A) e /2

(B)

e -1 (C)

e 2 1

(D) e 2 3

37、微分方程 yn ytgx

y 2 cos x

0 的通解是（ ）

(A)

arctgx c

(B)

1 ( arctgx c) (C)

1

arctgx c (D)

x

x

arctgx

1 c

x

38、微分方程 ( 1+

2

的通解为（

）

y )dx=(arctgy-x)dy

(A) x arctgy 1 ce arctgy (B) x arctgy

1 ce arctgy (C) x

arctgy

ce arctgy

c

(D)

x arctgy

ce arctgy

c

39、微分方程 y

4 y

21

cos2 x 的通解为 y=（

）

(A) e

x

c x 2

c x c

3

(B)

c x 2

c x c

3

1

2

1

2

(C) c 1e

x

c 2 x c 3

(D)

c 1 x 3 c 2 x 2 c 3

40、微分方程 y

7 y

6y

sin x 的通解是 y =（

）

(A) e

x

74

5

sin x

74

7

cosx

(B)

c 1e x c 2 sin x c 3e x c 4 cos x (C) ( c

c x)e x (c c x)e x

(D)

(c c x) sin x

(c

c x) cosx

dy

41、通过坐标原点且与微分方程

x 1 的一切积分曲线均正交的曲线方程是 ( ) dx

(A)

e y

x

1

(B)

e y x 1 0 (C) e y x 1 (D)

2 y

x

2

2x

42、设 y(x) 满足微分方程

xy1+y -y 2Lnx=0 且当 y(1)=1, 则 y(e)=( )

(A) 1/e

(B) 1/2

(C) 2

(D) e

43 、 已 知 y

y(x) 满 足 ( x 2 2xy y 2 )dx ( y 2

2xy x 2 )dy

0 ， 且 y(1) 1 则

y 1 2

( )

2

(A) 1 (B) 1/2 (C) 2 (D) 1 2

2 2

44、微分方程y 2xy' 满足初始条件 y

0 1 , y' 3 的特解是 y=( )

x 2 1 x x 0

(A) x3 x 3 (B) x 3 3x 1 (C) x 2 x 3 (D) x 2 3x 1

45、微分方程y 6y' 13y 0 的通解是y=( )

(A) e 3 x ( c1 cos2x c2 sin 2 x) (B) e2x (c1 cos3x c2 sin 3x)

(C) e3x (c1 cos2x c2 sin 2x) (D) e 2 x (c1 cos3x c2 sin 3x)

46、微分方程y' 2 y c 0 满足 y

x 0 的特解 y=（）

x 2

(A)

4 x 2 x 2 4 2 1

x 2 4 (B) 4 x 2 (C) x (ln x ln 2) (D) x2 (ln x ln 2) 47、微分方程y' ytgx y 2 cosx 0 的通解是（）

(A) 1

( x c)cos x (B) y ( x c)cos x y

(C) 1

x cos x c (D) y x cosx c y

48、微分方程 ( y2-6x ) y +2y=0 的通解为（）

2 3

(B) 2y-x 3 3

(C)

2 3 3 3

(A) 2x-y +cy =0 +cx =0 2x-cy +y =0 (D) 2y-cx +x =0

49、微分方程y4 y 1 2 cos2 x 的特解的形式是y=（）

(A) a cos2x(B)axcos2x

(C) asin2 x bcos2 x(D)axsin2 x bx cos2x

50、满足微分方程y 7 y 6y sin x 的一个特解y* =（）

(A) e x 745 sin x 747 cosx (B) e x 745 sin x 747 cos x

(C) e6x745sin x747cos x(D) e x e 6x745sin x747cosx

51、初值问题y" 4y 0, y(0) 0, y'(0) 1 的解是 y(x)（）（其中其通解为y(x) c1 sin 2x c2 cos2 x, c1, c2为任意常数）

(A) 1 sin 2 x (B) 1 sin 2x(C)

3 2

52、下列方程中为常微分方程的是（）

(A) x43x2x 1 0(B)

u 2u 2u (C)

x2 (D)

t y2

53、下列微分方程是线性的是（）

(A) y"xy ' y x2(B)y ' x2y2(C)

1 1

sin3 x （D）sin3 x

3 2

y" y 'x2

u v2w

y " xy2 f (x)(D)y " y ' y3

54、已知F ( x, y) 具有一阶连续偏导，且 F (x, y)( ydx xdy) 为某一函数的全微分，则（）

(A)F F

(B)x

F

y

F

(C)x

F

y

F

(D)y

F

x F x y x y x y x y

55、设y1( x), y2(x), y3(x)是二阶线性非齐次微分方程y" P(x) y' Q ( x) y f ( x) 的三个线性无关解，c1 ,c2 是任意常数，则微分方程的解为( )

(A) c1y1 c2 y2 y3 (B) c1 y1 c2 y2 (1 c1 c2 ) y3

(C)

c1 y1 c2 y2 (c1 c2 ) y3 (D) c1 y1 c2 y2 (1 c1 c2 ) y3

56、若连续函数f (x)满足关系式f (x) 2 x

t

dt ln 2 ，则 f ( x) 为（）f

2

(A) e x ln 2 (B) e2x ln 2 (C) e x ln 2 (D) e2 x ln 2

57、若y1 e3 x, y2 xe3 x，则它们所满足的微分方程为（）

(A) y" 6 y' 9 y 0 (B) y" 9 y 0 (C) y" 9 y 0 (D)y" 6 y' 9y 0

58 、设y1, y2, y3是二阶线性微分方程y" p(x) y ' q(x) y r ( x) 的三个不同的特解，且

y1 y2 不是常数，则该方程的通解为（）

y2 y3

(A) c1 y1 c2 y2 y3 (B) c1 ( y1 y2 ) c2 ( y2 y3) y1

(C) c1 y1 c2 y3 y2 (D) c1 ( y1 y2 ) c2 ( y2 y3 )

59、设f ( x)连续，且满足方程1

tx dt nf ( x)( n N )

，则f (x)为（

f ）0

1 n

(A) cx n (B) c(c 为常数）(C) c sin nx (D) ccosnx

60、设y1, y2是方程y"p( x) y ' q( x) y 0 的两个特解，则y c1 y1c2 y2（ c1,c2为任意常数）（）

(A) 是此方程的通解(B)是此方程的特解(C)不一定是该方程的解(D) 是该方程的解

61、方程( x2 2x) y" ( x2 2) y ' (2 x 2) y 0 的通解为（）

(A) y c1e x c2 (B) y c1e x c2e x (C) y c1e x c2x2 (D) y c1e x c2 x

62、微分方程y" y ' e x 1的一个特解形式为（）

(A) ae x b (B) axe x bx (C) ae x bx (D) axe x b

63、方程( pxy y2 ) dx (qxy 2x2 )dy 0 是全微分的充要条件是（）

(A) p 4, q 2 (B) p 4, q 2 (C) p 4, q 2 (D) p4, q2

64、表达式[cos(x y2 ) ay]dx [bycos(x y2) 3x]dy 是某函数的全微分，则（）

(A) a 2,b 2 (B) a 3,b 2 (C) a 2,b 3 (D) a 3,b 3

65、方程y"' y " y ' y xe x是特解形式为（）

(A) (ax b)e x (B) x(ax b)e x

(C) x2(ax b)e x(D)e x[( ax b)cos 2x ( cx d )sin 2x]

66、方程y" 2 y' y xe x 的特解 y*的形式为（）

(A) axe x (B) (ax b)e x (C) x(ax b)e x (D)x2 (ax b)e x

67、已知y1 coswx 与 y2 3cos wx 是微分方程y" w2 y 0 的解，则 y c1 y1 c2 y2是（）

(A)方程的通解(B)方程的解，但不为通解(C)方程的特解(D)不一定是方程的解

68、方程

y " 3

y

' 2

y

3 2 x *

的形式为（）

x e 的特解 y

(A) ( ax b)e x (B) (ax b) xe x (C)( ax b) ce x (D) (ax b) cxe x

69、方程y"3y ' 2 y x2e 2 x

(A)y ax2 e 2x

(C) y x(ax2bx c)e 2 x 特解的形式为（）

(B) y ( ax2 bx c)e 2 x

(D) y x2 (ax2 bx c)e 2x

70、下列函数在定义域内线性无关的是（）

(A) 4x (B) x 2x x2 (C)5 cos2 x sin 2 x (D) 1 2 x x2

71、微分方程xdy ydx y2e y dy 的通解是（）

(A) x y(c e y) (B) x y(e y c) (C) y x(e x c) (D)y x(c e y )

72、方程dx

y 5,

dy

3 ）

x

dt x 的奇点为（

dt

(A) （ 0,0 ）(B) (0,5) (C) (5,5) (D) (5,0)

73、（ 0,0 ）为系统dx

y,

dy

2x 3y 的（）dt dt

(A)鞍点(B)结点(C)中心(D)焦点

74、方程

dx

dy

dz

的首次积分是（ ）

xz

yz xy

(A) xy z

2

c

(B)

x 2

c

(C)

x 2

yz c (D)

xz x 2 c

y

75、方程

dx z 2 dy dz

的首次积分是（

）

x 2

y 2 2 xy 2xz

x y z

(B)

x 2

y 2 z 2

(C)

y

(D)

z

(A)

x

2

c

y

c x

c

x c

dx 2x

y

dt

76、系统

的奇点类型为（ ）

dy

x 2y

dt

(A) 稳定结点

(B) 不稳定结点

(C)稳定焦点

(D)

不稳定焦点

dx x

3

dt

y

77、系统

4 的奇点类型为（

）

dy

7 x 4y

dt

(A) 鞍点 (B) 焦点 (C) 中心 (D) 结点

78、方程 y"

y xe x 有形如（ ）特解

(A) y Axe x (B)

y 1 ( Ax 2 Bx c)e x

(C) y 1

(Ax B)e x

(D)

Ae x

79、方程 x" 6x ' 13x

e t (t 2 5t 12) 特解形状为（

）

(A) x 1 ( At 2 Bt c)e t

(B)

x 1 ( At B) e t （ C) x 1 Ate t

(D)

x 1 Ae t

80、方程 y" 2 y' 2y

e x cos x 的特解形状为（

）

(A) y1 A cosxe x (B) y1 Asin xe x

(C) y1 e x ( Acos x B sin x) (D) y1 Ae x

81、方程x" 2x ' 2x te t cost 的特解形状为（）

(A) x1 ( At 2 Bt c)e t cost (B) x1 (At 2 Bt c)e t sin t

(C) x1 e t ( Acost B sin t )

(D) x1 ( At 2Bt c)e t cost (Dt 2Et F )e t sin t

82、微分方程( ye x e y )dx (xe y e x )dy 0 的通解为（）

(A) ye x xe y c (B) ye y xe x c (C) ye x xe y c (D) ye x xe y c

83、微分方程(e x sin y 2 y sin x)dx (e x cos y 2cos x)dy 0 的通解为（）

(A) e x sin y 2 y cos x c (B) e x co s y 2 ycos x c

(C) e x sin y ycos x c (D) e x cos y 2y cos x c

84、微分方程e y dx x(2 xy e y )dy 0 的通解为（）

(A) xe y y2 c (B) e y y2 c (C) xe y xy c (D) e y y

c

x x

85、方程(e x 3y2 ) dx 2xydy 0的通解为（）

(A) xe x x3 y2 c (B) ( x2 2x)e x x3 y 2 c

(C) (x2 2x 2)e x x3 y2 c (D) ( x2 2) e x x3 y2 c

86、下列方程为常微分方程的是（）

(A) x2 y2 z2 0 (B) u u 2u (C) y Asin t B sin t (D) y ' Ae x

x y y2

87、方程(2 xy4e y 2xy 3 y)dx ( x2 y 4e y x2 y2 3x) dy 0 的积分因子为（）

(A) ( x) 1

(B) (x)

1

(C) ( y)

1

(D) ( y)

1 x

2 x y4 y2

88、方程e y x(2 xy e y )dy 0 的积分因子为（）

(A) ( x) 1

(B) ( x)

1

(C) ( y)

1

(D) ( y)

1 x

2 x y2 y

89、方程(e x 3y2 ) dx 2xydy 0的积分因子为（）

(A) ( x) 1 (B) ( x) x2 (C) ( y) 1 (D) ( y) y2

x y

90、方程( y 1 xy)dx xdy 0 的积分因子为（）

(A) ( x) e x (B) ( x) e x (C) ( y) e y (D) ( y) e y

91、方程(2 x2y 2 y 5) dx (2 x3 2x)dy 0 的积分因子为（）

(A) ( x) 1

(B) ( x)

1

(C) ( y)

1

(D)

1 x 1 x

2 y

( y)

1 y2

92、方程2 xy3dx ( x2 y2 1)dy 0 的积分因子为（）

(A) ( x) 1

(B) (x)

1

(C) ( y)

1

(D)

1 x x y

( y)

2

y2

93、方程e x dx (e x ctgx 2 ycos y)dy 0 的积分因子为（）

(A) ( x) sin x (B) (x) cos x (C) ( y) sin y (D) ( y) cos y

94、方程ydx (x2 y2 x)dy 0 的积分因子为（）

(A)( x) 1 1

(C)( x, y)

1 x2

(B)( y)

2 2

y2

y x

(D) ( x, y) 1

y

x

95、方程y3dx2( x2xy2 )dy 0的积分因子为（）

(A)

1

(B)

1 1

(D)

1 x2

(C)

x2 y2 2 y

xy x

96、方程3x 6 x3 3 y

0 的积分因子为（）

dx

y

dy

y x

(A)x (B) y (C) xy(D) x2 y

97、下列方程中为常微分方程的是（）

(A) x2 - 2x 1 0 (B) y' xy 2

(C) u 2u 2u (D) y x2 c (c为常数）

t x2 y2

98、下列微分方程是线性的是（）

(A)y ' x2 y2 (B) y" y2 e x (C) y" x2 0 (D) y '- y xy2 选择题答案

1 B

2 C

3 C

4 A

5 A

6 A

7 B

8 D

9 A 10 B

10 B 12 A 13 A 14 C 15 D

16 B 17 A 18 C 19 A 20 B

21 D 22 C 23 B 24 A 25 A

26 C 27 D 28 D 29 D 30 D

31 A 32 C 33 D 34 D 35 D

36 C 37 B 38 A 39 C 40 C

41 A 42 B 43 D 44 B 45 A

46 A 47 C 48 A 49 D 50 B

51 B 52 B 53 A 54 B 55 B

56 B 57 D 58 B 59 A 60 D 61 C 62 D 63 C 64 B 65 B 66 D 67 B 68 D 69 C 70 C 71 B 72 B 73 B 74 A 75 B 76 C 77 D 78 C 79 A 80 C 81 D 82 C 83 A 84 B 85 C 86 D 87 C 88 A 89 B 90 B 91 B 92 D 93 C 94 C 95 D 96 C 97 B 98 C