广东省惠州市惠城区九年级(上)期末数学试卷

九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）

A. 没有实数根

B. 只有一个实数根

C. 有两个相等的实数根

D. 有两个不相等的实数根

2.在正方形、矩形、菱形、平行四边形中，其中是中心对称图形的个数为（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=70°，则

∠C的度数是（）

A. 100°

B. 110°

C. 120°

D. 130°

4.在同一平面内，⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O

的位置关系为（）

A. 点A在圆内

B. 点A在圆上

C. 点A在圆外

D. 无法确定

5.关于反比例函数y=-2x，下列说法正确的是（）

A. 图象过(1,2)点

B. 图象在第一、三象限

C. 当x>0时，y随x的增大而减小

D. 当x<0时，y随x的增大而增大

6.对于二次函数y=-x2+2x-4，下列说法正确的是（）

A. 图象开口向上

B. 对称轴是x=2

C. 当x>1时，y随x的增大而减小

D. 图象与x轴有两个交点

7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断

不正确的是（）

A. b2?4ac>0

B. a?b+c>0

C. b=?4a

D. 关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=?1，x2=5

8.在平面直角坐标系中，将A（-1，5）绕原点逆时针旋转90°得到A′，则点A′的坐标

是（）

A. (?1,5)

B. (5,?1)

C. (?1,?5)

D. (?5,?1)

9.如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为

100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边

x为（）

A. 10m或5m

B. 5m或8m

C. 10m

D. 5m

10.如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，

n）在函数y=kx（k＞0）的图象上，当m＞1时，过

点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A、B；过

点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D，

QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE

的面积（）

A. 增大

B. 减小

C. 先减

小后增大 D. 先增大后减小

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，则另一个根为______．

12.抛物线y=-x2+1向右平移2个单位长度，再向下平移3个长度单位得到的抛物线解

析式是______．

13.如图所示，△ABC中，∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方

向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为______．

14.

转动转盘一次，落在“铅笔”的概率约是（结果保留小数点后一位）．

15.若圆锥底面圆的周长为8π，侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的母线长为______．

16.如图，在平面内2条直线相交最多形成1个交点，3条直线相交最多形成3个交点，

4条直线相交最多形成6个交点，现有10条直线相交最多形成______个交点．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.如图如示，王强在一次高尔夫球的练习中，在O点处击球，球的飞行路线满足抛物

线y=?15x2+85x，其中y（米）是球的飞行高度，x（米）是球飞出的水平距离，球落地时离洞的水平距离为2米．

（1）求此次击球中球飞行的最大水平距离；

（2）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球的飞行路线应满足怎样的抛物线？求出其解析式．

四、解答题（本大题共8小题，共60.0分）

18.解方程：3x2-2x-3=0．

19.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB=30°，

CD=23，求阴影部分的面积．

20.某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平

均每月的增长率相同．

（1）第一季度平均每月的增长率；

（2）如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？

21.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上的两点，∠EAD=45°，将△ADC

绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，连接EF．

（1）求证：EF=ED；

（2）若AB=22，CD=1，求FE的长．

22.小明、小刚和小红各自打算随机选择元旦的上午或下午去红花湖景区游玩画树状图

解答下列问题：

（1）小明和小刚都在元旦上午去游玩的概率为______；

（2）求他们三人在同一个半天去游玩的概率．

23.如图，直线y=-x+1与反比例函数y=kx的图象相交

于点A、B，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C（-2，

0），连接AC、BC．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求S△ABC；

（3）利用函数图象直接写出关于x的不等式-x+1

＜kx的解集．

24.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的

⊙O分别交AC、BC于点D、E，过点B作直线BF，交AC

的延长线于点F．

（1）求证：BE=CE；

（2）若AB=6，求弧DE的长；

（3）当∠F的度数是多少时，BF与⊙O相切，证明你的结

论．

25.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB=2，以BC为边向外作正方形BCDE，动点M

从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→D的路线向D点匀速运动（M不与A、D重合）；过点M作直线l⊥AD，l与路线A→B→D相交于N，设运动时间为t秒：

（1）填空：当点M在AC上时，BN=______（用含t的代数式表示）；

（2）当点M在CD上时（含点C），是否存在点M，使△DEN为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由；

（3）过点N作NF⊥ED，垂足为F，矩形MDFN与△ABD重叠部分的面积为S，求S的最大值．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

解：原方程可化为：4x2-4x+1=0，

∵△=42-4×4×1=0，

∴方程有两个相等的实数根．

故选：C．

先求出△的值，再判断出其符号即可．

本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．

2.【答案】D

【解析】

解：在正方形、矩形、菱形、平行四边形中，其中都是中心对称图形，故共有4个中心对称图形．

故选：D．

根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可直接选出答案．

此题主要考查了中心对称图形，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键．

3.【答案】B

【解析】

解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠C+∠A=180°，

∴∠A=180°-70°=110°．

故选：B．

直接根据圆内接四边形的性质求解．

本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．

4.【答案】A

【解析】

解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，

即点A到圆心O的距离小于圆的半径，

∴点A在⊙O内．

故选：A．

根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．

本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外?d＞r；点P在圆上?d=r；点P在圆内?d＜r．

5.【答案】D

【解析】

解：∵k=-2＜0，所以函数图象位于二四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，图象是轴对称图象，故A、B、C错误．

故选：D．

反比例函数y=（k≠0）的图象k＞0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；k＜0时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；在不同象限内，y随x的增大而增大，根据这个性质选择则可．

本题考查了反比例函数图象的性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．注意反比例函数的图象应分在同一象限和不在同一象限两种情况分析．

6.【答案】C

【解析】

解：A、a=-1＜0，故抛物线开口向下，故错误；

B、函数对称轴x=-=1，故错误；

C、当x＞1时，y随x的增大而减小，正确；

D、△=b2-4ac=4-4×4=-4＜0，图象与x轴无交点，故错误；

故选：C．

A、用a=-1＜0来确定；

B、用对称轴x=-来确定；

C、当x＞1时，y随x的增大而减小，正确；

D、用△=b2-4ac来确定．

本题考查的是二次函数图象的基本性质，是一道基本题，难度不大．

7.【答案】B

【解析】

解：（A）抛物线与x轴交于两点，所以△＞0，故A错误；

（B）当x=-1，y=a-b+c=0，故B错误；

（C）由图象可知对称轴为：x=2，

∴=2，

∴b=-4a，故C正确；

（D）由图可知关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=5，故D正确；

故选：B．

根据二次函数的图象与性质即可求出答案．

本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．

8.【答案】D

【解析】

解：由图知A点的坐标为（-1，5），根据旋转中心O，

旋转方向逆时针，旋转角度90°，画图，从而得A′

点坐标为（-5，-1）．

故选：D．

根据旋转的性质结合坐标系内点的坐标特征解答．

考查了坐标与图形变化-旋转，本题涉及图形的旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解．

9.【答案】C

【解析】

解：设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30-2x）米，

根据题意得：（30-2x）x=100，

整理得：x2-15x+50=0，

解得：x1=5，x2=10．

当x=5时，30-2x=20＞15，

∴x=5舍去．

故选：C．

设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30-2x）米，根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为100m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

10.【答案】A

【解析】

解：AC=m-1，CQ=n，

=AC?CQ=（m-1）n=mn-n．

则S

四边形ACQE

∵P（1，4）、Q（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上，

∴mn=k=4（常数）．

∴S

=AC?CQ=4-n，

四边形ACQE

∵当m＞1时，n随m的增大而减小，

∴S

=4-n随m的增大而增大．

四边形ACQE

故选：A．

首先利用m和n表示出AC和CQ的长，则四边形ACQE的面积即可利用m、n表示，然后根据函数的性质判断．

本题考查了反比例函数的性质以及矩形的面积的计算，利用n表示出四边形ACQE的面积是关键．

11.【答案】-1

【解析】

解：设方程的两个根为a、b，

∴a+b=-3，

∵方程的一根a=-2，

∴b=-1．

故答案为：-1．

设方程的两个根为a、b，由根与系数的关系找出a+b=-3，代入a=-2即可得出b 值．

本题考查了跟与系数的关系，根据方程的系数找出a+b=-3时解题的关键．

12.【答案】y=-（x-2）2-2

【解析】

解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=-x2+1向右平移2个单位长度所得的抛物线的解析式为：y=-（x-2）2+1．

再向下平移3个单位长度所得抛物线的解析式为：y=-（x-2）2-2．

故答案是：y=-（x-2）2-2．

根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．

本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．

13.【答案】17°

【解析】

解：∵∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，∴∠B'AC'=33°，∠BAB'=50°，

∴∠B′AC的度数=50°-33°=17°．

故答案为：17°．

先利用旋转的性质得到∠B'AC'=33°，∠BAB'=50°，从而得到∠B′AC的度数．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

14.【答案】0.7

【解析】

解：转动转盘一次，落在“铅笔”的概率约是0.7．

故答案为0.7．

用n=1000次对应的m的值可估计落在“铅笔”的概率．

本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．

15.【答案】16

【解析】

解：设该圆锥的母线长为l，

根据题意得8π=，解得l=16，

即该圆锥的母线长为16．

故答案为16．

设该圆锥的母线长为l，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到8π=，然后解方程即可．

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

16.【答案】45

【解析】

解：设直线由n条，交点有m个．

有以下规律：

直线n条交点m个

2 1

3 1+2

4 1+2+3

：

n m=1+---+（n-1）=

十条直线相交有=45个；

故答案为：45．

结合图形，找规律解答即可．

此题主要考查了图形变化类以及直线的性质，根据图形，寻找规律，将几何问题转化为代数题是解题关键．

17.【答案】解：（1）由题意得：0=?15x2+85x，

解得x1=0，x2=8，

∴此次击球中球飞行的最大水平距离为8m；

（2）刚好进球洞，则抛物线需过x轴上的（0，0），（10，0）

球飞行的高度不变，则最高点的纵坐标为4ac?b24a=165=3.2，

∴抛物线的顶点坐标为（5，3.2），

设抛物线的解析式为y=a（x-5）2+3.2，

∵经过（0，0），

∴25a+3.2=0，

a=-0.128，

∴y=-0.128（x-5）2+3.2．

【解析】

（1）让y=0，求得x的正值即为此次击球中球飞行的最大水平距离；

（2）根据飞行高度不变可得抛物线的顶点坐标，设出顶点式，进而把原点坐标代入即可求得相应的解析式．

考查二次函数的应用；得到新抛物线的顶点是解决本题的难点．

18.【答案】解：3x2-2x-3=0．

∵a=3，b=-2，c=-3，b2-4ac=4-4×3×（-3）=40，

∴x=2±402×3=1±103，

x1=1+103，x2=1?103．

【解析】

先确定a、b、c，再根据公式x=，代入公式进行计算即可．

本题考查了解一元二次方程-公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．

19.【答案】解：连接OD．

∵CD⊥AB，

∴CE=DE=12CD=3（垂径定理），

故S△OCE=S△ODE，

∴S阴=S扇形OBD，

又∵∠CDB=30°，

∴∠COB=60°（圆周角定理），

∴OC=2，

故S扇形OBD=60π?22360=2π3，即阴影部分的面积为2π3．

【解析】

连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．

此题考查了扇形的面积计算、垂径定理及圆周角定理，解答本题关键是根据图形得出阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，另外要熟记扇形的面积公

式．

20.【答案】解：（1）设第一季度平均每月的增长率为x，

根据题意得：500（1+x）2=720，

解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去）．

答：第一季度平均每月的增长率为20%．

（2）720×（1+20%）2=1036.8（t），

∵1036.8＞1000，

∴该厂今年5月份总产量能突破1000t．

【解析】

（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据该厂一月份及三月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）根据五月份的总产量=三月份的总产量×（1+增长率）2，即可求出今年五月份的总产量，再与1000进行比较即可得出结论．

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，求出今年五月份的总产量．

21.【答案】证明：（1）∵∠BAC=90°，∠EAD=45°，

∴∠BAE+∠DAC=45°，

∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，

∴∠BAF=∠DAC，AF=AD，CD=BF，∠ABF=∠ACD=45°，

∴∠BAF+∠BAE=45°=∠FAE，

∴∠FAE=∠DAE，AD=AF，AE=AE，

∴△AEF≌△AED（SAS），

∴DE=EF

（2）∵AB=AC=22，∠BAC=90°，

∴BC=4，

∵CD=1，

∴BF=1，BD=3，即BE+DE=3，

∵∠ABF=∠ABC=45°，

∴∠EBF=90°，

∴BF2+BE2=EF2，

∴1+（3-EF）2=EF2，

∴EF=53

【解析】

（1）由旋转的性质可求∠FAE=∠DAE=45°，即可证△AEF≌△AED，可得EF=ED；（2）由旋转的性质可证∠FBE=90°，利用勾股定理和方程的思想可求EF的长．本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用方程的思想解决问题是本题的关键．

22.【答案】14

【解析】

解：（1）画树状图为：

共有4种等可能的结果数，其中小明和小刚都在元旦上午去游玩的结果数为1，

所以小明和小刚都在元旦上午去游玩的概率为，

故答案为

（2）画树状图为：

共有8种等可能的结果数，其中他们三人在同一个半天去游玩的结果数为2，所以他们三人在同一个半天去游玩的概率为=．

（1）画树状图展示所有4种等可能的结果数，找出小明和小刚都在元旦上午去游玩的结果数，然后根据概率公式求解；

（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出三人都在元旦上午去游玩的

结果数，然后根据概率公式求解．

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

23.【答案】解：（1）把x=-2代入y=-x+1，得y=2+1=3，

∴A（-2，3），

∵反比例函数y=kx的图象过点A，

∴k=-2×3=-6，

∴反比例函数的解析式为y=-6x；

（2）由y=?x+1y=?6x，解得x=3y=?2，或x=?2y=3，

∴B（3，-2），

∴S△ABC=12×3×5=7.5；

（3）由图象可知，当-2＜x＜0或x＞3时，直线y=-x+1落在双曲线y=kx的下方，

所以关于x的不等式-x+1＜kx的解集是-2＜x＜0或x＞3．

【解析】

（1）由题意，可知点A的横坐标为-2，把x=-2代入y=-x+1，求出y，得到点A 的坐标，再将点A的坐标代入y=，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；

（2）先将两函数的解析式联立，解方程组求出B点坐标，再根据三角形面积公式列式计算即可；

（3）观察图象，找出直线y=-x+1落在双曲线y=下方的部分对应的自变量的取值范围即可．

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，利用了数形结合思想．

24.【答案】（1）证明：连接AE，如图，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∴AE⊥BC，

∵AB=AC，

∴BE=CE；

（2）解：∵AB=AC，AE⊥BC，

∴AE平分∠BAC，

∴∠CAE=12∠BAC=12×54°=27°，

∴∠DOE=2∠CAE=2×27°=54°，

∴弧DE的长=54?π?3180=910π；

（3）解：当∠F的度数是36°时，BF与⊙O相切．

理由如下：∵∠BAC=54°，

∴当∠F=36°时，∠ABF=90°，

∴AB⊥BF，

∴BF为⊙O的切线．

【解析】

（1）连接AE，如图，根据圆周角定理得∠AEB=90°，然后根据等腰三角形的性质得到BE=CE；

（2）根据等腰三角形的性质得到得到∠CAE=∠BAC=27°，再利用圆周角定理得到∠DOE=54°，然后根据弧长公式可计算出弧DE的长；

（3）当∠F的度数是36°时可得到∠ABF=90°，则AB⊥BF，然后根据切线的性质可判断BF为⊙O的切线．

本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理．

25.【答案】22-2t

【解析】

解：（1）如图1，

∵∠ACB=90°，AC=BC=2，

∴∠A=∠ABC=45°，AB=2，

∵AM=t，∠AMN=90°，

∴MN=AM=t，AN=AM=t，

则BN=AB-AN=2-t，

故答案为：2-t．

（2）如图2，

∵AM=t，AC=BC=CD=2，∠BDC=∠DBE=45°，

∴DM=MN=AD-AM=4-t，

∴DN=DM=（4-t），

∵PM=BC=2，

∴PN=2-（4-t）=t-2，

∴BP=t-2，

∴PE=BE-BP=2-（t-2）=4-t，

则NE==，

∵DE=2，

∴①若DN=DE，则（4-t）=2，解得t=4-；

②若DN=NE，则（4-t）=，解得t=3；

③若DE=NE，则2=，解得t=2或t=4（点N与点E重合，舍去）；综上，当t=4-或t=3或t=2时，△DNE是等腰三角形．

（3）①当0≤t＜2时，如图3，

由题意知AM=MN=t，

则CM=NQ=AC-AM=2-t，

∴DM=CM+CD=4-t，

∵∠ABC=∠CBD=45°，∠NQB=∠GQB=90°，

∴NQ=BQ=QG=2-t，

则NG=4-2t，

∴S=?t?（4-2t+4-t）=-（t-）2+，

当t=时，S取得最大值；

②当2≤t≤4时，如图4，

∵AM=t，AD=AC+CD=4，

∴DM=AD-AM=4-t，

∵∠DMN=90°，∠CDB=45°，

∴MN=DM=4-t，

∴S=（4-t）2=（t-4）2，

∵2≤t≤4，

∴当t=2时，S取得最大值2；

综上，当t=时，S取得最大值．

（1）由等腰直角三角形的性质知AB=2，MN=AM=t，AN=AM=t，据

此可得；

（2）先得出MN=DM=4-t，BP=PN=t-2，PE=4-t，由勾股定理得出NE=

，再分DN=DE，DN=NE，DE=NE三种情况分别求解可得；（3）分0≤t＜2和2≤t≤4两种情况，其中0≤t＜2重合部分为直角梯形，2≤t≤4时重合部分为等腰直角三角形，根据面积公式得出面积的函数解析式，再利用二次函数的性质求解可得．

本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及二次函数性质的应用等知识点．