《基本不等式》第2课时教学设计

《基本不等式

2a b ab +≤》第2课时教学设计

授课类型：新授课

【教学目标】 1．知识与技能：进一步掌握基本不等式2

a b ab +≤

；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式2a b ab +≤

，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点】 基本不等式2

a b ab +≤的应用 【教学难点】 利用基本不等式2

a b ab +≤求最大值、最小值。 【教学过程】

1.课题导入

1．重要不等式：

如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a

2．基本不等式：如果a,b 是正数，那么).""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b a b a b a ,

2

为+的算术平均数，称b a ab ,为 ab b

a a

b b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实

数，而后者要求a,b 都是正数。

2.讲授新课

例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

解：（1）设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则xy=100，篱笆的长为2（x+y ） m 。由2

x y xy +≥， 可得 2100x y +≥， 2()40x y +≥。等号当且仅当x=y 时成立，此时

x=y=10.

因此，这个矩形的长、宽都为10m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.

（2）解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（36－2x ）m ，其中0＜x ＜2

1，其面积S ＝x （36－2x ）＝21·2x （36－2x ）≤212

2236236()28

x x +-= 当且仅当2x ＝36－2x ，即x ＝9时菜园面积最大，即菜园长9m ，宽为9 m 时菜园面积最大为81 m 2

解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为xy m 2。由

18922

x y xy +≤

==，可得 81xy ≤ 当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。 因此，这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积是81m 2 归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a ，b ∈R ＋，且a

＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤4

2

M ，等号当且仅当a ＝b 时成立. 2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ，b ∈R ＋，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，等号当且仅当a ＝b 时成立.

例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。

解：设水池底面一边的长度为x m ，水池的总造价为l 元，根据题意，得

)1600(720240000x

x l ++= 297600

4027202400001600

2720240000=??+=??+≥x

x 当.2976000,40,1600有最小值时即l x x

x ==

因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。

归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：