数学建模第四版答案
数学建模第四版答案
【篇一：数学建模课后答案】
t>第二章(1)（2012年12月21日）
1．学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们
要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分
较大者; （2）. 1中的q值方法；
（3）.d’hondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,??相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍
分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？
如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将
3种方法两次分配的结果列表比较.
解：先考虑n=10的分配方案，
p1?235,p2?333,p3?432,方法一（按比例分配）
?p
i?1
3
i
?1000.
q1?
p1n
?p
i?1
3
?2.35,q2?
p2n
i
?p
i?1
3
?3.33, q3?
p3n
i
?p
i?1
3
?4.32
i
分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（q值方法）
9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：
n1?2,n2?3, n3?4
第10个席位：计算q值为
235233324322
q1??9204.17, q2??9240.75, q3??9331.2
2?33?44?5
q3最大，第10个席位应给c.分配结果为 n1?2,n2?3,n3?5
方法三（d’hondt方法）
此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5
此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）.
pi
是ni
每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的近.
pip
中选较大者，可使对所有的i,i尽量接nini
再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：
2．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解：设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.
考虑t到t??t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得
vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得
?
t
vdt?2?k?(r?wkn)dn
n
2?rk?wk22n2
2vv
第二章(2)（2008年10月9日）
15．速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是? ，用量纲分析方法确定风车
获得的功率p与v、s、?的关系.
解: 设p、v、s、?的关系为f(p,v,s,?)?0，其量纲表达式为: [p]=mlt
2
?3
, [v]=lt
?1
,[s]=l,[?]=ml,这里l,m,t是基本量纲.
2?3
量纲矩阵为：
1?2?10a=?
???3?1(p)(v)
齐次线性方程组为：
2?3?(l)01??(m) 00??(t)(s)(??
?2y1?y2?2y3?3y4?0?
?y1?y4?0
??3y?y?0
12?
它的基本解为y?(?1,3,1,1) 由量纲pi定理得
??p?1v3s1?1，?p??v3s1?1 ，其中?是无量纲常数.
16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系
数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.
解：设v,?,?,g 的关系为f(v,?,?,g)=0.其量纲表达式为[v]=lmt，[?]=lmt，
0-1
-3
[?]=mlt（ltl）l=mlltt=lmt，[g]=lmt,其中l，m，t是基本量纲.
-2
-1-1
-1-2
-2-2
-1
-1
0-2
量纲矩阵为
?1?3?11?(l)
?0?(m)110?a=? ???10?1?2(t)??(v)(?)(?)(g)
齐次线性方程组ay=0 ，即
? y1-3y2-y3?y4?0?
?0 ?y2?y3
?-y-y-2y?0
34?1
的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲pi定理得
*
??v?3??1?g. ?v???g
，其中?是无量纲常数. ?
16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?、特征尺寸?和重力加速度g有关，其中粘
滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.
解：设v,?,?,?，g 的关系为f(v,?,?,?,g)?0.其量纲表达式为
[v]=lmt，[?]=lmt，[?]=mlt（ltl）l=mlltt=lmt，[?]=lm0t0 ，[g]=lmt
0-1
-3
-2
-1-1
-1-2
-2-2
-1
-1
0-2
其中l，m，t是基本量纲. 量纲矩阵为
?1?0a=????1(v)
齐次线性方程组ay=0 即
1?3?100
10
1?(l)10??(m) ?1?2??(t)
(?)(?)(?)(g)
?y1?y2?3y3?y4?y5?0
?
y3?y4?0 ?
??y1?y4?2y5?0?
的基本解为
11?
y?(1,?,0,0,?)?1
22 ?31
?y2?(0,?,?1,1,?)
22?
得到两个相互独立的无量纲量
??1?v??1/2g?1/2
??3/2?1?1/2
??g??2??
即 v?
?1
) g1,?3/2?g1/2??1??2?1. 由?(?1,?2)?0 , 得 ?1??(?2
? ??
g(?3/2?g1/2??1) , 其中?是未定函数.
20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t,摆长l, 质量m,重力加速度g，阻力系数k的关系为
f(t,l,m,g,k)?0
其量纲表达式为：
[t]?l0m0t,[l]?lm0t0,[m]?l0mt0,[g]?lm0t?2,[k]?[f][v]?1?mlt?2(lt?1 )?1
?l0mt?1，其中l，m，t是基本量纲.
量纲矩阵为
?0?0a=???1(t)
10
0?(l)
0101??(m) 00?2?1??(t)
1
(l)(m)(g)(k)
齐次线性方程组
y2?y4?0??
y3?y5?0 ?
?y?2y?y?0
45?1
的基本解为
11?
y?(1,?,0,,0)?1
22 ?11
?y2?(0,,?1,?,1)
22?
得到两个相互独立的无量纲量
?tl?1/2g1/2??1
?1/2?1?1/2
?lmgk??2
∴t?
kl1/2l
?1, ?1??(?2), ?2?1/2
gmg
∴t?
lkl1/2
(1/2) ，其中?是未定函数 . gmg
考虑物理模拟的比例模型，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为
lkl?1/2() t,t；l,l;m,m. 又t??1/2gm?g
当无量纲量
m?lt?lgl时，就有 ?. ???
mltgll
《数学模型》作业解答
第三章1（2008年10月14日）
1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定
最优订货周期和订货
批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货
模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．
【篇二：数学模型第四版课后习题4—1答案】
题：
某银行经理计划用一笔资金进行有价证劵的投资，可供购进的证劵
以及其信用等级，到期年限，收益如表所示。按照规定，市政证劵
的收益可以免税，其他证劵的收益需按50％的税率纳税。除外还有
以下限制：
（1）政府及代办机构的证劵总共至少要购进400万元。
（2）所购证劵的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信
用程度越
高）；
（3）所购证劵的平均到期年限步超过5年。
(1) 若该经理有1000万元资金，应如何投资？
(2) 如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理该
如何操作？
(3) 在1000万元资金情况下，若证劵a的税前收益增加为4.5%。
投资应否改变？若证劵c的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
问题分析：这个投资方案的目标是使获取的税后收益最大化，要做
好决策应是用多少钱购买多少不同的证劵。此决策共受到四个条件
的限制，资金总额必购证劵，信用等级，到期年限。按照题目将决
策变量，目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来得到如下
模型。
基本模型：
决策变量：设用x1万元购买a证劵，用x2万元购买b证劵，用
x3万元购买c证劵，用x4万元购买d证劵，用x5万元购买e证劵。目标函数：设总到期税后收益为z万元，则由给出收益率可算出
z=0.043 x1+0.054 x2+0.025 x3+0.022 x4+0.045 x5 约束条件：1.资金总额：所用投资金额不超过1000万元。
即x1+ x2+ x3+ x4 +x5≤10
2.必购证劵政府及代办机构的证劵总共至少购进400万元
即x2+ x3+ x4≥4
3.信用等级：所购证劵的平均信用等级都不超过1.4，即
2x1+ 2x2+ x3+ x4 +5x5≤1.4 4.到期年限：所购证劵的平均到期年限步超过5年，即
9x1+15 x2+ 4x3+3 x4 +2x5≤5 5.非负约束x1≥0 x2≥0 x3≥0 x4 ≥0
x5≥0
为输入方便，将（3）（4）化简可得到该问题的基本模型
max z=0.043 x1+0.054 x2+0.025 x3+0.022 x4+0.045 x5 (1)
x1 +x2+ x3+ x4 +x5≤10 (2)x2+ x3+ x4≥4 (3) 6x1+ 6x2-4x3-4x4
+36x5≤10(4)
4x1+10 x2- x3-2x4 -3x5≤10(5)
x1≥0x2≥0 x3≥0 x4
≥0 x5≥0 （6）
模型求解：用lingo软件求解
输入：
model:
max=0.043 *x1+0.027* x2+0.025* x3+0.022* x4+0.045* x5 ; [money] x1+ x2+ x3+ x4 +x510;
[must] x2+ x3+ x44;
[credit] 6*x1+ 6*x2-4*x3-4*x4 +36*x50;
[time]4*x1+10*x2-x3-2*x4 -3*x50 ;
end
得到如下输出:
global optimal solution found.
objective value: 0.2983636
infeasibilities: 0.000000
total solver iterations: 5
variable value reduced cost
x1 2.1818180.000000
x2 0.0000000.3181818e-02
x3 7.3636360.000000
x4 0.0000000.6363636e-03
x5 0.4545455 0.000000
row slack or surplus dual price
1 0.29836361.000000
money 0.000000 0.2983636e-01
must 3.363636 0.000000
credit0.000000 0.6181818e-03
time 0.000000 0.2363636e-02
ranges in which the basis is unchanged:
objective coefficient ranges
current allowable allowable
variablecoefficientincreasedecrease x1 0.4300000e-010.3500000e-02
0.1300000e-01
x2 0.2700000e-010.3018182e-01infinity
x3 0.2500000e-010.1733333e-01
0.5600000e-03
x4 0.2200000e-010.6363636e-03infinity
x5 0.4500000e-010.5200000e-01
0.1400000e-01
righthand side ranges
row current allowable allowablerhsincreasedecrease
money10.00000 infinity4.567901 must 4.000000 3.363636infinity credit 0.0105.714320.00000 time 0.010.0000012.00000
最优解为x1=2.182,x2=0,x3=7.364,x4=0.454,x5=0;最优值为
z=0.298; 即证劵a,c,e分别投资2.182百万元，7.364百万元，
0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元。
结果分析：
（1）由于输出结果中的影子价格可知资金每增加100万元，多获
收益0.0298百万元。收差率为2.98%大于2.75%所以应进行投资，
在上面约束条件的（2）右端约束改为小于11，lingo求解结果如下： global optimal solution found.
objective value: 0.3282000 infeasibilities:0.000000 total solver iterations: 5
variable valuereduced cost x1 2.4000000.000000
x2 0.0000000.3181818e-02 x3 8.1000000.000000
rowslack or surplusdual price 1 0.3282000 1.000000
money 0.000000 0.2983636e-01 must 4.100000 0.000000
credit0.000000 0.6181818e-03 time 0.000000 0.2363636e-02 由输出结果可知，a,c,e分别投资2.4百万元，8.1百万元，0.5百万元，最大收益为0.3282百万元
（2）由第一个输出结果可知a的系数允许变化范围，a得税前收益
可增加0.35% ，所以当证券a的税前收益增加到4.5%，不应改变投资方案,由c的系数变化范围可知c的税前收益可减少0.112% 。c
最小可减少为4.88%，当c的税前收益减少为4.8%，应改变投资方案。
评注：
本题是在已知各收益率及条件基础下建立线性规划模型。用lingo
软件求解出收益最大化时的投资方案，而且利用其中影子价格和敏
感性分析，可根据条件对投资方案进行调整。
【篇三：数学建模课后习题答案】
1、路灯照明问题。在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只
2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。在
漆黑的夜晚，当两只路灯开启时（1）两只路灯连线的路面上最暗的
点和最亮的点在哪里？（2）如果3kw的路灯的高度可以在3m到
9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？（3）如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？
解：
根据题意，建立如图模型
p1=2kw p2=3kw s=20m 照度计算公式：
psin?i?k 2
r （k为照度系数，可取为1；
p为路灯的功率）
（1）设q(x,0)点为两盏路灯连线上的任意一点，则两盏路灯在q点的照度分别为
p1sin?1p2sin?2
i1?ki?k22 2
r1r2
h1
?1?r?h?xsin
r1
21
21
2
?2?r2?h?(s?x)sin
2
2
2
2
h2r2
q点的照度：
i(x)?
p1h1((h?x)
21
23
?
p2h2
((h?(s?x))
22
23
?
10(25?x)
23
?
18(36?(20?x))
23
要求最暗点和最亮点，即为求函数i(x)的最大值和最小值，所以应
先求出函数的极值点
i(x)?
?3p1h1x(h12?x2)5
?
3p2h2(s?x)(h22?(s?x)2)5
?
?30x(25?x2)5
?
54(20?x)(36?(20?x)2)5
利用matlab求得i(x)?0时x的值
代码：
s=solve((-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-
x)^2)^(5/2))); s1=vpa(s,8); s1
运行结果： s1 =
19.976695819.3382991368.538304309-
11.61579012*i .2848997038e-1 8.538304309+11.61579012*i
因为x=0，选取出有效的x值后，利用matlab求出对应的i(x)的值，如下表：
综上，x=9.33m时，为最暗点；x=19.97m时，为最亮点。
（2）路灯2的高度可以变化时，q点的照度为关于x和h2的二元
函数：
i(x,h2)?
p1h1(h?x)
21
23
?
p2h2(h?(s?x))
2
22
23
?
10(25?x)
23
?
3h2
(h?(20?x))
22
23
与（1）同理，求出函数i(x,h2）的极值即为最暗点和最亮点
?ip23p2h2
???0
223225?h2(h2?(s?x))(h2?(s?x))
利用matlab求得x：
solve(3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20-
x)^2)^(5/2))=0) ans =
20+2^(1/2)*h 20-2^(1/2)*h
即x1=20+2^(1/2)*h （舍去） x2=20-2^(1/2)*h
?i?3p1h1x3p2h2(s?x)-30(20?2h)9h2(20?x)?????0
22522525225?x(h1?x)(h2?(s?x))(25?x)(h2?(20?x))
利用matlab求解h2
solve(-30*(20-2^(1/2)*h)/((25+(20-2^(1/2)*h)^2)^(5/2))+9*h*(20-(20-2^(1/2)*h))/((h^2+(20-(20-2^(1/2)*h))^2)^(5/2))=0)ans =
7.4223928896768612557104509932965
14.120774098526835657369742179215 因为h在3~9之间，所以h2=7.42239m 再利用matlab求解x和亮度i 算法： h=7.42239; x=20-2^(1/2)*h
i=10/((25+x^2)^(3/2))+(3*h)/((h^2+(20-x)^2)^(3/2)) 结果：x =
9.5032 i =
0.0186
综上，x=9.5032 ，h2=7.42239时，最暗点的亮度最大，为
0.0186w。
(3)两盏路灯的高度均可以变化时，i为关于x,h1,h2的三元函数，用同样的方法求解
i(x,h1,h2)?
p1h1(h?x)
21
23
?
p2h2
(h?(s?x))
2
22
23
?ip3p11h1
???0
223225?h1(h1?x)(h1?x)
?ip23p2h239h2
?????0
223225223225?h2(h2?(s?x))(h2?(s?x))(h2?(20?x))(h2?(20?x)) 2
2
?i?3p3p2h2(s?x)?6h1x9h2(20?x)1h1x?????0
225225225225?x(h1?x)(h2?(s?x))(h1?x)(h2?(20?x))
h1?
1
x 2
1
(20?x)2
522
h2?
3h2(20?x)
[h?(20?x)]
22
?
2h1x(h?x)
22
x21
(x2?x2)22
5
21
522
3
(20?x)22
1
[((20?x)2?(20?x)2]22
5
?
=
12
? 33
(20?x)3x
利用matlab求解x，h1，h2的值：
算法：solve(1/((20-
x)^3)=2/(3*(x^3)));s1=vpa(s,6);a=(1/sqrt(2))*s1;a1=double(a); b=(1/sqrt(2))*(20-s1);b1=double(b);a1,b1,s1 结果： a1 =
6.5940 5.1883 +12.0274i5.1883 -12.0274i b1 =
7.5482 8.9538 -12.0274i8.9538 +12.0274i s1 =
9.325307.33738+17.0093*i7.33738-17.0093*i
综上，h1 =6.5940，h2=7.5482 ，x=9.32530时，最暗点的亮度最大
数据插值
山区地貌：在某山区测得一些地点的高程如下表3.8。平面区域为（1200=x=4000,1200=y=3600)
试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。表3.8 某山区高程表
利用matlab编程代码如下： x=1200:400:4000; y=1200:400:3600; [xi,yi]=meshgrid(1200:4000,1200:3600); z=[1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700; 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850; 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950; 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010; 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070; 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550; 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980];
线性插值法
zi=interp2(x,y,z,xi,yi,linear); mesh(xi,yi,zi)
title(线性插值法) xlabel(x); ylabel(y); zlabel(z);
c=contourf(xi,yi,zi); clabel(c);
title(等高线图
)
数学模型第三版课后习题答案.doc
《数学模型》作业解答 第七章（ 2008 年 12 月 4 日） 1．对于节蛛网模型讨论下列问题： （ 1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第 k 1时段的价格y k 1由第k 1 和第 k 时段的数量x k 1和x k决定，如果仍设x k 1仍只取
决于 y k ，给出稳定平衡的条件，并与节的结果进行比较 . （ 2）若除了 y k 1 由 x k 1 和 x k 决定之外， x k 1 也由前两个时段的价格 析稳定平衡的条件是否还会放宽 . 解：（ 1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为： y k 1 f x k 1 x k ) ( 2 x k 1 h( y k ) 在 P 0 (x 0 , y 0 ) 点附近用直线来近似曲线 f , h ，得到 y k 1 y 0 ( x k 1 x k x 0 ), 2 x k 1 x 0 ( y k y 0 ) , 由（ 2）得 x k 2 x 0 ( y k 1 y 0 ) （ 1）代入（ 3）得 x k 2 x 0 ( x k 1x k x 0 ) 2 2x k 2 x k 1 x k 2x 0 2 x 0 对应齐次方程的特征方程为 2 2 ( ) 2 8 特征根为 1, 2 4 y k 和 y k 1 确定 . 试分 (1) ( 2) (3) 当 8 时，则有特征根在单位圆外，设 8 ，则
1,2 ( ) 2 ( ) 2 8 42 2 4 1,2 1 2 即平衡稳定的条件为 2与 P 207 的结果一致 . （ 2）此时需求函数、供应函数在 P 0 (x 0 , y 0 ) 处附近的直线近似表达式分别为： y k 1 y 0 ( x k 1 x k x 0 ), ( 4) 2 x k 1 x 0 ( y k y k 1 y 0 ) , ( 5) 2 由（ 5）得， (x x 0 ) β(y y y k 1 y 0 ) ( 6 ) 2 k 3 k 2 将（ 4）代入（ 6），得 2( x k 3 x 0 ) ( x k 2 x k 1 x 0 ) ( x k 1 x k x 0 ) 2 2 4 x k 3x k 2 2 x k 1 x k 4 x 0 4 x 0 对应齐次方程的特征方程为 4 3 2 2 0 (7) 代数方程（ 7 ）无正实根，且 αβ , , 2 4 不是（ 7）的根 . 设（ 7）的三个非零根分 别为 1, 2, 3，则 1 2 3 4 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 4 对（ 7）作变换： , 则 12 3 q 0, p 其中 p 1 (2 2 2 ), q 1(833 2 2 ) 4 12 4 123 6
数学模型第四版习题3-1答案
1.在3.1节存贮模型的总费用增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订 货批量，证明在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样。 问题分析：增加购买货物本身的费用后，仍符合增加前生产规律，所以必存在一个最佳的周期，使总费用最小。 一般的考察这样的不允许缺货的存货模型：产品需求稳定不变，生产准备费和产品储存费为常数，生产能力无限，不允许缺货，确定生产周期和产量，使总费用最小。 模型假设：为了处理的方便，考虑连续模型，即设生产周期T和产量Q均为连续量。根据问题性质作如下假设： 1.产品每天的需求量为常数r 2.每件产品的购买费用为p. 3.每次生产准备费为c1,每天每件产品贮存费为c2 4.生产能力为无限大（相对于需求量），当贮存量降到零时，Q件产品立即生产 出来供给需求，即不允许缺货 模型建立：将贮存量表示为时间的函数q(t)，t=0生产Q件，贮存量q(0)=Q,q(t)以需求速率递减，直到q(t)=0,如图所示 Q=rT 一个周期内的贮存费是c2∫0T q(t)dt,其中积分恰等于图中三角形A的面积QT/2，因为一个周期的准备费为c1，所以可以得到一个周期的总费用为 C=c1+c2QT/2+PQ=c1+c2rT2+prT 于是每天的平均费用为 C=C/T=c1/T+c2rT/2+pr
这就是这个优化模型的目标函数。 模型求解：求T使目标函数的C最小 C′=-c1/T2+c2r/2 令C′=0 T=√2c1/c2r 带入可得Q=√2c1r/c2 所以可以得到C=√2c1c2r 结果解释：当准备费c1增加时，生产周期和产量都变大；当贮存费c2增加时,生产周期和产量都变小；当需求量r增加时，生产周期变小而产量变大。当生产周期T=√2c1/c2r时，总费用最小。
数学建模期末考试2018A试的题目与答案
华南农业大学期末考试试卷（A卷） 2012-2013学年第二学期考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟 学号姓名年级专业 一、(满分12分)一人摆渡希望用一条船将一只狼.一只羊.一篮白菜从河岸一边带到河岸对面.由于船的限制.一次只能带一样东西过河.绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起.怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1.2.3.4.当i在此岸时记x i = 1.否则为0；此岸的状态下用s = （x1.x2.x3.x4）表示。该问题中决策为乘船方案.记为d = (u1, u2, u3, u4).当i 在船上时记u i = 1.否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊.然后回来.带狼过河.然后把羊带回来.放下羊.带白菜过去.然后再回来把羊带过去。 或: 人先带羊过河.然后自己回来.带白菜过去.放下白菜.带着羊回来.然后放下羊.把狼带过去.最后再回转来.带羊过去。（12分） . .
数学建模期末考试A试的题目与答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带 一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。 ?或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。 （12分） 1、 二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型： （1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6分 （2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。6分 解：设体重w （千克）与举重成绩y （千克） （1） 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以 y ?I ?S 设h 为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ? h 2 再体重正比于身高的三次方，则w ? h 3 （6分） ( 12分) 14分) 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学
数学建模习题与答案课后习题
第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。 （3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 （4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应 多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。
数学建模第四版答案
数学建模第四版答案 【篇一：数学建模课后答案】 t>第二章(1)（2012年12月21日） 1．学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们 要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分 较大者; （2）. 1中的q值方法； （3）.d’hondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,??相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍 分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将 3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑n=10的分配方案， p1?235,p2?333,p3?432,方法一（按比例分配） ?p i?1 3 i ?1000. q1? p1n ?p i?1 3 ?2.35,q2? p2n i ?p i?1 3 ?3.33, q3? p3n i
?p i?1 3 ?4.32 i 分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（q值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： n1?2,n2?3, n3?4 第10个席位：计算q值为 235233324322 q1??9204.17, q2??9240.75, q3??9331.2 2?33?44?5 q3最大，第10个席位应给c.分配结果为 n1?2,n2?3,n3?5 方法三（d’hondt方法） 此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5 此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）. pi 是ni 每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的近. pip 中选较大者，可使对所有的i,i尽量接nini 再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 2．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解：设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t到t??t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得 vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得 ? t vdt?2?k?(r?wkn)dn n 2?rk?wk22n2 2vv 第二章(2)（2008年10月9日）
数学建模模拟试题及答案.pdf
数学建模模拟试题及答案 一、填空题（每题5分，共20分） 1. 若,, x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是. 2. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有1m 个顾客，每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队1的条件是 . 3. 马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 4. 在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 的方法建立了模型. 二、分析判断题（每小题15分，满分30分） 1. 要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种. 2. 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是 ),m l /m g (100/56 又过两个小时，含量降为),m l /m g (100/40试判断，当事故发生时，司 机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)m l /m g (. （提示：不妨设开始时刻为)(,0t C t =表示t 时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔],[t t t ?+内酒精浓度的改变量为 t t kC t C t t C ??=??+)()()( 其中0>k 为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.） 三、计算题（每题25分，满分50分） 1. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位，产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位.试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答： （1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2） 原材料的利用情况.
数学模型课后答案
《数学模型》作业答案 第二章(1)（2012年12月21日） 1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们 要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法； （3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， ,432 ,333 ,235321===p p p ∑==3 1 .1000i i p 方法一（按比例分配） ,35.23 1 11== ∑=i i p N p q ,33.33 1 22== ∑=i i p N p q 32.43 1 33== ∑=i i p N p q 分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 4 ,3 ,2321===n n n
第10个席位：计算Q 值为 ,17.92043223521=?=Q ,75.92404333322=?=Q 2.9331544322 3=?=Q 3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n 方法三（d ’Hondt 方法） 此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n 此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）. i i n p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i i i n p 尽量接近. 再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得 ?? +=n t dn wkn r k vdt 0 )(2π )22 2 n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n v k w n v rk t ππ+=∴ 《数学模型》作业解答 第三章1（2008年10月14日）
数学建模模拟试题及参考答案
《数学建模》模拟试题 一、（02'） 人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。 二、（02'） 雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在六题中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式。 三、（03'） 要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学，模型讨论是否跑都越快，淋雨量越少。 将人体简化成一个长方体，高m a 5.1=（颈部以下），宽m b 5.0=厚m c 2.0=，设跑步距离 ,1000m d =跑步最大速度s m v m /5=，雨速s m u /4= ，降雨量h cm w /2=，记跑步速度为v ，按以下步骤进行讨论； （1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量 （2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为θ，如图1建立总淋雨量与速度v 及参数θ,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算0 30,0==θθ时的总淋雨量。 （3））雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为?，如图2建立总淋雨量与速度v 及参数?,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算030=θ时的总淋雨量。 四、（03'） 建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h 出手角度为α（与地面夹角），建立投掷距离与α,,h v 的关系式，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。
数学建模课后答案
第一章 4.在1、3节“椅子能在不平的地面上放稳不”的假设条件中,将四脚的连线呈正方形改为长方形,其余不变。试构造模型并求解。 答:相邻两椅脚与地面距离之与分别定义为)()(a g a f 和。f 与g 都就是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地,所以对于任意的a ,)()(a g a f 和中至少有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后,对角线互换,0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样,改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证明如下的数学命题: 已 知 a a g a f 是和)()(的连续函数,对任意 0)π/2()0(,0)()(,===?f g a g a f a 且,0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ,使0)()(00==a g a f 证:令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则, 由g f 和的连续性知h 也就是连续函数。 根据连续函数的基本性质, 必存在0a (0＜0a ＜π/2)使0)(0=a h ,即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=?a g a f ,所以0)()(00==a g a f
8 第二章
10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘,给出几种简便有效的排列方法,使加工出尽可能多的圆盘。
第三章 5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少,则设 kx q x q -=0)( (1)k 就是产量增加一个单位时成本的降低 , 销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将(1)(2)(3)代入(4)求出 ka q kbp pa bp x r --++-=02)( 当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为 b a kb ka q p 2220*+--=
数学建模课后习题答案
第一章 课后习题6. 利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。 解：假设病人服用氨茶碱的总剂量为a ，由书中已建立的模型和假设得出肠胃中的药量为： )()0(mg M x = 由于肠胃中药物向血液系统的转移率与药量)(t x 成正比，比例系数0>λ，得到微分方程 M x x dt dx =-=)0(,λ（1） 原模型已假设0=t 时血液中药量无药物，则0)0(=y ，)(t y 的增长速度为x λ。由于治疗而减少的速度与)(t y 本身成正比，比例系数0>μ，所以得到方程： 0)0(,=-=y y x dt dy μλ（2） 方程（1）可转换为：t Me t x λ-=)( 带入方程（2）可得：)()(t t e e M t y λμμ λλ ----= 将01386=λ和1155.0=μ带入以上两方程，得： t Me t x 1386.0)(-= )(6)(13866.01155.0---=e e M t y t 针对孩子求解，得： 严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 87.494=； 致命中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 8.4694= 针对成人求解： 严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 83.945= 致命时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 74.1987= 课后习题7. 对于1.5节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液用药量的变化并作图。
解：已知血液透析法是自身排除率的6倍，所以639.06==μu t e t x λ-=1100)(，x 为胃肠道中的药量，1386.0=λ )(6600)(t t e e t y λμ---= 1386.0,639.0,5.236)2(,1100,2,====≥-=-λλλu z e x t uz x dt dz t 解得：()2,274.112275693.01386.0≥+=--t e e t z t t 用matlab 画图: 图中绿色线条代表采用体外血液透析血液中药物浓度的变化情况。 从图中可以看出，采取血液透析时血液中药物浓度就开始下降。T=2时，血液中药物浓度最高，为236.5；当z=200时，t=2.8731，血液透析0.8731小时后就开始解毒。 第二章 1.用 2.4节实物交换模型中介绍的无差别曲线的概念，讨论以下的雇员和雇主之间的关系： 1）以雇员一天的工作时间和工资分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图，解释曲线为什么是那种形状； 2）如果雇主付计时费，对不同的工资率画出计时工资线族，根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议； 3）雇员和雇主已经达成了协议，如果雇主想使用雇员的工作时间增加到t 2，他有两种
数学模型(第四版)课后详细答案
数学模型作业 六道题 作业一 1.P56.8一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 解： 要求鱼的体重，我们利用质量计算公式：M=ρV。我们假定鱼池中是同一种鱼，于是可以近似地考虑其密度是相同的。至于鱼的体积问题，由于是同一种类，可以假定这种鱼在体型上是一致的。我们假设鱼的体积和鱼身长的立方成正比。即：V=k 1 L3，因此，模型为： 33 111 M V k l K L ρρ ===……………………………模型一 利用Eviews软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 1 ，如下图1所示： 图1 从图1结果可以得到参数K 1 =0.014591，所以模型为： 3 1 M0.014591 L = 上述模型存在缺陷，因为它把肥鱼和瘦鱼同等看待。因此，有必要改进模型。如果只假定鱼的横截面是相似的，假设横截面积与鱼身最大周长的平方成 正比，即：V=k 2 d2L，因此，模型为： 身长 /cm 36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1 质量 /g 765 482 1162 737 482 1389 652 454 胸围 /cm 24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6
22222M V k d K d L L ρρ===……………………………… 模型二 利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 2，如下图2所示： 图2 从图2可以得到参数K 2=0. 032248，所以模型为： 22M 0.032248d L = 将实际数据与模型结果比较如表1所示： 实际数 据M 765 482 1162 737 482 1389 652 454 模型一M 1 727.165 469.214 1226.061 727.165 482.629 1338.502 675.108 482.619 模型二M 2 729.877 465.248 1099.465 729.877 482.960 1470.719 607.106 483.960 2.P131.2 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，这两个代理点应该建在何处，才能使所能供应的大学生的数量最大？建立该问题的整数线性规划模型并求解。 解： 将大学生数量为34、29、42、21、56、18、71的区分别标号为1、2、3、4、5、6、7区，画出如下区域区之间的相邻关系： 2 5
数学模型吕跃进数学建模A试卷及参考答案
数学建模A试卷参考答案 一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分） 1、什么是数学模型？(5分) 答：数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 2、数学建模有哪几个过程？(5分) 答：数学建模有如下几个过程：模型准备，模型假设，模型构成，模型求解，模型分析，模型检验，模型应用。 3、试写出神经元的数学模型。 答：神经元的数学模型是 其中x＝（x1，…x m）T输入向量，y为输出，w i是权系数；输入与输出具有如下关系： θ为阈值，f（X）是激发函数；它可以是线性函数，也可以是非线性函数．（5分） 二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分） 1、（l）以雇员一天的工作时间t和工资w分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图。解释曲线为什么是你画的那种形状。(5分) （2）如果雇主付计时工资，对不同的工资率(单位时间的工资)画出计时工资线族。根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。(5分) 答：（l）雇员的无差别曲线族f（w，t）=C是下凸的，如图1，因为工资低时，他愿以较多的工作时间换取较少的工资；而当工资高时，就要求以较多的工资来增加一点工作时间． （2）雇主的计时工资族是w=at，a是工资率．这族直线与f（w，t）=c的切点P1，P2，P3，…的连线PQ为雇员与雇主的协议线．通常PQ是上升的（至少有一段应该是上升的），见图1． 2、试作一些合理的假设，证明在起伏不平的地面上可以将一张椅子放稳。(7分)又问命题对长凳是否成立，为什么？(3分) 答：(一)假设：电影场地面是一光滑曲面，方凳的四脚连线构成一正方形。 如图建立坐标系：其中A,B,C,D代表方凳的四个脚,以正方形ABCD的中心为坐标系原点。 记H为脚A,C与地面距离之和， G为脚B,D与地面距离之和， θ为AC连线与X轴的夹角， 不妨设H(0)>0,G(0)=0,(为什么?) 令X f(θ)=H(θ)-G(θ)图二 则f是θ的连续函数,且f(0)=H(0)>0 将方凳旋转90°,则由对称性知H(π/2)=0,G(π/2)=H(0) 从而f(π/2)=-H(0)<0 由连续函数的介值定理知，存在θ∈(0,π/2)，使f(θ)=0 (二)命题对长凳也成立，只须记H为脚A,B与地面距离之和， G为脚C,D与地面距离之和， θ为AC连线与X轴的夹角 将θ旋转1800同理可证。 三、模型计算题（共5小题，每小题9分，本大题共45分）
数学建模考试题(开卷)及答案
2010年上学期2008级数学与应用数学，信息与计算科学专业 《数学建模》课程考试供选试题 第1题 4万亿投资与劳动力就业： 2008以来，世界性的金融危机席卷全球，给我国的经济发展带来很大的困难。沿海地区许多中小企业纷纷裁员，造成大量的人员失业。据有关资料估计，从2008年底，相继有2000万人被裁员，其中有1000万人是民工。部分民工返乡虽然能够从一定程度上缓解就业压力，但2009年的600多万毕业大学生给我国就业市场带来巨大压力。但可喜的是，我国有庞大的外汇储备，民间资本实力雄厚，居民储蓄充足。中国还是发展中国家，许多方面的建设还处于落后水平，建设投资的潜力巨大。为保持我国经济快速发展，特别是解决就业问题带来希望，实行政府投资理所当然。在2009年两代会上，我国正式通过了4万亿的投资计划，目的就是保GDP增长，保就业，促和谐。但是有几个问题一直困扰着我们，请你运用数学建模知识加以解决。问题如下： 1、GDP增长8%，到底能够安排多少人就业？如果要实现充分就业，2009年的GDP到底要增长多少？ 2、要实现GDP增长8%，4万亿的投资够不够？如果不够，还需要投资多少？ 3、不同的产业(或行业)吸纳的劳动力就业能力不同，因此投资的流向会有所不同。请你决策，要实现劳动力就业最大化，4万亿的投资应该如何分配到不同的产业(或行业)里？ 4、请你给出相关的政策与建议。 第2题 深洞的估算：假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是1KG的石头，并准确的测定出听到回声的时间T=5S，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。 1、不计空气阻力； 2、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度成正比，比例系数k1=0.05； 3、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比，比例系数k2=0.0025； 4、在上述三种情况下，如果再考虑回声传回来所需要的时间。 第3题 优秀论文评选：在某数学建模比赛的评审过程中，组委会需要在一道题目的150 篇参赛论文中选择4 篇论文作为特等奖论文。评审小组由10 名评委组成，包括一名小组组长(出题人)，4 名专业评委(专门从事与题目相关问题研究的评委)，5 名普通评委(从事数学建模的教学和组织工作，参与过数学建模论文的评审)。组委会原先制定的评审步骤如下： step1:首先由普通评委阅读所有150 篇论文，筛选出20 篇作为候选论文。 Step2:然后由小组内的所有评委阅读这些候选论文，每人选择4 篇作为推荐的论文。 Step3:接着进入讨论阶段，在讨论阶段中每个评委对自己选择的 4 篇论文给出理由，大家进行讨论，每个评委对论文的认识都会受到其他评委观点的影响。 Step4:在充分讨论后，大家对这些推荐的论文进行投票，每个评委可以投出4票，获得至少6 票的论文可以直接入选，如果入选的论文不足，对剩余的论文(从20篇候选论文中除去已经入选的论文)重复step2至step4 步的评审工作。如果三轮讨论后入选的论文仍然不够，则由评选小组组长确定剩下名额的归属。 如果有超过4 篇的论文获得了至少6票，则由评选小组组长确定最终的名额归属。问题:
数学建模题目及其答案(疾病诊断)
数学建模疾病的诊断 现要你给出疾病诊断的一种方法。 胃癌患者容易被误诊为萎缩性胃炎患者或非胃病者。从胃癌患者中抽 取5人（编号为1-5），从萎缩性胃炎患者中抽取5人（编号为6-10），以及非胃病者 中抽取5人（编号为11-15），每人化验4项生化指标：血清铜蓝蛋白（ X）、 1 蓝色反应（ X）、尿吲哚乙酸（3X）、中性硫化物（4X）、测得数据如表1 2 所示： 表1. 从人体中化验出的生化指标
* 根据数据，试给出鉴别胃病的方法。 论文题目：胃病的诊断 摘要 在临床医学中，诊断试验是一种诊断疾病的重要方法。好的诊断试验方法将对临床诊断的正确性和疾病的治疗效果起重要影响。因此，对于不同疾病不断发现新的诊断试验方法是医学进步的重要标志。传统的诊断试验方法有生化检测、DNA检测和影像检测等方法。而本文则通过利用多元统计分析中的判别分析及SPSS软件的辅助较好地解决了临床医学中胃病鉴别的问题。在临床医学上，既提高了临床诊断的正确性，又对疾病的治疗效果起了重要效果，同时也减轻了病人的负担。 判别分析是在分类确定的条件下，根据某一研究对象的各种特征值判别其类型归属问题的一种多变量统计分析方法。 其基本原理是按照一定的判别准则，建立一个或多个判别函数，用研究对象的大量资料确定判别函数中的待定系数，并计算判别指标。 , 首先，由判别分析定义可知，只有当多个总体的特征具有显著的差异时，进行判别分析才有意义，且总体间差异越大，才会使误判率越小。因此在进行判别分析时，有必要对总体多元变量的均值进行是否不等的显著性检验。 其次，利用判别分析中的费歇判别和贝叶斯判别进行判别函数的建立。 最后，利用所建立的判别函数进行回判并测得其误判率，以及对其修正。 本文利用SPSS软件实现了对总体间给类变量的均值是否不等的显著性检验并根据样本建立了相应的费歇判别函数和贝叶斯判别函数，最后进行了回判并测得了误判率，从而获得了在临床诊断中模型，给临床上的诊断试验提供了新方法和新建议。 关键词：判别分析；判别函数；Fisher判别；Bayes判别 一问题的提出 在传统的胃病诊断中，胃癌患者容易被误诊为萎缩性胃炎患者或非胃病患者，为了
数学建模试卷及参考答案
数学建模试卷及参考答案 一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分） 1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分） 答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。 2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分) 答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。 3、人工神经网络方法有什么特点？(5分) 答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。 二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分） 1、某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达 山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山,下午5:00回到旅店. 证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明: 记出发时刻为,到达目的时刻为,从旅店到山顶的路程为s. 设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t)是
一天内时刻变量，则f(t)(t)在[]是连续函数。 作辅助函数F(t)(t)(t),它也是连续的， 则由f(a)=0(b)>0和g(a)>0(b)=0,可知F （a ）<0, F(b)>0, 由介值定理知存在t0属于()使F(t0)=0, 即f(t0)(t0) 。 2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分) 解:模型构成 记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，1，2,........， k x ，k y =0，1，2，3。将二维向量k s =（k x ，k y ）定义为状态。安全 渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S 。 ()}{2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======y x y x y x y x （3分） 记第k 次渡船上的商人数为k u 随从数为k v 将二维向量k d =（k u ， k v ）定义为决策。允许决策集合记作 D ，由小船的容量可知 (){2 ,1,0,,1|,=≤+≤v u v v u v u } （3分） 状态 k s 随 k d 的变化规律是： 1 +k s = k s +()k k d *-1
数学模型第四版作业对于6.4节蛛网模型讨论下列问题
对于节蛛网模型讨论下列问题： （1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第k+1时段的价格1+k y 由第k+1和第k 时段的数 量1+k x 和k x 决定。如果设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并 与的结果进行比较。 （2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和 1-k y 决定，试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。 解：（1） 设1+k y 由1+k x 和k x 的平均值决定，即价格函数表示为： )2 (11k k k x x f y +=++ 则 0),2 (0101>-+-=-++ααx x x y y k k k 0),(001>-=-+ββy y x x k k 消去y, 得到 012)1(22x x x x k k k +=++++αβαβαβ ，k=1,2,…. 该方程的特征方程为 022=++αβαβλλ 与节中 )2 (11-++=k k k y y g x 时的特征方程一样， 所以0<αβ<2, 即为0p 点的稳定条件。
（2）设 )2 (11k k k x x f y +=++ )2 (11-++=k k k y y g x ， 则有 0),2 (0101>-+-=-++ααx x x y y k k k 0),2 (0101>-+=--+ββy y y x x k k k 消去y,得到 0123)1(424x x x x x k k k k +=++++++αβαβαβαβ 该方程的特征方程为 0242 3=+++αβαβλαβλλ 令λ=x,αβ=a ， 即求解三次方程 0a 2ax ax 4x 2 3=+++ 的根 在matlab 中输入以下代码求解方程的根x ： syms x a solve(4*x^3+a*x^2+2*a*x+a==0,x) 解得 1x = (36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3)/12 - a/12 + (a*(a - 24))/(12*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3))； 2x = -(2*a*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3) - 3^(1/2)*a*24*i - 3^(1/2)*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(2/3)*i - 24*a + 3^(1/2)*a^2*i + (36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(2/3) + a^2)/(24*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a -
数学建模题目及答案
09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。 （15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角 坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和， ()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ 的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故 ()f θ()g θ=0必成立（?θ ）。 不妨设 (0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为 0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归 结为： 已知 ()f θ,()g θ均为θ 的连续函数， (0)0f =,(0)0g >且对任意θ 有 00()()0f g θθ=，求证存 在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθ θ=-，显然，() h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定 理，存在0θ，0 0θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有 00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 x+y+z=10；